精品解析：河南省商丘市部分学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

商丘市部分学校2023-2024学年（下）高一年级期末考试 数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 数据5，8，9，6，7，4，7，9，4，9的第60百分位数为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.5 3. 某射击运动员每次射击命中十环的概率均为，若该射击运动员连续射击两次，且两次射击相互独立，则至多有一次命中十环的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，现从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某服装厂为了解本厂员工的收入情况，财务部门统计了所有员工的月均工资（单位：万元）情况，并绘制成频率分布直方图如图所示，则估计该服装厂所有员工月均工资的中位数为（ ） A. 0.62万元 B. 0.65万元 C. 0.7万元 D. 0.75万元 7. 如图所示，测量人员在楼AB的楼顶上的点B处测量塔CD的高度.已知点P，A，C在同一条直线上，在点B处测得塔顶D的仰角为30°，地面上的点P的俯角为45°，在点P处测得塔顶D的仰角为60°，，则塔CD的高度为（ ）参考数据：. A. B. C. D. 8. 已知所在平面内一点满足（为非零实数），且的面积为12，则的面积为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在复平面内对应点位于第四象限 C. 若实数，则 D. 若，，则在复平面内对应的点的轨迹为一条线段 10. 已知向量（），，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在，使得 C. 若，则 D. 当时，在上的投影向量的模为 11. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为棱的中点，是棱上一动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 若四棱锥的体积为，则四边形的面积为 D. 在点从点向点运动的过程中，点到平面的距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知事件A和B互斥，且，，则______. 13. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，且，则_________________. 14. 如图，在三棱锥中，，且，，两两相互垂直，若以为球心，作一个半径为4的球，所作球面被三棱锥的四个面——面、面、面、面截得的弧分别为，，，，则，，，的长度之和为_________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某社区组织了300人参加读书有奖测试活动，参与者经过一段时间的读书学习之后，参加社区组织的测试.把他们的测试成绩（满分100分）整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，所有成绩共分为，，，，五组. （1）求的值； （2）估计这300人测试成绩平均数；（每组数据以该组所在区间的中点值为代表） （3）在测试成绩为，，，的四组人中，按人数比例用分层随机抽样的方法抽取57人，求在测试成绩为的这一组中抽取的人数. 16. 如图，在正三棱柱中，，E，P分别为棱AC，BC的中点，且. （1）证明：平面； （2）求三棱柱被平面截得的两部分的体积. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点. （1）求证：平面平面； （2）求二面角大小. 18. 如图，在平面四边形中，，. （1）若，，，求的面积； （2）若，，求的最大值. 19. 张三参加某闯关比赛，比赛分为三关，每关都需要闯，且在同一天内完成三关的闯关，不能弃权.比赛规则如下：第一天三关都闯关失败者被淘汰；第一天只有一关闯关成功者获得纪念奖并结束闯关；第一天三关都闯关成功者获得蓝牙耳机一副并结束闯关；第一天只有两关闯关成功者第二天可以重新参与闯关，若该闯关者第二天三关都闯关成功，则获得蓝牙耳机一副，否则获得纪念奖，并结束闯关.已知张三每关闯关成功的概率均为，且前面各关闯关成功与否对后面的闯关没有影响. （1）求张三被淘汰的概率； （2）求张三第一天获得纪念奖概率； （3）求张三第二天获得蓝牙耳机的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 商丘市部分学校2023-2024学年（下）高一年级期末考试 数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法运算求得，进而可得答案. 【详解】因为，所以z的虚部为. 故选：D. 2. 数据5，8，9，6，7，4，7，9，4，9的第60百分位数为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.5 【答案】B 【解析】 【分析】把给定数据由小到大排列，利用第60百分位数计算即得. 【详解】这组数据从小到大排列为4，4，5，6，7，7，8，9，9，9，又， 所以这组数据的第60百分位数为. 故选：B 3. 某射击运动员每次射击命中十环的概率均为，若该射击运动员连续射击两次，且两次射击相互独立，则至多有一次命中十环的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对立事件法，先求出其对立事件两次都命中十环的概率，再用减去对立事件的概率. 