第10讲 实际问题与一元一次方程（2大知识点+14大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新七年级数学衔接讲义（人教版2024）

第10讲 实际问题与一元一次方程 （2大知识点+14大典例+变式训练） 题型一 行程问题(一元一次方程的应用) 题型二 配套问题(一元一次方程的应用) 题型三 工程问题(一元一次方程的应用) 题型四 销售盈亏(一元一次方程的应用) 题型五 比赛积分(一元一次方程的应用) 题型六 方案选择(一元一次方程的应用) 题型七 数字问题(一元一次方程的应用) 题型八 几何问题(一元一次方程的应用) 题型九 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 题型十 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 题型十一 比例分配(一元一次方程的应用) 题型十二 日历问题(一元一次方程的应用) 题型十三 其他问题(一元一次方程的应用) 题型十四 古代问题(一元一次方程的应用) 知识点01 基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 知识点02 应用类型 类型一：鸡兔同笼问题 类型二：牛羊值金问题 类型三：几何问题 类型四：球赛积分问题 类型五：盈不足问题 类型六：经济问题 类型七：里程碑上的数 类型八：年龄问题 【典型例题一 行程问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·全国·课后作业）根据问题，设未知数，列出方程： 环形跑道一周长，沿跑道跑多少周，可以跑？ 2．（22-23七年级上·浙江杭州·阶段练习）甲､乙两人分别从A､B两地同时出发，甲骑自行车，乙开汽车，沿同一条路线相向匀速行驶．出发后经两人相遇．已知在相遇时乙比甲多行了，相遇后经乙到达A地．问甲､乙行驶的速度分别是多少? 3．（22-23七年级上·山东菏泽·期末）老师买了13时30分开车的火车票，12时40分从家门口乘公交车赶往火车站．公交车的平均速度是30千米/时，在行驶路程后改乘出租车，车速提高了1倍，结果提前10分钟到达车站．张老师家到火车站有多远？ 4．（22-23七年级上·河北保定·期末）两地相距米，小明米/秒的速度从地向地出发，小芳以米/秒的速度从地向地出发，若两人同时出发，则经过多长时间两人相距米? 5．（22-23七年级上·吉林白山·期末）某市客运公司规定：起步价为5元（不超过3km收5元），超过3km每千米要加收一定的费用。王先生乘坐出租车，下车时支付总价29元，行驶路程为18km。设行驶超过3km时，每千米收x元． （1）王先生超过3km的乘车路程为 km， （2）王先生超过3km的乘车费用为 元， （3）请问行驶超过3km时，每千米收多少元？（列方程求解） 【典型例题二 配套问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）某车间22名工人参加生产一种螺丝和螺母，每人每天平均生产螺丝120个或螺母200个，一个螺丝要配两个螺母，应安排生产螺丝和螺母的工人各多少名？ 2．（23-24七年级上·河南安阳·期末）在美术课上，老师组织七年级一班的学生做圆柱形笔筒．七年级一班共有学生44人，每名学生一节课能做筒身25个或筒底60个．若每个筒身需要匹配2个筒底，为了使本节课做的筒身和筒底刚好配套，应该分配多少名学生做筒身，多少名学生做筒底？ 3．（23-24七年级上·广东汕尾·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生44人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个．要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 4．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）某校七（1）班共有学生52人，其中女生上比男生多4人，该班在社会实践课上准备用硬纸板制作茶盒子的盒身和盒底，规定：每个学生在一定时间范围内剪盒身40个或剪盒底50个． (1)该班男生、女生各有多少人． (2)该班原计划男生负责剪盒底，女生负责剪盒身，若一个盒身配2个盒底，则这节课做出的盒身和盒底配套吗？如果不配套，那么女生需要支援男生几人，才能使本节社会实践课制作的盒身和盒底刚好配套？ 5．（23-24七年级上·山东日照·期末）2023年8月8日，是全国第15个全民健身日，近年来，日照始终秉持“以人民为中心”的发展思想，不断扩大城市体育服务供给量，打造“体育生活圈”，某工厂现需生产一批太空漫步器（如图），每套设备各由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产支架60个或脚踏板96套，应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板配套？每天生产多少套太空漫步器？ 【典型例题三 工程问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）一项工程，甲、乙合作6小时可以完成，同时开工，中途甲停工了小时，因此，经过小时才完工．如果这项工程由甲单独做需要多少小时？ 2．（23-24七年级上·云南昆明·期末）挖一条水渠，甲队单独做需20天完成，乙队单独做需15天完成．现在两队合作若干天后，乙队另有任务离开，甲队接着又单独挖6天完成，请问挖这条水渠一共用了多少天？ 3．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）甲、乙两队共同修一条长400米的公路，甲队从东往西修4天，乙队从西往东修5天，正好修完，甲队比乙队每天多修10米．甲、乙两队每天各修多少米？ 4．（23-24七年级上·山东聊城·期末）复印一批文件，如果A，B两台复印机单独完成，则分别需用时40分，30分．现两台复印机同时工作，在15分钟时，B复印机出现故障，剩下的工作由A机单独完成，还需多少时间？ 5．（23-24七年级上·四川南充·期末）某公司要生产一批新产品，需要精加工后，才能投放市场． 现在甲、乙两个加工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工这批产品多用20天，甲工厂每天可加工12件产品，乙工厂每天可加工18件产品． (1)求这个公司要加工新产品的件数． (2)在加工过程中，公司需支付甲工厂每天加工费80元，乙工厂每天加工费120元，公司还需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天15元的午餐补助费． 公司制定产品加工方案如下：可由一个工厂单独加工完成，也可由两个工厂合作同时完成，当两个工厂合作时，这名工程师轮流去这两个工厂，请你通过计算帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种既省钱，又省时间的加工方案． 【典型例题四 销售盈亏(一元一次方程的应用)】 1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）学校为促进“篮球体育运动社团”的开展，准备添置一批篮球，原计划订购80个，每个售价150元，商店表示：如果多购可以优惠，最后校方买了100个，每个只售140元，但商店所获利润不变，求每个篮球的成本价． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）某商场为减少库存积压，以每件120元的价格出售两件夹克上衣，其中一件盈利，另一件亏损，在这次交易中商场是盈利还是亏损？请求出盈利或者亏损的钱数． 3．（23-24六年级上·上海普陀·期末）一件商品标价260元，双十一期间，商家为了吸引顾客购买，决定把这件商品打八折后再出售． (1)这件商品打折后的价格是多少元？ (2)如果打折后，商家仍能盈利25%，求这件商品的成本是多少元？ 4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）春节前夕，某商家预测某种水果能够畅销，就购进了第一批200斤这种水果，上市后销售非常好，商家又购进第二批这种水果，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每斤进价多了5元，已知第二批的进货总钱数比第一次多8000元． (1)该商家购进第一批这种水果时每斤多少元？ (2)由于储存不当，第二批购进的水果中有10%腐坏，不能售卖．该商家将两批水果按同一价格全部销售完毕后获利8000元，求每斤这种水果的售价是多少元？ 5．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在元旦期间，我市某商场从厂家购进了甲．乙两种商品．若购进甲种商品5件，乙种商品4件，共需要800元：已知甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少20元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场从厂家购进了甲．乙两种商品共40件，所用资金恰好为3440元．在销售时，甲种商品的售价为每件100元，乙种商品的售价为每件125元．求这40件的商品全部售出后可获利多少元？（获利=售价-进价） 【典型例题五 比赛积分(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·新疆吐鲁番·期末）一张试卷有25道选择题，做对一题得4分，做错一题扣1分，某同学做完了25道题，共得了70分，那么他做对的题数是多少？ 2．（23-24七年级上·山东临沂·期末）某学校七年级共有8个班进行篮球比赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），每一场篮球比赛的积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，某班共得15分，并且没有负场，那么此班级共进行了多少场比赛？胜了多少场？ 3．（23-24七年级上·山西太原·期末）阳光体育季，赛场展风采．七年级组织迎新拔河比赛，每班代表队都需比赛10场，如图是此次拔河比赛积分榜的部分信息，请解决下列问题： (1)由积分榜可知，胜一场得__________分，负一场得__________分； (2)已知积分榜中4班的积分是24分，求4班胜了几场比赛． 4．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 0 B 1 C 2 (1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题_________分，答错1道题得_________分； (2)参赛者D得分， 他答对了几道题？ (3)参赛者E说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 5．（23-24七年级上·福建福州·期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道题选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 根据以上信息，请你算出： (1)填空：答对一题得______分，答错一题扣______分； (2)参赛者F得76分，他答对了几题？ (3)参赛者G说他得了36分，你认为可能吗？试说明理由． 【典型例题六 方案选择(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）某中学七（2）班的同学举行“重走长征路”的野外考察活动，需要租用一辆大客车一天，现有甲、乙两辆客车的租用方案：甲车每天租金180元，另按实际路程每千米加收2元；乙车每天租金140元，另按实际路程每千米加收2.5元．当实际路程为多少千米时，两种方案的费用一样？ 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）某公司为庆祝2024年元旦特举办跨年联欢演出，现需购买一些扎绳捆绑气球布置会场，甲商店每根收费0.1元；乙商店购买同样的扎绳，一次购买不超过20根时，每根收费0.16元；一次购买超过20根时，超过部分每根收费0.08元．设在同一家商店一次购买的根数为（为正整数）． (1)当超过20根时，到甲商店购买的费用为 元；到乙商店购买的费用为 元（用含的式子表示）． (2)当超过20根时，购买多少根时，两家商店所收费用相同． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）电信部门推出两种电话计费方式如表： A B 月租费元月 通话费元分钟 当通话时间是多少分钟时两种方式收费一样多？ 4．（23-24七年级上·山东济宁·期末）第31届世界大学生夏季运动会于 2023 年 7 月 28 日在成都举行．为了吸引顾客，两家经销商都销售带有“蓉宝”吉祥物标志的纪念品，他们以相同价格出售，各自推出了不同的优惠方案：甲经销商规定累计购买纪念品超出 200元后，超出部分按原价八折优惠；乙经销商规定累计购买纪念品超出100元后，超出部分按原价八五折优惠．若顾客累计购买纪念品元． (1)当为何值时，顾客在两家经销商购纪念品所付的费用一样? (2)有顾客准备购买 600元的纪念品，你认为应该去哪家经销商? 请说明理由． 5．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用客车若干辆．若租用载客量45人的客车，有15人没有座位；若租用载客量60人的客车，则可少租一辆车，且恰好坐满． (1)求原计划租用多少辆客车？ (2)已知载客量45人的客车租金为每辆1000元，载客量60人的客车租金为每辆1300元，若只租用同一类型（载客量相同）的车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？ 【典型例题七 数字问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）定义一种新的运算：，例如：，如果，求的值． 2．（22-23七年级下·湖南永州·阶段练习）已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数． 3．（2024八年级·全国·竞赛）张老师家的电话号码是八位数，这个数的前四位数字相同，后面五位数字是连续的自然数，这八个数字之和恰好等于号码的最后二位数．请你根据上述条件写出张老师家的电话号码． 4．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）阅读材料： 把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，设，由，可知，，所以．解方程，得，于是 解决问题： (1)请把无限循环小数化为分数； (2)我们把纯循环小数（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作，循环节的位数记作（例如对而言，，）．请你直接用含，的式子表示纯循环小数______． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的3倍小3，将十位和个位的数字对调，得到的新两位数比原两位数小27，则原来的两位数是多少？（只列方程） 红红：设原两位数的个位数字是x，则十位数字是， 列出方程为． 请问红红列出的方程对吗？如果不对，请说明理由并列出正确的方程． 【典型例题八 几何问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图是小颖用44根木棒拼成的一个横放的“目”字图形，已知，每根木棒的长度为，求这个图形的面积． 2．（2024·陕西西安·一模）如图，小陆将一张正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，求原正方形的面积． 3．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）将一个半径为的圆分成3个扇形，其圆心角的比，求： ①各个扇形的圆心角的度数． ②各个扇形的面积． 4．（22-23七年级上·宁夏石嘴山·期末）根据下列条件列方程，并求出方程的解： (1)一个数的2倍与3的和等于这个数与7的差. (2)已知一个角的余角比这个角的补角的小，求这个角的余角和补角的度数. 5．（23-24七年级上·山东济南·期末）李师傅正在准备用篱笆修建一个长方形鸡舍栅栏，栅栏一面靠墙（墙面长度不限），三面用篱笆，篱笆总长60米，篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽多6米，请你用所学的知识解决以下问题．（篱笆的占地面积忽略不计） (1)如图，如果长方形鸡舍的长与墙为对面，长方形鸡舍的面积是多少？ (2)如果要在墙的对面留一个3米宽的门（门不使用篱笆），那么长方形鸡舍的面积又是多少？ 【典型例题九 和差倍分问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23六年级上·黑龙江大庆·开学考试）一瓶饮料，第一次喝了毫升，第二次喝了余下的，这时瓶里还剩毫升．原来瓶里有多少毫升饮料？（用方程解） 2．（23-24七年级上·湖北武汉·开学考试）湖北丹江口水库的蓄水量达290亿立方米，比北京密云水库蓄水量的26倍还多4亿立方米，求北京密云水库蓄水量有多少亿立方米？ 3．（23-24七年级上·山东德州·开学考试）六年级一班阅读角有两个书架，原来第一个书架与第二个书架图书本数的比是．现在第一个书架借走20本书，这时第一个书架的图书本数是第二个书架的．第二个书架有多少本图书？ 4．（22-23七年级上·江西抚州·开学考试）某同学在相邻的A、B两家超市看到他喜欢的MP5和书包单价都分别相同，两者价格之和是420元，且MP5比书包单价的4倍少40元．MP5和书包单价各多少元？A超市所有商品七五折销售，B超市每购满100元返购物券30元（不足100元不返券）．如果这位同学两样东西都买，他在哪一家超市购买便宜？ 5．（22-23七年级上·山西太原·阶段练习）众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多首，总字数却反而少了个字．问两种诗各多少首？ 【典型例题十 电费和水费问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·广东汕头·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如图． (1)某户居民1月份用水，试求1月份的水费为多少元？ (2)若某户居民5月份共交水费元，则该户居民5月份实际用水多少立方米？ 2．（22-23七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司按如下方式对每户月用水量进行计算：当用水量不超过 10 吨时，每吨的收费标准相同，当用水量超过 10 吨时，超出10吨的部分每吨的收费标准也相同，下表是小明家1－4月份用水量和交费情况： 月份 1 2 3 4 用水量（吨） 8 10 12 15 费用（元） 16 20 26 35 请根据表格中提供的信息，回答以下问题： (1)若小明家5月份用水量为 25 吨，则应缴水费多少元？ (2)若小明家6月份交纳水费 35 元，则小明家 6 月份用水多少吨？ 3．（22-23七年级上·安徽六安·开学考试）为了节约用电，供电公司鼓励用户错峰用电，给用电户安装智能电表，用户在白天(6时至22时)使用电器时，每度电价为元，夜晚用电每度电价为白天电价的，张大伯家五月份用电交费提示：用电共计180度，计交电费74元．请问张大伯家五月份夜晚用电多少度？ 4．（22-23七年级下·山西临汾·期中）为鼓励公民合理利用天然气资源，某市对民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价．调整后当每月用气量不超过75时，按2．5元/计费；每月用气量超过75时，未超过的部分仍按2．5元/计费，超过部分按2．75元/计费．某餐厅3月份交纳燃气费325元，则该餐厅这个月用气量为多少立方米？ 5．（22-23七年级下·福建泉州·期中）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如表所示： 月用水量 不超过吨的部分 超过吨但 不超过吨的部分 超过吨的部分 收费标准元吨 某户月份交水费元，则该用户月份的用水量是多少？ 【典型例题十一 比例分配(一元一次方程的应用)】 1．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习），求 的值. 2．（2023七年级上·全国·专题练习）七年级某班共63人，其中男生与女生的人数之比为4∶5，问：这个班男、女生各有多少人？ 3．（22-23七年级·辽宁大连·期末）某中学七年一班、二班共有90名学生，如果从一班转出4名同学到二班，那么一班的学生人数是二班的80%，问两班原来各有多少名学生？ 4．（22-23七年级上·全国·课后作业）某校开展植树活动，七(1)班有27人，七(2)班有19人，现另调26人去支援，使七(1)班人数与七(2)班人数相等，问应调往七(1)班、七(2)班各多少人？ 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）某公司门口有一个长为的长方形电子显示屏，公司的有关活动信息都会在电子显示屏上显示字幕．由于每次活动的信息不同，所以字幕的字数也就不等．为了制作及显示时方便，负责发布活动信息的员工对有关数据作出了如下规定：边空宽：字宽：字距=（如图）． 请用列方程的方法解决下列问题： （1）若某次活动字幕的字数为17，则字距是多少？ （2）若某次活动字幕的字宽为，则字数是多少？ 【典型例题十二 日历问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和能否为51？如果能，这三个数分别是多少？ 2．（23-24七年级·江苏·假期作业）如图所示是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出4个数，完成下列问题：    (1)填空：a、c的关系是______． (2)计算：当时，求a的值． 3．（22-23七年级上·江苏南京·期中）如图，将连续的奇数1、3、5、7 …，排列成如下的数表，用十字框框出5个数．问： ①十字框框出5个数字的和与框子正中间的数17有什么关系？ ②若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，若设中间的数为a，用代数式表示十字框框住的5个数字之和； ③十字框框住的5个数字之和能等于2000吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由． 4．（22-23七年级上·重庆南川·阶段练习）如图是某月的日历： (1)设由6个数形成的阴影方框中，最大的数为，这6个数的和为，请你用含的代数式表示； (2)现想框出6个数的和为111，你能办得到吗？若能，请求出这六个数，若不能，请说明理由. 5．（22-23七年级上·江苏泰州·期末）下表是2011年12月的日历表，请解答问题：在表中用形如下图的平行四边形框框出4个数， ⑴若框出的4个数的和为74，请你通过列方程的办法，求出它分别是哪4天？ ⑵框出的4个数的和可能是26吗?为什么? 【典型例题十三 其他问题(一元一次方程的应用)】 1．（2024·陕西西安·一模）小远在文具店买了一盒24色马克笔和一种黑色中性笔6根，共用了27元．已知他买一盒马克笔的钱比6根黑色中性笔的钱多3元．求该文具店中这种黑色中性笔的单价． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知两个底面直径分别为，高均为的量筒中装有相同高度的水，若将小量筒中的水全部倒入大量筒中，刚好可以将大量筒倒满，则倒入水之前大量筒中水的体积是多少？（量筒为圆柱形，结果保留） 3．（2023·吉林四平·一模）五四青年节来临之际，某校开展主题为“探寻红色记忆，传承五四精神”的团日活动．学校准备组织全体同学乘坐大巴到红色教育基地接受革命传统教育．经调查发现，如果每辆大巴乘坐38名学生，则有18名学生没座位；如果每辆大巴坐40名学生，则有一辆车空出20个座位．请问该校共有多少名学生？ 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）小颖的父母想为正在读初中的小颖做教育储蓄．他们考虑从下面两种储蓄方式中选择一种：①先存一个三年期，三年后将本息和再转存一个两年期；②先存一个两年期，两年后将本息和再转存一个三年期．设开始存入的本金为x元，定期存款年利率如表所示． 定期存款年利率表 定期存款（整存整取） 年利率/% 两年 2.25 三年 2.75 (1)若按照①的储蓄方式，三年后的本息和为________元，再将此本息和转存两年后要达到10 000元，可列方程为________； (2)若按照②的储蓄方式，两年后的本息和是________元，再将此本息和转存三年后要达到10 000元，可列方程为________； 5．（22-23六年级上·山东烟台·期末）数学课上，好学的小明向老师提出了一个问题：无限循环小数是无理数吗？ 以为例，老师给小明做了以下解答（注：即）： 设为x，即： 等式两边同时乘10，得： 即： 因为所以解得： 即． 因为分数是有理数，所以是有理数，同学们，你们学会了吗？请根据上述阅读，解决下列问题： (1)无限循环小数写成分数的形式是______ (2)请用解方程的办法将写成分数． 【典型例题十四 古代问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23九年级下·安徽合肥·期中）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？ 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）我国古代对于利用方程解决实际问题早有研究，《九章算术》中提到这么一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份去测，那么绳子会多出四尺；如果将绳子折成四等份去测，那么绳子会多出一尺．绳长和井深各多少尺？ 3．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）《算法统宗》中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓢醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”其意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，那么他们总共饮下了19瓶酒，问饮下醇酒，薄酒分别多少瓶？ 4．（22-23七年级上·四川宜宾·期中）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图，如图所示的幻方中，横着的，竖着的及斜着的三个数之和均相等，求的值． 2 7 8 5．（23-24七年级上·河南商丘·期末）“曹冲称象”的故事取材于《三国志》，故事中称象方案是这样的：先将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个体重相同的士兵，这时水位恰好在标记位置；如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个士兵，水位在标记位置不变．每块条形石的重量都是280斤，设每个士兵的体重是斤． 孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理．冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”——《三国志》 (1)可列出等量关系：“20块条形石的重量”+“3个士兵的体重”=“______块条形石的重量”+“______个士兵的体重”； (2)求； (3)象的重量是______斤． 【变式训练1 行程问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h，已知水流的速度是3km/h，求甲乙两码头之间的距离． 2．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）甲、乙两人同时骑自行车出发从A地去B地，甲骑行速度为12，乙骑行速度为10．2h后，乙剩余路程是甲的1.5倍．求A、B两地路程是多少？ 3．（22-23七年级上·广东佛山·期末）已知、两地相距10千米，甲骑自行车从地出发，每小时骑行20千米，乙骑自行车从地出发，每小时骑行15千米． (1)两人同时出发，同向而行（沿方向），则经过几小时甲追上乙？ (2)两人同时出发，相向而行，如果设小时后两人相距2千米，那么可以列出的方程是什么？（直接写出方程即可，不要求化简、求解） 【变式训练2 配套问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·甘肃兰州·期末）某车间名工人，每人每天平均生产螺栓个或螺母个，要使生产的螺栓和螺母恰好能按刚好配套，问应安排多少个人生产螺栓？ 2．（2024六年级下·上海·专题练习）某工厂生产茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，生产这套茶具的主要材料是紫砂泥、用1千克紫砂泥可做3个茶壶或6只茶杯．现要用9千克紫砂泥制作这些茶具，应用多少千克紫砂泥做茶壶，多少千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具多少套？ 3．（2024·山东聊城·一模）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板，为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：cm） (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张； (2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【变式训练3 工程问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）修路队修一条路，第一天修了全长的，如果再修米就完成了总工程的一半，这条路一共长多少米？ 2．（22-23七年级上·上海奉贤·期中）区域需要将一段长为120米的绿化带进行整修，整修任务由甲、乙两个工程队先后接力共同完成．已知甲工程队每天可以整修8米，乙工程队每天可以整修6米，两个工程队共用了18天，问甲、乙两个工程队整修绿化带分别参加了几天？ 3．（22-23七年级上·河北保定·期末）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米． (1)求甲工程队每天掘进多少米 (2)按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天． 【变式训练4 销售盈亏(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）某商场推出新年大促销活动，其中标价为元的某种商品打九折销售，该种商品的利润率为．求该商品的成本价是多少？ 2．（23-24六年级上·山东泰安·期末）随着网络的普及，“直播带货”成为火热的销售模式之一．一运动品牌上衣在实体店按成本价提高30%销售，在直播间以实体店售价的9折进行销售，结果在直播间每卖出1件该运动上衣可获利34元，设该运动上衣的成本价为x元，根据题意，列方程解出x的值． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）某文具店在一周的销售中，盈亏情况如下表（盈余为正，单位为元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 188 458 表中星期六的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈还是亏．盈亏多少． 【变式训练5 比赛积分(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·全国·课后作业）某中学举办的中学生安全知识竞赛中共有20道题，每一道题答对得5分，答错或不答都扣3分．小强考了68分，求小强答对了多少道题？ 2．（2024·吉林长春·一模）2023-2024全国甲A篮球赛（CBA）共进行了52轮常规赛，最后辽宁队和新疆队进入总决赛．常规赛中，规定胜一场积2分，负一场积1分，每场比赛均分胜负，常规赛结束时，辽宁队积分为95分，求辽宁队在常规赛中负了几场． 3．（23-24七年级下·河南·阶段练习）为响应河南省“2024全民阅读”系列活动，某校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同．下表记录了3名参赛学生的得分情况． 参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 44 (1)根据表格，比赛规则为：答对1道题得 分，答错或不答1题扣 分； (2)求出C同学答对的题数，并将表格补充完整． 【变式训练6 方案选择(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·陕西渭南·期末）七年级（1）班在劳动时，将全班同学分成m个小组，若每小组9人，则余下3人；若每小组10人，则有一组少4人，求七年级（1）班共有多少名学生？ 2．（22-23七年级上·天津滨海新·期末）国庆节期间，甲、乙两商场以相同价格出售同样的商品，并且各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过元后，超出的部分打八五折收费；在乙商场累计购物超过元后，超出的部分打九折收费．设小华预计累计购物x元（）． (1)计算一下，小华预计累计购物多少元商品时，到两个商场购物实际所付的费用相同？ (2)如果小华预计累计购物元的商品，她选哪个商场购物比较合适？说明理由． 3．（23-24七年级上·广东广州·期末）为进一步加强居民对电信诈骗的防范意识，提高对电信诈馅的鉴别、自我保护能力，营造全民反诈的浓厚氛围，某小区志愿者们积极配合社区开展反诈骗宣传工作，准备印制一些反诈骗宣传小册子，利用中秋国庆假期到公园里开展防诈骗、反诈骗宣传活动，现有甲、乙两家印刷店可供选择，两家收费情况如下： 印刷店 设计费/元 印刷单价/（元/册） 甲 6 4 乙 12 (1)请你替该小区志愿者们计算一下，印刷多少册，两家的印刷总费用是相等的？ (2)乙店得知志愿者们用零花钱集资印刷宣传册后，将印刷单价给予打折优惠，志愿者们花费201元即可印刷60册，请你计算一下，乙店是打几折优惠的？ 【变式训练7 数字问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·全国·课后作业）一个两位数个位上的数是1，十位上的数是x．把1与x对调，新两位数比原两位数小18，x应是哪个方程的解？你能想出x是几吗？ 2．（2024·陕西榆林·三模）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大4，把个位上的数字和十位上的数字对调，新的两位数与原两位数之和为110，求原两位数是多少． 3．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）我们在前面章节的学习中已经知道，单独的一个数可以用一个字母来表示，例如，可以用a表示3，b表示5，x表示56等等，但对于一个几位数，用组成它的各个数位上的数字来表示它却不是这样简单的事，比如，用a、b、c分别表示三位数123的百位、十位和个位上的数，不能写成abc，这样会误认为是三个字母所表示的数相乘了，而要表示成：． 阅读以上材料，请解答下面的问题： 一个两位数，十位数字比个位数字小3，若把这个两位数的十位数字与个位数字交换，所得的两位数与原两位数的和为165，求原两位数．设其十位数字为x，请列出方程， 【变式训练8 几何问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·广东广州·期末）一根长米的铁丝围成一个长是宽的倍的长方形，求这个长方形的宽． 2．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，一个长方形养鸡场的一条长边靠墙，墙长，其他三边用竹篱笆围成，现有长的竹篱笆，小林的设计方案是长比宽多，你认为他设计的长边是否符合实际情况？通过计算说明理由． 3．（2024·北京房山·一模）在房山区践行“原色育人，生态发展”教育发展理念的引领下，某校为提升实践育人实效，积极组织学生建设劳动基地，参与校园种植活动．计划在校园内一块矩形的空地上开垦两块完全相同的矩形菜园，如图所示，已知空地长米，宽米，矩形菜园的长与宽的比为，并且预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，那么预留通道的宽度和矩形菜园的宽分别是多少米？ 【变式训练9 和差倍分问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23六年级上·上海·期中）一筐苹果卖出了它的后，又卖出了48个，这时剩下的正好是这一筐苹果的，那么这筐苹果原来有多少个？还剩下几个？ 2．（22-23七年级上·全国·课后作业）根据问题，设未知数，列出方程： 甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？ 3．（2024·北京通州·一模）2023年12月27日北京城市副中心“三大文化建筑”之一的北京城市图书馆对外开放，其总建筑面积约万平方米，藏书量达800万册，建有世界最大的单体图书馆阅览室．图书馆内的功能区设置阅览坐席，方便读者使用．其中，山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席总数为1900个，非遗文献馆的坐席数与少年儿童馆坐席数之比为，山体阅览区的坐席数是少年儿童馆坐席数的4倍多200个，求山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席数量． 