2024—2025学年人教版数学八年级上册 第3讲 多边形的内外角

第3讲 多边形的内外角 知识点1多边形的概念 一、定义 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 如果一个多边形由n 条线段组成，那么这个多边形就叫做n 边形. 二、相关概念 (1)内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. (2)外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. (3)对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 三、凸多边形 画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，否则就是凹多边形. 本节只讨论凸多边形. 四、 正多边形 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 知识点2 多边形的内角和 一、定理 n边形内角和等于 (n－2)×180°(n ≥ 3). 二、多边形内角和公式的常见应用 (1)已知多边形的边数，求内角和； (2)已知多边形的内角和，求边数； (3)求正n边形每个内角的度数， 其公式为 ； (4)已知n边形每个内角的度数，且度数都相等，求边数. 注意： 1. 由n边形的内角和公式(n－2)×180°可知n边形的内角和一定是180°的整数倍. 2. 多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180° . 例1 下列说法中，正确的有( ) ①三角形是边数最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③ n边形有n条边、n个顶点、n个内角和n个外角； ④六边形从一个顶点出发可以画3 条对角线，所有的对角线共有9 条. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 1-1. 如图，下列标注的角中是五边形ABCDE的外角的是( ) A. ∠ 1 B. ∠ 2 C. ∠ 3 D. ∠ 4 1-2. 从一个多边形的一个顶点可引2 022条对角线，则这个多边形的边数是( ) A. 2 022 B. 2 023 C. 2 024 D. 2 025 例2 如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，求四边形ABCD的内角和. 类比四边形内角和的计算方法，请尝试完成下列填空. 从五边形的一个顶点出发，可以作出（ ）条对角线，它们将五边形分成了（ ）个三角形，五边形的内角和等于180°×（ ）.从六边形的一个顶点出发，可以作出（ ）条对角线，它们将六边形分成了（ ）个三角形，六边形的内角和等于180°×（ ）. 2-1 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和，六边形的外角和等于多少？ 1.六边形的每一个外角和相邻的内角有什么关系？ 2.六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？ 3.上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？ 例3 如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与边DE平行，求∠BCA的度数. 3-1. [中考·邵阳] 如图， 在四边形ABCD中， AD⊥AB ，∠C＝110°，它的一个外角∠ADE＝60°，则∠B的大小是_______. 例4 根据下列条件求多边形的边数： (1)多边形的内角和是1 620°； (2)正多边形的每个内角均为120°. 4-1. 已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°. (1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n. 若不对，请说明理由. (2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法求出x的值. 知识点3 多边形的外角和 一、定理 多边形的外角和等于360° .多边形的外角和是由多边形内、外角的关系推导出的，n边形的外角和等于n×180°－(n－2)×180° ＝360° . 从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和. 由于走了一周，所转的各个角的和就等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°. 注意： 1. 多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和. 2. 多边形的外角和恒等于360°，与边数无关. 二、常见应用 (1)已知外角度数求正多边形的边数； (2)已知正多边形的边数求外角度数，所用公式为 例5 求出下列图形中x的值. 例6 一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？ 例7 根据下列条件解决问题： (1)一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为72°，求该多边形的边数； (2)已知一个正多边形的每一个外角都等于30°，求这个正多边形的边数. 7-1. （1）一个多边形的内角和是外角和的一半，则它是几边形？ （2）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则它是几边形？ 7-2.已知一个多边形的每一个内角与其相邻外角的角度之比都是7:2，则这个多边形是_____边形，共有_____条对角线. 7-3.一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数为_____________. 7-4. [中考·河北] 如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是(　　) A. α－β＝0 B. α－β＜0 C. α－β＞0 D. 无法比较α与β的大小 学科网（北京）股份有限公司 $$