第06讲 代数式（3大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新七年级数学衔接讲义（人教版2024）

第06讲 代数式（3大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 用代数式表示式 题型二 用代数式表示数、图形的规律 题型三 代数式表示的实际意义 题型四 单项式的系数、次数 题型五 单项式规律题 题型六 多项式的项、项数或次数 题型七 多项式系数、指数中字母求值 题型八 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 题型九 整式的判断 题型十 数字类规律探素 题型十一 图形类规律探素 知识点01 代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 知识点02 代数式的书写格式 ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如a2-b2平方米。 知识点03 数学思想之整体代入法 1.整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理． 2.根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 【典型例题一 用代数式表示式】 1．（23-24七年级上·山东德州·期末）下列代数式表示“a的3倍与7的差”的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）妈妈在超市购买物品共需元，结账时买塑料袋又花了0.2元，妈妈共花了（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．（2024·河南·模拟预测）m平方的2倍与3的和可列代数式为 ． 4．（2024·河南郑州·一模）某轮船顺水航行，已知轮船在静水中的速度是，水流速度是，轮船共航行 ． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）圆柱体的底面半径、高分别是r，h，用式子表示圆柱体的体积． 6．（22-23七年级上·海南儋州·阶段练习）用代数式表示 （1）a与b的和减去2倍的c． （2）某学校初一学生有40人，初二学生人数比初一学生人数多4人，初二学生有多少人？ （3）一个三角形的底边长为b，三角形的两条腰长为c，底边上的高为3，则这个三角形的周长及面积是多少？ 【典型例题二 用代数式表示数、图形的规律】 1．（22-23七年级上·河北邢台·阶段练习）日历表中竖列上相邻三个数的和一定是（        ）． A．3的倍数 B．4的倍数 C．7的倍数 D．不一定 2．（22-23八年级上·重庆·开学考试）如图是一组有规律的图案，第（1）个图案由2个圆组成，第（2）个图案由5个圆组成，第（3）个图案由8个圆组成，第（4）个图案由11个圆组成……，则第10个图案中圆的个数是（　　） A．26 B．28 C．29 D．32 3．（22-23七年级上·江西赣州·期中）全校学生人，其中男生占51%，则女生人数是 ． 4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第100个图形中共有三角形的个数为 ． 5．（22-23七年级上·安徽亳州·期中）如图是用五角星摆成的三角形图案，每条边上有个点（即五角星），每个图案的总点数（即五角星总数）用S表示． (1)观察图案，当时，______． (2)分析上面的一些特例，你能得出怎样的规律？（用n表示S） (3)当时，求S． 6．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，如图1（算作剪1次），然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，如图2（算作剪2次），再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如图3（算作剪3次），如此循环进行下去． (1)填表： 剪的次数 1 2 3 4 正方形个数 7 10 (2)如果剪10次，共剪出_____________个小正方形；如果剪次，共剪出_____________个小正方形； (3)如果要剪出100个小正方形，那么需要剪_____________次； (4)若原正方形纸片的边长为1，则剪3次后最小正方形（图3阴影部分）的面积为_____________． 【典型例题三 代数式表示的实际意义】 1．（2023七年级上·江苏·专题练习）代数式的正确含义是（　　） A．3乘y减3 B．y的3倍减去3 C．y与3的差的3倍 D．3与y的积减去3 2．（2023·河北·中考真题）代数式的意义可以是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 3．（22-23七年级上·河南开封·期末）赋予“3a”一个实际意义为 ． 4．（22-23六年级上·山东淄博·期末）某超市的苹果价格如图，试说明代数式的实际意义 ． 5．（22-23七年级·全国·课后作业）举一个实际例子说明代数式的意义. 6．（22-23七年级上·江苏连云港·期中）某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元．双“十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款，现某客户要到该卖场购买微波炉20台，电磁炉x台（x＞20）． （1）若该客户按方案一购买，需付款 元，若该客户按方案二购买，需付款 元．（用含x的代数式表示） （2）若x=50，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 【典型例题四 单项式的系数、次数】 1．（23-24七年级上·云南昭通·期末）下列说法正确的是（    ） A．的次数是2 B．单项式b的系数是1，次数是0 C．的系数是 D．是单项式 2．（23-24七年级上·浙江金华·期末）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是1． B．单项式没有系数，次数是4． C．单项式的系数是，次数是4． D．单项式的系数是，次数是1． 3．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期中）单项式的系数是 ． 4．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）已知单项式的次数是3次，则的值是 ． 5．（23-24七年级上·全国·课后作业）小明在抄写单项式时把字母中有的指数漏掉了，抄成了，他只知道这个单项式是四次单项式，你能帮他写出这个单项式吗？这样的单项式有几个，不妨都写出来． 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）写出下列单项式的系数和次数． 单项式 系数 次数 【典型例题五 单项式规律题】 1．（23-24七年级上·广东珠海·期中）按照一定规律排列的式子：0，，，，…，则第8个式子是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·云南昭通·期末）观察下列关于m，n的单项式的特点：，，，，，……，按此规律，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·湖北孝感·期中）观察下列单项式：，，，，…，按此规律，第10个单项式是 ． 4．（23-24七年级上·湖北恩施·阶段练习）观察下列单项式（其中）：，…，按此规律，则第100个单项式为 ． 5．（22-23七年级上·上海浦东新·阶段练习）下列单项式按一定规律排列：x，﹣2x2，3x3，﹣4x4，…，9x9，﹣10x10，…… （1）写出第99个及第100个单项式； （2）写出第n个单项式． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）观察下列单项式-2x，4x2，-8x3，16x4，-32x5，64x6，… (1)分别指出单项式的系数和指数是怎样变化的？ (2)写出第10个单项式； (3)写出第n个单项式． 【典型例题六 多项式的项、项数或次数】 1．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）多项式的次数和第二项的系数分别是（    ）． A．， B．，5 C．5， D．5，5 2．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）下列关于多项式的说法，不正确的是（    ） A．次数是3 B．常数项是 C．项数是3 D．二次项的系数是 3．（23-24七年级上·广西贺州·期中）多项式是 次 项式． 4．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）请写出一个只含字母且常数项为的二次三项式 ． 5．（22-23七年级下·广东肇庆·阶段练习）已知多项式，按要求解答下列问题： (1)写出该多项式的二次项是______，常数项______； (2)该多项式是______次______项式． 6．（2023七年级上·全国·专题练习）对于多项式， (1)关于的二次三项式，则______； (2)关于的二次二项式，则______； (3)关于的三次三项式，则______． 【典型例题七 多项式系数、指数中字母求值】 1．（22-23七年级上·吉林·期中）若是五次多项式，则指数m的值不可能是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（22-23七年级上·湖北宜昌·期中）如果是关于y的二次三项式，则m的值是（   ） A．-2 B．2或-2 C．2 D．1 3．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如果是关于的三次二项式，则 ． 4．（22-23七年级上·陕西商洛·期末）已知多项式是关于x的四次三项式，则 ． 5．（22-23七年级上·陕西渭南·期中）若多项式是一个四次三项式，且n是最高次项的系数的倒数，求的值． 6．（22-23七年级上·广东江门·期中）关于多项式中不含项和项． (1)求和的值； (2)根据（1）的答案代入得多少？ 【典型例题八 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列】 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）多项式是按字母降幂排列的，则代表的项不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·福建泉州·期末）把多项式按x的降幂排列为 ． 4．（22-23七年级上·上海青浦·期中）将多项式按字母升幂排列是 ． 5．（2023七年级上·全国·专题练习）把多项式重新排列． (1)按a升幂排列； (2)按a降幂排列． 6．（22-23七年级上·吉林长春·期中）已知多项式． (1)把这个多项式按x的降幂重新排列； (2)该多项式是几次几项式？直接写出它的常数项． 【典型例题九 整式的判断】 1．（23-24七年级上·河南鹤壁·期中）在式子，，，，，，，中，整式有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在下列各式子中：，，，，，，，，整式共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 3．