专题2.1 有理数的加法（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题2.1 有理数的加法（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数的加法 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． 2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 【知识点二】有理数加法运算律 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c) 重点强调：交换加数的位置时，不要忘记符号． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用有理数的加法运算法则进行运算 【例1】（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算下列各题 (1)； (2)； 【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24六年级下·上海·期中）若，且，则 ． 【题型2】有理加法运算和简化符号问题 【例2】（2022七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【变式1】（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）把写成省略括号的和的形式是(    ) A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）a、b、c三个数的位置如图所示：则 0， 0(填或)    【题型3】利用有理数加法运算律进行简便运算 【例3】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法计算： (1) (2) 【变式1】（23-24七年级上·山西吕梁·期中）下列变形中正确使用加法交换律的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）加法交换律： ． 例： ； （2）加法结合律： ． 例：[ + ]． 【题型4】有理数加法运算中的实际运用 【例4】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国某次军事演习中，一艘核潜艇的初始位置在海平面下，规定核潜艇上升记为“＋”，下降记为“－”，下面是这艘核潜艇在某段时间内的运动情况：．（单位：） (1)最后这艘核潜艇停留的位置在海平面下多少米？ (2)如果这艘核潜艇每上升或下降，核动力装置所提供的能量相当于汽油燃烧所产生的能量，那么在这艘核潜艇运动的这段时间内，核潜艇动力装置提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？ 【变式1】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）某支付平台主要提供支付及理财服务，通过该平台购物、生活缴费、金融理财等可以获得相应的积分，积分可以兑换礼品或获得优惠权益． 王先生三天内积内的变动情况为：，，，，，，，，，，． 则这三天后王先生的积分增加了（　） A．11分 B．14分 C．20分 D．83分 【变式2】（22-23七年级上·山东青岛·阶段练习）5个城市的国际标准时间(单位：时)在数轴上表示如图所示，如果在纽约当地时间10日有一场篮球比赛，则北京时间是 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 【例2】（2024·吉林长春·中考真题）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　） A． B． C． D． 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【提出问题】三个有理数、、满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则； ②当，，有个一为正数，另外两个为负数时，设，，， 则， 所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知三个有理数，，满足，求； (2)已知，，且，求的值． 【例2】（22-23七年级上·山东济南·期中）食堂要购进筐青萝卜，以每筐千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示，记录如表： 与标准质量的差（千克） 0 2 筐数 1 4 2 3 5 5 (1)筐萝卜中，最轻的一筐比最重的要轻多少？ (2)这筐青萝卜的实际重量与标准重量相比，是多了还是少了？差值是多少？ (3)这批青萝卜每千克售价为元，买进这筐青萝卜的实际总价钱需要多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 有理数的加法（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数的加法 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． 2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 【知识点二】有理数加法运算律 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c) 重点强调：交换加数的位置时，不要忘记符号． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用有理数的加法运算法则进行运算 【例1】（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算下列各题 (1)； (2)； 【答案】(1)130 (2) 【分析】此题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． （1）（2）根据有理数的加法运算法则计算即可； （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加法法则：1．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；3．一个数同零相加，仍得这个数．掌握理数加法法则是解题的关键． 解：A． ，原计算错误，不符合题意； B． ，原计算正确，符合题意； C． ，原计算错误，不符合题意； D． ，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（23-24六年级下·上海·期中）若，且，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值以及有理数加法法则，利用绝对值的代数意义求得a的值，代入计算即可． 解：， ， ， ， 故答案为：． 【题型2】有理加法运算和简化符号问题 【例2】（2022七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)-10 (2)-10 【分析】（1）先去括号，再添括号，将正数和负数分开计算，再作减法即可； （2）将小数部分相同的或能凑整的放在一起计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 【点拨】本题主要考查了有理数的加减混合运算．计算含小数的式子时，可先观察，可将小数部分相同或能凑整的放在一起计算，这样能简化计算过程，避免出错．括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号．