【专题02】三角函数性质与图像专题训练-2025届高三数学二轮复习

【专题02】三角函数性质与图像【高考复习难点】 【知识点总结】 一、正弦函数、余弦函数的图像和性质 1.正弦、余弦函数图像画法：（1）几何法 （2）五点法：0、 、π、 、2π 2.曲线：正弦曲线：y=sinx，x∈R，余弦曲线：y=cosx，x∈R 3.性质： （1）周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)= f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 （2）最小正周期：在周期函数f(x)的所有周期中存在的一个最小正数。 （3）函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos (ωx+φ)的周期：T= （4）奇偶性：对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(-x)=- f(x)，则称f(x)为这一定义域内的奇函数。对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为这一定义域内的偶函数。 （5）对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。 （6）单调性：单调递增、单调递减 二、正切函数的图像和性质 1.正切函数画法：“三点二线” （1）三点：（-，-1）（0,0）（，1） （2）二线：x= ，x= 2.正切曲线：y=tanx ，x≠+kπ（k∈Z） 3.性质： 定义域 x≠+kπ（k∈Z） 渐近线 y=tanx 0 1 -1 值域 R 周期 T=kπ（k≠0，k∈Z 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 对称轴 关于原点（0，0）对称 对称中心 （，0） k∈Z 单调性 （+kπ，+kπ）单调递增 k∈Z 渐进线 x=+kπ k∈Z y=Atan(ωx+φ)的周期T= 三、ω 的取值范围与最值问题(结合图像理解） 1).在区间内没有零点 同理，在区间内没有零点 2).在区间内有个零点 同理在区间内有个零点            3).在区间内有个零点              同理在区间内有个零点 4).已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则． 5).已知单调区间，则. 【专项练习】 一、单选题 1．已知（其中），若方程在区间上恰有4个实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．函数，（，）满足，且在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．的最小正周期为 4．已知函数且，若方程与方程共有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 6．已知函数的对称中心为，则能使函数单调递增的区间为（    ） A． B． C． D． 7．已知的部分图象如下图，点是图象上一点，则（   ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称 C．若，则 D．若点处的切线经过坐标原点，则 8．将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，再将的图像上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的（）倍，得到函数的图像，且在区间上恰有两个极值点、两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，若函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，为函数图象的一条对称轴，则（　　） A． B． C．点是函数图象的对称中心 D．将函数的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称 10．如图为函数的部分图象，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数的图象关于点成中心对称 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移后关于轴对称 11．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．在区间上为增函数 D．方程仅有4个实数解 三、填空题 12．已知是函数的一条对称轴，在区间内恰好存在3个对称中心，则的取值范围为 ． 13．已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是 ． 14．已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且．则图象的一个对称中心是 ；若，则的值为 ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【解答】由，得， 所以或， 所以，或，或，或， 由，得，所以， 因为方程在区间上恰有4个实根， 所以，解得， 故选：D 2．C 【解答】， ，因为，，则 因为在区间上有且仅有3个零点，且在零点0之前的三个零点依次为， 则，解得. 故选：C. 3．C 【解答】由图象可知，，故A错误； 由图象知，，所以，，故BD错误； 因为图象过点，且在减区间上， 所以，即，， 解得，又，所以，即， 又图象过点，所以，即，所以， 所以，故C正确. 故选：C 4．C 【解答】当时，可知，当时，可知，所以根据正弦函数的单调性可得大致图象如图所示， 由方程与方程共有6个实数根,可知有4个不同的实根，有2个不同的实根， 所以， 解得. 故选:C. 5．A 【解答】，由得， 即，当时，， 画出图象，如下图， 由图可知，在上递减， 所以，当时， 故选：A 6．C 【解答】由图象的一个对称中心是，所以， 则，，即，， 又，所以，得函数， 令，， 即，； 故的单调递增区间为，， 而当时，单调递增区间为，又， 所以C正确，其余区间都不符合题意. 故选：C 7．D 【解答】由图象可知，的最大值为2，又，所以． 设最小正周期为，由图象可知，则，则, 又，故，所以， 将点代入,可得，即． 因为，则， 所以，则，所以． 对于A项，不妨设，当时，，因在上先减后增，故A项错误； 对于B项，将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数解析式，易知是奇函数，图象关于坐标原点对称，故B项错误； 对于C项，由，得，化简得，则故C项错误； 对于D项，点处的切线方程为， 将坐标原点代入，得，所以，故D项正确. 故选:D． 8．C 【解答】法一：由题意，得，所以．令，，则．设，则在上恰有两个极值点和两个零点．结合图像知，解得． 法二：验证排除法.由题意可知，所以，根据四个选项的特点，只有选项C中不含，所以只需要验证时的情况，若，则，令，因为，所以，结合图像知此范围内由两个零点，一个极小值点，不符合题意，所以，故选C. 法三：由题可知，，所以，令， ，则，，分别令，则，，，由题意知解得. ， ，则，，分别令，则，，，由题意知解得，综上所述，. 故选：C． 9．ABD 【解答】因为函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，， 因为直线为函数图象的一条对称轴， 所以，，则，， 因为，所以，故AB正确； 所以，因为，故C错误； 将函数的图象向左平移个单位长度后所得函数为 ，图象关于轴对称，故D正确. 故选：ABD. 10．BC 【解答】对于A，由图可知，所以，A错误； 对于B，因为，图象过点，所以， 所以，即， 所以， 因为， 所以点为函数的一个对称中心，B正确； 对于C，，由解得， 所以为函数的一个单调递增区间， 所以，在区间上单调递增，C正确； 对于D，将的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍得， 再向右平移得，为奇函数，D错误. 故选：BC 11．ACD 【解答】因为为奇函数，所以的图象关于点中心对称， 因为为偶函数，所以的图象关于直线对称． 可画出的部分图象大致如下（图中x轴上相邻刻度间距离均为）：    对于A，由图可知的最小正周期为，所以，故A正确． 对于B，的图象关于点中心对称，故B错误． 对于C，由图可知在区间上单调递增，故C正确． 对于D，，，，， 由图可知，曲线与的图象有4个交点，所以方程仅有4个实数解，故D正确． 故选：ACD. 12． 【解答】由题意知是函数的一条对称轴， 故，解得，，因为，故， 故，令，解得， 原点附近的6个对称中心分别为， 若3个对称中心恰好是， 则，则t不存在，不合题意； 若3个对称中心恰好是， 则，则； 故当时，符合题意． 故t的取值范围为， 故答案为： 13． 【解答】当时，，当时，. 因为函数在区间上的值域均为， 而，，所以. 又因为，, 所以，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 14． 答案不唯一 / 【解答】因为在区间上单调， 且，， 所以， 所以图象的一个对称中心是； 由题设，的最小正周期， 故，由，得， 由为的一个对称中心， 所以①； 因为，所以或. 若②，①-②得， 即，不存在整数，使得. 若③，①-③得， 即，不存在整数使得，当时，. 此时，由， 得. 故答案为：； 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$