第09讲 一元一次方程的解法（1大知识点+5大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新七年级数学衔接讲义（人教版2024）

第09讲 一元一次方程的解法（1大知识点+5大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 解一元一次方程(一)--合并同类项与移项 题型二 解一元一次方程(二)--去括号 题型三 解一元一次方程(三)--去分母 题型四 解一元一次方程--拓展 题型五 一元一次方程的新定义运算 知识点01 一元一次方程 1. 定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 2. 标准形式：方程（其中是未知数，、是已知数，并且）叫做一元一次方程的标准形式。 温馨提示： ① 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母不含未知数。 ② 一元一次方程只含有一个未知数，未知数的次数都为1。如，，都不是一元一次方程。 【典型例题一 解一元一次方程(一)--合并同类项与移项】 1．（23-24七年级上·四川泸州·期末）关于x的方程的解是整数，则整数k的可能值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·四川泸州·期末）若是方程的解，则a的值为（    ） A． B．4 C．16 D． 3．（23-24七年级上·广东汕头·期末）若代数式与的值相等，则 ． 4．（23-24七年级上·四川泸州·期末）已知代数式与的值相等，那么x的值等于 ． 5．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）解方程：． 6．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）解方程． (1)； (2)． 【典型例题二 解一元一次方程(二)--去括号】 1．（22-23七年级下·海南儋州·阶段练习）将方程去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023九年级·全国·专题练习）研究下面解方程的过程： 去括号，得，（1） 移项，得，（2） 合并同类项，得，（3） 系数化1，得． 对于上面的解法，你认为（    ） A．完全正确 B．变形错误的是（1） C．变形错误的是（2） D．变形错误的是（3） 3．（22-23七年级上·广东肇庆·期末）一元一次方程的解为 ． 4．（23-24七年级上·河北张家口·期中）如果用c表示摄氏温度，用f表示华氏温度．根据表中数据，写出c的值为 ，f的值为 ． c与f之间的关系是： c f 5．（23-24七年级上·吉林·期末）解方程：． 6．（22-23七年级上·河南信阳·期末）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，如： (1)求的值； (2)已知，求x的值． 【典型例题三 解一元一次方程(三)--去分母】 1．（23-24七年级上·山西吕梁·阶段练习）如果方程的解也是方程的解，那么的值是（    ） A．7 B．5 C．3 D．4 2．（23-24七年级上·山西吕梁·阶段练习）解方程去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·安徽六安·三模）关于的一元一次方程的解为 ． 4．（22-23七年级上·甘肃平凉·期末）方程的解是 ． 5．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）解方程：． 6．（23-24七年级上·山西忻州·期末）下面是小青同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的问题． 解方程：． 解：．………………第一步 ．………………第二步 ．………………第三步 ．………………第四步 ．………………第五 (1)填空：①以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是________； ②第________步开始出错，这一步错误的原因是________； ③请直接写出该方程的正确解为________． (2)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议． 【典型例题四 解一元一次方程--拓展】 1．（22-23七年级下·甘肃天水·期末）已知关于x的方程的解是x＝－2，则a的值是（    ） A．5 B．－5 C．12 D．13 2．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）在解关于x的方程时，小冉在去分母的过程中，右边的“一2”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x=2，则方程正确的解是（    ） A．x=-12 B．x=-8 C．x=8 D．x=12 3．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）关于x的方程的解是 ． 4．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设，，，为有理数，现规定一种新的运算，则满足等式：的的值为 ． 5．（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； 6．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）阅读与理解： 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，的解为，两个方程解之和为1，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)请你通过计算说明方程与方程是否互为“美好方程”？ (2)若关于x的方程与方程互为“美好方程”，求m的值． 【典型例题五 一元一次方程的新定义运算】 1．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）定义: “*”运算为“”，若， 则的值为(     ) A．1 B． C． D．2 2．（22-23七年级上·安徽铜陵·期末）定义二阶行列式，那么当的值为时，（  ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·广东云浮·期末）现定义一种新运算，对于任意有理数a，b，c，d满足，若对于未知数x的式子满足，则未知数 ． 4．（2023·广东深圳·一模）定义新运算：对于任意有理数 、 都有 ，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如： ．则 ，则 ． 5．（23-24七年级上·吉林松原·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程 是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值． 6．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）我们定义一种新运算：，例如：． (1)求的值： (2)若，求x的值． 【变式训练1 解一元一次方程(一)--合并同类项与移项】 1．