第8讲 等边三角形 导学案 2024—2025学年人教版数学八年级上册

第8讲 等边三角形 知识点1 等边三角形的定义和性质 1. 定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形. 2. 性质 (1)等边三角形的三条边都相等. (2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. (3)等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线. (4)各边上的高、中线、对角的角平分线重合，且长度相等. 注意： 等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质： 1. 任意两边都可以作为腰. 2. 任意一个角都可以作为顶角. 3. 任意一边上的“三线合一”. 例1 如图， △ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点， 且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数. 1-1. 如图， 一张等边三角形纸片， 剪去一个角后得到一张四边形纸片， 则图中∠α＋∠β的度数是( ) A. 180° B. 220° C. 240° D. 300° 例2 如图，等边三角形ABC的边长为3，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE＝DB，求CE的长. 2-1. 如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD， 则∠ADE＝_______°. 例3 如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且 AE＝CD，AD与BE相交于点F. (1)求证：△ABE≌△CAD； (2)求∠BFD的度数. 3-1. 如图，△ABC为等边三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由. 知识点2 等边三角形的判定 1. 判定定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形. 几何语言： 在△ABC中， ∵∠A＝∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形. 2. 判定定理2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 几何语言： 在△ ABC 中， ∵ AB＝AC，∠A＝60°或∠B＝60°或∠C＝60°， ∴△ABC是等边三角形. 证明等边三角形的思维导图： 注意： 1. 在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，判定定理2都成立. 2. 等边三角形的判定方法： (1) 若已知三边关系，一般选用定义判定； (2) 若已知三角关系，一般选用判定定理1判定； (3) 若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定定理2判定. 例4 如图，在等边三角形ABC中， ∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，连接OE，OF. 求证：△OEF 是等边三角形. 4-1. 如图， △ABC为等边三角形， ∠1＝∠2＝∠3， 求证：△DEF是等边三角形. 例5 如图， 点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN，MC相交于点E，BM，CN相交于点F. 连接EF，求证：(1)AN＝BM；(2)△CEF是等边三角形. 5-1. 如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上的一点. 在△ABC的外角的平分线CE上取点E，使CE＝BD， 连接AD，AE，DE. 请判断△ADE的形状，并说明理由. 5-2. 如图，E为等边△ABC的边BC上一点，∠CAE＝∠CBD，AE＝BD，求证：△CDE为等边三角形. 知识点3 含30°角的直角三角形的性质 1. 性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . 几何语言： 在Rt△ABC中, ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴ BC＝AB. 2. 作用：应用于证线段的倍分关系和计算角度. 注意： 应用此性质，必须满足两个条件： 1. 在直角三角形中； 2. 有一个锐角为30 ° .二者缺一不可. 例6 如图，在Rt△ABC中 ，∠C＝90°，AB边的垂直平分线MN交AB于点M，交BC于点N，且∠B＝15°，AC＝4 cm，求BN的长. 6-1. 如图，△ABC中，AB＝AC, ∠A＝120 °，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，且BM＝3, 则CM＝_____. 6-2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AM交BC于M，AM＝15 cm. 求BC的长. 例7 如图，在等边三角形ABC中，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q. 求证：BP＝2PQ. 7-1. 如图，在△ABC中，AB＝AC， ∠A＝60 °，BD⊥AC于D，E为BC的中点，DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证：E，C两点是线段BF的三等分点. 学科网（北京）股份有限公司 $$