【变式训练10 电费和水费问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级下·山西临汾·阶段练习）为了增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为3.5元/吨.该市小明家2月份用水12吨，交水费34元.请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？ 2．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）某地居民生活用电基本价格为元/度．规定每月基本用电量为a度，超过部分电量的每度电价比基本用电量的每度电价增加收费，某用户在5月份用电100度，共交电费56元，求a的值？ 3．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）某城市对居民用水实行三级阶梯水价，收费标准如表： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过立方米 2 超过立方米且不超过立方米的部分 a 超过立方米的部分 4 (1)若小明家去年1月份用水量是立方米，他家应缴费 元． (2)若小明家去年2月份用水量是立方米，缴费元，请求出用水在立方米之间的收费标准a元/立方米． (3)在（2）的条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米． 【变式训练11 比例分配(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）七年级某班学生参加体育活动，原来每组5人，后来根据需要重新分组，每组9人，结果比原来减少4组，问原来分了多少组？这个班级共有学生多少人？ 2．（22-23六年级下·上海闵行·期中）某公路收费站的收费标准是大客车20元，大货车10元，轿车5元，某天通过收费站的这三种车辆的数量之比是，共收费4800元，问这天通过收费站的三种车各是多少辆？ 3．（22-23七年级下·福建泉州·阶段练习）妇人洗碗在河滨，路人问他客几人？答曰：“不知客数目，六十五碗自分明，二人共食一碗饭，三人共吃一碗羹，四人共肉无余数，请君细算客几人？”本题的大意是：有一名妇人在河边洗碗，一个过路的人问她有多少个客人吃饭，妇人说“人数不知道，一共65个碗，其中两个人共用一碗饭，三个人共喝一碗汤，四个人共吃一碗肉，请你算算一共有多少个客人？” 【变式训练12 日历问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）如图的数阵是由88个偶数组成： (1)甲同学这样圈出的四个数的和为432，你能求出这四个数吗？ (2)乙同学想用这样的框圈出和为172的四个数，可能吗？ (3)你能用这样的框圈出和为352的四个数吗？若能，请写出这四个数：若不能，请说明理由． 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）将从1到900的正整数按一定规律排列如下表： 对如图十字形框中的5个数进行探究： (1)设这5个数中间的数为a，则最小的数为 ，最大的数为 ； (2)若这5个数的和是 240，求出这5个数中间的数： (3)这5个数的和可能是2025 吗，若能，求出这5个数中间的数，若不能，请说明理由． (4)若在（1）中十字形框中框住的五个数的和记为“S”，则S的最大值与最小值的差等于 3．（2023七年级上·全国·专题练习）如图是2022年2月的日历表：    (1)在图中用优美的“”U形框框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为 　 　； (2)在图中将U形框上下左右移动，框住日历表中的5个数字，设最小的数字为x，用代数式表示U形框框住的五个数字之和为 　 　； (3)在图中移动U形框的位置，框住的五个数字之和可以为63吗？若能，求出这五个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 【变式训练13 其他问题(一元一次方程的应用)】 1．（2024七年级·全国·竞赛）一个大人一餐能吃4个面包，4个幼儿一餐只吃一个面包，现大人和幼儿共人，一餐刚好吃光个面包．这个人中大人和幼儿各有多少人？ 2．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）某校开展劳动教育，在植树节当天组织植树活动，该校七年级共有人参加活动，分成树苗保障组和种植组，种植组的人数是树苗保障组人数的倍． (1)求树苗保障组的人数； (2)已知种植点有甲、乙两处，种植组在甲处有人． ①用含的代数式表示种植组在乙处的人数； ②若，树苗保障组人员在运送完树苗后全部去支援种植组，使在甲处种植的人数是乙处种植人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？ 3．（22-23七年级上·山东济南·期末）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价） 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 40 50 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数和售价不变，乙商品的件数是第一次的3倍并打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多900元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？ 【变式训练14 古代问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）我国民间流传着这样的一道题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两多7两；每人半斤少半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（注：古代1斤=16两） 2．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦；已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问：有多少匹大马、多少匹小马？（用方程解决问题） 3．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为130斤，求大象的体重．请将下列解答过程补充完整：    解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量个搬运工的体重和块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以 ①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为：______． ②解这个方程得，______． ③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量______．个搬运工的体重 ④最终可求得：大象的体重为______斤． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 实际问题与一元一次方程 （2大知识点+14大典例+变式训练） 题型一 行程问题(一元一次方程的应用) 题型二 配套问题(一元一次方程的应用) 题型三 工程问题(一元一次方程的应用) 题型四 销售盈亏(一元一次方程的应用) 题型五 比赛积分(一元一次方程的应用) 题型六 方案选择(一元一次方程的应用) 题型七 数字问题(一元一次方程的应用) 题型八 几何问题(一元一次方程的应用) 题型九 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 题型十 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 题型十一 比例分配(一元一次方程的应用) 题型十二 日历问题(一元一次方程的应用) 题型十三 其他问题(一元一次方程的应用) 题型十四 古代问题(一元一次方程的应用) 知识点01 基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 知识点02 应用类型 类型一：鸡兔同笼问题 类型二：牛羊值金问题 类型三：几何问题 类型四：球赛积分问题 类型五：盈不足问题 类型六：经济问题 类型七：里程碑上的数 类型八：年龄问题 【典型例题一 行程问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·全国·课后作业）根据问题，设未知数，列出方程： 环形跑道一周长，沿跑道跑多少周，可以跑？ 【答案】设跑需跑x周．． 【分析】设沿跑道跑x周，根据跑道一周长400m，总路程为3000m列出方程即可． 【详解】解：设沿跑道跑x周，由题意得 400x＝3000． 【点睛】此题考查从实际问题中抽象出一元一次方程，找出题目蕴含的数量关系是列方程的关键． 2．（22-23七年级上·浙江杭州·阶段练习）甲､乙两人分别从A､B两地同时出发，甲骑自行车，乙开汽车，沿同一条路线相向匀速行驶．出发后经两人相遇．已知在相遇时乙比甲多行了，相遇后经乙到达A地．问甲､乙行驶的速度分别是多少? 【答案】甲行驶速度为，乙行驶的速度为 【分析】设甲的速度为，可求得乙的速度为，根据题意得到乙的速度为甲的3倍，列方程求解即可． 【详解】解：设甲的速度为，则乙每小时比甲多行，即乙的速度为， 由相遇后经1小时乙到达A地，可知乙的速度为甲的3倍， 则有，解得，． 答：甲行驶速度为，乙行驶的速度为． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，理解题意找到题中的等量关系列出方程是解题的关键． 3．（22-23七年级上·山东菏泽·期末）老师买了13时30分开车的火车票，12时40分从家门口乘公交车赶往火车站．公交车的平均速度是30千米/时，在行驶路程后改乘出租车，车速提高了1倍，结果提前10分钟到达车站．张老师家到火车站有多远？ 【答案】张老师家到火车站有30千米 【分析】设张老师家到火车站有x千米，根据老师行驶的两段路程与总路程间的数量关系和路程＝时间×速度列出方程并解答． 【详解】解：设张老师家到火车站有x千米， 根据题意，得 解得x＝30． 答：张老师家到火车站有30千米． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． 4．（22-23七年级上·河北保定·期末）两地相距米，小明米/秒的速度从地向地出发，小芳以米/秒的速度从地向地出发，若两人同时出发，则经过多长时间两人相距米? 【答案】80秒或120秒 【分析】已知两地距离，两车相向而行，还知道两车速度，根据速度公式可求相遇时间． 【详解】设经过x秒两人相距200米． （1）若两人还未相遇，根据题意，可列方程：6x＋4x＋200＝1000， 解得x＝80； （2）若两人已经相遇，继续前行，根据题意，可列方程：6x＋4x−200＝1000， 解得x＝120． 答：经过80秒或120秒两人相距200米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 5．（22-23七年级上·吉林白山·期末）某市客运公司规定：起步价为5元（不超过3km收5元），超过3km每千米要加收一定的费用。王先生乘坐出租车，下车时支付总价29元，行驶路程为18km。设行驶超过3km时，每千米收x元． （1）王先生超过3km的乘车路程为 km， （2）王先生超过3km的乘车费用为 元， （3）请问行驶超过3km时，每千米收多少元？（列方程求解） 【答案】（1）15；（2）24；（3）行驶超过3km时，每千米收1.6元． 【分析】（1）总路程-3即为超过3km的乘车路程； （2）总价-起步价即为超过3km的乘车费用； （3）设行驶超过3km时，每千米收x元，根据题意可得：应付车费=前3千米应付的钱+超过3千米部分应付的钱，列方程求解即可． 【详解】（1）王先生超过3km的乘车路程为=18-3=15（km）， 故填：15； （2）王先生超过3km的乘车费用为=29-5=24（元）， 故填：24； （3）解：设行驶超过3km时，每千米收x元，根据题意得： 5+(18-3)x=29， x=1.6， 答：行驶超过3km时，每千米收1.6元． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据总费用得出等量关系是解题关键． 【典型例题二 配套问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）某车间22名工人参加生产一种螺丝和螺母，每人每天平均生产螺丝120个或螺母200个，一个螺丝要配两个螺母，应安排生产螺丝和螺母的工人各多少名？ 【答案】设应安排10产螺丝，12人生产螺母． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用．首先设应分配名工人生产螺丝，名工人生产螺母，根据题意可得等量关系：螺丝数量螺母数量，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：设应安排人生产螺丝，人生产螺母． ， 解得， 生产螺母的人数为：（人， 答：设应安排10产螺丝，12人生产螺母． 2．（23-24七年级上·河南安阳·期末）在美术课上，老师组织七年级一班的学生做圆柱形笔筒．七年级一班共有学生44人，每名学生一节课能做筒身25个或筒底60个．若每个筒身需要匹配2个筒底，为了使本节课做的筒身和筒底刚好配套，应该分配多少名学生做筒身，多少名学生做筒底？ 【答案】应该分配24名学生做筒身，20名学生做筒底 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．设应该分配名学生做筒身，根据每个筒身需要匹配2个筒底，得到筒底的数量是筒身数量的2倍，列出方程进行求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：设应该分配名学生做筒身，则：名学生做筒底， 由题意得： 解得：； ． 答：应该分配24名学生做筒身，20名学生做筒底． 3．（23-24七年级上·广东汕尾·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生44人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个．要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】应该分配24名学生剪筒身，20名学生剪筒底 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设分配剪筒身的学生为x人，则剪筒底为，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 【详解】解：设分配剪筒身的学生为x人，则剪筒底为， 依题意得，解得， 则． 故应该分配24名学生剪筒身，20名学生剪筒底． 4．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）某校七（1）班共有学生52人，其中女生上比男生多4人，该班在社会实践课上准备用硬纸板制作茶盒子的盒身和盒底，规定：每个学生在一定时间范围内剪盒身40个或剪盒底50个． (1)该班男生、女生各有多少人． (2)该班原计划男生负责剪盒底，女生负责剪盒身，若一个盒身配2个盒底，则这节课做出的盒身和盒底配套吗？如果不配套，那么女生需要支援男生几人，才能使本节社会实践课制作的盒身和盒底刚好配套？ 【答案】(1)男生24人、女生28人 (2)不配套；女生需要支援男生人 【分析】本题考查一元一次方程的应用： （1）设男生有x人，则女生有 人，根据共有学生52人，可以列出相应的方程，从而可以得到该班分别有男生、女生各多少人； （2）设a人制作盒身，则人制作盒底，根据一个盒身配2个盒底，可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：设男生有x人，则女生有人，根据题意得： ， 解得：， ∴， 答：该班分别有男生24人、女生28人； （2）解：男生负责剪盒底有， ∴这节课做出的盒身和盒底不配套． 设a人制作盒身，则人制作盒底，根据题意得： ， 解得：， ∴女生需要支援男生人，才能使本节社会实践课制作的盒身和盒底刚好配套， 答：女生需要支援男生人，才能使本节社会实践课制作的盒身和盒底刚好配套． 5．（23-24七年级上·山东日照·期末）2023年8月8日，是全国第15个全民健身日，近年来，日照始终秉持“以人民为中心”的发展思想，不断扩大城市体育服务供给量，打造“体育生活圈”，某工厂现需生产一批太空漫步器（如图），每套设备各由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产支架60个或脚踏板96套，应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板配套？每天生产多少套太空漫步器？ 【答案】人生产支架，人生产脚踏板配套，此时每天生产套太空漫步器 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据脚踏板数量是支架数量的倍列出关于x的一元一次方程是解题的关键．设x人生产支架，根据“每人每天平均生产支架个或脚踏板套”即可列出方程求解． 【详解】解：设x人生产支架，则人生产脚踏板， 由题意得， 解得：， 人，套， 答：人生产支架，人生产脚踏板配套，此时每天生产套太空漫步器． 【典型例题三 工程问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）一项工程，甲、乙合作6小时可以完成，同时开工，中途甲停工了小时，因此，经过小时才完工．如果这项工程由甲单独做需要多少小时？ 【答案】这项工程由甲单独做需要10小时 【分析】本题考查了工程问题的应用，理解工作总量、工作效率、工作时间的关系可解答问题； 根据现同时开工，中途甲因事停工小时，因此经过小时才完工，求出甲乙合作的时间，再根据一项工程，甲、乙合作6小时可以完成求出甲乙的工作效率和，从而求出乙单独完成的工作量，最后求出乙的工作效率； 甲乙的工作效率和减去乙的工作效率可求出甲的工作效率，从而求出甲单独做需要的时间． 【详解】设甲单独完成需要x小时， 根据题意，中途甲因事停工小时，经过小时才完工， ∴甲乙合作的时间为小时， ∵甲、乙合作6小时可以完成， ∴甲、乙的工作效率和为， ∴乙单独的小时，完成了， ∴乙的工作效率为， ∴甲的工作效率为， 根据题意，得 解得 答：甲单独完成需要10小时． 2．（23-24七年级上·云南昆明·期末）挖一条水渠，甲队单独做需20天完成，乙队单独做需15天完成．现在两队合作若干天后，乙队另有任务离开，甲队接着又单独挖6天完成，请问挖这条水渠一共用了多少天？ 