（2024·海南三亚·二模）已知代数式的值等于8，则x的值等于（    ） A． B．7 C． D．9 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）定义一种新运算：，若，则 ． 3．（23-24七年级上·青海海东·期末）解方程：． 【变式训练2 解一元一次方程(二)--去括号】 1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在解方程时，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图所示的框图表示解方程的流程，其中代表的步骤是 ． 3．（23-24七年级上·吉林·期末）解方程：． 【变式训练3 解一元一次方程(三)--去分母】 1．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）解方程 下面去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级上·山东威海·期末）在解关于x的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母，因而求得方程的解为，则方程正确的解是 ． 3．（23-24七年级上·广东深圳·期中）解方程：． 【变式训练4 解一元一次方程--拓展】 1．（2023七年级上·全国·专题练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（2024六年级下·上海·专题练习）对于任何有理数、、、，我们规定，如．如果，那么的值是 ． 3．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）阅读与理解： 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，的解为，两个方程解之和为1，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)请你通过计算说明方程与方程是否互为“美好方程”？ (2)若关于x的方程与方程互为“美好方程”，求m的值． 【变式训练5 一元一次方程的新定义运算】 1．（22-23七年级上·河北唐山·期末）定义，若，则x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（23-24七年级下·河南鹤壁·阶段练习）定义新运算“”，规定，若，则 ． 3．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）我们来定义一种运算：．例如． （1）试计算的值； （2）按照这种运算规定，求式子中的值． 1．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·海南海口·阶段练习）将方程 2（x- 3）-3（2x+1）=7去括号，正确的是（    ） A．2x-3-6x+1=7 B．2x-6-6x+3=7 C．2x-6-6x-3=7 D．2x-3-6x-1=7 3．（23-24七年级上·广东东莞·期中）将方程去分母，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·全国·期末）现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足，例如，，若有理数x满足，则x的值为（　　） A．4 B．5 C．21 D．5或21 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）如图是方程的求解过程，其中表示“去括号”的是（    ） （①），得． （②），得． （③），得． （④），得． （⑤），得． A．① B．② C．③ D．④ 6．（23-24七年级下·浙江·期中）方程中，用含x的代数式表示y，则 ． 7．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）如果方程的解也是方程的解，那么的值是 ． 8．（23-24七年级下·四川眉山·期中）关于x的方程的解是正整数，满足条件的所有整数m的积是 ． 9．（23-24七年级上·湖南岳阳·阶段练习）现定义某种运算“☆”，对给定的两个有理数a，b，有．若，则x的值为 ． 10．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图所示的框图表示解方程的流程，其中代表的步骤是 ． 11．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）解方程：． 12．（23-24七年级上·广东广州·期中）解方程：． 13．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）（1）计算：；     （2）解方程：． 14．（22-23七年级上·福建莆田·期中）已知关于的方程的解比关于的方程的解大，求的值． 15．（23-24七年级上·全国·课堂例题）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 一元一次方程的解法（1大知识点+5大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 解一元一次方程(一)--合并同类项与移项 题型二 解一元一次方程(二)--去括号 题型三 解一元一次方程(三)--去分母 题型四 解一元一次方程--拓展 题型五 一元一次方程的新定义运算 知识点01 一元一次方程 1. 定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 2. 标准形式：方程（其中是未知数，、是已知数，并且）叫做一元一次方程的标准形式。 温馨提示： ① 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母不含未知数。 ② 一元一次方程只含有一个未知数，未知数的次数都为1。如，，都不是一元一次方程。 【典型例题一 解一元一次方程(一)--合并同类项与移项】 1．（23-24七年级上·四川泸州·期末）关于x的方程的解是整数，则整数k的可能值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的整数解，先解方程得到，根据x为整数得到或，即可解题． 【详解】解：解方程可得， ∵x为整数， ∴满足或， 解得的值为，1，，共4个， 故选D． 2．（23-24七年级上·四川泸州·期末）若是方程的解，则a的值为（    ） A． B．4 C．16 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解．将代入方程，得到关于a的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：将代入方程， 得， 解得， 故选：B ． 3．（23-24七年级上·广东汕头·期末）若代数式与的值相等，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查解一元一次方程．根据题意，列出方程进行求解即可．掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·四川泸州·期末）已知代数式与的值相等，那么x的值等于 ． 