预习14函数的应用（一）（五大考点）-2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019）

2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习14函数的应用 (一) 几类常见的函数模型 名字 解析式 条件 一次函数模型 二次函数模型 一般式： 顶点式： 幂函数模型 分段函数模型 对勾函数模型 考点01 用二次函数模型解决实际问题 【方法点拨】在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题． 【例1】生产某机器的总成本（万元）与产量（台）之间的函数关系式是，若每台机器售价为30万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为 台. 【例2】红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①求出与之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？ 【变式1-1】已知某种商品在第天的销售价格为元，销售量为件，则在这15天中，第 天该商品日销售额最多，为 元. 【变式1-2】某厂家制造一件产品的成本为元，如果一件产品的定价为元时，可卖出个；如果定价每提高元售出的个数会减少个，试将利润表示成单价的函数，并求出利润的最大值. 【变式1-3】某商场试销一种进价为3元的袜子，规定试销时的销售单价不低于4元，又不高于8元，试销期间经调查发现：当销售单价为4元时，平均每天能售出50件．销售单价每增加1元，平均每天就少售出10件．设该种袜子的销售单价为x元，每天销售的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)根据以上数据，袜子销售单价定价为多少元时每天销售的利润最高？最高利润是多少？ 考点02 用幂函数模型解决实际问题 【方法点拨】具体步骤：①设出函数关系式；②利用待定系数法求出函数关系式；③根据题意，利用得出的函数关系式解决问题． 【例3】遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的50%，则他复习背诵时间需大约在（    ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【例4】党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式2-1】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其400克装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为，利润率为，则该种饼干900克装的合理售价为 元. 【变式2-3】美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 考点03 用分段函数模型解决实际问题 【方法点拨】建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式． 【例5】某“定制班车”的票价按下列规则制定： ①行程在以内的（含），票价2元； ②行程在以上的，前票价2元，以后每增加票价增加1元（不足的按计算）． 小明某天乘坐该“定制班车”，行程，票价4元，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例6】丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”.该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量x（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元.若这种水果的市场售价为10元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为（单位：元）. (1)求函数的解析式； (2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 【变式3-1】春天，时令水果草莓上市了，某水果店统计了草莓上市以来前两周的销售价格（元/盒）与时间t（天）的关系：一位顾客在这两周里在该水果店购买了若干盒草莓，总共消费212元，其中在后6天买了4盒，则前8天一共买了（   ） A．7盒 B．6盒 C．5盒 D．4盒 【变式3-2】（多选）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f（x）与时间x（天）之间的函数关系f（x）＝则下列说法正确的是（　　） A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低 B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多 C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40% D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20% 【变式3-3】为进一步改善空气质量，增强人民的蓝天幸福感，年月日，国务院公开发布打贏蓝天保卫战三年行动计划，其中京津冀地区被列为重点治理区域．某课外活动小组根据北京市预报的某天时空气质量指数数据绘制成散点图，并选择连续函数来近似刻画空气质量指数随时间变化的规律如图． (1)求，的值； (2)当空气质量指数大于时，有关部门建议市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止某行业施工作业．请你结合该课外活动小组选择的函数模型，回答以下问题： （i）某同学该天：出发上学，是否应该戴防雾霾口罩？请说明理由； （ii）试问该天：之后，该行业可以施工作业的时间最长为多少小时？ 考点04 用对勾函数模型解决实际问题 【例7】某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【例8】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位；）满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和． (1)求的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 【变式4-1】某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（其中为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． (1)求常数的值，并将2023年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (2)该厂家的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少万元？ 