【答案】12天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设挖这条水渠一共用了天，根据两队合作若干天后，乙队另有任务离开，甲队接着又单独挖6天完成，列出一元一次方程，解方程即可解答． 【详解】解∶设挖这条水渠一共用了天 题意得： 解得∶ 答∶挖这条水渠一共用了12天 3．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）甲、乙两队共同修一条长400米的公路，甲队从东往西修4天，乙队从西往东修5天，正好修完，甲队比乙队每天多修10米．甲、乙两队每天各修多少米？ 【答案】甲队每天修50米，乙队每天修40米 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．设乙队每天修x米，则甲队每天修米，根据甲、乙两队共同修一条长400米的公路列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设乙队每天修x米，则甲队每天修米， 则， 解得， 则， 答：甲队每天修50米，乙队每天修40米． 4．（23-24七年级上·山东聊城·期末）复印一批文件，如果A，B两台复印机单独完成，则分别需用时40分，30分．现两台复印机同时工作，在15分钟时，B复印机出现故障，剩下的工作由A机单独完成，还需多少时间？ 【答案】还需5分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，根据等量关系正确列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设还需x分钟，由题意得 解得． 答：还需5分钟． 5．（23-24七年级上·四川南充·期末）某公司要生产一批新产品，需要精加工后，才能投放市场． 现在甲、乙两个加工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工这批产品多用20天，甲工厂每天可加工12件产品，乙工厂每天可加工18件产品． (1)求这个公司要加工新产品的件数． (2)在加工过程中，公司需支付甲工厂每天加工费80元，乙工厂每天加工费120元，公司还需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天15元的午餐补助费． 公司制定产品加工方案如下：可由一个工厂单独加工完成，也可由两个工厂合作同时完成，当两个工厂合作时，这名工程师轮流去这两个工厂，请你通过计算帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种既省钱，又省时间的加工方案． 【答案】(1)720件 (2)既省钱，又省时间的加工方案为两工厂合作24天加工该产品 【分析】此题考查一元一次方程的实际应用，正确理解题意列得方程是解题的关键． （1）设这个公司要加工的新产品有x件，根据甲工厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工这批产品多用20天列方程解答； （2）分别求出单独每个工厂加工的时间及费用，两工厂合作加工的时间及费用，比较即可得到既省钱，又省时间的加工方案． 【详解】（1）设这个公司要加工的新产品有x件， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 答：这个公司要加工的新产品有720件； （2）甲工厂单独加工需天，费用为元， 乙工厂单独加工需天，费用为元， 两工厂合作需天，费用为元， ∴既省钱，又省时间的加工方案为两工厂合作24天加工该产品． 【典型例题四 销售盈亏(一元一次方程的应用)】 1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）学校为促进“篮球体育运动社团”的开展，准备添置一批篮球，原计划订购80个，每个售价150元，商店表示：如果多购可以优惠，最后校方买了100个，每个只售140元，但商店所获利润不变，求每个篮球的成本价． 【答案】每个篮球的成本价为100元 【分析】考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系，列出方程并解答．设每个篮球的成本价为x元，根据“商店所获利润不变”列出方程并解答． 【详解】解：设每个篮球的成本价为x元， 由题意得． 解得． 答：每个篮球的成本价为100元． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）某商场为减少库存积压，以每件120元的价格出售两件夹克上衣，其中一件盈利，另一件亏损，在这次交易中商场是盈利还是亏损？请求出盈利或者亏损的钱数． 【答案】在这次交易中商场亏损10元 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用．设盈利的那件衣服的进价是x元，则利润是元，根据题意，列出方程，可求出，再设亏损的那件衣服的进价是y元，根据题意，列出方程，可求出，即可求解． 【详解】 解：设盈利的那件衣服的进价是x元，则利润是元，根据题意得： ， 解得． 同理，设亏损的那件衣服的进价是y元，根据题意得： ， 解得． 两件衣服的进价是（元）， 两件衣服的售价是（元）， （元）． 答：在这次交易中商场亏损10元． 3．（23-24六年级上·上海普陀·期末）一件商品标价260元，双十一期间，商家为了吸引顾客购买，决定把这件商品打八折后再出售． (1)这件商品打折后的价格是多少元？ (2)如果打折后，商家仍能盈利25%，求这件商品的成本是多少元？ 【答案】(1)这件商品打折后的价格是208元 (2)这件商品的成本是元 【分析】 本题考查的是折扣问题，理解折扣的含义是解本题的关键； （1）由原价乘以折扣即可得到答案； （2）设这件商品的成本是x元．利用利润率的含义建立方程求解即可． 【详解】（1） 解：（元）， 答：这件商品打折后的价格是208元． （2） 设这件商品的成本是x元． ， ∴， 答：这件商品的成本是元． 4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）春节前夕，某商家预测某种水果能够畅销，就购进了第一批200斤这种水果，上市后销售非常好，商家又购进第二批这种水果，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每斤进价多了5元，已知第二批的进货总钱数比第一次多8000元． (1)该商家购进第一批这种水果时每斤多少元？ (2)由于储存不当，第二批购进的水果中有10%腐坏，不能售卖．该商家将两批水果按同一价格全部销售完毕后获利8000元，求每斤这种水果的售价是多少元？ 【答案】(1)购进第一批水果每斤30元； (2)每斤售价50元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设该商家第一批购进这种水果每斤x元，则第二批购进这种水果每斤元，根据单价×数量总价，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设每千克这种水果每斤售价y元，根据利润销售单价销售数量进货总价，列式计算，即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进第一批水果每斤x元 ，解得： 答：购进第一批水果每斤30元； （2）解：设每斤售价y元， ， 解得： 答：每斤售价50元． 5．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在元旦期间，我市某商场从厂家购进了甲．乙两种商品．若购进甲种商品5件，乙种商品4件，共需要800元：已知甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少20元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场从厂家购进了甲．乙两种商品共40件，所用资金恰好为3440元．在销售时，甲种商品的售价为每件100元，乙种商品的售价为每件125元．求这40件的商品全部售出后可获利多少元？（获利=售价-进价） 【答案】(1)甲种商品每件的进价是80元，乙种商品每件的进价是100元 (2)这40件的商品全部售出后可获利860元 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲种商品每件的进价是元，则乙种商品每件的进价是元，根据“购进甲种商品5件，乙种商品4件，共需要800元”列式计算，即可作答． （2）设购进了甲种商品件，则乙种商品件，根据“甲种商品的售价为每件100元，乙种商品的售价为每件125元” 列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设甲种商品每件的进价是元，则乙种商品每件的进价是元， ， 解得， ， 答：甲种商品每件的进价是80元，乙种商品每件的进价是100元． （2）解：设购进了甲种商品件，则乙种商品件， ， 解得， ， 或， 答：这40件的商品全部售出后可获利860元． 【典型例题五 比赛积分(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·新疆吐鲁番·期末）一张试卷有25道选择题，做对一题得4分，做错一题扣1分，某同学做完了25道题，共得了70分，那么他做对的题数是多少？ 【答案】他做对的题数是19道 【分析】本题考查解一元一次方程．设他做对的题数是道，根据某同学做完了25道题，共得了70分，列出方程进行求解即可．正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：设他做对的题数是道，则做错道，由题意，得：， 解得：； 答：他做对的题数是19道． 2．（23-24七年级上·山东临沂·期末）某学校七年级共有8个班进行篮球比赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），每一场篮球比赛的积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，某班共得15分，并且没有负场，那么此班级共进行了多少场比赛？胜了多少场？ 【答案】此班级共进行了7场比赛，胜了4场． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 首先根据共有8个班进行篮球比赛得到此班级共进行了7场比赛，然后设此班级胜了x场，则平了场，根据题意列方程求解即可． 【详解】∵某学校七年级共有8个班进行篮球比赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场）， ∴此班级共进行了7场比赛， 设此班级胜了x场，则平了场 ∴ 解得 ∴此班级共进行了7场比赛，胜了4场． 3．（23-24七年级上·山西太原·期末）阳光体育季，赛场展风采．七年级组织迎新拔河比赛，每班代表队都需比赛10场，如图是此次拔河比赛积分榜的部分信息，请解决下列问题： (1)由积分榜可知，胜一场得__________分，负一场得__________分； (2)已知积分榜中4班的积分是24分，求4班胜了几场比赛． 【答案】(1)3，1 (2)4班胜了7场比赛 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用： （1）先由6班的胜和负场情况，得出负一场得1分，接着由5班的胜和负场情况，胜一场得3分，即可作答． （2）设4班胜了场比赛，根据场数10，积分24分，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，负一场得分：（分）； 胜一场得分：（分）； 故答案为：3，1； （2）解：设4班胜了场比赛，则负了场比赛， 解得 答：4班胜了7场比赛 4．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 0 B 1 C 2 (1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题_________分，答错1道题得_________分； (2)参赛者D得分， 他答对了几道题？ (3)参赛者E说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)6，； (2)他答对了道题； (3)不可能，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）根据参赛者A和B的得分情况即可求解； （2）设答对道题，列方程或即可求解； （3）解方程，即可判断； 【详解】（1）解：由参赛者A的得分情况可知：参赛者答对1道题得：（分）； 参赛者B的得分情况可知：参赛者答错1道题得：（分）； 故答案为：6，； （2）解：设答对道题，根据题意得： 或 答：他答对了道题 （3）解：不可能，理由如下： 不是整数 他不可能得分 5．（23-24七年级上·福建福州·期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道题选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 根据以上信息，请你算出： (1)填空：答对一题得______分，答错一题扣______分； (2)参赛者F得76分，他答对了几题？ (3)参赛者G说他得了36分，你认为可能吗？试说明理由． 【答案】(1)5，1； (2)他答对了16题； (3)不可能，理由见解析． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意读懂积分的计算方式并列出方程是解题的关键． （1）根据参赛者A的分数可得答对一题得5分，再根据参赛者B的分数方程求解即可； （2）设参赛者F答对了x题，根据（1）的结论列方程求解即可； （3）利用（2）的方法，求出他答对的题数，看是否为整数即可得解． 【详解】（1）解：根据参赛者A的分数可得答对一题的得分是：100÷20=5， 设答错一题扣a分，则：， 解得：， 故答案为：5，1； （2）由（1）可知答对一题得5分，答错一题扣1分，设参赛者F答对了x题，依题意可得 ，解得， 答：他答对了16题． （3）不可能，理由如下： 设参赛者G答对了y题，则， 解得， ∵不是整数， ∴参赛者G不可能得36分 【典型例题六 方案选择(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）某中学七（2）班的同学举行“重走长征路”的野外考察活动，需要租用一辆大客车一天，现有甲、乙两辆客车的租用方案：甲车每天租金180元，另按实际路程每千米加收2元；乙车每天租金140元，另按实际路程每千米加收2.5元．当实际路程为多少千米时，两种方案的费用一样？ 【答案】当实际路程为千米时，两种方案的费用一样 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设当实际路程为千米时，两种方案的费用一样，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设当实际路程为千米时，两种方案的费用一样， 由题意得：， 解得：， 答：当实际路程为千米时，两种方案的费用一样． 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）某公司为庆祝2024年元旦特举办跨年联欢演出，现需购买一些扎绳捆绑气球布置会场，甲商店每根收费0.1元；乙商店购买同样的扎绳，一次购买不超过20根时，每根收费0.16元；一次购买超过20根时，超过部分每根收费0.08元．设在同一家商店一次购买的根数为（为正整数）． (1)当超过20根时，到甲商店购买的费用为 元；到乙商店购买的费用为 元（用含的式子表示）． (2)当超过20根时，购买多少根时，两家商店所收费用相同． 【答案】(1)， (2)购买80根时，两家商店所收费用相同． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式． （1）利用总价单价数量，结合甲、乙两家商店给出的优惠方案，可用含的代数式表示出到甲、乙两家商店购买所需费用； （2）根据两家商店所收费用相同，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：当超过20根时，到甲商店购买的费用为元； 到乙商店购买的费用为元． 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 解得：． 答：购买80根时，两家商店所收费用相同． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）电信部门推出两种电话计费方式如表： A B 月租费元月 通话费元分钟 当通话时间是多少分钟时两种方式收费一样多？ 【答案】当通话分钟时，按两种计费方式的收费一样多 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．设当通话分钟时，按两种计费方式的收费一样多，根据题意列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】设当通话分钟时，按两种计费方式的收费一样多， ， 解得 ， 即当通话分钟时，按两种计费方式的收费一样多． 4．（23-24七年级上·山东济宁·期末）第31届世界大学生夏季运动会于 2023 年 7 月 28 日在成都举行．为了吸引顾客，两家经销商都销售带有“蓉宝”吉祥物标志的纪念品，他们以相同价格出售，各自推出了不同的优惠方案：甲经销商规定累计购买纪念品超出 200元后，超出部分按原价八折优惠；乙经销商规定累计购买纪念品超出100元后，超出部分按原价八五折优惠．若顾客累计购买纪念品元． (1)当为何值时，顾客在两家经销商购纪念品所付的费用一样? (2)有顾客准备购买 600元的纪念品，你认为应该去哪家经销商? 请说明理由． 【答案】(1)当为500时，顾客在两家超市购物付款的费用一样多； (2)当时，选择甲超市购买更优惠，理由见解析． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． （1）根据优惠政策分别求出在两家超市应付的费用，再根据在两家经销商购纪念品所付的费用一样列方程求解即可； （2）根据（1）中的代数式分别计算两种方案的价格然后作比较即可． 【详解】（1）解：甲超市：元， 乙超市：元， 由题意知：， 解得． 故当为500时，顾客在两家超市购物付款的费用一样多； （2）解：选择甲超市购买更优惠，理由如下： 当时， 甲超市：（元， 乙超市：（元． 当时，选择甲超市购买更优惠． 5．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用客车若干辆．若租用载客量45人的客车，有15人没有座位；若租用载客量60人的客车，则可少租一辆车，且恰好坐满． (1)求原计划租用多少辆客车？ (2)已知载客量45人的客车租金为每辆1000元，载客量60人的客车租金为每辆1300元，若只租用同一类型（载客量相同）的车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)租45座客车5辆 (2)租60座客车4辆合算 【分析】本题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． （1）根据游客总数不变，列方程求解即可； （2）需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后再取舍． 