（22-23七年级上·黑龙江鸡西·期末）在式子，，，﹣，﹣x﹣5xy2，x，6xy+1，a2﹣b2 中，其中整式有 个． 4．（22-23七年级上·全国·单元测试）下列各式中，是整式的是 ，是单项式的是 ，是多项式的是 ． 5．（22-23七年级·全国·单元测试）下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ ，，，0，，，，，，． 6．（2023七年级上·全国·专题练习）指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ ，，，10，，，，，， 【典型例题十 数字类规律探索】 1．（23-24九年级下·云南·阶段练习）按一定规律排列的多项式：，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东韶关·二模）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如化学中，甲醇的化学式为，乙醇的化学式为，丙醇的化学式为可以预见醇类物质的分子中碳原子和氢原子的数目满足一定的数学规律，则碳原子的数目为15的醇的化学式是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽亳州·一模）一组数按下列规律排列：，，，，，，……，x，y，z，……，则相邻的三个数x，y，z之间的关系是 ． 4．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）一小跳蚤在一直线上从点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依此规律跳下去，该小跳蚤跳起落下第 次时，落点处离点的距离是50个单位． 5．（22-23六年级上·山东泰安·期中）当你把纸对折一次时，就得到层，当对折两次时，就得到层，照这样折下去（最多折次）． (1)计算当你对折次时，层数是多少； (2)如果纸的厚度是，求对折次时，总厚度是多少． 6．（22-23七年级上·山东青岛·阶段练习）观察下列各式： ； ； ； ………… (1)计算： (2)计算： (3)猜想： （只需写出结果，不必写中间的过程） 【典型例题十一 图形类规律探索】 1．（2024·重庆·二模）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律组成的，其中第①个图形中共有9个菱形，第②个图形中共有12个菱形，第③个图形中共有15个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中的菱形个数为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 2．（2024·重庆九龙坡·三模）一组图形按下列规律排序，其中第①个图形有3个星星，第②个图形有8个星星，第③个图形有个星星，，按此规律排列下去，则第⑧个图形的星星的个数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东梅州·一模）如图是一组有规律的图案，按照这个规律，第n（n为正整数）个图案由 个▲组成． 4．（2024·山西大同·二模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等的原料，通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）．甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，…，其结构式如图所示，依此规律，十一烷的化学式为 ． 5．（23-24七年级上·陕西安康·期中）如图，某广场地面的图案是用大小相同的黑、白正方形地砖镶嵌而成，图中第个黑色形由个正方形组成，第个黑色形由个正方形组成，依次按这样的规律镶嵌． (1)求第个黑色形的正方形个数； (2)求第个黑色形的正方形个数． 6．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图所示的图形是由相同大小的正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成的，我们发现： 第1个图中有4个圆； 第2个图中有6个圆；按此规律变化下去…    (1)第3个图中有______个圆； (2)第4个图中比第3个图中多______个圆； (3)第n个图中一共有______个圆．（用含n的式子表示） 【变式训练1 用代数式表示式】 1．（2024·河北邢台·模拟预测）x表示一个两位数，把6写到x的右边组成一个三位数，则表示这个三位数的式子是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南驻马店·三模）为加快人工智能等新技术赋能，打造一批有竞争力的平台和企业，政府部门安排设备更新计划．经市场调研，某企业更新生产设备后，生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品，则更新设备后每天生产 件产品（用含x 的式子表示）． 3．（2024·安徽·模拟预测）春节期间，聪聪两次去超市购买A，B两种不同单价的坚果，第一次购买A种坚果的质量比B种坚果的质量多，第二次购买B种坚果的质量是A种坚果质量的4倍，第二次购买坚果的总质量比第一次购买坚果的总质量多． (1)设第一次购买B种坚果的质量为x克，请用含x的代数式填表： A种坚果质量/克 B种坚果质量/克 总质量/克 第一次 x 第二次 ___________ ___________ ___________ (2)若第二次购买坚果的总费用比第一次购买坚果的总费用少（两次购买A，B两种坚果的单价不变），求B种坚果与A种坚果单价的比值． 【变式训练2 用代数式表示数、图形的规律】 1．（23-24七年级上·山东德州·期末）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形，…，如此下去，则第2020个图中共有正方形的个数为（    ）    A．2021 B．2020 C．6051 D．6058 2．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，长方形的长为，宽为用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积为 ． 【点睛】本题考查了列代数式，明确题意，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 3．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）解答下列各题 (1)如图，在中，以为顶点引射线，填表： 内射线的条数 角的总个数 ______ ______ ______ _____ (2)若内射线的条数是，请用关于的式子表示出上面的结论． (3)若内有射线条数是，则角的总个数为多少？ 内射线的条数 1 2 3 4 角的总个数 3 6 10 15 【变式训练3 代数式表示的实际意义】 1．（23-24七年级上·河南周口·期中）某商店举办促销活动，促销的方法是将原价元的衣服以元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（    ） A．原价减去5元后再打6折 B．原价打6折后再减去5元 C．原价减去5元后再打4折 D．原价打4折后再减去5元 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）某工程队要修路，计划平均每天修，则计划完成此项工程的时间为 天． 3．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）写出下列各代数式的意义： (1)； (2)； (3)； 【变式训练4 单项式的系数、次数】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）关于单项式的叙述正确的是（    ） A．系数是 B．系数是 C．次数是2次 D．次数是4次 2．（2024·江苏南通·二模）若单项式的系数是m，次数是n，则的值为 ． 3．（22-23七年级上·广东东莞·期中）若是关于x，y的单项式，且系数为，次数是3，求a和b的值． 【变式训练5 单项式规律题】 1．（22-23九年级上·云南昭通·期中）观察下列按一定规律排列的n个数：x，，，，……，按照上述规律，第2022个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）观察下面一列式子，按规律在横线上填写适当的式子，则第n个式子为 ． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）观察下列单项式：，．回答下列问题： (1)这组单项式的系数的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第（为正整数）个单项式是什么吗？ (4)根据你的猜想，请写出第2022，2023个单项式． 【变式训练6 多项式的项、项数或次数】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ）． A．x的次数是0 B．单项式的系数是 C．是二次三项式 D．是三次单项式 2．（23-24七年级上·河南新乡·期末）一个关于字母的二次三项式，它的常数项是，请写出一个满足条件的多项式 ． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）如图（图中长度单位：m），求图中阴影部分的面积，并指出这个多项式的项和次数． 【变式训练7 多项式系数、指数中字母求值】 1．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）如果是关于a的二次三项式，那么m、n满足的条件是（    ） A． B． C．，n为大于3的整数 D． 2．（23-24七年级上·辽宁大连·期中）多项式是四次三项式，则 ． 3．（22-23七年级上·湖南邵阳·期中）已知关于x的多项式是二次二项式． (1)求k的值； (2)求代数式的值． 【变式训练8 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列】 1．（22-23七年级上·福建泉州·期末）把多项式按a的降幂排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·北京房山·期中）把多项式按字母x降幂排列为 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）将下列多项式按字母的降幂排列． (1)； (2)． 【变式训练9 整式的判断】 1．（22-23七年级上·黑龙江·期末）代数式，0.5中整式的个数（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（22-23七年级上·吉林松原·期中）下列式子0，，，，中，其中整式有 个． 3．（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）对下列式子进行分类． ． 单项式：（                       ）； 多项式：（                       ）； 整式：（                         ）． 