【变式4-2】吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时，；当产量大于50万盒时，.若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完. (1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式； (2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？ 【变式4-3】连续两年，世界清洁能源装备大会在德阳召开，德阳已成为世界清洁能源装备之都．已知德阳市某重装企业从2021年起，每年投入百万元（代表年份，，为常数）用于研发清洁能源新产品．2023年世界清洁能源装备大会后，该企业决定进一步加大对清洁能源新产品的研发力度，从2024年起，在原计划投入的基础上，再追加投入百万元． (1)若2024年投入10百万元，求的值； (2)若要保证每年的投入持续增加，求的取值范围． 考点05 图表信息题 【方法点拨】要读懂题目中的图表信息，善于提取里面的信息 【例9】某市家庭用水的使用量x（）和水费（元）满足关系．已知某家庭2023年前四个月的水费如下表： 月份 用水量（） 水费（元） 一月 3.5 4 二月 4 4 三月 15 18 四月 20 25 若五月份该家庭使用了25的水，则五月份的水费为（    ） A．32元 B．33元 C．34元 D．35元 【例10】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2． (1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式； (2)该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？ 【变式5-1】如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式5-2】某果园占地约600亩，拟选用果树A进行种植，在相同种植条件下，果树A每亩最多可种植50棵，种植成本y（万元）与果树数量x（百棵）之间的关系如下表所示. x 1 4 9 16 y 1 4.4 7.8 11.2 (1)根据上面表格中的数据判断与哪一个更适合作为y与x的函数模型； (2)已知该果园的年利润z（万元）与x，y的关系为，利用（1）中适合的模型估计果树数量x为多少时年利润最大？ 【变式5-3】如图1，腰长为的等腰直角与矩形DEFG夹在两条平行直线之间，其中B点与D点重合．若矩形DEFG位置固定不动，而以的速度向右平行移动，移动过程中两图形重叠部分的面积记为，函数的部分图象如图2所示，其中的函数图像被遮住，由虚线代替．    (1)求函数的解析式； (2)求重叠部分的面积不小于的持续时间． 一、单选题 1．把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是（　　） A． B． C． D． 2．奋进新征程，建功新时代．某单位为提升服务质量，花费万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（    ） A． B． C． D． 3．某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司年总收入为亿元，其中保险业务收入为亿元，理财业务收入为亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（    ）      A．   B．   C．   D．   5．某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y（单位：元）与打车里程x（单位：km）的函数关系大致如图所示，则（ ） A．当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱 B．当打车里程为10km时，乘客选择甲、乙方案均可 C．打车里程在3km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多 D．甲方案3km内（含3km）付费5元，打车里程大于3km时每增加1km费用增加0.7元 7．小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系，则下列说法正确的是（　　） A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低 B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多 C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于 D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足 三、填空题 8．某商店销售两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为 . 9．李华自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，李华对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元． ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 四、解答题 10．某商场销售型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售单价（元） 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量（件） 400 360 320 280 240 200 160 请根据以上数据分析，此商品如何定价（单位：元/件），该商品的日均销售利润最大？并求日均销售利润的最大值. 11．荆州自古以来就是一个以鱼产业闻名的地方，而荆州鱼糕更是该地区的八大名肴之一.相传荆州鱼糕起源于舜帝时代，由舜帝妃子女英创制，历经春秋战国等时期的演变，荆州鱼糕逐渐成为楚宫廷的头道菜肴.据说，乾隆皇帝曾品尝过荆州花猜皮糕后咏叹道：“食鱼不见鱼，可人百合糕.”可见荆州鱼糕的美味非常引人注目.当地某鱼糕生产企业由市场调研分析可知，当前“鱼糕”的产量供不应求，某企业每售出 x 千件“鱼糕”的销售额为千元 且生产的成本总投入为千元.记该企业每生产销售千件“鱼糕”的利润为千元. (1)求函数的解析式; (2)求的最大值. 12．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林，假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年． （1）求森林面积的年增长率； （2）为使森林面积达到亩至少需要植树造林多少年？（结果精确到1年） （参考数据：，） 13．某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出． (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式． (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润． 