【答案】 【分析】 本题考查了解一元一次方程，可得解方程，即可求解；正确解方程是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案：． 5．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解； 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 6．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）合并同类项，系数化成1即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （2）， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 【典型例题二 解一元一次方程(二)--去括号】 1．（22-23七年级下·海南儋州·阶段练习）将方程去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号法则即可得． 【详解】解：， 去括号，得， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次方程中的去括号，熟练掌握去括号法则是解题关键． 2．（2023九年级·全国·专题练习）研究下面解方程的过程： 去括号，得，（1） 移项，得，（2） 合并同类项，得，（3） 系数化1，得． 对于上面的解法，你认为（    ） A．完全正确 B．变形错误的是（1） C．变形错误的是（2） D．变形错误的是（3） 【答案】B 【分析】根据解一元一次方程的步骤判断求解即可． 【详解】解：， 去括号，得，①变形错误， 正确应为：， 移项，得，（2）变形正确， 合并同类项，得，（3）变形正确， 系数化1，得．（4）变形正确，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 3．（22-23七年级上·广东肇庆·期末）一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1的解法步骤求解即可． 【详解】解：去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得 故答案为：． 4．（23-24七年级上·河北张家口·期中）如果用c表示摄氏温度，用f表示华氏温度．根据表中数据，写出c的值为 ，f的值为 ． c与f之间的关系是： c f 【答案】 20 32 【分析】把代入可得的值，把代入可得的值，从而可得答案． 【详解】解：∵c与f之间的关系是：， 当时，则， 当时，， 解得：． 故答案为：，； 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解一元一次方程，理解题意，将的值或的值代入得到一元一次方程是解题的关键． 5．（23-24七年级上·吉林·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 6．（22-23七年级上·河南信阳·期末）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，如： (1)求的值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用新定义法则进行计算即可； （2）利用新定义法则将代求项转化为一元一次方程，再利用解一元一次方程的一般步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： （2）解：， 可化为： ， 去括号得：， 合并得：， 系数化为1得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程，利用新定义法则将代求项转化为一元一次方程是解题的关键． 【典型例题三 解一元一次方程(三)--去分母】 1．（23-24七年级上·山西吕梁·阶段练习）如果方程的解也是方程的解，那么的值是（    ） A．7 B．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题考查了同解方程，先求出方程的解,然后直接代入求出a的值是解题的关键． 【详解】解：解方程得， 把代入， 解得， 故选A． 2．（23-24七年级上·山西吕梁·阶段练习）解方程去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，方程两边乘以是解题的关键． 【详解】解：， 去分母得：， 故选D． 3．（2023·安徽六安·三模）关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】先去分母再移项即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 移项，得 方程的解为． 【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 4．（22-23七年级上·甘肃平凉·期末）方程的解是 ． 【答案】 【详解】 去分母得，． ∴方程的解是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 5．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键． 先通过去分母，然后检验即可解答即可． 【详解】解：， 去分母得:， 去括号得:， 移项得:， 合并同类项，得． 6．（23-24七年级上·山西忻州·期末）下面是小青同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的问题． 解方程：． 解：．………………第一步 ．………………第二步 ．………………第三步 ．………………第四步 ．………………第五 (1)填空：①以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是________； ②第________步开始出错，这一步错误的原因是________； ③请直接写出该方程的正确解为________． (2)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议． 【答案】(1)①等式的基本性质，乘法对加法的分配律；②三，移项时没有变号；③ (2)去分母时要防止漏乘 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，掌握相关求解步骤以及易错点是解题关键． 【详解】（1）解：①第一步是依据等式的基本性质进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是乘法对加法的分配律； ②第三步开始出错，这一步错误的原因是移项时没有变号； ③移项： ； 合并同类项：； 化系数为： 故答案为：①等式的基本性质，乘法对加法的分配律；②三，移项时没有变号；③ （2）解：去分母：； 去括号：； 移项： ； 合并同类项：； 化系数为： 去分母时要防止漏乘（答案不唯一） 【典型例题四 解一元一次方程--拓展】 1．（22-23七年级下·甘肃天水·期末）已知关于x的方程的解是x＝－2，则a的值是（    ） A．5 B．－5 C．12 D．13 【答案】D 【分析】把方程的解代入方程可得到关于a的方程，解关于a的方程即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴． 