【变式训练10 数字类规律探索】 1．（23-24九年级上·辽宁锦州·阶段练习）观察元素原子结构示意图的规律，则某元素原子结构的原子核中应填的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级·全国·竞赛）观察：则在第 组（从左往右数依次为第1，2，3，…组）． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：小华是一个勤奋好学的学生，常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是她从网络搜到的两位数乘11的速算法，其口诀是：“头尾一拉，中间相加，满十进一”．例如：①．计算过程：24两数拉开，中间相加，即，最后结果264；②，计算过程：68两数拉开，中间相加，即，满十进一，最后结果748 (1)计算： ①__________， ②_____________； (2)若某一个两位数十位数字是，个位数字是，将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是_______，十位数字是________，个位数字是_______；（用含a、b的式子表示） 【变式训练11 图形类规律探索】 1．（2024·重庆·二模）下列图形都是由边长相等且面积为1的等边三角形按一定的规律组成，其中，第①个图形面积为1，第②个图形面积为4，第③个图形面积为9，…，则第⑩个图形中三角形的个数是（　　） A．81 B．100 C．99 D．101 2．（2024八年级·全国·竞赛）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把面积为一的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去．试利用图形揭示的规律计算： ．（n为正整数） 3．（2023七年级上·全国·专题练习）如图，从点O引出的射线（任两条不共线）条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1从点O引出3条射线共形成3个角；如图2从点O引出4条射线共形成6个角；如图3从点O引出5条射线共形成10个角； (1)观察操作：当从点O引出6条射线共形成有 个角； (2)探索发现：如图4当从点O引出n条射线共形成 个角；（用含n的式子表示） (3)实践应用：8支篮球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），总的比赛场数为 场．如果n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是 场． 1．（23-24七年级上·广西北海·期末）单项式的系数、次数分别是（    ） A．9，6 B．，7 C．9，7 D．，8 2．（23-24七年级上·四川内江·阶段练习）a是三位数，b是两位数，如果把a置于b的左边，那么所成的五位数可表示为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）一列单项式按以下规律排列：x，，，，，，，…，则第2024个单项式是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）下列正方形涂有黑色阴影，三角形为等边三角形，且是一组有规律的图案，它们的边长相同，观察并猜想：第（y）个图案中涂有黑色阴影的正方形的个数为（    ） A．2y B． C． D． 5．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）若a是不等于1的有理数，把称为a的绝对差倒数．若时，则，称是a的绝对差倒数，称这次运算为一次绝对差倒数运算．由经过一次绝对差倒数运算得，由经过一次绝对差倒数运算得．当绝对差倒数运算的结果为1时，则停止运算． 下列结论中，正确的有（    ） ①当时，经过4次绝对差倒数运算的结果是1； ②当时，经过7次绝对差倒数运算才停止； ③当时，经过3033次绝对差倒数运算的结果是1． A．0 B．1 C．2 D．3 6．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）单项式的系数是 ，次数是 ． 7．（23-24七年级上·四川成都·期中）若多项式是关于x的三次三项式，则m的值为 ． 8．（22-23七年级上·全国·课后作业）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ ，其中整式有 ．（填序号） 9．（23-24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，要给这个长、宽、高分别为x、y、z的箱子打包，其打包方式如图所示（单位：），则打包带的长至少要 ．    10．（2024·湖南株洲·一模）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成，第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，……依此规律，第2024个图案中应该有 个白色圆片． 11．（22-23七年级上·陕西咸阳·期中）已知单项式是一个四次单项式，求的值． 12．（22-23七年级上·陕西西安·期中）已知多项式是关于的四次二项式，求的值． 13．（22-23七年级上·河北邯郸·期末）下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，观察图案回答问题： (1)第个图案中白色正方形的个数为________； (2)请用的代数式表示第个图案中白色正方形的个数． 14．（23-24七年级上·广西玉林·期中）音箱厂家生产A、B两种款式的音箱，其中每天生产A种音箱个，两种音箱的成本和售价如表所示： 成本（元/个） 售价（元/个） A 8 15 B 10 20 (1)若该厂家每天生产A种音箱4000个，B种音箱2000个，求每天生产音箱的总成本； (2)若该厂家每天共生产音箱7500个，求每天生产音箱的总成本（用含的式子表示）； (3)若该厂家每天生产B种音箱的数量是A种音箱数量的，则所生产的音箱全部销售完后，每天共可获利多少元？（用含的式子表示） 15．（2023·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)利用你发现的规律可知_______；（填具体数字） (2)写出第（为正整数）个等式：_______， (3)计算的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 代数式（3大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 用代数式表示式 题型二 用代数式表示数、图形的规律 题型三 代数式表示的实际意义 题型四 单项式的系数、次数 题型五 单项式规律题 题型六 多项式的项、项数或次数 题型七 多项式系数、指数中字母求值 题型八 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 题型九 整式的判断 题型十 数字类规律探素 题型十一 图形类规律探素 知识点01 代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 知识点02 代数式的书写格式 ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如a2-b2平方米。 知识点03 数学思想之整体代入法 1.整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理． 2.根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 【典型例题一 用代数式表示式】 1．（23-24七年级上·山东德州·期末）下列代数式表示“a的3倍与7的差”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 题考查列代数式问题，解题的关键是根据差与倍数关系得出代数式．根据差与倍数关系得出代数式解答即可． 【详解】 解：的3倍与7的差，表示为：． 故选：D． 2．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）妈妈在超市购买物品共需元，结账时买塑料袋又花了0.2元，妈妈共花了（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，购买物品的费用加上塑料袋的费用就是妈妈总共花的钱，据此即可得出答案． 【详解】解：妈妈在超市购买物品共需元，结账时买塑料袋又花了0.2元，妈妈共花了元， 故选：A． 3．（2024·河南·模拟预测）m平方的2倍与3的和可列代数式为 ． 【答案】/ 【分析】 本题考查了列代数式的知识点．先乘方，求倍数，后求和，据此即可书写代数式． 【详解】 解：m平方的2倍（即）与3的和可列代数式为． 故答案为：． 4．（2024·河南郑州·一模）某轮船顺水航行，已知轮船在静水中的速度是，水流速度是，轮船共航行 ． 【答案】 【分析】 本题考查的是列代数式，表示出顺水速度，然后求出航行路程即可． 【详解】 解：顺水的速度为，， 则总航行路程． 故答案为． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）圆柱体的底面半径、高分别是r，h，用式子表示圆柱体的体积． 【答案】 【分析】直接利用圆柱体的体积等于底面积乘以高列出式子即可． 【详解】解：圆柱体的体积是； 【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是明确数量之间的关系． 6．（22-23七年级上·海南儋州·阶段练习）用代数式表示 （1）a与b的和减去2倍的c． （2）某学校初一学生有40人，初二学生人数比初一学生人数多4人，初二学生有多少人？ （3）一个三角形的底边长为b，三角形的两条腰长为c，底边上的高为3，则这个三角形的周长及面积是多少？ 【答案】（1）a+b-2c；（2）34人（3）这个三角形的周长为(b+2c)，面积为． 【分析】（1）a与b的和是a+b，2倍的c是2c，相减即可； （2）初二学生人数是，计算即可； （3）利用三角形的周长和面积公式列式即可． 【详解】解：（1）a与b的和减去2倍的c 用代数式表示为：a+b-2c； （2）初二学生人数是=34(人)； （3）这个三角形的周长为(b+2c)， 面积是=． 【点睛】本题主要考查了列代数式，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．注意代数式书写规范． 【典型例题二 用代数式表示数、图形的规律】 1．（22-23七年级上·河北邢台·阶段练习）日历表中竖列上相邻三个数的和一定是（        ）． A．3的倍数 B．4的倍数 C．7的倍数 D．不一定 【答案】A 【分析】设中间的数字为x，表示出前一个与后一个数字，求出和即可做出判断． 【详解】解：设日历中竖列上相邻三个数的中间的数字为x，则其他两个为x-7，x+7， 则三个数之和为x-7+x+x+7=3x，即三数之和为3的倍数． 故选A． 【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是知道日历表中竖列上相邻三个数的特点． 2．