【详解】（1）解：设原计划租客车辆． 根据题意列方程得：， 解得：． 答：原计划租45座客车5辆； （2）解：租45座客车：（辆），所以需租6辆， 租金为（元）， 租60座客车：（辆），所以需租4辆， 租金为（元）． ． 答：租用4辆60座客车更合算． 【典型例题七 数字问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）定义一种新的运算：，例如：，如果，求的值． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，一元一次方程的应用，根据新定义列出关于x的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意知， ， ， ， 解得， 即的值为． 2．（22-23七年级下·湖南永州·阶段练习）已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数． 【答案】21，32，43，54，65，76，87，98 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意可得，则这个两位数为，新数为，再由题意可得x为2到9的自然数，y为1到8的自然数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，则这个两位数为，新数为， ∵对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9， ∴， 整理得：为恒等式， 根据题意得：x为2到9的自然数，y为1到8的自然数， ∴符合条件的两位数为21，32，43，54，65，76，87，98． 3．（2024八年级·全国·竞赛）张老师家的电话号码是八位数，这个数的前四位数字相同，后面五位数字是连续的自然数，这八个数字之和恰好等于号码的最后二位数．请你根据上述条件写出张老师家的电话号码． 【答案】 【分析】本题主要考查了与数字有关的问题，关键在于找到数字排列分布的规律，从而用含未知数的代数式表示出来．本题既要分类讨论，又要结合实际意义排除多余解． 【详解】解：设号码的最后一位是， 若是最小的数，则， 解得，电话号码是； 若是最大的数，则 ， 解得，舍去． 答：张老师家的电话号码是． 4．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）阅读材料： 把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，设，由，可知，，所以．解方程，得，于是 解决问题： (1)请把无限循环小数化为分数； (2)我们把纯循环小数（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作，循环节的位数记作（例如对而言，，）．请你直接用含，的式子表示纯循环小数______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设，则，据此可得，解方程即可得到答案； （2）根据题意可知，循环位数是几位则乘以几个10得到一个数，再用这个数减去原循环小数后等于循环节组成的数，据此可得答案． 【详解】（1）解：设，则， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：由题意得， ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的3倍小3，将十位和个位的数字对调，得到的新两位数比原两位数小27，则原来的两位数是多少？（只列方程） 红红：设原两位数的个位数字是x，则十位数字是， 列出方程为． 请问红红列出的方程对吗？如果不对，请说明理由并列出正确的方程． 【答案】不对，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答时注意数字乘以相应的数位后求和的差是27，这是解题的关键． 【详解】解：不对，理由：十位数字应乘以10． 正确的方程为． 【典型例题八 几何问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图是小颖用44根木棒拼成的一个横放的“目”字图形，已知，每根木棒的长度为，求这个图形的面积． 【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，设由根木棒组成，则由根木棒组成，根据每根木棒的长度为，图形由44根木棒拼成，依此列出方程求出x，进一步根据长方形的面积公式得到这个图形的面积． 【详解】解：设由根木棒组成，则由根木棒组成， 由题意得：， 解得， 经检验，符合题意， 所以，， 则 答：这个图形的面积为． 2．（2024·陕西西安·一模）如图，小陆将一张正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，求原正方形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设原正方形的边长为，根据两次剪下的长条面积正好相等列出方程求解即可． 【详解】解；设原正方形的边长为， 由题意得，， 解得， ∴原正方形的边长为， ∴原正方形的面积为． 3．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）将一个半径为的圆分成3个扇形，其圆心角的比，求： ①各个扇形的圆心角的度数． ②各个扇形的面积． 【答案】①、、②,, 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，认识平面图形，掌握周角的定义和扇形的面积即可解答该题，属于基础题． ①三个圆心角的度数之和为，据此进行解答； ②根据扇形的面积公式进行解答． 【详解】解：①设三个圆心角的度数分别是、、，则 ， 解得． 故这三个扇形的圆心角分别是：、、； ②圆心角为的扇形面积为：; 圆心角为的扇形面积为：; 圆心角为的扇形面积为：． 4．（22-23七年级上·宁夏石嘴山·期末）根据下列条件列方程，并求出方程的解： (1)一个数的2倍与3的和等于这个数与7的差. (2)已知一个角的余角比这个角的补角的小，求这个角的余角和补角的度数. 【答案】(1);(2)这个角的余角为：;这个角的补角为：; 【分析】（1）设这个数为x，根据题意列出方程即可求解； （2）设这个角是x度，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：（1）设这个数为x，则 移项，得： （2）设这个角是x度，它的补角是，它的余角是; 根据关系可列方程： 移项合并同类项得： ∴这个角的余角为：； 这个角的补角为：． 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程． 5．（23-24七年级上·山东济南·期末）李师傅正在准备用篱笆修建一个长方形鸡舍栅栏，栅栏一面靠墙（墙面长度不限），三面用篱笆，篱笆总长60米，篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽多6米，请你用所学的知识解决以下问题．（篱笆的占地面积忽略不计） (1)如图，如果长方形鸡舍的长与墙为对面，长方形鸡舍的面积是多少？ (2)如果要在墙的对面留一个3米宽的门（门不使用篱笆），那么长方形鸡舍的面积又是多少？ 【答案】(1)鸡舍面积432平方米； (2)如果墙对面留一个三米宽的门，那么鸡舍面积平方米或391平方米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）首先设鸡舍的宽为米，则长为米，根据题意可得等量关系：篱笆总长60米，再解方程求出鸡舍的长宽，再求面积即可； （2）分两种情况讨论，以鸡舍的长与墙为对面和以鸡舍的宽与墙对面两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：设鸡舍的宽为米，则长为米，依题意得： ， 解得：， 所以鸡舍的长为（米）． 鸡舍面积（平方米）． 答：鸡舍面积432平方米； （2）解：设鸡舍的宽为米，则鸡舍的长． Ⅰ．当鸡舍的长与墙为对面时，依题意得： ， 解得：， 所以鸡舍的长为（米）． 鸡舍面积（平方米）． Ⅱ．当鸡舍的宽与墙为对面时，依题意得： ， 解得：， 所以鸡舍的长为（米）． 鸡舍面积（平方米）． 答：如果墙对面留一个三米宽的门，那么鸡舍面积平方米或391平方米． 【典型例题九 和差倍分问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23六年级上·黑龙江大庆·开学考试）一瓶饮料，第一次喝了毫升，第二次喝了余下的，这时瓶里还剩毫升．原来瓶里有多少毫升饮料？（用方程解） 【答案】原来瓶里有毫升饮料 【分析】设原来瓶里有x毫升饮料，根据“第一次喝了毫升，第二次喝了余下的，这时瓶里还剩毫升”列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设原来瓶里有x毫升饮料，根据题意得， ， 解得， 答：原来瓶里有毫升饮料． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·开学考试）湖北丹江口水库的蓄水量达290亿立方米，比北京密云水库蓄水量的26倍还多4亿立方米，求北京密云水库蓄水量有多少亿立方米？ 【答案】北京密云水库蓄水量有11亿立方米 【分析】设北京密云水库蓄水量有亿立方米，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设北京密云水库蓄水量有亿立方米， 依题意得，， 解得， 答：北京密云水库蓄水量有11亿立方米． 【点睛】本题考查了解方程．解题的关键在于根据题意正确的列方程． 3．（23-24七年级上·山东德州·开学考试）六年级一班阅读角有两个书架，原来第一个书架与第二个书架图书本数的比是．现在第一个书架借走20本书，这时第一个书架的图书本数是第二个书架的．第二个书架有多少本图书？ 【答案】第二个书架有150本图书 【分析】设第二个书架有本图书，则原来第一个书架有本图书，根据第一个书架借走20本书，这时第一个书架的图书本数是第二个书架的列出方程求解即可． 【详解】解：设第二个书架有本图书，则原来第一个书架有本图书， 由题意得，， 解得， 所以， 答：第二个书架有150本图书． 【点睛】本题主要考查了列方程解应用题，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 4．（22-23七年级上·江西抚州·开学考试）某同学在相邻的A、B两家超市看到他喜欢的MP5和书包单价都分别相同，两者价格之和是420元，且MP5比书包单价的4倍少40元．MP5和书包单价各多少元？A超市所有商品七五折销售，B超市每购满100元返购物券30元（不足100元不返券）．如果这位同学两样东西都买，他在哪一家超市购买便宜？ 【答案】单价为328元，书包单价为92元，在超市购买更省钱 【分析】 设书包的单价为元，的单价为元．根据的单价比书包的单价的4倍少40元，可得方程求解即可；根据两件商品单价之和是420元，首先计算超市，打七五折的价格是315元，再根据全场购物满100元返购物券30元销售，则先拿328元购买，返还90元购物券，再拿2元现金即可购买，共花钱330元．然后比较两个超市的价钱，进行判断． 【详解】 解：设书包的单价为元，的单价为元． 根据题意，得 （元）， 则该同学看中的单价为328元，书包单价为92元． 在超市购买与书包各一件需花费现金：（元）． 在超市可先花费现金328元购买，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：（元）， 因为， 所以在超市购买更省钱． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据实际问题中的条件列方程时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程．同时要理解透彻两个超市的优惠政策． 5．（22-23七年级上·山西太原·阶段练习）众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多首，总字数却反而少了个字．问两种诗各多少首？ 【答案】五言绝句有首，七言绝句有首 【分析】设七言绝句首，则五言绝句为首，根据五言绝句的字数比七言绝句的字数少20个字列出方程求解即可． 【详解】解：设七言绝句首，则五言绝句为首， 根据题意可列方程：， 解得，则 答：五言绝句有首，七言绝句有首． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 【典型例题十 电费和水费问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·广东汕头·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如图． (1)某户居民1月份用水，试求1月份的水费为多少元？ (2)若某户居民5月份共交水费元，则该户居民5月份实际用水多少立方米？ 【答案】(1)1月份的水费为元； (2)该户居民5月份实际用水立方米． 【分析】（1）根据，按实际用水量未超过进行计算即可； （2）根据用水费用分析该户居民5月份实际用水量超过且不超过，设该户居民5月份实际用水量为，依题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 故1月份的水费为： （元）， 答：1月份的水费为元； （2）∵（元）， （元）， ， ∴该户居民5月份实际用水量超过且不超过， 设该户居民5月份实际用水量为， 根据题意得：， 解得：， 答：该户居民5月份实际用水立方米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用；根据实际费用，分析用水量处于阶梯费用的什么收费标准是解题的关键． 2．（22-23七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司按如下方式对每户月用水量进行计算：当用水量不超过 10 吨时，每吨的收费标准相同，当用水量超过 10 吨时，超出10吨的部分每吨的收费标准也相同，下表是小明家1－4月份用水量和交费情况： 月份 1 2 3 4 用水量（吨） 8 10 12 15 费用（元） 16 20 26 35 请根据表格中提供的信息，回答以下问题： (1)若小明家5月份用水量为 25 吨，则应缴水费多少元？ (2)若小明家6月份交纳水费 35 元，则小明家 6 月份用水多少吨？ 【答案】(1)应缴水费65元； (2)小明家6月份用水15吨． 【分析】（1）根据表格中1月份的用水量和费用可求得水量不超过10吨时，每吨的收费标准；再根据3月份的用水量和费用可求得超出10吨的部分每吨的收费标准； （2）根据水费可得6月份用水量超过12方，设小明家6月份用水为x方，根据题意列出表格即可. 【详解】（1）解：从表中可以看出1月份用水量8方，未超出10方，费用16元， 则水量不超过10吨时，每吨的收费标准为(元)； 3月份用水量12方，超出10方，费用26元， 则超出10吨的部分每吨的收费标准为(元)； 小明家5月份的水费为：(元)； 答：应缴水费65元； （2）解：设小明家6月份用水x吨． ∵， ∴， ∴， ∴， 答：小明家6月份用水15吨． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，正确理解收费标准，列出符合题意的一元一次方程是解决本题的关键． 3．（22-23七年级上·安徽六安·开学考试）为了节约用电，供电公司鼓励用户错峰用电，给用电户安装智能电表，用户在白天(6时至22时)使用电器时，每度电价为元，夜晚用电每度电价为白天电价的，张大伯家五月份用电交费提示：用电共计180度，计交电费74元．请问张大伯家五月份夜晚用电多少度？ 【答案】80度 【分析】设张大伯五月份夜晚用电x度，则白天用电度，根据总电费是74元列出方程求解即可． 【详解】解：设张大伯五月份夜晚用电x度，则白天用电度 ， 解得． 答：张大伯五月份夜晚用电80度． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系正确列出方程是解题的关键． 4．（22-23七年级下·山西临汾·期中）为鼓励公民合理利用天然气资源，某市对民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价．调整后当每月用气量不超过75时，按2．5元/计费；每月用气量超过75时，未超过的部分仍按2．5元/计费，超过部分按2．75元/计费．某餐厅3月份交纳燃气费325元，则该餐厅这个月用气量为多少立方米？ 【答案】该餐厅这个月用气量为125立方米 【分析】设该餐厅这个月用气量为x立方米，先根据，得到该餐厅这个月用气量超过75，再根据收费规则，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设该餐厅这个月用气量为x立方米， ∵， ∴该餐厅这个月用气量超过75， 由题意，得： 解得： 答：该餐厅这个月用气量为125立方米． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 5．（22-23七年级下·福建泉州·期中）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如表所示： 月用水量 不超过吨的部分 超过吨但 不超过吨的部分 超过吨的部分 收费标准元吨 某户月份交水费元，则该用户月份的用水量是多少？ 【答案】该用户月份的用水量是吨 【分析】要求月份用水量多少，就要先设出未知数，先把未知数定出区间，再通过理解题意可知本题的等量关系，从而列出方程求解． 【详解】解：如果一个月用水吨，则需水费：元， 如果一个月用水吨，则需交水费：元， 月份交水费元元， ∴月份，用水量超过了吨， 设该用户月份的用水量是吨， ， 解得． 答：该用户月份的用水量是吨． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题要先把区间划分出来，先计算出极限数值，这样有利于解题． 【典型例题十一 比例分配(一元一次方程的应用)】 1．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习），求 的值. 【答案】9. 【分析】用k表示x，y，z，然后用它代替中的x，y，z，化简即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查比例的性质.利用比例的性质，用含k的关系式表示其它字母是解决本题的关键. 2．（2023七年级上·全国·专题练习）七年级某班共63人，其中男生与女生的人数之比为4∶5，问：这个班男、女生各有多少人？ 【答案】这个班男生有28人，女生有35人． 【分析】设这个班男生有4x人，则女生有5x人，根据共有63人列出方程，解方程求得x的值，即可求得男、女生的人数. 【详解】设这个班男生有4x人，则女生有5x人. 依题意，得4x+5x=63， 解得x=7. 所以4x=28，5x=35. 