【详解】连续射击两次，每次射击是相互独立的，两次都命中十环的概率为， 则至多有一次命中十环的概率为. 故选：A 4. 已知一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式计算得出结果 【详解】该圆台的体积. 故选：C. 5. 一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，现从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助列举法，找出所有情况及符合要求的情况后计算即可得. 【详解】将两个红球编号为1，2，两个黄球编号为3，4， 一次性随机摸取两个球的情况有，，，，，，共6种， 其中两球不同色的情况有，，，，共4种， 故两球不同色的概率为. 故选：D. 6. 某服装厂为了解本厂员工的收入情况，财务部门统计了所有员工的月均工资（单位：万元）情况，并绘制成频率分布直方图如图所示，则估计该服装厂所有员工月均工资的中位数为（ ） A. 0.62万元 B. 0.65万元 C. 0.7万元 D. 0.75万元 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图估算中位数. 【详解】，， ∴该服装厂所有员工月均工资的中位数在内， 设中位数为万元，则，解得，故估计中位数为万元. 故选：C. 7. 如图所示，测量人员在楼AB的楼顶上的点B处测量塔CD的高度.已知点P，A，C在同一条直线上，在点B处测得塔顶D的仰角为30°，地面上的点P的俯角为45°，在点P处测得塔顶D的仰角为60°，，则塔CD的高度为（ ）参考数据：. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求解出BP长度，然后利用正弦定理求解得出结论. 【详解】由已知，得△APB为等腰直角三角形，在Rt△APB中，， ∴m，由题知， ∴. 在△BPD中，由正弦定理得， ∴m. 在Rt△PCD中，m. 故选：B. 8. 已知所在平面内一点满足（为非零实数），且面积为12，则的面积为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设的中点为，连接，由得，即点到直线的距离等于点到直线的距离的倍，故. 【详解】如图所示，设的中点为，连接， 由条件知， 所以，而为的中点， 所以点到直线距离等于点到直线的距离的倍， 所以， 故. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. 若是实数，则 D. 若，，则在复平面内对应的点的轨迹为一条线段 【答案】AC 【解析】 【分析】借助复数运算法则计算出复数后，由模长计算公式计算可得A；由共轭复数及复数几何意义可得B；由复数运算法则及实数定义可得C；由复数的几何意义可得的轨迹，即可得D. 【详解】； 对于A，，故A正确； 对于B，∵，∴在复平面内对应的点位于第三象限，故B错误； 对于C，，要使是实数， 则，解得，故C正确； 对于D，∵，∴u在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心， 以2为半径圆，故D错误. 故选：AC. 10. 已知向量（），，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在，使得 C. 若，则 D. 当时，在上投影向量的模为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知可得，求解可判断A；由已知得，求解可判断B；由已知可得，求解可判断C；在上投影向量的模为，计算可判断D. 【详解】对于A，∵，∴，∴， 又，∴，故A正确； 对于B，若，则，解得， 在时无解，故B错误； 对于C，∵，∴， 又，∴，则，即，故C正确； 对于D，当时，，∴在上的投影向量的模为，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为棱的中点，是棱上一动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 若四棱锥的体积为，则四边形的面积为 D. 在点从点向点运动的过程中，点到平面的距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，即可求解A，根据线线垂直可得平面，即可由面面垂直的判定求解B，利用三棱锥的体积公式即可求解C，利用面面垂直的性质，将问题转化为点到直线的距离，即可求解D. 【详解】对于A，连接，∵底面为菱形，，∴为等边三角形， 又E为棱的中点，∴，而，∴，故A正确； 对于B，∵，为棱的中点，∴，又， ，平面，∴平面，又平面， ∴平面平面，故B正确； 对于C，易知为等边三角形，且，可得，同理可得， 又，∴，则， 又，，平面，∴底面， ∵四棱锥的体积为，∴， ∴，故C错误； 对于D，由底面知，平面，故平面底面， 由于两平面的交线为，故点到平面的距离即点到直线的距离， 易知当点与点重合时，，此时点到直线的距离取得最大值， 在点从点向点运动的过程中，点到直线的距离小于等于，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知事件A和B互斥，且，，则______. 【答案】0.4## 【解析】 【分析】根据互斥事件及对立事件的概率相关知识进行求解. 【详解】∵事件A和B互斥，∴， 又，∴， ∴. 故答案为：0.4. 13. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，且，则_________________. 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦定理与三角形内角和计算即可得. 【详解】由已知和正弦定理得，， 又，∴，又， ∴，∴，∴. 