（22-23八年级上·重庆·开学考试）如图是一组有规律的图案，第（1）个图案由2个圆组成，第（2）个图案由5个圆组成，第（3）个图案由8个圆组成，第（4）个图案由11个圆组成……，则第10个图案中圆的个数是（　　） A．26 B．28 C．29 D．32 【答案】C 【分析】找出每个图案中圆的个数的变化规律，即可求出第10个图案中圆的个数. 【详解】观察图形可知， 第（1）个图案由2个圆组成， 第（2）个图案由2+3×1＝5个圆组成， 第（3）个图案由2+3×2＝8个圆组成， 第（4）个图案由2+3×3＝11个圆组成……， 则第（10）个图案中圆的个数是2+3×9＝29． 故选：C． 【点睛】此题考查的是图形的探索规律题，掌握每个图案中圆的个数的变化规律是解决此题的关键. 3．（22-23七年级上·江西赣州·期中）全校学生人，其中男生占51%，则女生人数是 ． 【答案】49%x 【分析】根据男生占比得女生占比是49%，然后用代数式表示数量关系即可； 【详解】如果男生占总人数的51%，那么女生占总人数的49%，根据学生总数为人，则女生人数是49% x 故答案为：49%x． 【点睛】本题主要考查用代数式表示数量关系． 4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第100个图形中共有三角形的个数为 ． 【答案】397 【分析】分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，可以发现：第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3，据此可解． 【详解】解：分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数， 图①中三角形的个数为1=4×1-3； 图②中三角形的个数为5=4×2-3； 图③中三角形的个数为9=4×3-3； … 可以发现，第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3． 按照这个规律，第100个图形中共有三角形的个数为4×100-3=397． 故答案为：397． 【点睛】本题考查探索与表达规律．解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数据等条件，通过认真思考，归纳总结出规律，此类题目难度一般偏大，属于难题． 5．（22-23七年级上·安徽亳州·期中）如图是用五角星摆成的三角形图案，每条边上有个点（即五角星），每个图案的总点数（即五角星总数）用S表示． (1)观察图案，当时，______． (2)分析上面的一些特例，你能得出怎样的规律？（用n表示S） (3)当时，求S． 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】（1）分别计算前5个图形的五角星的总数，且用含有相同规律分形式表示出来； （2）由（1）的发现，再归纳即可； （3）把代入归纳出来的规律表达式中进行计算即可． 【详解】（1）解：∵当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，； （2）由（1）归纳可得： 每条边上有个点时，． （3）当时，． 【点睛】本题考查的是图形类的规律探究，掌握“探究的方法，并运用规律解题”是关键． 6．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，如图1（算作剪1次），然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，如图2（算作剪2次），再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如图3（算作剪3次），如此循环进行下去． (1)填表： 剪的次数 1 2 3 4 正方形个数 7 10 (2)如果剪10次，共剪出_____________个小正方形；如果剪次，共剪出_____________个小正方形； (3)如果要剪出100个小正方形，那么需要剪_____________次； (4)若原正方形纸片的边长为1，则剪3次后最小正方形（图3阴影部分）的面积为_____________． 【答案】(1)4,13 (2)31， (3)33 (4) 【分析】（1）根据题意可以将表格中的数据补充完整； （2）根据表格中的数据可以计算出剪了10次，共剪出多少个正方形，也可以计算出剪次，共剪了多少个正方形； （3）根据（2）中算出的用表示的式子，令其等于100，即可算出的值，即剪了多少次； （4）根据题意可写出剪3次后小正方形的边长，进行可以求出面积． 【详解】（1）解：根据题意可得，剪1次时，正方形的个数为4，由表中规律可得，剪4次后，正方形的个数为13， 故答案为：4,13； （2）解：根据表格中的数据观察可知，第10次剪成的正方形的个数为：个， 第次剪成的正方形个数为：， 故答案为：31，； （3）解：根据题意得，令， 解得， 故答案为：33， （4）解：若原正方形纸片的边长为1，则剪三次后正方形的边长为， 所以小正方形的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的变化，解答本题的关键是明确题意，发现题目中正方形个数的变化规律，利用数形结合的思想解答． 【典型例题三 代数式表示的实际意义】 1．（2023七年级上·江苏·专题练习）代数式的正确含义是（　　） A．3乘y减3 B．y的3倍减去3 C．y与3的差的3倍 D．3与y的积减去3 【答案】C 【分析】按照代数式的意义和运算顺序：先运算括号内的，再运算括号外的计算即可判断各项． 【详解】解：代数式的正确含义应是与3的差的3倍． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式． 2．（2023·河北·中考真题）代数式的意义可以是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【分析】根据代数式赋予实际意义即可解答． 【详解】解：的意义可以是与x的积． 故选C． 【点睛】本题主要考查了代数式的意义，掌握代数式和差乘除的意义是解答本题的关键． 3．（22-23七年级上·河南开封·期末）赋予“3a”一个实际意义为 ． 【答案】若a表示一个正三角形的边长，则3a表示这个正三角形的周长 【分析】根据代数式表示实际意义的方法即可得． 【详解】解：“3a”一个实际意义为： 若a表示一个正三角形的边长，则3a表示这个正三角形的周长． 故答案为：若a表示一个正三角形的边长，则3a表示这个正三角形的周长．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查代数式，解题的关键是根据代数式的特点解答． 4．（22-23六年级上·山东淄博·期末）某超市的苹果价格如图，试说明代数式的实际意义 ． 【答案】用100元钱买了x斤6.8元/斤的苹果，还剩多少钱？（答案不唯一，合理即可） 【分析】根据所给图的信息和代数式结构解释，合理即可． 【详解】解：根据题意，可以解释为：用100元钱买了x斤6.8元/斤的苹果，还剩多少钱？ 故答案为：用100元钱买了x斤6.8元/斤的苹果，还剩多少钱？（答案不唯一，合理即可）． 【点睛】本题考查代数式，理解题意，掌握代数式的结构是解答的关键． 5．（22-23七年级·全国·课后作业）举一个实际例子说明代数式的意义. 【答案】答案不唯一，如：购买甲种糖果，乙种糖果，已知甲种糖果每千克元，乙种糖果每千克元，则平均每千克糖果的钱数是元 【分析】结合实际情境作答，答案不唯一． 【详解】答案不唯一，如：购买甲种糖果，乙种糖果，已知甲种糖果每千克元，乙种糖果每千克元，则平均每千克糖果的钱数是 【点睛】此题考查了代数式的实际意义，同学们应当在日常学习中加以积累，观察生活． 6．（22-23七年级上·江苏连云港·期中）某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元．双“十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款，现某客户要到该卖场购买微波炉20台，电磁炉x台（x＞20）． （1）若该客户按方案一购买，需付款 元，若该客户按方案二购买，需付款 元．（用含x的代数式表示） （2）若x=50，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 【答案】（1）（200x＋12000）；（180x＋14400）；（2）按方案一购买比较合算. 【分析】（1）根据题意，分别用x表示出方案一和方案二的付款即可； （2）把x=50分别代入方案一和方案二的付款中，然后比较大小即可. 【详解】解：（1）根据题意：若该客户按方案一购买，需付款：800×20＋200（x－20）=（200x＋12000）元； 若该客户按方案二购买，需付款：90%（800×20＋200x）=（180x＋14400）元； （2）将x=50代入方案一的付款中得：200×50＋12000=22000元， x=50代入方案二的付款中得：180×50＋14400=23400元， ∵22000元＜23400元 ∴当x=50时，按方案一购买比较合算. 【点睛】此题考查的是用代数式表示实际问题，掌握各个方案的代数式的列法是解决此题的关键. 【典型例题四 单项式的系数、次数】 1．（23-24七年级上·云南昭通·期末）下列说法正确的是（    ） A．的次数是2 B．单项式b的系数是1，次数是0 C．的系数是 D．是单项式 【答案】C 【分析】本题主要考查单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：A. 的次数是3，故此选项不符合题意；     B. 单项式b的系数是1，次数是1，故此选项不符合题意； C. 的系数是，故此选项符合题意；     D. 不是单项式，故此选项不符合题意。 故选：C 2．（23-24七年级上·浙江金华·期末）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是1． B．单项式没有系数，次数是4． C．单项式的系数是，次数是4． D．单项式的系数是，次数是1． 【答案】D 【分析】根据单项式的系数：单项式中的数字因式，次数：所有字母的指数和，进行判断即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，次数是2．故原选项错误； B、单项式的系数是1，次数是4．故原选项错误； C、单项式的系数是，次数是3．故原选项错误； D、单项式的系数是，次数是1．故原选项正确； 故选D． 3．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期中）单项式的系数是 ． 【答案】 【分析】依据单项式的系数的定义解答即可；本题主要考查的是单项式系数，明确是一个数不是一个字母是解题的关键． 【详解】单项式的系数是 故答案为：． 4．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）已知单项式的次数是3次，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了单项式的次数．根据“所有字母的指数之和是单项式的次数”，即可求解． 【详解】解：∵单项式的次数是3次， ∴， ∴． 故答案为1 5．（23-24七年级上·全国·课后作业）小明在抄写单项式时把字母中有的指数漏掉了，抄成了，他只知道这个单项式是四次单项式，你能帮他写出这个单项式吗？这样的单项式有几个，不妨都写出来． 【答案】或或 【分析】根据单项式的次数的定义：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．