答：这个班男生有28人，女生有35人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据“男生人数+女生人数=63”列出方程是解决问题的关键. 3．（22-23七年级·辽宁大连·期末）某中学七年一班、二班共有90名学生，如果从一班转出4名同学到二班，那么一班的学生人数是二班的80%，问两班原来各有多少名学生？ 【答案】一班原来有44名学生，二班原来有46名学生． 【分析】设一班原来有x名学生, 则二班原来有 (90-x) 名学生, 由从一班转出4名同学到二班则一班的学生人数是二班的80%, 即可得出关于x的一元一次方程, 解之即可得出结论. 【详解】设一班原来有x名学生，则二班原来有（90﹣x）名学生， 根据题意得：x﹣4=（90﹣x+4）×80%， 解得：x=44， ∴90﹣x=46． 答：一班原来有44名学生，二班原来有46名学生． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，需正确根据已知条件列方程. 4．（22-23七年级上·全国·课后作业）某校开展植树活动，七(1)班有27人，七(2)班有19人，现另调26人去支援，使七(1)班人数与七(2)班人数相等，问应调往七(1)班、七(2)班各多少人？ 【答案】应调往七(1)班9人，调往七(2)班17人． 【详解】试题分析：设应调往七(1)班x人，则应调往七(2)班(26－x)人，根据等量关系“七(1)班原有的人数+调往七(1)班的人数=七(2)班原有的人数+调往七(2)班的人数”，列出方程，解方程即可． 试题解析： 设应调往七(1)班x人，则应调往七(2)班(26－x)人．根据题意，得 27＋x＝19＋26－x. 解得x＝9. 26－x＝17. 答：应调往七(1)班9人，调往七(2)班17人． 点睛：本题主要考查了一元一次方程的应用，根据两个班人数之间的关系列出方程是解题关键． 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）某公司门口有一个长为的长方形电子显示屏，公司的有关活动信息都会在电子显示屏上显示字幕．由于每次活动的信息不同，所以字幕的字数也就不等．为了制作及显示时方便，负责发布活动信息的员工对有关数据作出了如下规定：边空宽：字宽：字距=（如图）． 请用列方程的方法解决下列问题： （1）若某次活动字幕的字数为17，则字距是多少？ （2）若某次活动字幕的字宽为，则字数是多少？ 【答案】（1）10cm；（2）字数是15 【分析】（1）设字距为，则边空宽为，字宽为，可得方程组即可； （2）根据边空宽：字宽：字距=，设字数为y，即可得到方程，得出结论； 【详解】解：（1）设字距为，则边空宽为，字宽为． 根据题意得，解得， 答：字距是． （2）设字数为y，根据题意得，解得． 答：字数是15． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析是解题的关键． 【典型例题十二 日历问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和能否为51？如果能，这三个数分别是多少？ 【答案】能，这三个数分别是10，17，24． 【分析】设中间的数为x，其它两个为与，表示出之和，根据三个日期数之和为51，列出方程，如果求出的解符合题意，那么相邻三行里同一列的三个日期数之和能为51，否则不能． 【详解】设中间的数为x，其它两个为与， 根据题意得： ， 解得：， 则， 答：这三个数分别是10，17，24． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，关键是找出题目中的等量关系，列出方程，注意相邻三行里同一列的三个日期之间相差7． 2．（23-24七年级·江苏·假期作业）如图所示是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出4个数，完成下列问题：    (1)填空：a、c的关系是______． (2)计算：当时，求a的值． 【答案】(1) (2)a的值为6 【分析】（1）由题意得出即可； （2）由题知，，再根据计算出a即可． 【详解】（1）解：由图知，， 故答案为：； （2）解：由题知，， ∵， 即， 解得， ∴a的值为6． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，一元一次方程，根据图得出数字之间的关系是解题的关键． 3．（22-23七年级上·江苏南京·期中）如图，将连续的奇数1、3、5、7 …，排列成如下的数表，用十字框框出5个数．问： ①十字框框出5个数字的和与框子正中间的数17有什么关系？ ②若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，若设中间的数为a，用代数式表示十字框框住的5个数字之和； ③十字框框住的5个数字之和能等于2000吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）十字框框出5个数字的和=数的5倍；（2） （3）十字框框住的5个数字之和能等于2000．理由见解析． 【分析】（1）算出这5个数的和，和31进行比较； （2）由图易知同一竖列相邻的两个数相隔12，横行相邻的两个数相隔2．用中间的数表示出其他四个数，然后相加即可； （3）求出（2）中的代数式的和等于5a，可列方程求出中间的数，然后根据方程的解的情况就可以作出判断． 【详解】解：(1) 故十字框框出5个数字的和=数的5倍； (2) a-12+a-2+a+a+2+a+12=5a， 故5个数字之和为5a； (3)不能， 5a=2000， 解得a=400． 而a不能为偶数， ∴十字框框住的5个数字之和能等于2000． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决此题的关键是发现各个数之间的关系，能够用中间的数表示其它各数． 4．（22-23七年级上·重庆南川·阶段练习）如图是某月的日历： (1)设由6个数形成的阴影方框中，最大的数为，这6个数的和为，请你用含的代数式表示； (2)现想框出6个数的和为111，你能办得到吗？若能，请求出这六个数，若不能，请说明理由. 【答案】（1）y=6x-27 （2）这六个数分别是23,22,21,16,15,14 【分析】（1）根据日历中各个数的关系即可求出结论； （2）根据题意，列出一元一次方程，即可求出结论． 【详解】解：（1）设最大的数为,则其余的五个数分别为： ∴ （2）设最大的数为,由题意得: 解得:, ∴, , , , 答:能办到,这六个数分别是23,22,21,16,15,14． 5．（22-23七年级上·江苏泰州·期末）下表是2011年12月的日历表，请解答问题：在表中用形如下图的平行四边形框框出4个数， ⑴若框出的4个数的和为74，请你通过列方程的办法，求出它分别是哪4天？ ⑵框出的4个数的和可能是26吗?为什么? 【答案】（1）15,16,21,22;（2）无法构成平行四边形,理由见解析 【详解】分析：（1）设其中的一天为x，则其他3天可分别表示为x+1，x+6，x+7，然后根据它们的和为74，求解即可； （2）由（1）得出4天之和为4x+14，即4x+14=26．求出x做判断即可． 详解： （1）设第一个数是x，则根据平行四边形框框出4个数得其他3天可分别表示为x+1，x+6，x+7， 则：x+x+1+x+6+x+7=74， 解得：x=15； 所以它分别是：15，16，21，22； （2）设第一个数为x， 则4x+14=26，4x=12，x=3， 本月3号是周六， 由平行四边形框框出4个数， 得出结论：无法构成平行四边形． 点晴：考查一元一次方程的实际应用，主要利用四边形圈出4个数的关系解题，其关系为设：若其中的一天为x，则其他3天可分别表示为x+1，x+6，x+7． 【典型例题十三 其他问题(一元一次方程的应用)】 1．（2024·陕西西安·一模）小远在文具店买了一盒24色马克笔和一种黑色中性笔6根，共用了27元．已知他买一盒马克笔的钱比6根黑色中性笔的钱多3元．求该文具店中这种黑色中性笔的单价． 【答案】该文具店中这种黑色中性笔的单价是2元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是要读懂题目的意思，找出题目中等量关系，列出方程，再求解． 【详解】解：设该文具店中这种黑色中性笔的价格为x元/根，则： ． 解得． 答：该文具店中这种黑色中性笔的单价是2元． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知两个底面直径分别为，高均为的量筒中装有相同高度的水，若将小量筒中的水全部倒入大量筒中，刚好可以将大量筒倒满，则倒入水之前大量筒中水的体积是多少？（量筒为圆柱形，结果保留） 【答案】倒入水之前大量筒中水的体积为 【分析】 本题考查了一元一次方程的实际应用及圆柱体的体积公式，解题关键在于熟记该公式．设量筒中原来水的高度为，根据将小量筒中的水全部倒入大量筒中，刚好可以将大量筒倒满，求出量筒中原来水的高度，即可得出答案． 【详解】解：设量筒中原来水的高度为， 大量筒的底面半径为，底面积为， 小量筒的底面半径为，底面积为， 则由题意可得， 解得，经检验，符合题意， 量筒中原来水的高度为，倒入水之前大量筒中水的体积为． 答：倒入水之前大量筒中水的体积为． 3．（2023·吉林四平·一模）五四青年节来临之际，某校开展主题为“探寻红色记忆，传承五四精神”的团日活动．学校准备组织全体同学乘坐大巴到红色教育基地接受革命传统教育．经调查发现，如果每辆大巴乘坐38名学生，则有18名学生没座位；如果每辆大巴坐40名学生，则有一辆车空出20个座位．请问该校共有多少名学生？ 【答案】该校共有740名学生 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设该校共有x名学生．根据如果每辆大巴乘坐38名学生，则有18名学生没座位；如果每辆大巴坐40名学生，则有一辆车空出20个座位．列出方程，求解即可． 【详解】解：设该校共有x名学生． 根据题意，得， 解得． 答：该校共有740名学生． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）小颖的父母想为正在读初中的小颖做教育储蓄．他们考虑从下面两种储蓄方式中选择一种：①先存一个三年期，三年后将本息和再转存一个两年期；②先存一个两年期，两年后将本息和再转存一个三年期．设开始存入的本金为x元，定期存款年利率如表所示． 定期存款年利率表 定期存款（整存整取） 年利率/% 两年 2.25 三年 2.75 (1)若按照①的储蓄方式，三年后的本息和为________元，再将此本息和转存两年后要达到10 000元，可列方程为________； (2)若按照②的储蓄方式，两年后的本息和是________元，再将此本息和转存三年后要达到10 000元，可列方程为________； 【答案】(1)， (2)， 【分析】 本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； （1）先存一个3年期，利息＝本金×利率×时间，再存2年获得的利息＝（第一个3年的利息＋本金）×利率×时间，利用本息和＝本金＋利息建立方程即可； （2）先存一个2年期，利息＝本金×利率×时间，再存3年获得的利息＝（第一个2年的利息＋本金）×利率×时间，利用本息和＝本金＋利息建立方程即可； 【详解】（1）解：按照①的储蓄方式，三年后的本息和为元， 再将此本息和转存两年后要达到10 000元，可列方程为 ； （2）按照②的储蓄方式，两年后的本息和是元， 再将此本息和转存三年后要达到10 000元，可列方程为 . 5．（22-23六年级上·山东烟台·期末）数学课上，好学的小明向老师提出了一个问题：无限循环小数是无理数吗？ 以为例，老师给小明做了以下解答（注：即）： 设为x，即： 等式两边同时乘10，得： 即： 因为所以解得： 即． 因为分数是有理数，所以是有理数，同学们，你们学会了吗？请根据上述阅读，解决下列问题： (1)无限循环小数写成分数的形式是______ (2)请用解方程的办法将写成分数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算和解一元一次方程， 根据题意给定的解答方式，即可求得答案； 根据题意将等式两端扩大100即可利用给定的解答方式，可求得答案； 【详解】（1）解：设为x，即：， 等式两边同时乘10，得：， 即：， 因为， 所以，解得：， 即． 故答案为：． （2）设为x，即：， 等式两边同时乘100，得：， 即： ， 因为， 所以， 解得：， 即． 【典型例题十四 古代问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23九年级下·安徽合肥·期中）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？ 【答案】木条长为尺 【分析】设木条长为x尺，根据用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设木条长为x尺，则：绳长为尺，依题意得： 解得：； 答：木条长为尺． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）我国古代对于利用方程解决实际问题早有研究，《九章算术》中提到这么一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份去测，那么绳子会多出四尺；如果将绳子折成四等份去测，那么绳子会多出一尺．绳长和井深各多少尺？ 【答案】绳子长为36尺，井深8尺 【分析】设井深为x尺，则根据“将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺”即可列出方程求解. 【详解】设绳子长尺， 依题意得，解得， 所以． 答：绳子长为36尺，井深8尺． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键在弄清题意，找到等量关系并列出方程． 3．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）《算法统宗》中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓢醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”其意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，那么他们总共饮下了19瓶酒，问饮下醇酒，薄酒分别多少瓶？ 【答案】醇酒有10瓶，薄酒有 9瓶 【分析】设醇酒有瓶，则薄酒有瓶，根据“醇酒瓶醉了位客人，薄酒瓶醉了位客人，且共醉了位客人”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出醇酒的瓶数，再将其代入中即可求出薄酒的瓶数． 【详解】解：设醇酒有瓶，则薄酒有瓶，， 依题意得：， 解得：， ∴， 答：醇酒有瓶，薄酒有瓶． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4．（22-23七年级上·四川宜宾·期中）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图，如图所示的幻方中，横着的，竖着的及斜着的三个数之和均相等，求的值． 2 7 8 【答案】 【分析】由横着的、竖着的及斜着的三个数之和均相等，列出方程，解方程组求出、的值，即可解决问题． 【详解】解：由题意，得，， 解得，， 所以． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5．（23-24七年级上·河南商丘·期末）“曹冲称象”的故事取材于《三国志》，故事中称象方案是这样的：先将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个体重相同的士兵，这时水位恰好在标记位置；如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个士兵，水位在标记位置不变．每块条形石的重量都是280斤，设每个士兵的体重是斤． 孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理．冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”——《三国志》 (1)可列出等量关系：“20块条形石的重量”+“3个士兵的体重”=“______块条形石的重量”+“______个士兵的体重”； (2)求； (3)象的重量是______斤． 【答案】(1)21，1 (2) (3)6020 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系是解题关键， （1）根据题意得增加1块条石留下1个士兵即相等，完成解答； （2）根据等量关系列方程并解方程即可解决； （3）根据象的重量等于20块等重的条形石加上3个体重相同的士兵重量之和计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：“20块条形石的重量”+“3个士兵的体重”=“21块条形石的重量”+“1个士兵的体重”， 故答案为：21，1； （2）解：由题意得： ， 解得：； （3）解：象的重量斤， 故答案为：6020． 【变式训练1 行程问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h，已知水流的速度是3km/h，求甲乙两码头之间的距离． 【答案】60km 【分析】设静水速度为 km/h，顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，利用路程不变即可建立方程求解． 【详解】解：设静水速度为 km/h， 则： 解得： ∴ 即：甲乙两码头之间的距离为60km 【点睛】本题考查行程问题与一元一次方程．注意正确理解题意． 2．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）甲、乙两人同时骑自行车出发从A地去B地，甲骑行速度为12，乙骑行速度为10．2h后，乙剩余路程是甲的1.5倍．求A、B两地路程是多少？ 【答案】32km 【分析】设A、B两地路程是，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设A、B两地路程是． 由题意得：， 解得：． 答：A、B两地路程是32． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解答的关键． 3．（22-23七年级上·广东佛山·期末）已知、两地相距10千米，甲骑自行车从地出发，每小时骑行20千米，乙骑自行车从地出发，每小时骑行15千米． (1)两人同时出发，同向而行（沿方向），则经过几小时甲追上乙？ (2)两人同时出发，相向而行，如果设小时后两人相距2千米，那么可以列出的方程是什么？（直接写出方程即可，不要求化简、求解） 【答案】(1)经过2小时甲追上乙 (2)或 【分析】（1）两人同时出发，同向而行，属于追及问题，设经过小时甲追上乙，列式计算即可； （2）两人同时相向而行，两人相距2千米时有两种情况，第一种是还未相遇，第二种是已经相遇，根据条件列出方程即可． 