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用，正确得到新的方程是解题关键． 2．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）在解关于x的方程时，小冉在去分母的过程中，右边的“一2”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x=2，则方程正确的解是（    ） A．x=-12 B．x=-8 C．x=8 D．x=12 【答案】B 【分析】把x=2代入看错的方程求出a的值，确定出所求方程，求出解即可． 【详解】解：把x=2代入4x-2=3x+3a-2得 4×2-2=3×2+3a-2， 解得a= ， 原方程为， 去分母得2（2x-1）=3（x+）-12， 去括号得4x-2=3x+2-12， 移项得4x-3x=2+2-12， 合并同类项得x=-8， 故选B． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）关于x的方程的解是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次方程，注意等式两边同时乘或除以一个不为0的数，所得结果仍然是等式． 根据，得到，方程两边都除以即可求得方程的解． 【详解】解：∵， ∴， 方程两边都除以得：， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设，，，为有理数，现规定一种新的运算，则满足等式：的的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解一元一次方程，根据新运算得出，再求解即可得出答案． 【详解】解：根据新运算可得：， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 5．（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； 【答案】(1) (2)1或2 【分析】（1）由题意得：，再将带入原方程即可求解． （2）将带入原方程求出方程的解，再利用条件分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 将带入原方程得：， 解得：， 故答案为：． （2）将带入原方程得：， 解得：， 由于m是整数， 或或， 解得：或或（舍去）， 正整数k的值为：1或2． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解得意义，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 6．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）阅读与理解： 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，的解为，两个方程解之和为1，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)请你通过计算说明方程与方程是否互为“美好方程”？ (2)若关于x的方程与方程互为“美好方程”，求m的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程及新定义方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键； （1）根据“美好方程”的定义判断即可； （2）分别求出两个方程的解为：、，再根据“美好方程”的定义可以得到，即可求解； 【详解】（1）解：， 解得：， ， 解得：． ∵， ∴方程与方程互为“美好方程”． （2）， 解得：， ， 解得：． ∵关于x的方程与方程互为“美好方程”， ∴， 解得： 【典型例题五 一元一次方程的新定义运算】 1．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）定义: “*”运算为“”，若， 则的值为(     ) A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据“*”运算的定义代入，解方程，即可得出答案. 【详解】根据题意可得： 解得：x=2 故答案选择D. 【点睛】本题考查的是解一元一次方程，比较简单，解题关键是根据新定义将转换为一元一次方程进行求解. 2．（22-23七年级上·安徽铜陵·期末）定义二阶行列式，那么当的值为时，（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二阶行列式得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】∵=3 ∴2(x-1)-3(2x+1)=3 解得x=-2 故选D． 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程． 3．（22-23七年级上·广东云浮·期末）现定义一种新运算，对于任意有理数a，b，c，d满足，若对于未知数x的式子满足，则未知数 ． 【答案】－1 【分析】根据题中计算方法，代入可得一元一次方程，然后求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查一元一次方程的解法，理解题意新定义的运算方法是解题关键． 4．（2023·广东深圳·一模）定义新运算：对于任意有理数 、 都有 ，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如： ．则 ，则 ． 【答案】1 【分析】根据新运算的定义，把各数代入相应位置计算即可求出答案． 【详解】解：根据题意， ， ∴ ， ∴ ， 故答案是： ． 【点睛】本题主要看新定义运算，解题的关键就是理解新定义的运算规则，根据规则将数字代入，结合有理数的运算法则即可求解． 5．（23-24七年级上·吉林松原·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程 是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键．根据题意，分别解一元一次方程，根据“美好方程”的定义验证即可求解；分别解一元一次方程，根据“美好方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 由解得； 由解得：． 方程与方程是“美好方程”． （2）解：由解得； 由解得． 方程与方程是“美好方程” ， 解得． 6．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）我们定义一种新运算：，例如：． (1)求的值： (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算，解一元一次方程． （1）根据新运算的法则，进行计算即可； （2）根据新运算的法则，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：； （2）∵， ∴． 【变式训练1 解一元一次方程(一)--合并同类项与移项】 1．（2024·海南三亚·二模）已知代数式的值等于8，则x的值等于（    ） A． B．