求解即可． 【详解】∵这个单项式是四次单项式， ∴这个单项式可能是或或． 【点睛】本题考查了单项式的次数的定义，明白“一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数”是解题的关键． 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）写出下列单项式的系数和次数． 单项式 系数 次数 【答案】见解析 【分析】根据单项式的系数和次数的定义即可解答． 【详解】解： 单项式 系数 2 8 次数 2 1 3 2 2 3 【点睛】本题主要考查了单项式的系数和次数，解题的关键是掌握单项式系数、次数等相关概念．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，通常系数不为0． 【典型例题五 单项式规律题】 1．（23-24七年级上·广东珠海·期中）按照一定规律排列的式子：0，，，，…，则第8个式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数字的变化规律，关键是找到单项式指数和系数的变化规律．根据单项式的系数和次数的变化规律解答． 【详解】解：∵按照一定规律排列的式子：0，，，，， ∴从第二个式子开始：，，，，…， ∴第8个式子是：， 故选：D． 2．（23-24七年级上·云南昭通·期末）观察下列关于m，n的单项式的特点：，，，，，……，按此规律，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式规律问题，根据题意可知，的次数是，的次数是按自然数变化，系数为． 【详解】解：关于m，n的单项式的特点：，，，，，……， 按此规律，第个单项式是 故选：A． 3．（23-24七年级上·湖北孝感·期中）观察下列单项式：，，，，…，按此规律，第10个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式规律题，根据题意得出规律：第n个单项式为，是解题的关键． 【详解】解：已知单项式系数依次为2，，10，，字母a的指数为2，4，6，8， ∴第n个单项式为， ∴第10个单项式为． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·湖北恩施·阶段练习）观察下列单项式（其中）：，…，按此规律，则第100个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式有关的规律探索，观察可知奇数项的符号为负，偶数项的符号为正，第n个单项式的系数为，次数为n，据此得到第n个单项式为，据此可得答案． 【详解】解：第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， ……， 以此类推，可知奇数项的符号为负，偶数项的符号为正，第n个单项式的系数为，次数为n， ∴第n个单项式为， ∴第100个单项式为， 故答案为：． 5．（22-23七年级上·上海浦东新·阶段练习）下列单项式按一定规律排列：x，﹣2x2，3x3，﹣4x4，…，9x9，﹣10x10，…… （1）写出第99个及第100个单项式； （2）写出第n个单项式． 【答案】第99个单项式是99x99，第100个单项式是﹣100x100；（2）第n个单项式是（﹣1）n+1•nxn． 【分析】（1）、（2）通过观察题意可得：奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且系数的绝对值与自然数序号相同，次数也与与自然数序号相同．由此可解出本题． 【详解】解：（1）第99个单项式是99x99，第100个单项式是﹣100x100； （2）第n个单项式是（﹣1）n+1•nxn． 【点睛】本题考查了单项式的有关概念．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）观察下列单项式-2x，4x2，-8x3，16x4，-32x5，64x6，… (1)分别指出单项式的系数和指数是怎样变化的？ (2)写出第10个单项式； (3)写出第n个单项式． 【答案】(1)见解析；(2)(-2)10x10=1024x10；(3)(-2)nxn． 【分析】(1)根据单项式的次数与系数定义得出即可； (2)根据单项式系数与次数的变化得出一般性规律得出第10个单项式； (3)根据单项式系数与次数的变化得出一般性规律，进而得出第n个单项式． 【详解】(1)通过观察， 系数为：-2，4=(-2)2，-8=(-2)3，16=(-2)4，-32=(-2)5 指数分别是：1，2，3，4，5，6 (2)第10个单项式为：(-2)10x10=1024x10； (3)第n个单项式为：(-2)nxn． 【点睛】本题考查了单项式的系数、次数以及数字变化规律，根据已知得出数字变化规律是解题关键． 【典型例题六 多项式的项、项数或次数】 1．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）多项式的次数和第二项的系数分别是（    ）． A．， B．，5 C．5， D．5，5 【答案】C 【分析】本题考查多项式的项与次数，根据多项式中最高的次是多项式的次数，其中单项式中数字因式是系数直接判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 多项式的次数是5， 第二项的系数是：， 故选：C． 2．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）下列关于多项式的说法，不正确的是（    ） A．次数是3 B．常数项是 C．项数是3 D．二次项的系数是 【答案】D 【分析】本题主要考查多项式的次数与项，熟练掌握多项式的次数与项是解题的关键． 根据多项式的次数、项可进行求解． 【详解】多项式的次数是3，常数项是，项数是3，二次项的系数是2， 故A，B，C选项正确，D选项错误． 故选：D． 3．（23-24七年级上·广西贺州·期中）多项式是 次 项式． 【答案】 五 四 【分析】本题考查了多项式的定义，解题的关键是熟练的掌握多项式的定义．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据这个定义即可判定． 【详解】解：多项式是五次四项式， 故答案为五，四． 4．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）请写出一个只含字母且常数项为的二次三项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查的是多项式．根据多项式的次数和项数的概念解答即可．二次三项式是指最高次为2次，并含有三项，而常数项为． 【详解】解：由题意得：满足题意的可为：，答案不唯一． 故答案为：（答案不唯一）． 5．（22-23七年级下·广东肇庆·阶段练习）已知多项式，按要求解答下列问题： (1)写出该多项式的二次项是______，常数项______； (2)该多项式是______次______项式． 【答案】(1)， (2)6，5 【分析】（1）根据多项式每个单项是叫做多项式的项． （2）根据多项式中最高单项式的次数为多项式的次数． 【详解】（1）的二次项是，常数项是． （2）多项式是6次5项式． 【点睛】本题考查了多项式，熟练掌握其概念是解题的关键 6．（2023七年级上·全国·专题练习）对于多项式， (1)关于的二次三项式，则______； (2)关于的二次二项式，则______； (3)关于的三次三项式，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据多项式的项数与次数的定义，即可求解；多项式的每一项都有次数，其中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，一个多项式的项数就是合并同类项后用“＋”或“-”号之间的多项式个数，次数就是次数和最高的那一项的次数； 一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数 （2）根据（1）的方法求解； （3）根据（1）的方法求解． 【详解】（1）解：对于多项式是关于的二次三项式，，则， 故答案为：； （2）解：对于多项式是关于的二次二项式，，则， 故答案为：； （3）解：对于多项式是关于的三次二项式，，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的项数与次数的定义，掌握多项式的定义是解题的关键． 【典型例题七 多项式系数、指数中字母求值】 1．（22-23七年级上·吉林·期中）若是五次多项式，则指数m的值不可能是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据是五次多项式，可得，判断选项即可． 【详解】解：∵是五次多项式， ∴， 解得：， 故选项中指数m的值不可能是， 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式的次数，熟知多项式多项式的次数即为多项式中次数最高的单项式的次数为多项式的次数是解本题的关键． 2．（22-23七年级上·湖北宜昌·期中）如果是关于y的二次三项式，则m的值是（   ） A．-2 B．2或-2 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据是关于y的二次三项式，可得，，解答即可． 【详解】解：∵是关于y的二次三项式， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式的相关概念，熟记定义是解本题的关键． 3．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如果是关于的三次二项式，则 ． 【答案】8 【分析】根据一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式可得，进一步计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则， 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了多项式，关键是掌握多项式定义． 4．（22-23七年级上·陕西商洛·期末）已知多项式是关于x的四次三项式，则 ． 【答案】8 【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，单项式的个数就是多项式的项数可得，，再解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则． 故答案为：8． 【点睛】本题考查多项式，解题关键是掌握多项式次数的确定方法． 5．（22-23七年级上·陕西渭南·期中）若多项式是一个四次三项式，且n是最高次项的系数的倒数，求的值． 【答案】 【分析】根据多项式的次数和最高次项的系数求出m，n的值，代入代数式求值即可． 【详解】解：∵多项式是一个四次三项式， ∴， ∴， ∵n是最高次项的系数的倒数， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了多项式的次数和系数，掌握多项式中，次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键． 6．