第6讲 角平分线 导学案 2024—2025学年人教版数学八年级上册

第6讲 角平分线 知识点1 角平分线的作法 1. 角的平分线的作法 (1)折叠法：(2)度量法：(3)尺规作图法： 2. 尺规作图步骤与图示 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法： (1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. (2)分别以点M，N为圆心， 大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相 交于点C. (3)画射线OC. 射线OC即为所求(如图). 注意： 1. “大于MN的长为半径画弧”是因为若以小于MN的长为半径，则画出的两弧不能相交； 2.“画射线OC” 不能叙述为“连接OC”，因为角平分线是射线而不是线段. 知识点2 角平分线的性质 1. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 条件： (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 2. 几何语言 ∵ OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E， ∴ PD＝PE. 注意： 1.只要符合基本模型，直接得出结论不需要证全等. 2.角的平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线) 得到一个结论(线段相等). 3.证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”. 例1 画出任意大小的角∠AOB，求作：∠AOM＝∠AOB. 1-1. 如图是利用尺规作∠AOB的平分线OC. 在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是( ) A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 例2 如图，OD平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA＝OB，P为OD上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N. 求证：PM＝PN. 2-1. [中考·台州] 如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D. 若PD＝2，则点P到边OA的距离是( ) A. 1 B. 2 C. D. 4 2-2. 如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F， 且DB＝DC. 求证：BE＝CF. 例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E. 若AB＝8 cm，求△DEB的周长. 3-1. 如图，在△ABC中，∠C＝90 °，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列结论： ① CD＝ED； ② AC＋BE＝AB； ③∠BDE＝∠BAC； ④ DA平分∠CDE. 其中正确的结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3-2. [中考· 湖州] 如图，已知在四边形ABCD中， ∠BCD＝90 °，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4， 则四边形ABCD的面积是( ) A. 24 B. 30 C. 36 D. 42 知识点4 角平分线的判定 1. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 注意： 1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部. 2. 角的平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等) 得到一个结论( 角平分线). 3. 角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷. 2. 几何语言 ∵ 点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上. 3. 角的平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图，都与距离有关，即条件PD⊥OA，PE⊥OB都具备； (2)点在角的平分线上(角的内部的)⇔点到角两边的距离相等. 例6 如图，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D. 求证：AD平分∠BAC. 6-1. [中考·株洲] 如图，点O在一块直角三角尺ABC上(其中∠ABC＝30 °)，OM⊥AB于点M， ON⊥BC于点N， 若OM＝ON， 则∠ABO＝_______°． 6-2. 如图， 在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E， 且BO＝CO. 求证：AO平分∠BAC. 例7如图，∠MAC和∠NCA 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线BD与∠MAC的平分线AD 交于点D.求证：CD平分∠ACN. 7-1. 如图， △ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC的平分线BE交于点E. 若∠BAC＝70 °， 则∠CAE＝_______° . 知识点3 证明几何命题的步骤 1. 证明一个几何命题的一般步骤 (1)明确命题中的已知和求证； (2)根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； (3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 2. 推理证明中常见的分析方法 (1)正向推理：从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，逐步推出要证的结论. (2)反向分析：从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，寻找使结论成立所需的条件，这样一步步逆推，一直追溯到结论成立的条件与已知条件吻合. (3)正反综合法：分别从已知条件和结论入手，当从已知条件推导出的结论与从结论倒推出所需的条件相吻合时，问题可得证. 注意： ●证明一个命题的步骤不是固定不变的，要根据题目的情况而定，但是总体必须是完整的，并且证明的过程必须“步步有据”. ●证明几何命题所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性. 在画图时，要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明. 例5 求证：两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等. 5-1. “全等三角形对应边上的中线相等”这个命题的已知是________________， 结论是___________________. 5-2. 求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半. （拓展）知识点5 三角形的角平分线的性质 1. 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 这一点叫三角形的内心. 2. 几何语言 如图，在△ABC中，AD，BM，CN 分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线，AD，BM，CN交于一点O，且点O到三边BC，AB，AC的距离(OE，OG，OF的长)相等，即OE＝OG＝OF. 注意： 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等. 反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点. 例8如图，在△ABC中，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，AB＋BC＋AC＝20. 过O作OD⊥BC 于点D. 且OD＝3, 求△ABC的面积. 8-1. 如图，有一块三角形的空地ABC. 其三边长AB，AC，BC分别为30 m，40 m，50 m. 现要把它分成面积比为3∶4∶5的三部分种植三种不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$