7 C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式的值等于8， ∴， 解得， 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）定义一种新运算：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了即一元一次方程，解题的关键是根据新定义得到一元一次方程．根据新运算的方法得到关于m的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·青海海东·期末）解方程：． 【答案】． 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，先移项，再合并同类项，最后把系数化为1即可. 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 解得： 【变式训练2 解一元一次方程(二)--去括号】 1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在解方程时，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．方程去括号得到结果，即可做出判断． 【详解】解：将方程去括号，得． 故选：D 2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图所示的框图表示解方程的流程，其中代表的步骤是 ． 【答案】移项 【分析】本题考查了解一元一次方程——移项、等式的基本性质等知识点，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键． 观察框图中解方程步骤，找出A代表的步骤，即可． 【详解】解：由图可知，A代表的步骤是移项． 故答案为：移项． 3．（23-24七年级上·吉林·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式训练3 解一元一次方程(三)--去分母】 1．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）解方程 下面去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程——去分母，注意方程两边同时乘以最简公分母，不要漏乘项，分子是多项式时，要看做一个整体加括号．运用等式的性质，方程两边同时乘以6，计算即可． 【详解】解：方程两边同时乘以6，得 ， 故选：B． 2．（23-24六年级上·山东威海·期末）在解关于x的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母，因而求得方程的解为，则方程正确的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟记相关步骤是解题关键．由题意得知去分母后得到错误方程为，可求出，即可求解． 【详解】解：由题意得：小颖在去分母时，得到的错误方程为： 将代入得： ， 解得： ∴原方程为：， 即：， 解得： 故答案为： 3．（23-24七年级上·广东深圳·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可作答． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【变式训练4 解一元一次方程--拓展】 1．（2023七年级上·全国·专题练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟知方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，设，将替换代入方程是解答本题的关键． 【详解】解：设， 则，变形为， ， 解得：， 故选：． 2．（2024六年级下·上海·专题练习）对于任何有理数、、、，我们规定，如．如果，那么的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，掌握其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解是解题关键．利用题中的新定义化简所求式子得到一元一次方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：根据题意得，变形得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）阅读与理解： 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，的解为，两个方程解之和为1，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)请你通过计算说明方程与方程是否互为“美好方程”？ (2)若关于x的方程与方程互为“美好方程”，求m的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程及新定义方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键； （1）根据“美好方程”的定义判断即可； （2）分别求出两个方程的解为：、，再根据“美好方程”的定义可以得到，即可求解； 【详解】（1）解：， 解得：， ， 解得：． ∵， ∴方程与方程互为“美好方程”． （2）， 解得：， ， 解得：． ∵关于x的方程与方程互为“美好方程”， ∴， 解得： 【变式训练5 一元一次方程的新定义运算】 1．（22-23七年级上·河北唐山·期末）定义，若，则x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先根据题意理解“”所表示的运算法则，然后根据此运算法则将化为，解出即可． 【详解】由题意得：，可化为：， 移项合并得：， 系数化为1得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解． 2．（23-24七年级下·河南鹤壁·阶段练习）定义新运算“”，规定，若，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程，根据题中的新定义得到一元一次方，计算即可得到结果． 【详解】解：， 根据题中的新定义得：， 解得： 故答案为： 3．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）我们来定义一种运算：．例如． （1）试计算的值； （2）按照这种运算规定，求式子中的值． 【答案】（1）-3；（2） 【分析】（1）根据新定义运算法则即可求解； （2）运算规定得得到方程，解方程即可求解． 【详解】（1）； （2）由运算规定得，，解得． 【点睛】本题考查新概念知识的学习和应用能力．主要包括阅读理解能力和基础计算、解简单方程． 1．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解：， 系数化为1，得出：， 故选：B． 2．（22-23七年级下·海南海口·阶段练习）将方程 2（x- 3）-3（2x+1）=7去括号，正确的是（    ） A．2x-3-6x+1=7 B．2x-6-6x+3=7 C．2x-6-6x-3=7 D．2x-3-6x-1=7 【答案】C 【分析】根据去括号法则去括号即可． 【详解】解：将方程 2（x- 3）-3（2x+1）=7去括号， 故选C 【点睛】本题考查了去括号，掌握去括号法则是解题的关键．