（22-23七年级上·广东江门·期中）关于多项式中不含项和项． (1)求和的值； (2)根据（1）的答案代入得多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意可知和这两项的系数均为0，据此列式即可求解； （2）代入（1）中所得的值，计算即可求解． 【详解】（1）根据题意有：，， 解得：，， 即：，； （2）将，代入中，有： ， 即所求的值为． 【点睛】本题考查了多项式的有关定义和有理数的混合运算．在多项式中如果不含某一项就是这一项的系数等于0． 【典型例题八 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列】 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）多项式是按字母降幂排列的，则代表的项不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多项式的降幂排列，可知多项式是按字母降幂排列的，得出第三个单项式为的次方，推得代表的项的幂必须大于或等于，据此分析即可求解． 【详解】解：∵多项式是按字母降幂排列的，第三个单项式为的次方， ∴第二个单项式的幂必须大于或等于，且小于或等于； A、的的幂为的，该选项是正确的，故不符合题意； B、的的幂为的，该选项是错误的，故符合题意； C、的的幂为的，该选项是正确的，故不符合题意； D、的的幂为的，该选项是正确的，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式的降幂排列，熟练掌握多项式的降幂排列是解题的关键． 2．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目要求先按字母的降幂排列的出结果，然后选项． 【详解】多项式按字母的降幂排列：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键． 3．（22-23七年级上·福建泉州·期末）把多项式按x的降幂排列为 ． 【答案】 【分析】根据题意将多项式按降幂排列即可求解． 【详解】解：把多项式按x的降幂排列为:， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式按某个字母降幂排列，掌握多项式的定义是解题的关键． 4．（22-23七年级上·上海青浦·期中）将多项式按字母升幂排列是 ． 【答案】 【分析】先分清多项式的项，再根据升幂排列的定义解答． 【详解】解：多项式按字母升幂排列为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 5．（2023七年级上·全国·专题练习）把多项式重新排列． (1)按a升幂排列； (2)按a降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照a的指数从小到大排列即可； （2）按照a的指数从大到小排列即可； 【详解】（1）多项式按a的升幂排列是； （2）多项式按a的降幂排列的是． 【点睛】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 6．（22-23七年级上·吉林长春·期中）已知多项式． (1)把这个多项式按x的降幂重新排列； (2)该多项式是几次几项式？直接写出它的常数项． 【答案】(1) (2)四次五项式， 【分析】（1）按x的指数从大到小排列即可． （2）根据多项式的定义解答即可． 【详解】（1）解：含有5项，分别是、、、、，x的次数分别是2、4、0、1、3， ∴这个多项式按x的降幂重新排列为． （2）解：由（1）得，该多项式是四次五项式，常数项是． 【点睛】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 【典型例题九 整式的判断】 1．（23-24七年级上·河南鹤壁·期中）在式子，，，，，，，中，整式有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了整式的定义，整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加、减、乘、除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母，由此逐个判断即可得出答案，熟练掌握整式的定义是解此题的关键． 【详解】解：整式有：，，，，，，共个， 故选：B． 2．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在下列各式子中：，，，，，，，，整式共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了整式，解题的关键是弄清整式的概念． 根据多项式与单项式统称为整式，判断即可． 【详解】解：在这些代数式中， 是单项式，是分式，是多项式，是多项式，是单项式，是单项式，是单项式，是分式， 整式共有6个， 故选：B． 3．（22-23七年级上·黑龙江鸡西·期末）在式子，，，﹣，﹣x﹣5xy2，x，6xy+1，a2﹣b2 中，其中整式有 个． 【答案】6 【分析】根据整式的定义进行分析判断即可. 【详解】根据整式的定义可知，上述各式中属于多项式的有：，﹣，﹣x﹣5xy2，x，6xy+1，a2﹣b2，共计6个 故答案为：6 【点睛】本题考查了整式的判断，熟知“整式的定义：多项式和单项式统称为整式”是解答本题的关键. 4．（22-23七年级上·全国·单元测试）下列各式中，是整式的是 ，是单项式的是 ，是多项式的是 ． 【答案】 【分析】根据整式，单项式，多项式的概念直接填写即可. 【详解】解：这些式子中，整式有：； 单项式有：；多项式有：； 故答案为：；； 【点睛】本题考查了整式、单项式、多项式的概念，是基础题. 5．（22-23七年级·全国·单元测试）下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ ，，，0，，，，，，． 【答案】单项式：，，0，，，． 多项式：，． 整式：，，0，，，，，． 【分析】根据整式、单项式、多项式的定义判断后选出即可． 【详解】解：，，0，，，是单项式； ，，0，，，，，是整式； ，是多项式． 【点睛】本题考查了整式的概念，掌握整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法是解题的关键． 6．（2023七年级上·全国·专题练习）指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ ，，，10，，，，，， 【答案】单项式有：，10，，； 多项式有：，，，；    整式有：，，，10，，，， 【分析】根据整式、单项式、多项式的概念和区别来分类即可． 【详解】单项式有：，10，，； 多项式有：，，，；     整式有：，，，10，，，，． 【点睛】本题主要考查了整式的定义，注意分式与整式的区别在于分母中是否含有未知数． 【典型例题十 数字类规律探索】 1．（23-24九年级下·云南·阶段练习）按一定规律排列的多项式：，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，找出次数和系数变化的规律是解答本题的关键．根据所给多项式次数和系数总结出次数和系数变化的规律求解即可． 【详解】解：∵多项式的x项的次数依次为1，2，3，…， ∴第n个多项式的x项次数为n， ∵多项式的y项的系数依次为1，3，5，…， ∴第n个多项式的y项系数为， ∴第n个多项式为， 故选：A． 2．（2024·广东韶关·二模）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如化学中，甲醇的化学式为，乙醇的化学式为，丙醇的化学式为可以预见醇类物质的分子中碳原子和氢原子的数目满足一定的数学规律，则碳原子的数目为15的醇的化学式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给化学式发现和个数之间的关系是解题的关键． 根据所给化学式，发现和个数之间的关系即可解决问题． 【详解】解：根据甲醇的化学式为，乙醇的化学式为，丙醇的化学式为， 可得碳原子个数为1时，该物质中氢原子的个数为：， 碳原子个数为2时，该物质中氢原子的个数为：， 碳原子个数为3时，该物质中氢原子的个数为：， 所以碳原子个数为时，该物质中氢原子的个数为个， 当时，， 即碳原子个数为15时，该物质中氢原子的个数为32个， 所以这个物质的化学式是． 故选：B． 3．（2024·安徽亳州·一模）一组数按下列规律排列：，，，，，，……，x，y，z，……，则相邻的三个数x，y，z之间的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的变化规律，求出相应的关系． 观察数据发现，从第三个数字开始，每个数都是前两个的和，即可写出x，y，z之间的关系． 【详解】解：观察发现，从第三个数字开始，后一个数都是前两个的和， ∴可得：． 故答案为：． 4．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）一小跳蚤在一直线上从点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依此规律跳下去，该小跳蚤跳起落下第 次时，落点处离点的距离是50个单位． 【答案】99或100/100或99 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意，可知每两次跳跃，跳蚤向左移动1个单位长度，据此规律求解即可． 【详解】解：∵一小跳蚤在一直线上从点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位， ∴每两次跳跃，跳蚤向左移动1个单位长度， ∴第100次跳跃后，跳蚤在O点左边距离O点50个单位长度，第98次跳跃后跳蚤在O点左边距离O点49个单位长度， 又∵第99次跳跃时，向右跳跃99个单位长度，所以跳跃完成后跳蚤在O点右边距离O点50个单位长度， ∴第99次跳跃后或第100次跳跃后跳蚤距离O点50个单位长度 故答案为：99或100． 5．（22-23六年级上·山东泰安·期中）当你把纸对折一次时，就得到层，当对折两次时，就得到层，照这样折下去（最多折次）． (1)计算当你对折次时，层数是多少； (2)如果纸的厚度是，求对折次时，总厚度是多少． 【答案】(1)64 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是解题的关键． （）根据题意总结规律即可得解； （）先算出层数，再乘即可得出结果． 【详解】（1）解：纸对折一次时，就得到层，即层； 当对折两次时，就得到层，即层； 当对折三次时，就得到层，即层； 当折纸的次数是时，折得的层数是（且为正整数）； ， 所以对折次时，层数是； （2）解：， 所以对折次时，总厚度是． 6．（22-23七年级上·山东青岛·阶段练习）观察下列各式： ； ； ； ………… (1)计算： (2)计算： (3)猜想： （只需写出结果，不必写中间的过程） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）观察可知，，据此规律求解即可； （2）根据（1）的规律进行求解即可； （3）根据（1）的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； ……， 以此类推，可知， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， 故答案为：； （3）解：由（1）可知， 故答案为：． 