14．要建造一段5000m的高速公路，工程队需要把600人分成两组，一组完成一段2000m的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的3000m的硬土地带公路的建造任务．据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是50人天和30人天．问：如何安排两组的人数，才能使全队筑路工期最短？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习14函数的应用 (一) 几类常见的函数模型 名字 解析式 条件 一次函数模型 二次函数模型 一般式： 顶点式： 幂函数模型 分段函数模型 对勾函数模型 考点01 用二次函数模型解决实际问题 【方法点拨】在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题． 【例1】生产某机器的总成本（万元）与产量（台）之间的函数关系式是，若每台机器售价为30万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为 台. 【答案】50 【详解】设生产台，获得利润（万元）， 则， 所以当时，获得的利润最大. 故答案为：50 【例2】红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①求出与之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？ 【答案】(1)甲种灯笼26元，乙种灯笼35元 (2)①；②乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大 【详解】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元， 所以 两边同乘得：， 解得：， 经检验：为该分式方程的解，且符合题意． 所以甲种灯笼元，乙种灯笼元； （2）①由题意， 故与的函数解析式为 ②由①知，函数开口向下 函数在对称轴处有最大值． 因为销售部门规定其销售单价不高于每对元 所以， 所以乙种灯笼的销售单价为元时，一天获得利润最大． 【变式1-1】已知某种商品在第天的销售价格为元，销售量为件，则在这15天中，第 天该商品日销售额最多，为 元. 【答案】 【详解】设第天的日销售额为元，则， ， ∴当时，取得最大值，最大值为. 故答案为：13，833 【变式1-2】某厂家制造一件产品的成本为元，如果一件产品的定价为元时，可卖出个；如果定价每提高元售出的个数会减少个，试将利润表示成单价的函数，并求出利润的最大值. 【答案】，元 【详解】由已知可得， 所以， 当时，， 所以利润的最大值为元. 【变式1-3】某商场试销一种进价为3元的袜子，规定试销时的销售单价不低于4元，又不高于8元，试销期间经调查发现：当销售单价为4元时，平均每天能售出50件．销售单价每增加1元，平均每天就少售出10件．设该种袜子的销售单价为x元，每天销售的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)根据以上数据，袜子销售单价定价为多少元时每天销售的利润最高？最高利润是多少？ 【答案】(1) (2)当袜子销售单价定价为6元时每天销售的利润最高，且最高利润是90元． 【详解】（1）由题意可知，则， 即 （2）， 而， 当时，取到最大值为90， 当袜子销售单价定价为6元时每天销售的利润最高，且最高利润是90元． 考点02 用幂函数模型解决实际问题 【方法点拨】具体步骤：①设出函数关系式；②利用待定系数法求出函数关系式；③根据题意，利用得出的函数关系式解决问题． 【例3】遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的50%，则他复习背诵时间需大约在（    ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【详解】令，，， ∵， ∴他在考试前半小时复习即可， ∴他复习背诵时间需大约在14：30， 故选：A. 【例4】党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 【详解】（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元， 则， 令，则，所以， 当时，，此时. 故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 【变式2-1】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设初始状态为，则，， 又，，即， ，，，，． 故选：D． 【变式2-2】众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其400克装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为，利润率为，则该种饼干900克装的合理售价为 元. 【答案】9.6 【详解】设饼干的质量为克，则其售价（单位：元）与之间的函数解析式为. 由题意得， 即①， ， 即②. 由①②解得，. ∴. 当时，. 故这种饼干900克装的售价为9.6元. 故答案为：9.6 【变式2-3】美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 【答案】(1)生产芯片关系式为，生产芯片关系式为 (2)答案见解析 (3)亿时，公司所获净利润最大净利润为9亿元 【详解】（1）设投入资金亿元，则生产A芯片的毛收入. 将代入， 得，解得， 生产B芯片的毛收入. （2）由，得；由，得； 由，得. 当投入资金大于16亿元时，生产芯片的毛收入更大； 当投入资金等于16亿元时，生产芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16亿元时，生产B芯片的毛收入更大. （3）由题意知投入亿元生产芯片，则投入亿元资金生产A芯片， 公司所获净利润， 令，则， ， 故当，即亿时，公司所获净利润最大，最大净利润为9亿元. 考点03 用分段函数模型解决实际问题 【方法点拨】建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式． 【例5】某“定制班车”的票价按下列规则制定： ①行程在以内的（含），票价2元； ②行程在以上的，前票价2元，以后每增加票价增加1元（不足的按计算）． 小明某天乘坐该“定制班车”，行程，票价4元，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为小明的票价为元，则小明的行程最大为， 又当小明的行程为时，票价只需元， 则小明的行程需大于且不超过，所以. 故选：B 【例6】丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”.该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量x（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元.