故答案为：. 14. 如图，在三棱锥中，，且，，两两相互垂直，若以为球心，作一个半径为4的球，所作球面被三棱锥的四个面——面、面、面、面截得的弧分别为，，，，则，，，的长度之和为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用几何特征找到每段弧的半径和圆心角计算即可. 【详解】由勾股定理得，∴， ∴的长为. ∵， ∴， ∴的长度为. ∵， ∴，∴， ∴，的长均为， 故，，，的长度之和为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某社区组织了300人参加读书有奖测试活动，参与者经过一段时间的读书学习之后，参加社区组织的测试.把他们的测试成绩（满分100分）整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，所有成绩共分为，，，，五组. （1）求的值； （2）估计这300人测试成绩的平均数；（每组数据以该组所在区间的中点值为代表） （3）在测试成绩为，，，的四组人中，按人数比例用分层随机抽样的方法抽取57人，求在测试成绩为的这一组中抽取的人数. 【答案】（1）0.02； （2）77； （3）18. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出x即可. （2）利用频率分布直方图求解平均数的方法求出成绩的平均数. （3）求出四组的总人数，再求出抽样比，进而求出内抽取的人数. 【小问1详解】 依题意，，所以. 【小问2详解】 估计这300人测试成绩的平均数为 . 【小问3详解】 测试成绩在内的人数为， 测试成绩在内的人数为， 所以测试成绩为，，，的这四组的总人数为， 抽样比为，所以在测试成绩为的这一组中抽取的人数为. 16. 如图，在正三棱柱中，，E，P分别为棱AC，BC的中点，且. （1）证明：平面； （2）求三棱柱被平面截得的两部分的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）三棱锥的体积为，多面体的体积为 【解析】 【分析】（1）连接交于F，连接EF，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）根据条件可得，然后根据锥体及柱体的体积公式结合割补法将三棱柱的体积减去三棱锥的体积即可得答案. 【小问1详解】 连接交于F，连接EF，如图. ∵三棱柱为正三棱柱， ∴F为的中点， 又E为AC的中点， ∴EF为的中位线， ∴， 又平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 三棱柱被平面截得的两部分为三棱锥与多面体. ∵三棱柱为正三棱柱， ∴四边形为矩形， 又， ∴， ∴，解得. ∴三棱柱的体积为 故三棱锥的体积为， 多面体的体积为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直推得面面垂直； （2）利用定义找到二面角的平面角，在三角形中计算夹角的值； 【小问1详解】 ∵底面ABCD，平面ABCD， ∴. 如图，连接AC． ∵底面ABCD为正方形，∴， ∵M，N分别为棱AB，BC的中点， ∴，∴， 又平面PBD， ∴平面PBD， ∵平面MNE， ∴平面平面PBD． 【小问2详解】 如图，设，，连接FE，则F为线段OB的中点. 易知平面平面， 由（1）知，平面PBD，平面PBD ∴， ∴∠EFB为二面角的平面角， 又底面ABCD，，， ∴， ∴， 即二面角的大小为. 18. 如图，在平面四边形中，，. （1）若，，，求的面积； （2）若，，求的最大值. 【答案】（1）7； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理，再利用三角形面积公式计算即得. （2）设，利用正弦定理用表示，再利用三角恒等变换结合正弦函数的性质求解即得. 【小问1详解】 在△ACD中，，，， 由余弦定理得， 而，则， 所以的面积为. 【小问2详解】 设，则，，， 在中，由正弦定理得，即，则， 在中，由正弦定理得，即，则， 因此 ， 所以当时，取得最大值，最大值为. 【点睛】思路点睛：条件较隐含的解三角形问题，根据题意设出变量，再选择恰当的三角形，借助正余弦定理列出，结合三角函数性质求解. 19. 张三参加某闯关比赛，比赛分为三关，每关都需要闯，且在同一天内完成三关的闯关，不能弃权.比赛规则如下：第一天三关都闯关失败者被淘汰；第一天只有一关闯关成功者获得纪念奖并结束闯关；第一天三关都闯关成功者获得蓝牙耳机一副并结束闯关；第一天只有两关闯关成功者第二天可以重新参与闯关，若该闯关者第二天三关都闯关成功，则获得蓝牙耳机一副，否则获得纪念奖，并结束闯关.已知张三每关闯关成功的概率均为，且前面各关闯关成功与否对后面的闯关没有影响. （1）求张三被淘汰的概率； （2）求张三第一天获得纪念奖的概率； （3）求张三第二天获得蓝牙耳机的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)结合题意，结合独立事件的含义求解即可； （2）结合题意得到相对应的事件，利用全概率公式和独立性求解即可； （3）利用独立性和全概率公式求解即可,.. 【小问1详解】 记张三第一、二、三关闯关成功分别为事件A，B，C，则A，B，C相互独立，且.张三被淘汰是指第一天三关都闯关失败. 记事件“张三被淘汰”， 则. 【小问2详解】 张三第一天获得纪念奖即张三第一天只有一关闯关成功，设为事件N， 则， 【小问3详解】 张三第二天获得蓝牙耳机是指第一天有两关闯关成功且第二天三关都闯关成功. 记事件“张三第二天获得蓝牙耳机”，事件“张三第一天有两关闯关成功”，事件“张三第二天三关都闯关成功”， . 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$