括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变，括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号，法则的依据实际是乘法分配律． 3．（23-24七年级上·广东东莞·期中）将方程去分母，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程——去分母，根据去分母的运算法则即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：去分母，得：， 故选C． 4．（23-24七年级上·全国·期末）现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足，例如，，若有理数x满足，则x的值为（　　） A．4 B．5 C．21 D．5或21 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据“*”的定义，分当和，两种情况写出对应的方程并求解即可． 【详解】解：若，则，解得，符合题意； 若，，解得（不符合题意，舍去）． 综上，， 故选：B． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）如图是方程的求解过程，其中表示“去括号”的是（    ） （①），得． （②），得． （③），得． （④），得． （⑤），得． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】由题意直接根据解一元一次方程的一般步骤进行求解分析即可判断正确答案． 【详解】解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 即①为去分母，②为去括号，③为移项，④为合并同类项，⑤为系数化为1． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 6．（23-24七年级下·浙江·期中）方程中，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程，熟知等式的基本性质是解答此题的关键． 先移项，再把的系数化为1即可． 【详解】解：， 移项得，， 的系数化为1得，． 故答案为：． 7．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）如果方程的解也是方程的解，那么的值是 ． 【答案】 【分析】 本题考查了方程的解以及解一元一次方程．先求得方程的解，然后将代入解得a的值即可． 【详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：． 将代入得：， 去分母得： 去括号得： 解得：． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·四川眉山·期中）关于x的方程的解是正整数，满足条件的所有整数m的积是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解，依据方程的解为整数求得m的值是解题的关键．先解关于x的方程，求得，然后由方程的解为整数可求得m的值． 【详解】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1得：． ∵方程的解为正整数， ∴，， ∴或3， ∴满足条件的所有整数m的积为． 故答案是：6． 9．（23-24七年级上·湖南岳阳·阶段练习）现定义某种运算“☆”，对给定的两个有理数a，b，有．若，则x的值为 ． 【答案】 【分析】根据，得到关于x的一元一次方程，解之即可． 本题考查了解一元一次方程，正确掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图所示的框图表示解方程的流程，其中代表的步骤是 ． 【答案】移项 【分析】本题考查了解一元一次方程——移项、等式的基本性质等知识点，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键． 观察框图中解方程步骤，找出A代表的步骤，即可． 【详解】解：由图可知，A代表的步骤是移项． 故答案为：移项． 11．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查的是一元一次方程的解法，先移项，合并同类项，再把未知数的系数化为“1”即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 12．（23-24七年级上·广东广州·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是方程去括号，移项，合并同类项，系数化为1． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，， 系数化为1，得． 13．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）（1）计算：；     （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，解一元一次方程： （1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减； （2）根据解一元一次方程的步骤：去括号、移项合并同类项、系数化为1，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ， ． 14．（22-23七年级上·福建莆田·期中）已知关于的方程的解比关于的方程的解大，求的值． 【答案】 【分析】分别求出两个方程的解，再根据题意得到关于b的方程，即可解答本题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 关于的方程的解比关于的方程的解大， ， 解得：. 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解决本题的关键是解出已知中的一元一次方程，使得两个方程的解建立关系． 15．（23-24七年级上·全国·课堂例题）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据解一元一次方程的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：原方程移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：原方程移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解：原方程移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解：原方程移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （5）解：原方程去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （6）解：原方程去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （7）解：原方程移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （8）解：原方程去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$