若这种水果的市场售价为10元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为（单位：元）. (1)求函数的解析式； (2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)施肥量为时，单株年利润最大为元 【详解】（1）当时，， 当时，， 故； （2）当时，开口向上，其对称轴为， 所以其最大值为， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，施肥量为时，单株年利润最大为元. 【变式3-1】春天，时令水果草莓上市了，某水果店统计了草莓上市以来前两周的销售价格（元/盒）与时间t（天）的关系：一位顾客在这两周里在该水果店购买了若干盒草莓，总共消费212元，其中在后6天买了4盒，则前8天一共买了（   ） A．7盒 B．6盒 C．5盒 D．4盒 【答案】B 【详解】设前3天共买了m盒，第4天到第8天共买了n盒，则，整理得， 因为m，n均为非负整数，所以是11的整数倍，当时，，得． 故选：B． 【变式3-2】（多选）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f（x）与时间x（天）之间的函数关系f（x）＝则下列说法正确的是（　　） A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低 B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多 C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40% D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20% 【答案】ABC 【详解】 解析：由函数解析式可知f（x）随着x的增加而减少，故A正确；由图象可得B正确；当1<x≤30时，f（x）＝＋x－，则f（9）＝＋×9－＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C正确；f（26）＝＋×26－>，故D错误．故选ABC. 【变式3-3】为进一步改善空气质量，增强人民的蓝天幸福感，年月日，国务院公开发布打贏蓝天保卫战三年行动计划，其中京津冀地区被列为重点治理区域．某课外活动小组根据北京市预报的某天时空气质量指数数据绘制成散点图，并选择连续函数来近似刻画空气质量指数随时间变化的规律如图． (1)求，的值； (2)当空气质量指数大于时，有关部门建议市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止某行业施工作业．请你结合该课外活动小组选择的函数模型，回答以下问题： （i）某同学该天：出发上学，是否应该戴防雾霾口罩？请说明理由； （ii）试问该天：之后，该行业可以施工作业的时间最长为多少小时？ 【答案】(1)， (2)（i）应该戴防雾霾口罩，理由见解析（ii）12小时 【详解】（1）由图象可知，当时，，，， 又函数为连续函数，，； （2）由1可知，， （i）当时，，所以该同学应该戴防雾霾口罩， (ⅱ) 当时，， 令得，，解得：， 所以该天：之后，该行业可以施工作业的时间最长为个小时． 考点04 用对勾函数模型解决实际问题 【例7】某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设矩形花园的长为， 因为矩形花园的总面积为，所以，可得， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，可得， 即关于的关系式为. （2）解：由（1）知，， 则 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【例8】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位；）满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和． (1)求的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 【答案】(1) (2)当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为万元 【详解】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为， ∴. （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值， ∴当隔热层修建6cm厚时，总费用最小，最小值为112万元. 【变式4-1】某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（其中为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． (1)求常数的值，并将2023年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (2)该厂家的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少万元？ 【答案】(1)，； (2)投入3万元，最大利润为21万元. 【详解】（1）依题意，当时，，则，解得，即， 又每件产品的销售价格为元， 因此， 所以，. （2）由（1）知，， 由，得，当且仅当，即时取等号， 因此当时，， 所以该厂家2023年的促销费用投入为3万元时获得利润最大，且最大值为21万元. 【变式4-2】吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时，；当产量大于50万盒时，.若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完. (1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式； (2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？ 【答案】(1) (2)70万盒，利润最大. 【详解】（1）当产量小于或等于50万盒时，， 当产量大于50万盒时，， 故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为. （2）当时，， 当且仅当，即时等号成立. 故当时，取得最大值1000. 当时，， 故当时，取得最大值1200. 因为，所以当产量为70万盒时，该企业在生产中所获利润最大. 【变式4-3】连续两年，世界清洁能源装备大会在德阳召开，德阳已成为世界清洁能源装备之都．已知德阳市某重装企业从2021年起，每年投入百万元（代表年份，，为常数）用于研发清洁能源新产品．2023年世界清洁能源装备大会后，该企业决定进一步加大对清洁能源新产品的研发力度，从2024年起，在原计划投入的基础上，再追加投入百万元． (1)若2024年投入10百万元，求的值； (2)若要保证每年的投入持续增加，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）由题意， 即，，解得； （2）设第年投入百万元，则 由题意，必须当时单调递增， ①当时，显然单调递增， ②， ③接下来，只需当时单调递增， ，当且仅当时取等， ， 因为， 解得， 综上，的取值范围为． 