【典型例题十一 图形类规律探索】 1．（2024·重庆·二模）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律组成的，其中第①个图形中共有9个菱形，第②个图形中共有12个菱形，第③个图形中共有15个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中的菱形个数为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】C 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中菱形个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．根据题目中的图形，可以发现各个图形中菱形个数的变化规律，从而可以得到第⑦个图形中菱形的个数． 【详解】解：由图可得： 第①个图形中一共有：个菱形， 第②个图形中一共有：个菱形， 第③个图形中一共有：个菱形， …， 则第⑦个图形中菱形的个数是：个菱形， 故选：C． 2．（2024·重庆九龙坡·三模）一组图形按下列规律排序，其中第①个图形有3个星星，第②个图形有8个星星，第③个图形有个星星，，按此规律排列下去，则第⑧个图形的星星的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形规律的探索，依次列式并找出规律是解题的关键．依次列出前面几个的个数，并从中发现规律即可． 【详解】解：第①个图形有个星星， 第②个图形有个星星， 第③个图形有个星星， 第④个图形有个星星， ∴第⑧个图形的星星的个数是， 故选：C． 3．（2024·广东梅州·一模）如图是一组有规律的图案，按照这个规律，第n（n为正整数）个图案由 个▲组成． 【答案】/ 【分析】本题考查了图形规律的探索，根据前面几个图形得到规律，即可求解． 【详解】解：由所给图案得， 第1个图案需要▲的个数为：； 第2个图案需要▲的个数为：； 第3个图案需要▲的个数为：； … 所以第n个图案需要▲的个数为：． 故答案为：． 4．（2024·山西大同·二模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等的原料，通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）．甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，…，其结构式如图所示，依此规律，十一烷的化学式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探究，根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为， 乙烷的化学式为， 丙烷的化学式为……， 碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个， 十一烷的化学式为， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·陕西安康·期中）如图，某广场地面的图案是用大小相同的黑、白正方形地砖镶嵌而成，图中第个黑色形由个正方形组成，第个黑色形由个正方形组成，依次按这样的规律镶嵌． (1)求第个黑色形的正方形个数； (2)求第个黑色形的正方形个数． 【答案】(1)第个黑色形的正方形个数为个 (2)第个黑色形的正方形个数为个 【分析】本题考查图形的变化规律， （1）看后面每个图形中正方形的个数是在的基础上增加几个即可，从而即可得解． （2）看后面每个图形中正方形的个数是在的基础上增加几个即可，从而总结规律即可得解． 得到第个图形与第个图形中正方形个数之间的关系是解决本题的关键． 【详解】（1）解：第个黑色“”形由个正方形组成， 第个黑色“”形由个正方形组成， 第个黑色“”形由个正方形组成， …， 那么组成第个黑色“”形的正方形个数是． （2）解：第个黑色“”形由个正方形组成， 第个黑色“”形由个正方形组成， 第个黑色“”形由个正方形组成， …， 那么组成第个黑色“”形的正方形个数是． 6．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图所示的图形是由相同大小的正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成的，我们发现： 第1个图中有4个圆； 第2个图中有6个圆；按此规律变化下去…    (1)第3个图中有______个圆； (2)第4个图中比第3个图中多______个圆； (3)第n个图中一共有______个圆．（用含n的式子表示） 【答案】(1)8 (2)2 (3) 【分析】本题考查的是图形类的规律探究，掌握探究的方法是解本题的关键． （1）直接计数即可得到答案； （2）由前面几个图形归纳可得后一个图形比前一个图形的圆的个数多2个可得答案； （3）由（1）（2）的观察，再总结规律即可． 【详解】（1）解：第3个图中有8个圆， 故答案为：8； （2）由后一个比前一个多2个圆，可得第4个图中比第3个图中多2个圆； 故答案为：2； （3）∵第1个图有（个） 第2个图有（个） 第3个图有（个） ∴第n个图中一共有个圆， 故答案为：． 【变式训练1 用代数式表示式】 1．（2024·河北邢台·模拟预测）x表示一个两位数，把6写到x的右边组成一个三位数，则表示这个三位数的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 根据题意，可知新组成的数字，6在个位上，x扩大10倍，从而可以得到表示这个三位数的式子为，本题得以解决． 【详解】解：∵6写到x的右边组成一个三位数， ∴这个三位数是， 故选：B． 2．（2024·河南驻马店·三模）为加快人工智能等新技术赋能，打造一批有竞争力的平台和企业，政府部门安排设备更新计划．经市场调研，某企业更新生产设备后，生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品，则更新设备后每天生产 件产品（用含x 的式子表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，根据更新生产设备后，生产效率比更新前提高了列式求解即可． 【详解】解：由题意得，更新设备后每天生产件产品， 故答案为：． 3．（2024·安徽·模拟预测）春节期间，聪聪两次去超市购买A，B两种不同单价的坚果，第一次购买A种坚果的质量比B种坚果的质量多，第二次购买B种坚果的质量是A种坚果质量的4倍，第二次购买坚果的总质量比第一次购买坚果的总质量多． (1)设第一次购买B种坚果的质量为x克，请用含x的代数式填表： A种坚果质量/克 B种坚果质量/克 总质量/克 第一次 x 第二次 ___________ ___________ ___________ (2)若第二次购买坚果的总费用比第一次购买坚果的总费用少（两次购买A，B两种坚果的单价不变），求B种坚果与A种坚果单价的比值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查列代数式. （1）先求出第二次购买坚果的总质量，再根据第二次购买B种坚果的质量是A种坚果质量的4倍，可得出B种坚果质量和A种坚果质量． （2）令A，B两种坚果的单价分别为a元和b根据题意建立关于a，b的等式即可解决问元题． 【详解】（1）解：∵第二次购买坚果的总质量比第一次购买坚果的总质量多， ∴第二次购买的坚果质量为∶(克)； 又∵第二次购买B种坚果的质量是A种坚果质量的4倍， ∴第二次购买的A种坚果质量为∶ (克)， 第二次购买的B种坚果质量为∶(克)， 故答案为∶ ；； （2）设A种坚果的单价为a元，B种坚果的单价为b元， 则， 整理得：， 故B种坚果与A种坚果单价的比值是． 【变式训练2 用代数式表示数、图形的规律】 1．（23-24七年级上·山东德州·期末）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形，…，如此下去，则第2020个图中共有正方形的个数为（    ）    A．2021 B．2020 C．6051 D．6058 【答案】D 【分析】本题主要考查图形规律，根据图示找出每个图示中正方形的个数，得出规律为：正方形的个数是，由此即可求解，理解图示，掌握有理数的混合运算，整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：第一个图示中，正方形的个数为； 第二个图示中，正方形的个数为； 第三个图示中，正方形的个数为； 第四个图示中，正方形的个数为； 第个图示中，正方形的个数为， ∴第个图示中，正方形的个数为：， 故选：． 2．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，长方形的长为，宽为用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】利用长方形的面积减去一个圆的面积即可． 【详解】解：阴影部分的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，明确题意，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 3．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）解答下列各题 (1)如图，在中，以为顶点引射线，填表： 内射线的条数 角的总个数 ______ ______ ______ _____ (2)若内射线的条数是，请用关于的式子表示出上面的结论． (3)若内有射线条数是，则角的总个数为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)2051325 【分析】本题主要考查的是角的概念，规律探究，掌握其规律是解题的关键．有公共顶点的n条射线，一共可构成个角． （1）若内射线的条数是n，可构成个角，依据规律回答即可； （2）若内射线的条数是n，可构成个角，依据规律回答即可； （3）把2020代入求解即可． 【详解】（1）解：填表如下： 内射线的条数 1 2 3 4 角的总个数 3 6 10 15 （2）解：当时，角总个数为：， 当时，角总个数为：， 当时，角总个数为：， 当时，角总个数为：， 当有n条射线时，角总个数为： ； （3）解：当内有射线条数是2024时， 角总个数为：（个）． 【变式训练3 代数式表示的实际意义】 1．（23-24七年级上·河南周口·期中）某商店举办促销活动，促销的方法是将原价元的衣服以元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（    ） A．原价减去5元后再打6折 B．原价打6折后再减去5元 C．原价减去5元后再打4折 D．原价打4折后再减去5元 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式的实际应用，表示原价打六折后的售价，则表示原价在原价打六折后的基础上再降价5元，据此可得答案． 【详解】解：∵表示原价打六折后的售价， ∴表示原价在原价打六折后的基础上再降价5元， 故选B． 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）某工程队要修路，计划平均每天修，则计划完成此项工程的时间为 天． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式是解题的关键． 根据工作时间=工作量÷工作效率，结合代数式的书写规则求解即可． 