添括号时，若括号前是“＋”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“−”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 【变式1】（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）把写成省略括号的和的形式是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数意义及有理数的加法法则处理． 解：， 故选：A 【点拨】本题考查相反数的意义，有理数的加法；理解有理数的加法法则是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）a、b、c三个数的位置如图所示：则 0， 0(填或)    【答案】 【分析】根据数轴上点的位置得到，则，再根据有理数加法计算法则求解即可． 解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：①，②． 【点拨】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加法计算，正确根据题意得到以及a、b、c的符号是解题的关键． 【题型3】利用有理数加法运算律进行简便运算 【例3】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) （1）（2）根据有理数加法交换律和结合律计算即可； （1）解： （2）解： 【点拨】本题考查有理数的加法运算，掌握运算法则是解题的关键，运用交换律和结合律可简化计算． 【变式1】（23-24七年级上·山西吕梁·期中）下列变形中正确使用加法交换律的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据加法运算律逐一判断即可． 解：，利用的加括号法则，故选项A不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，利用的是加法的交换律，故选项C符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）加法交换律： ． 例： ； （2）加法结合律： ． 例：[ + ]． 【答案】 【分析】由有理数的加法交换律即可以得解； 解：（1）； ． 故答案为：． （2）； ． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了有理数的加法的交换律和结合律等知识点，解题时要熟练掌握运算律并准确计算是关键． 【题型4】有理数加法运算中的实际运用 【例4】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国某次军事演习中，一艘核潜艇的初始位置在海平面下，规定核潜艇上升记为“＋”，下降记为“－”，下面是这艘核潜艇在某段时间内的运动情况：．（单位：） (1)最后这艘核潜艇停留的位置在海平面下多少米？ (2)如果这艘核潜艇每上升或下降，核动力装置所提供的能量相当于汽油燃烧所产生的能量，那么在这艘核潜艇运动的这段时间内，核潜艇动力装置提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？ 【答案】(1)615 (2)5325 【分析】本题考查正负数的意义和有理数加法的实际应用．熟练掌握正负数的意义和有理数加法法则，是解题的关键． （1）将所有数据相加，根据最终结果确定核潜艇处在什么位置； （2）将所有数据的绝对值相加，再即可得解． 1）解： ； 答：核潜艇处在海平面下米位置； （2）解： (升)； 答：在这一时段内核动力装置所提供的能量相当于升汽油燃烧所产生的能量． 【变式1】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）某支付平台主要提供支付及理财服务，通过该平台购物、生活缴费、金融理财等可以获得相应的积分，积分可以兑换礼品或获得优惠权益． 王先生三天内积内的变动情况为：，，，，，，，，，，． 则这三天后王先生的积分增加了（　） A．11分 B．14分 C．20分 D．83分 【答案】A 【分析】本题考查有理数加法的实际应用，将所有数据相加，即可得出结果． 解：； 故选A． 【变式2】（22-23七年级上·山东青岛·阶段练习）5个城市的国际标准时间(单位：时)在数轴上表示如图所示，如果在纽约当地时间10日有一场篮球比赛，则北京时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，根据北京和纽约的时差加上纽约时间，即可得出结果． 解：， 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0 【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 解：由题意，填写如下： ，满足题意； 故答案为：0． 【例2】（2024·吉林长春·中考真题）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同”成为解题的关键． 根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答． 解：． 故选D． 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【提出问题】三个有理数、、满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则； ②当，，有个一为正数，另外两个为负数时，设，，， 则， 所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知三个有理数，，满足，求； (2)已知，，且，求的值． 【答案】(1)或； (2)的值为或． 【分析】本题主要考查了绝对值的意义及有理数加减乘除运算，根据题意应用绝对值意义求解是解决本题的关键． （1）仿照题目给出的思路和方法求解即可； （2）根据绝对值的意义和，确定a、b的值，然后再分类讨论求出再计算的值即可． 解：（1）解：由题意得：，，三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． 当，，都是负数，即，，时， 则：； 当，，有一个为负数，另两个为正数时，设，，， 则：． 综上，的值为或． （2）解：，， ，， ， ，或，， 或． 答：的值为或． 【例2】（22-23七年级上·山东济南·期中）食堂要购进筐青萝卜，以每筐千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示，记录如表： 与标准质量的差（千克） 0 2 筐数 1 4 2 3 5 5 (1)筐萝卜中，最轻的一筐比最重的要轻多少？ (2)这筐青萝卜的实际重量与标准重量相比，是多了还是少了？差值是多少？ (3)这批青萝卜每千克售价为元，买进这筐青萝卜的实际总价钱需要多少元？ 【答案】(1)最轻的一筐比最重的要轻千克；(2)这筐青萝卜的实际重量与标准重量相比多了，多了千克；(3)买进这筐青萝卜的实际总价钱为元； 【分析】本题考查正负数及正负意义的应用： （1）根据表格中与标准质量差的最大值最小值之差即可得到答案； （2）利用正负数之和与0比较即可得到答案； （3）先求出总数量，乘以单价即可得到答案； （1）解：由题意可得， （千克）， ∴最轻的一筐比最重的要轻千克； （2）解：由题意可得， （千克）， ∵， ∴这筐青萝卜的实际重量与标准重量相比多了，多了千克； （3）解：由（2）得， 这筐青萝卜的实际重量为： （千克）， ∵这批青萝卜每千克售价为元， ∴买进这筐青萝卜的实际总价钱为：（元）， ∴买进这筐青萝卜的实际总价钱为元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$