考点05 图表信息题 【方法点拨】要读懂题目中的图表信息，善于提取里面的信息 【例9】某市家庭用水的使用量x（）和水费（元）满足关系．已知某家庭2023年前四个月的水费如下表： 月份 用水量（） 水费（元） 一月 3.5 4 二月 4 4 三月 15 18 四月 20 25 若五月份该家庭使用了25的水，则五月份的水费为（    ） A．32元 B．33元 C．34元 D．35元 【答案】A 【详解】根据一月份用水量，水费4元，根据二月份用水量，水费4元， 可知， ，解得， 所以， 所以令. 故选：A. 【例10】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2． (1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式； (2)该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？ 【答案】(1)， (2)当投资稳健型产品的资金为6万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为万元 【详解】（1）由题意可设，， 由图知，函数和的图象分别过点和， 代入解析式可得，， 所以， . （2）设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元， 年收益为万元， 则，， 有， 则当，即万元时，的最大值为， 所以当投资稳健型产品的资金为6万元， 风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为万元． 【变式5-1】如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】于D，， ,, 且 故当时，重合部分为三角形， 三角形的高， 面积，函数图像为开口向上的二次函数，故排除A选项； 当时，重合部分为直角梯形， 上底长为， 下底长为，高为4， 故， 函数图像为一条直线，故排除D选项； 当时，重合部分可以看作两个直角梯形， 左边直角梯形的上底长为， 高为 两个梯形下底长均为， 右边直角梯形上底长为， 高为， 故， 图像为开口下的二次函数，且对称轴为，故排除B选项； 故选：C 【变式5-2】某果园占地约600亩，拟选用果树A进行种植，在相同种植条件下，果树A每亩最多可种植50棵，种植成本y（万元）与果树数量x（百棵）之间的关系如下表所示. x 1 4 9 16 y 1 4.4 7.8 11.2 (1)根据上面表格中的数据判断与哪一个更适合作为y与x的函数模型； (2)已知该果园的年利润z（万元）与x，y的关系为，利用（1）中适合的模型估计果树数量x为多少时年利润最大？ 【答案】(1)更适合作为y与x的函数模型 (2)289百棵 【详解】（1）①若选择作为y与x的函数模型， 将的坐标分别代入，得，解得， 所以. 此时，当时，与表格中的7.8相差较大， 当时，与表格中的11.2相差较大， 所以不适合作为y与x的函数模型. ②若选择作为y与x的函数模型， 将的坐标分别代入，得，解得， 所以.此时，当时，， 当时，，y的值刚好与表格中的7.8和11.2相符合， 所以更适合作为y与x的函数模型. （2）由题可知，该果园最多可种植30000棵该品种果树，所以x的取值范围为， 当时，. 易知，当，即时，之取最大值53（万元）， 故果树数量为289百棵时，年利润最大. 【变式5-3】如图1，腰长为的等腰直角与矩形DEFG夹在两条平行直线之间，其中B点与D点重合．若矩形DEFG位置固定不动，而以的速度向右平行移动，移动过程中两图形重叠部分的面积记为，函数的部分图象如图2所示，其中的函数图像被遮住，由虚线代替．    (1)求函数的解析式； (2)求重叠部分的面积不小于的持续时间． 【答案】(1) (2)3秒 【详解】（1）解：依题意得，DE的长应为B与D重合至B与E重合时运动路程， 故． 当，； 当，； 当，； 当，， 所以. （2）解：若，结合函数的解析式，只需考虑， 当时，由，解得； 当时，由成立； 当时，由，解得， 所以重叠部分的面积不小于的时间区间为，持续时间为3秒. 一、单选题 1．把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设铁丝的一段长度为，（其中），则另一段铁丝长为， 两个正方形的面积之和为， 根据题意，可得， 当且仅当时，取得最小值，最小值为. 故选：D. 2．奋进新征程，建功新时代．某单位为提升服务质量，花费万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设该设备年平均费用为万元，则， 当且仅当时，即当时，该设备年平均费用最少. 故选：C. 3．某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司年总收入为亿元，其中保险业务收入为亿元，理财业务收入为亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为该公司年总收入为亿元，预计每年总收入比前一年增加 亿元，所以年的总收入为亿元， 因为要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍， 所以年通过理财业务的收入为亿元，所以，解得.故的值至少为， 故选：A. 4．如图，是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（    ）      A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】因为是边长为2的等边三角形， 所以当时，设直线与交点为， 当点在中点左侧时，，， 此时函数为开口向上的二次函数；此时可排除BC， 当点在中点右侧时，， 此时左侧部分面积为：， 此时函数为开口向下d额二次函数，此时可排除A， 故选：D 故选：D．    5．某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万元， 则年后的设备维护费用为， 所以年的平均费用为（万元）， 当且仅当时，等号成立， 因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为. 故选：B. 二、多选题 6．某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y（单位：元）与打车里程x（单位：km）的函数关系大致如图所示，则（ ） A．当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱 B．当打车里程为10km时，乘客选择甲、乙方案均可 C．打车里程在3km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多 D．