【详解】（1）解：设经过小时甲追上乙， 依题意得： 解得： 答：经过2小时甲追上乙； （2）或 【点睛】本题主要查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意列出等量关系． 【变式训练2 配套问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·甘肃兰州·期末）某车间名工人，每人每天平均生产螺栓个或螺母个，要使生产的螺栓和螺母恰好能按刚好配套，问应安排多少个人生产螺栓？ 【答案】安排人生产螺栓 【分析】设人生产螺栓，则人生产螺母，根据题意得到一元一次方程即可求解． 【详解】设人生产螺栓，则人生产螺母 （人） 安排人生产螺栓． 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程． 2．（2024六年级下·上海·专题练习）某工厂生产茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，生产这套茶具的主要材料是紫砂泥、用1千克紫砂泥可做3个茶壶或6只茶杯．现要用9千克紫砂泥制作这些茶具，应用多少千克紫砂泥做茶壶，多少千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具多少套？ 【答案】应用3千克紫砂泥做茶壶，6千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具9套 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设应用千克紫砂泥做茶壶，千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具．由题意：每套茶具有1个茶壶和4只茶杯组成，用1千克紫砂泥可做2个茶壶或8只茶杯．现要用6千克紫砂泥制作这些茶具，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设应用千克紫砂泥做茶壶，千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具． 由题意得：， 解得：， 则（套． 答：应用3千克紫砂泥做茶壶，6千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具9套． 3．（2024·山东聊城·一模）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板，为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：cm） (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张； (2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【答案】(1)9，15 (2)用100张原材料板材裁剪A型纸板，用30张原材料板材裁剪B型纸板，能做225个纸盒 【分析】本题考查一元一次方程的应用 （1）根据题意，可得每张原材料板材可以裁得型纸板（张，每张原材料板材可以裁得型纸板（张； （2）设用张原材料板材裁剪型纸板，可得：，即可解得答案． 【详解】（1）解：根据题意，每张原材料板材可裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张型长方形纸板或5张型正方形纸板， 每张原材料板材可以裁得型纸板（张，每张原材料板材可以裁得型纸板（张； 故答案为：9，15； （2）解：设用张原材料板材裁剪型纸板，则用张原材料板材裁剪型纸板， 根据题意得：， 解得， ， ， 用100张原材料板材裁剪型纸板，用30张原材料板材裁剪型纸板，能做225个纸盒． 【变式训练3 工程问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）修路队修一条路，第一天修了全长的，如果再修米就完成了总工程的一半，这条路一共长多少米？ 【答案】 【分析】设这条路一共长为，题目中存在等量关系：路长的路长的一半，据此可得到关于的一元一次方程，求解即可得到答案． 【详解】设这条路一共长为． 根据题意，得 ． 解得 ． 答：这条路一共长为． 【点睛】本题主要考查实际问题与一元一次方程，能用含有未知数的式子表示出题目中的等量关系是解题的关键． 2．（22-23七年级上·上海奉贤·期中）区域需要将一段长为120米的绿化带进行整修，整修任务由甲、乙两个工程队先后接力共同完成．已知甲工程队每天可以整修8米，乙工程队每天可以整修6米，两个工程队共用了18天，问甲、乙两个工程队整修绿化带分别参加了几天？ 【答案】甲工程队整修绿化带参加了6天，乙工程队整修绿化带参加了12天 【分析】设甲工程队整修绿化带参加了x天，则乙工程队整修绿化带参加了天，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设甲工程队整修绿化带参加了x天，则乙工程队整修绿化带参加了天，依题意有： ， 解得， 则． 故甲工程队整修绿化带参加了6天，乙工程队整修绿化带参加了12天． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 3．（22-23七年级上·河北保定·期末）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米． (1)求甲工程队每天掘进多少米 (2)按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天． 【答案】(1)7米 (2)10天 【分析】（1）设甲工程队每天掘进米，则乙工程队每天掘进米，利用甲、乙两工程队3天共掘进26米列出方程，分别求得甲、乙工程队每天的工作量； （2）根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间即可． 【详解】（1）解：设甲工程队每天掘进米，则乙工程队每天掘进米， 由题意得，， 解得， 所以甲工程队每天掘进7米． （2）解：（天）； ∴甲乙两个工程队还需联合工作10天． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题关键． 【变式训练4 销售盈亏(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）某商场推出新年大促销活动，其中标价为元的某种商品打九折销售，该种商品的利润率为．求该商品的成本价是多少？ 【答案】元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该商品的成本价是元，列方程求解即可． 【详解】解：设该商品的成本价是元， 则有：， 解得：， 答：该商品的成本价是元 2．（23-24六年级上·山东泰安·期末）随着网络的普及，“直播带货”成为火热的销售模式之一．一运动品牌上衣在实体店按成本价提高30%销售，在直播间以实体店售价的9折进行销售，结果在直播间每卖出1件该运动上衣可获利34元，设该运动上衣的成本价为x元，根据题意，列方程解出x的值． 【答案】该运动上衣的成本价为200元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，由折扣的定义，根据售价=成本+利润，即可列出方程． 【详解】设该运动上衣的成本价为x元， 根据题意得： 解得． 答：该运动上衣的成本价为200元． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）某文具店在一周的销售中，盈亏情况如下表（盈余为正，单位为元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 188 458 表中星期六的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈还是亏．盈亏多少． 【答案】盈利49元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．正确理解正负数的意义；设星期六为元，根据题意可得等量关系：七天的盈亏数之和，根据等量关系列出方程，再解方程即可． 【详解】解：设星期六为元，则：， ， ， 因为49为正数，故星期六是盈利，盈利49元， 答：星期六是盈利49元． 【变式训练5 比赛积分(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·全国·课后作业）某中学举办的中学生安全知识竞赛中共有20道题，每一道题答对得5分，答错或不答都扣3分．小强考了68分，求小强答对了多少道题？ 【答案】16道 【分析】设小强答对了道题，根据条件列出关于的方程，解出即可． 【详解】解：设小强答对了道题． 依题意，列方程得， 解得． 答：小强答对了16道题． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，从题目中列出一元一次方程是解题的关键． 2．（2024·吉林长春·一模）2023-2024全国甲A篮球赛（CBA）共进行了52轮常规赛，最后辽宁队和新疆队进入总决赛．常规赛中，规定胜一场积2分，负一场积1分，每场比赛均分胜负，常规赛结束时，辽宁队积分为95分，求辽宁队在常规赛中负了几场． 【答案】9场 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据积分等于胜场积分负场积分列方程解题即可． 【详解】解：设辽宁队在常规赛中负了x场， 答：辽宁队在常规赛中负了场． 3．（23-24七年级下·河南·阶段练习）为响应河南省“2024全民阅读”系列活动，某校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同．下表记录了3名参赛学生的得分情况． 参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 44 (1)根据表格，比赛规则为：答对1道题得 分，答错或不答1题扣 分； (2)求出C同学答对的题数，并将表格补充完整． 【答案】(1)5，2； (2)答对12道题，表格见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解表格得出答对1题及答错或不答1题的得分是解题的关键： （1）根据A学生答对20道题得100分求出答对1道题得分，再利用B学生 的得分求出答错或不答1道题得分； （2）设C同学答对x道题，列得方程，求出x即可． 【详解】（1）∵A学生答对20道题得100分， ∴答对1道题得分， ∴答错或不答1题扣分， 故答案为：5，2； （2）设C同学答对x道题， ， 解得， ∴答对12道题， 参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 12 8 44 【变式训练6 方案选择(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·陕西渭南·期末）七年级（1）班在劳动时，将全班同学分成m个小组，若每小组9人，则余下3人；若每小组10人，则有一组少4人，求七年级（1）班共有多少名学生？ 【答案】七年级（1）班共有66名学生 【分析】根据全班同学人数不变以及“将全班同学分成m个小组，若每小组9人，则余下3人；若每小组10人，则有一组少4人”列出方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． （名） 答：七年级（1）班共有66名学生 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程． 2．（22-23七年级上·天津滨海新·期末）国庆节期间，甲、乙两商场以相同价格出售同样的商品，并且各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过元后，超出的部分打八五折收费；在乙商场累计购物超过元后，超出的部分打九折收费．设小华预计累计购物x元（）． (1)计算一下，小华预计累计购物多少元商品时，到两个商场购物实际所付的费用相同？ (2)如果小华预计累计购物元的商品，她选哪个商场购物比较合适？说明理由． 【答案】(1)500元 (2)甲商场，理由见解析 【分析】（1）根据题意表示出两个商场的费用，列方程即可； （2）分别求出在两个商场的费用比较大小即可． 【详解】（1）解：设小华累计购物x元（），到两个商场购物实际所付的费用相同． 根据题意，得 ． 整理，得， 解得 ． 答：小华累计购物500元商品时，到两个商场购物实际所付的费用相同． （2）解：当累计购物600元商品时， 在甲商场购物所付的费用为（元）， 在乙商场购物所付的费用为（元）． 因为 ， 所以小华选甲商场购物比较合适． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 3．（23-24七年级上·广东广州·期末）为进一步加强居民对电信诈骗的防范意识，提高对电信诈馅的鉴别、自我保护能力，营造全民反诈的浓厚氛围，某小区志愿者们积极配合社区开展反诈骗宣传工作，准备印制一些反诈骗宣传小册子，利用中秋国庆假期到公园里开展防诈骗、反诈骗宣传活动，现有甲、乙两家印刷店可供选择，两家收费情况如下： 印刷店 设计费/元 印刷单价/（元/册） 甲 6 4 乙 12 (1)请你替该小区志愿者们计算一下，印刷多少册，两家的印刷总费用是相等的？ (2)乙店得知志愿者们用零花钱集资印刷宣传册后，将印刷单价给予打折优惠，志愿者们花费201元即可印刷60册，请你计算一下，乙店是打几折优惠的？ 【答案】(1)印刷12册，两家的印刷总费用是相等 (2)乙店是打九折优惠 【分析】本题考查了一元一次方程的应用 （1）根据“两家的印刷总费用是相等”列方程求解； （2）根据“花费201元即可印刷60册”列方程求解． 【详解】（1）解：（1）设印刷册，两家的印刷总费用是相等， 则：， 解得：， （2）解：设乙店是打折优惠的， 则：， 解得：， 答：乙店是打九折优惠． 【变式训练7 数字问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·全国·课后作业）一个两位数个位上的数是1，十位上的数是x．把1与x对调，新两位数比原两位数小18，x应是哪个方程的解？你能想出x是几吗？ 【答案】方程为： 【分析】根据个位上的数是1，十位上的数是x，再用把个位上的数与十位上的数对调得到的数比原数小18列出方程，解出即可． 【详解】解：根据题意列方程得： 解得：x＝3， 答：x是方程的解，是3． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，此题的关键表示出这个数，据题意列出方程解决问题． 2．（2024·陕西榆林·三模）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大4，把个位上的数字和十位上的数字对调，新的两位数与原两位数之和为110，求原两位数是多少． 【答案】37 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设原两位数的十位上数字为x，则个位上的数字为，根据“把个位上的数字和十位上的数字对调，新的两位数与原两位数之和为110”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设原两位数的十位上数字为x，则个位上的数字为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：原两位数是37． 3．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）我们在前面章节的学习中已经知道，单独的一个数可以用一个字母来表示，例如，可以用a表示3，b表示5，x表示56等等，但对于一个几位数，用组成它的各个数位上的数字来表示它却不是这样简单的事，比如，用a、b、c分别表示三位数123的百位、十位和个位上的数，不能写成abc，这样会误认为是三个字母所表示的数相乘了，而要表示成：． 阅读以上材料，请解答下面的问题： 一个两位数，十位数字比个位数字小3，若把这个两位数的十位数字与个位数字交换，所得的两位数与原两位数的和为165，求原两位数．设其十位数字为x，请列出方程， 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意可得原两位数的个位数字为，从而得到原两位数为，交换后的两位数为，再由“把这个两位数的十位数字与个位数字交换，所得的两位数与原两位数的和为165”，列出方程，即可． 【详解】解：根据题意得：原两位数的个位数字为， ∴原两位数为， ∴交换后的两位数为， ∵把这个两位数的十位数字与个位数字交换，所得的两位数与原两位数的和为165， ∴． 【变式训练8 几何问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·广东广州·期末）一根长米的铁丝围成一个长是宽的倍的长方形，求这个长方形的宽． 【答案】长方形的宽为米 【分析】根据长方形的性质，设宽为，则长为，由周长米即可求解． 【详解】解：设宽为，则长为， ∴， 解方程得，， ∴长方形的宽为米． 【点睛】本题主要考查长方形的性质，与一元一次方程的综合运用，掌握题目的数量关系列方程是解题的关键． 2．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，一个长方形养鸡场的一条长边靠墙，墙长，其他三边用竹篱笆围成，现有长的竹篱笆，小林的设计方案是长比宽多，你认为他设计的长边是否符合实际情况？通过计算说明理由． 【答案】不符合实际情况，理由见解析 【分析】 本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，建立方程解题是关键；设篱笆的长为米，宽为米，再利用篱笆总长为35米建立方程求解，再检验即可． 【详解】解：设篱笆的长为米，宽为米 ∴， 解得：， ∵米米，不符合实际情况． 3．（2024·北京房山·一模）在房山区践行“原色育人，生态发展”教育发展理念的引领下，某校为提升实践育人实效，积极组织学生建设劳动基地，参与校园种植活动．计划在校园内一块矩形的空地上开垦两块完全相同的矩形菜园，如图所示，已知空地长米，宽米，矩形菜园的长与宽的比为，并且预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，那么预留通道的宽度和矩形菜园的宽分别是多少米？ 【答案】预留通道的宽度是米，矩形菜园的宽是米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设矩形菜园的宽为米，则长为，根据预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，可列一元一次方程，解得的值即为矩形菜园的宽，可求得预留通道的宽度． 【详解】解：设矩形菜园的宽为米，则矩形菜园的长为米． 由题意可得， ． 解得． ∴． 答：预留通道的宽度是米，矩形菜园的宽是米． 【变式训练9 和差倍分问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23六年级上·上海·期中）一筐苹果卖出了它的后，又卖出了48个，这时剩下的正好是这一筐苹果的，那么这筐苹果原来有多少个？