第7讲 等腰三角形 导学案 2024—2025学年人教版数学八年级上册

第7讲 等腰三角形 知识点1 等腰三角形的定义 有两边相等的三角形是等腰三角形. 几何语言： 在△ABC中， ∵ AB＝AC， ∴△ABC为等腰三角形. 注意： （1）等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，但底角只能是锐角. 根据顶角的大小，等腰三角形可分为等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形. （2）确定等腰三角形的两条腰时，应找三角形中相等的两边，腰与三角形本身的位置无关. 例1 若某个等腰三角形的两边长分别为4和6，求这个等腰三角形的周长. 1-1. 已知等腰三角形的一边长为5，周长为20，则它的腰长为________. 1-2. [中考·苏州] 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2 倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”. 若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3， 则腰AB的长为_________． 知识点2 等腰三角形的性质 1. 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 几何语言： 在△ABC中， ∵ AB＝AC， ∴∠B＝∠C. 注意： 1. 适用条件：必须在同一个三角形中. 2. 作用：是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便. 2. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”). 几何语言：如图，在△ABC中， (1)∵ AB＝AC，AD⊥BC， ∴ AD平分∠BAC (或BD＝CD)； (2)∵ AB＝AC，BD＝DC， ∴ AD⊥BC (或AD平分∠BAC)； (3)∵ AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴ BD＝DC(或AD⊥BC). 注意： 1. 适用条件： (1)必须是等腰三角形； (2)必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才相互重合. 2. 作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法. 3. 对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴． 例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC. (1)求∠ADB的度数； (2)若∠BAC＝100°，求∠B，∠C的度数； (3)若BC＝3 cm，求BD的长. 2-1. [中考·自贡] 等腰三角形顶角度数比一个底角度数的 2倍多20°，则这个底角的度数是(　　) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 2-2. [中考·泰安] 如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K 分别是PA，PB，AB上的点， 且AM＝BK，BN＝AK. 若∠MKN＝44 °， 则∠P的度数为( ) A. 44° B. 66° C. 88° D. 92° 例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是AC，AB边上的高. 求证：BD＝CE. 3-1. [中考· 黄石]如图， 在△ABC中，∠BAC＝90 °，E 为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段 BE的中点，过点E作EF⊥AE， 过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F. 求证： (1)∠C＝∠BAD. (2)AC＝EF. 例4如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A 的度数. 4-1. 如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE 的度数是( ) A. 60° B. 65° C. 75° D. 80° 知识点3 等腰三角形的判定 1. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”). 几何语言： 在△ABC中， ∵∠B＝∠C， ∴ AB＝AC. 2. 等腰三角形的性质与判定的异同 相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”. 不同点：等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等. 等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等. 注意： 等腰三角形的定义也是一种判定方法. “等角对等边”是我们以后证明两条线段相等的常用方法，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角的关系得到角相等，从而得到所对的边相等. 例5 如图，在△ABC中，P是BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA 的延长线于点R，若AQ＝AR，则△ABC是等腰三角形吗？请说明理由. 5-1. 如图， 点E在△ABC的AC边的延长线上， 点D在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF ， BD＝CE ，过点D作DG∥AC交BC于点G. 求证： △ABC是等腰三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$