甲方案3km内（含3km）付费5元，打车里程大于3km时每增加1km费用增加0.7元 【答案】ABC 【详解】对于A中，当时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值， 故当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱，所以A正确； 对于B中，当打车里程为10km时，甲、乙方案的费用均为12元， 故乘客选择甲、乙方案均可，所以B正确； 对于C中，打车3km以上时，甲方案每千米增加的费用为（元）， 乙方案每千米增加的费用为（元）， 故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，所以C正确； 对于D中，由图可知，甲方案3km内（含3km）付费5元，3km以上时，甲方案每千米增加的费用为1（元），所以D错误. 故选：ABC. 7．小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系，则下列说法正确的是（　　） A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低 B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多 C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于 D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足 【答案】ABC 【详解】 由函数及在定义域内都为减函数， 且，故随着的增加而减少，故A正确； 结合图象及指数函数的性质可得第一天小菲的单词记忆保持量下降最多，故B正确； 当时，，则， 即9天后，小菲的单词记忆保持量低于，故C正确； ，故D错误． 故选：ABC. 三、填空题 8．某商店销售两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为 . 【答案】170 【详解】设该商店销售商品袋，则商品袋， 所以可获得的利润， ，当或10时，利润最大，最大利润为170元. 故答案为：170. 9．李华自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，李华对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元． ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 【答案】 90 10 【详解】（1）顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，由草莓40元/盒，西瓜60元/盒， 得总价为元. 因为一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付10元，所以支付元（元）； （2）设订单总价为， 若，没有优惠，符合题意； 若，则，，而， 所以，最大值为． 故答案为：（1）90；（2）10. 四、解答题 10．某商场销售型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售单价（元） 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量（件） 400 360 320 280 240 200 160 请根据以上数据分析，此商品如何定价（单位：元/件），该商品的日均销售利润最大？并求日均销售利润的最大值. 【答案】当定价为8.5元时，该商品的日均销售利润最大，且最大值为1210元. 【详解】由题意表格中的数据可知，当售价为4元时，日销售量为400件， 售价每增加1元，日销售量就减少40件. 设定价为元，日均销售利润为元， 则， 故当时，有最大值. 所以定价为8.5元时，日均销售利润最大，且最大值为1210元. 11．荆州自古以来就是一个以鱼产业闻名的地方，而荆州鱼糕更是该地区的八大名肴之一.相传荆州鱼糕起源于舜帝时代，由舜帝妃子女英创制，历经春秋战国等时期的演变，荆州鱼糕逐渐成为楚宫廷的头道菜肴.据说，乾隆皇帝曾品尝过荆州花猜皮糕后咏叹道：“食鱼不见鱼，可人百合糕.”可见荆州鱼糕的美味非常引人注目.当地某鱼糕生产企业由市场调研分析可知，当前“鱼糕”的产量供不应求，某企业每售出 x 千件“鱼糕”的销售额为千元 且生产的成本总投入为千元.记该企业每生产销售千件“鱼糕”的利润为千元. (1)求函数的解析式; (2)求的最大值. 【答案】(1) (2)112千元 【详解】（1）依题意，得， 又因为 所以 即 （2）当时，，其开口向上，对称轴为， 则函数在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最大值； 当时，， 当且仅当，即时取等号． 又因为， 所以当时，取得最大值112千元． 12．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林，假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年． （1）求森林面积的年增长率； （2）为使森林面积达到亩至少需要植树造林多少年？（结果精确到1年） （参考数据：，） 【答案】（1）；（2）至少需要植树造林年． 【详解】（1）设年增长率为， 则，，，. （2）设至少需要植树年， 则，， 即，，， 故至少需要植树造林年. 13．某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出． (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式． (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润． 【答案】(1) (2)产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 故； （2）当时，， 当时，，对称轴， ， 当时，由基本不等式知，当且仅当， 即时等号成立，故， 综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元. 14．要建造一段5000m的高速公路，工程队需要把600人分成两组，一组完成一段2000m的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的3000m的硬土地带公路的建造任务．据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是50人天和30人天．问：如何安排两组的人数，才能使全队筑路工期最短？ 【答案】安排316人到软土地带工作，284人到硬土地带工作 【详解】解：设在软土地带工作的人数为x人，则在硬土地带工作的人数为人， 根据题意，在软土地带筑路时间为， 在硬土地带筑路时间为，其中， 因为函数在区间上时减函数，函数在区间上是增函数， 所以全队筑路工期为， 由，即，可得， 从而且． 因为函数在区间上递减，在区间上递增， 所以是函数的最小值点．但不是整数， 于是计算和，其中较小者即为所求， 经计算，，， 所以，当安排316人到软土地带工作，284人到硬土地带工作时，可以使全队筑路工期最短． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$