还剩下几个？ 【答案】原来有224个，还剩下48个 【分析】设苹果原来有x个，根据题意列出方程即可解决． 【详解】解：设苹果原来有x个， 根据题意得（1-）x-48=x， 解得x=224． 224×=48（个）， 答：这筐苹果原来有224个，还剩下48个． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，找到等量关系列出方程是解题关键． 2．（22-23七年级上·全国·课后作业）根据问题，设未知数，列出方程： 甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？ 【答案】设买甲种铅笔x支，． 【分析】可以设甲种铅笔买了x枝，根据9元钱买了两种铅笔共20枝可得方程，求方程的解即可． 【详解】解：设甲种铅笔买了x枝，则乙种铅笔买（20−x）枝， 由题意得0.3x＋0.6（20−x）＝9． 【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 3．（2024·北京通州·一模）2023年12月27日北京城市副中心“三大文化建筑”之一的北京城市图书馆对外开放，其总建筑面积约万平方米，藏书量达800万册，建有世界最大的单体图书馆阅览室．图书馆内的功能区设置阅览坐席，方便读者使用．其中，山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席总数为1900个，非遗文献馆的坐席数与少年儿童馆坐席数之比为，山体阅览区的坐席数是少年儿童馆坐席数的4倍多200个，求山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席数量． 【答案】非遗文献馆的坐席数为200个，少年儿童馆坐席数为300个，山体阅览区的坐席数为1400个 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，找出等量关系列方程是解题关键，设非遗文献馆的坐席数为个，则少年儿童馆坐席数为个，山体阅览区的坐席数为个，根据坐席总数为1900个列方程解决即可． 【详解】解：设非遗文献馆的坐席数为个，则少年儿童馆坐席数为个，山体阅览区的坐席数为个， 根据题意得：， 解得，， 答：非遗文献馆的坐席数为200个，少年儿童馆坐席数为300个，山体阅览区的坐席数为1400个． 【变式训练10 电费和水费问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级下·山西临汾·阶段练习）为了增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为3.5元/吨.该市小明家2月份用水12吨，交水费34元.请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？ 【答案】8吨 【分析】设该市规定的每户月用水标准量是x吨，由12×2.5＜34可得出x＜12，根据小明家2月份缴纳的水费金额=2.5×用水标准量+3.5×（12-用水标准量），即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：设该市规定的每户月用水标准量是x吨． ∵12×2.5=30（元），30＜34， ∴x＜12． 根据题意得：2.5x+3.5×（12-x）=34， 解得：x=8． 故答案为8吨． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 2．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）某地居民生活用电基本价格为元/度．规定每月基本用电量为a度，超过部分电量的每度电价比基本用电量的每度电价增加收费，某用户在5月份用电100度，共交电费56元，求a的值？ 【答案】 【分析】本题考查考查一元一次方程的实际应用，根据5月份用电100度，共交电费56元，列出方程进行求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：． 3．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）某城市对居民用水实行三级阶梯水价，收费标准如表： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过立方米 2 超过立方米且不超过立方米的部分 a 超过立方米的部分 4 (1)若小明家去年1月份用水量是立方米，他家应缴费 元． (2)若小明家去年2月份用水量是立方米，缴费元，请求出用水在立方米之间的收费标准a元/立方米． (3)在（2）的条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米． 【答案】(1) (2) (3)他家8月份的用水量是立方米 【分析】本题考查了一元一次方程在阶梯收费问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）计算即可求解； （2）由题意可列方程，据此即可求解； （3）设他家8月份的用水量是立方米，根据题意可列方程求解． 【详解】（1）解：由表格数据可得：他家应缴费：元， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：； （3）解：设他家8月份的用水量是立方米， 则， 解得：， ∴他家8月份的用水量是立方米． 【变式训练11 比例分配(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）七年级某班学生参加体育活动，原来每组5人，后来根据需要重新分组，每组9人，结果比原来减少4组，问原来分了多少组？这个班级共有学生多少人？ 【答案】原来分成9组，这个班共有学生45人． 【分析】设原来共有x组，根据题意列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设原来共有x组，则 所以这个班有学生人， 答：原来分成9组，这个班共有学生45人． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 2．（22-23六年级下·上海闵行·期中）某公路收费站的收费标准是大客车20元，大货车10元，轿车5元，某天通过收费站的这三种车辆的数量之比是，共收费4800元，问这天通过收费站的三种车各是多少辆？ 【答案】这天通过收费站的大客车120辆，大货车168辆，轿车144辆． 【分析】设这天通过收费站的大客车辆，大货车辆，轿车辆，根据“大客车20元，大货车10元，轿车5元，共收费4800元”列出方程并解答． 【详解】解：设这天通过收费站的大客车辆，大货车辆，轿车辆， 依题意得：， 解得， 则（辆），（辆），（辆）． 答：这天通过收费站的大客车120辆，大货车168辆，轿车144辆． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是找到题中的等量关系列出方程． 3．（22-23七年级下·福建泉州·阶段练习）妇人洗碗在河滨，路人问他客几人？答曰：“不知客数目，六十五碗自分明，二人共食一碗饭，三人共吃一碗羹，四人共肉无余数，请君细算客几人？”本题的大意是：有一名妇人在河边洗碗，一个过路的人问她有多少个客人吃饭，妇人说“人数不知道，一共65个碗，其中两个人共用一碗饭，三个人共喝一碗汤，四个人共吃一碗肉，请你算算一共有多少个客人？” 【答案】60 【分析】设共有客人位，根据客人共用的碗共65个，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设共有客人人，依题意可得：． 解之得：． 答：共有客人60人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式训练12 日历问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）如图的数阵是由88个偶数组成： (1)甲同学这样圈出的四个数的和为432，你能求出这四个数吗？ (2)乙同学想用这样的框圈出和为172的四个数，可能吗？ (3)你能用这样的框圈出和为352的四个数吗？若能，请写出这四个数：若不能，请说明理由． 【答案】(1)100，102，114，116 (2)圈出四个数的和不能为172 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用．理解题意，把问题转化为方程问题是关键． （1）设最小的数为x，用x表示其它3个数列方程求解． （2）根据（1）列方程求出x，看x是否是偶数判定． （3）根据（1）的解法得出四个数，再结合数阵中这几个数的位置判定是否能组成平行四边形． 【详解】（1）解：设甲同学圈出的四个数中最小的为x，则其它三个是， ∵和为432， ∴， 解得， ∴ ∴这四个数是100，102，114，116； （2）解：圈出四个数的和不能为172；理由如下： 设圈出四个数中最小的为m， 根据题意得：， 解得， ∵35不是偶数， ∴圈出四个数的和不能为172； （3）解：不能圈出和为352的四个数，理由如下： 设圈出四个数中最小的为n， 根据题意得：， 解得， ∴ 由数阵可知，80在最右边一列， 82在最左边一列，96在80的正下方， ∴不能圈出和为352的四个数． 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）将从1到900的正整数按一定规律排列如下表： 对如图十字形框中的5个数进行探究： (1)设这5个数中间的数为a，则最小的数为 ，最大的数为 ； (2)若这5个数的和是 240，求出这5个数中间的数： (3)这5个数的和可能是2025 吗，若能，求出这5个数中间的数，若不能，请说明理由． (4)若在（1）中十字形框中框住的五个数的和记为“S”，则S的最大值与最小值的差等于 【答案】(1)， (2) (3)不能 (4) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到数据的规律，列出正确的方程是本题的关键． （1）设中间的数为，其他四个数分别为，即可得最小的数和最大的数； （2）根据题意列出方程，求解即可； （3）根据题意列出方程，可求为，可得是的倍数，则在第列，则这个数的和不可能是； （4）根据表中数据分别求出五个数的最大值和五个数的最小值，在作差即可． 【详解】（1）设中间的数为，其他四个数分别为，则最小的数，最大的数为 ， 故答案为： （2）由（1）得: ， 解得， 答：这个数中间的数为； （3）不能，理由为： 由 （1）得:， 解得， ， ∴是第列的数， ∴这个数的和不可能是； （4）当这个数的和最大时，，则， ， 当这个数的和最小时 ，则 ， ， 故答案为:． 3．（2023七年级上·全国·专题练习）如图是2022年2月的日历表：    (1)在图中用优美的“”U形框框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为 　 　； (2)在图中将U形框上下左右移动，框住日历表中的5个数字，设最小的数字为x，用代数式表示U形框框住的五个数字之和为 　 　； (3)在图中移动U形框的位置，框住的五个数字之和可以为63吗？若能，求出这五个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)38 (2) (3)框住的五个数字之和不可以为63，理由见解答过程 【分析】（1）写出框出的5个数，相加即可 ； （2）用含x的代数式表示出框住的5个数，再相加即可； （3）列出方程，解方程 ，再根据图形可得答案； 【详解】（1）由图可知，框住的5个数分别是1，8，16，3，10， ∵， ∴U形框中的五个数字之和为38， 故答案为：38； （2）U形框框住的5个数分别是， ∴U形框框住的五个数字之和为； 故答案为：； （3）框住的五个数字之和不可以为63，理由如下： 设最小的数字为x，由（2）可知这5个数和为， ∴， 解得， ∴要求框出的5个数中最小的是6，由图可知，不能框出这样的5个数． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出框出的5个数的大小规律，列出一元一次方程． 【变式训练13 其他问题(一元一次方程的应用)】 1．（2024七年级·全国·竞赛）一个大人一餐能吃4个面包，4个幼儿一餐只吃一个面包，现大人和幼儿共人，一餐刚好吃光个面包．这个人中大人和幼儿各有多少人？ 【答案】大人20人，幼儿80人 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设大人有人，则幼儿有人，根据面包数大人吃的面包幼儿吃的面包，即可建立方程求解． 【详解】解：设大人有人，则幼儿有人， 则， 解得， 幼儿：（人）， 答：大人人，幼儿人． 2．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）某校开展劳动教育，在植树节当天组织植树活动，该校七年级共有人参加活动，分成树苗保障组和种植组，种植组的人数是树苗保障组人数的倍． (1)求树苗保障组的人数； (2)已知种植点有甲、乙两处，种植组在甲处有人． ①用含的代数式表示种植组在乙处的人数； ②若，树苗保障组人员在运送完树苗后全部去支援种植组，使在甲处种植的人数是乙处种植人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？ 【答案】(1)树苗保障组的人数为人 (2)①人；②应调往甲处人，乙处人 【分析】本题考查列一元一次方程解决实际问题，根据题意列出方程是关键．设未知数，根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解：设树苗保障组有人，则种植组有人， ，解得． 答：树苗保障组的人数为人． （2）①由（1）知，种植组的人数是（人）， 种植组在乙处的人数为人． ②当时，种植组在乙处的人数为． 设应调往甲处人，则应调往乙处人． 由题意，得，解得， ． 答：应调往甲处人，乙处人． 3．（22-23七年级上·山东济南·期末）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价） 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 40 50 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数和售价不变，乙商品的件数是第一次的3倍并打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多900元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？ 【答案】(1)该超市购进甲、乙两种商品分别为150件、90件 (2)第二次乙商品是按原价打8折销售 【分析】（1）设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据单价数量总价，即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出该超市购进甲、乙两种商品各多少件；再根据总利润单件利润销售数量，列式计算即可求出结论； （2）设第二次乙种商品是按原价打折销售，根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意得：， 解得：， 则． 答：该超市购进甲、乙两种商品分别为150件、90件； （2）解：第一次获得的利润为元， 设第二次乙种商品是按原价打折销售， 根据题意得：， 解得：． 答：第二次乙商品是按原价打8折销售． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程，根据总利润单件利润销售数量列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式训练14 古代问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）我国民间流传着这样的一道题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两多7两；每人半斤少半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（注：古代1斤=16两） 【答案】15人分112两银 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理清数量关系、正确列出一元一次方程成为解题的关键． 设有x人，然后根据题意列出方程求得x的值，进而求得银的两数． 【详解】解：设有x人， 由题意可得：，解得： 则银两． 答：15人分112两银． 2．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦；已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问：有多少匹大马、多少匹小马？（用方程解决问题） 【答案】有匹大马、匹小马． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用．设小马有匹，大马有匹，根据题意可得等量关系：大马拉瓦数小马拉瓦数，根据等量关系列出方程，解方程即可得解． 【详解】解：设小马有匹，大马有匹，由题意得： ， 解得：， ， 答：有匹大马、匹小马． 3．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为130斤，求大象的体重．请将下列解答过程补充完整：    解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量个搬运工的体重和块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以 ①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为：______． ②解这个方程得，______． ③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量______．个搬运工的体重 ④最终可求得：大象的体重为______斤． 【答案】；260；2；5590 【分析】根据题意，表示出大象的重量可表示为斤，也可表示为斤，进而可列方程求解即可. 【详解】解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量个搬运工的体重和块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以 ①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为：． ②解这个方程得，． ③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量个搬运工的体重； ④， 即最终可求得：大象的体重为5590斤． 故答案为：；260；2；5590． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$