2023—2024学年人教版数学八年级上册 第1讲 三角形的预备知识

第1讲 三角形的预备知识 知识点1 三角形的基础知识 一、定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 表示：顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”. 二、三角形的三元素 (1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. (2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边. (3)内角：在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角. 三、等腰三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. 特别地：三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底边和腰相等的等腰三角形叫做等边三角形. 四、 分类： 等腰三角形包括等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形. 例1 如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F. (1)图中共有多少个三角形？请把它们表示出来. (2)请写出△BDF的三个顶点、三条边及三个内角. (3)以AB为边的三角形有哪些？ (4)以∠C为内角的三角形有哪些？ 1-1. 如图所示，图中共有_____个三角形. △ABE中，AE 所对的角是______， ∠BAE所对的边是______，AD在△ADE中是______所对的边， 在△ADC 中是_____所对的边. 例2 根据下列所给条件，判断△ABC的形状(若已知的是角，则按角的分类标准去判断；若已知的是边，则按边的分类标准去判断)： (1)∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°； (2)∠C＝120°； (3)∠C＝90°； (4)AB＝BC＝4，AC＝5. 2-1. 已知△ABC的三边长分别是a，b，c， 且(a－b)(b－c) (c－a)＝0，则△ABC是( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边都不相等的三角形 D. 底边和腰不相等的等腰三角形 知识点2 三角形的边角关系 一、 三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形两边的和大于第三边 a＋b＞c，b＋c＞a， a＋c＞b 两点之间 线段最短 三角形两边的差小于第三边 a－b＜c，b－c＜a， a－c＜b(a＞b＞c) 二、三角形三边关系的应用 (1)判断三条线段能否组成三角形； (2)已知三角形的两边长，确定第三边长(或周长)的取值范围； (3)三角形的边长用字母表示时，求字母的取值范围； (4)证明线段的不等关系. 三、三角形三个内角的和等于180° . 几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180° . 四、三角形内角和定理的证明思路 思路一：利用“两直线平行，内错角或同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角，如图 ①②所示. 思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角，如图 ①②所示. 例1 下列长度的四组线段能组成三角形的是( ) A. 1 cm，2 cm，3.5 cm B. 4 cm，5 cm，9 cm C. 5 cm，8 cm，15 cm D. 6 cm，8 cm，9 cm 1-1. 分别以下列长度的三条线段为边，哪些能构成三角形？哪些不能构成三角形？ (1)6 cm，8 cm，10 cm； (2)3 cm，8 cm，11 cm； (3)3 cm，4 cm，10 cm； (4)三条线段的长度之比为4∶6∶7. 例2 用一根长18 cm的铁丝围成一个三角形，其中三边长分别为4 cm，x cm，y cm 且有两边相等. 求x，y的值. 2-1. 如果一个三角形的两边长分别是6 cm 和8 cm， 周长是偶数，那么这样的三角形有( ) A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 2-2. 三角形的两边长分别为3 和5， 则此三角形的周长l 的取值范围是( ) A. 2<l<8 B. 10<l<18 C. 10<l<16 D. 无法确定 例3 ∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. (1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度数； (2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B 的度数； (3)已知∠A＝∠B＝∠C，求∠A，∠B，∠C的度数. 3-1. 在△ABC中， 若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠B 等于( ) A. 10° B. 30° C. 50° D. 80° 3-2. 如图， 在△ABC中，∠A＝80°， ∠B＝40 °，D，E分别是AB，AC上的点， 且DE//BC，则∠AED的度数是( ) A. 40° B. 60° C. 80° D. 120° 3-3. 在△ABC中，∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，求△ABC各内角的度数. 例4 一个零件的形状如图，按规定∠A 应等于90°，∠ABD，∠ACD应分别是34°和18° . 李叔叔量得∠BDC＝146°，请你帮李叔叔判断这个零件是否合格，并说明理由. 4-1. 某地有A，B，C三个村庄， 如图，B村庄在C村庄的正西方向，A村庄在B村庄的北偏东20°方向，同时A 村庄又在C村庄的北偏西45°方向， 那么， 在A村庄看B，C两个村庄的视角∠BAC为多少？ 知识点3 直角三角形 一、定义 直角三角形的两个锐角互余 . 几何语言：在△ABC中， ∵∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°. 二、表示 直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC可以写成Rt △ABC. 注意： （1）“Rt △”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用． 如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边”. 三、判定 有两个角互余的三角形是直角三角形. 例3 如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝35°，则∠A＝_______. 3-1. 把一把直尺与一块三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为( ) A. 65° B. 60° C. 45° D. 30° 例4 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P. 求证：△EFP是直角三角形. 4-1. 已知∠A＝37 °，∠B＝53 °， 则△ABC为( ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上都不对 例5 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B. 求证：CD⊥AB. 5-1. 如图， 点E是△ABC的边AC上的一点，ED⊥AB于点D，∠AED＝∠B. 求 证：△ACB是直角三角形. 知识点4 三角形的稳定性 1. 三角形的稳定性 (1)如果三角形的三边长确定，这个三角形的形状、大小就确定了 (2)四边形及四边以上的图形不具有稳定性. 2. 三角形稳定性的应用 (1)稳定性是三角形特有的，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的 物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等. (2)四边形及四边以上的图形不具有稳定性，四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应 用，如活动挂架、伸缩门等. 例4 李明家有一个由六根钢管连接而成的钢架ABCDEF，如图，为了使这个钢架稳固，他计划用三根钢管来连接使它不变形. 请帮李明解决这个问题. 4-1. 下列图形中有稳定性的是(　　) A. 三角形 B. 平行四边形 C. 长方形 D. 正方形 4-2. 如图是一个由四根木条钉成的框架，拉动木条，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是在( )两点上钉木条. A. A，F B. C，E C. C，A D. E，F 学科网（北京）股份有限公司 $$