【详解】∵工程队要修路，计划平均每天修， ∴划完成此项工程的时间为：天， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）写出下列各代数式的意义： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)的2倍与3的差 (2)与3的差的2倍 (3)，两数的平方和 【分析】本题主要考查代数式的意义，熟练掌握代数式的概念是解题的关键．根据代数式的实际意义可直接进行求解． 【详解】（1）解：表示的意义为：的2倍与3的差； （2）解：表示的意义为：与3的差的2倍； （3）解：表示的意义为：，两数的平方和． 【变式训练4 单项式的系数、次数】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）关于单项式的叙述正确的是（    ） A．系数是 B．系数是 C．次数是2次 D．次数是4次 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的次数与系数，注意单项式的系数包括前面的符号，它是除字母因数外的部分，次数则只与字母的指数有关．数与字母的积称为单项式，其中的数称为单项式的系数，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数，根据单项式的系数与次数的含义判断即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是3次，故选项B正确； 故选：B． 2．（2024·江苏南通·二模）若单项式的系数是m，次数是n，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式有关概念，正确把握定义是解题关键．根据单项式的次数与系数的定义分别得出m，n的值，进而得出答案． 【详解】解：∵单项式的系数是m，次数是n， ∴，， ∴， 故答案为： 3．（22-23七年级上·广东东莞·期中）若是关于x，y的单项式，且系数为，次数是3，求a和b的值． 【答案】，或 【分析】本题主要考查单项式次数和系数的问题，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x，y的单项式，且系数为，次数是3， ∴， ∴ ∴或． 【变式训练5 单项式规律题】 1．（22-23九年级上·云南昭通·期中）观察下列按一定规律排列的n个数：x，，，，……，按照上述规律，第2022个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出系数和次数的规律，然后写出第n个单项式即可． 【详解】解：根据题意可得： 系数依次为连续的奇数，次数依次为连续的正整数， 则第n个单项式为：， 当时，， 故选：C． 【点睛】此题考查单项式问题，分别找出单项式的系数和指数的规律是解决此类问题的关键． 2．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）观察下面一列式子，按规律在横线上填写适当的式子，则第n个式子为 ． 【答案】 【分析】观察各单项式的系数、对应字母的次数，即可找到一般规律求解． 【详解】解：观察可知：奇数项系数为正，偶数项系数为负，故则第n个式子的系数为： 关于的部分依次为：故则第n个式子关于的部分为： 关于的部分依次为：故则第n个式子关于的部分为： 则第n个式子为： 故答案为： 【点睛】本题考查单项式中的规律问题．旨在考查学生的抽象概括能力． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）观察下列单项式：，．回答下列问题： (1)这组单项式的系数的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第（为正整数）个单项式是什么吗？ (4)根据你的猜想，请写出第2022，2023个单项式． 【答案】(1)这组单项式的系数的符号的规律是，系数的绝对值的规律是 (2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数 (3)第（为正整数）个单项式是 (4)第2022个单项式是，第2023个单项式是 【分析】（1）根据单项式系数的含义进行求解，再观察其绝对值的规律即可； （2）观察这组单项式的次数的变化，从而可求解； （3）结合（1）（2）进行分析即可； （4）根据（3）进行求解即可． 【详解】（1）解：这组单项式的系数的符号的规律是，系数的绝对值的规律是． （2）解：这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数． （3）解：第（为正整数）个单项式是． （4）解：第2022个单项式是，第2023个单项式是． 【点睛】本题主要考查探究单项式的规律，能够通过观察题中的单项式找出规律是解题关键． 【变式训练6 多项式的项、项数或次数】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ）． A．x的次数是0 B．单项式的系数是 C．是二次三项式 D．是三次单项式 【答案】D 【分析】本题考查了单项式及多项式的定义，解题的关键是牢记单项式的系数、次数及多项式的次数、项数． 根据多项式及单项式的有关定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】对于A选项，x的系数是1，此选项说法错误； 对于B选项，单项式的系数是，此选项说法错误； 对于C选项，是三次三项式，此选项说法错误； 对于D选项，是三次单项式，此选项说法正确； 故选：D． 2．（23-24七年级上·河南新乡·期末）一个关于字母的二次三项式，它的常数项是，请写出一个满足条件的多项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式的性质，根据条件及多项式的项及次数的定义可以得出所求的多项式．根据题意写出满足条件的多项式即可． 【详解】解：由题意得：该多项式为：． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）如图（图中长度单位：m），求图中阴影部分的面积，并指出这个多项式的项和次数． 【答案】；项依次为， ，；次数是． 【分析】本题考查了列代数式，多项式的定义；根据三个长方形的面积相加，进行计算，即可求解． 【详解】解：阴影部分的面积为 项依次为， ，；次数是． 【变式训练7 多项式系数、指数中字母求值】 1．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）如果是关于a的二次三项式，那么m、n满足的条件是（    ） A． B． C．，n为大于3的整数 D． 【答案】D 【分析】根据二次三项式的定义，可知多项式的最高次数是二次，共有三项，据此列出n的关系式，从而确定m、n满足的条件． 【详解】解：∵多项式是关于a的二次三项式， ∴且， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次三项式的定义：一个多项式含有几项，是几次就叫几次几项式．注意一个多项式含有哪一项时，哪一项的系数就不等于0． 2．（23-24七年级上·辽宁大连·期中）多项式是四次三项式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查多项式的次数：“最高项的次数”，项数：“单项式的个数”，根据相关定义，进行求解即可． 【详解】解：∵多项式是四次三项式， ∴， ∴； 故答案为：3． 3．（22-23七年级上·湖南邵阳·期中）已知关于x的多项式是二次二项式． (1)求k的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用二次二项式的定义解答即可； （2）将的值代入，利用有理数的乘方的意义计算即可． 【详解】（1）解：∵关于x的多项式是二次二项式， ∴， ∴； （2）解：把代入得： ． 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，多项式的意义，有理数的乘方的意义，利用二次二项式的定义求得k值是解题的关键． 【变式训练8 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列】 1．（22-23七年级上·福建泉州·期末）把多项式按a的降幂排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式的降幂排列．根据要求进行排列即可． 【详解】解：把多项式按a的降幂排列为：， 故选：B． 2．（23-24七年级下·北京房山·期中）把多项式按字母x降幂排列为 【答案】 【分析】本题考查了多项式，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】解：多项式按字母x降幂排列为， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）将下列多项式按字母的降幂排列． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据降幂排列的概念，将多项式的各项按的指数由大到小排列可得； （2）根据降幂排列的概念，将多项式的各项按的指数由大到小排列可得． 【详解】（1）解：按字母的降幂排列：． （2）解：按字母的降幂排列：． 【点睛】本题考查了多项式的降幂排列，熟练掌握多项式的降幂排列是解题的关键． 【变式训练9 整式的判断】 1．（22-23七年级上·黑龙江·期末）代数式，0.5中整式的个数（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】 此题主要考查了整式，正确把握整式的定义是解题关键．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．直接利用整式的定义得出答案． 【详解】解：根据整式的定义，代数式，0.5中，整式有：0.5，共有4个． 故选：B 2．（22-23七年级上·吉林松原·期中）下列式子0，，，，中，其中整式有 个． 【答案】3 【分析】根据单项式和多项式统称整式，可得答案． 【详解】解：0，，是整式，共有3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了整式，整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法． 3．（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）对下列式子进行分类． ． 单项式：（                       ）； 多项式：（                       ）； 整式：（                         ）． 【答案】，，，；，，；，，，，，， 【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式． 多项式：若干个单项式的代数和组成的式子．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．不含字母的项叫做常数；整式：单项式和多项式统称为整式． 【详解】单项式：（，，，） 多项式：（，，） 是整式：（，，，，，，） 【点睛】本题考查整式、单项式、多项式的概念，熟练掌握相关的概念是解题的关键． 【变式训练10 数字类规律探索】 1．（23-24九年级上·辽宁锦州·阶段练习）观察元素原子结构示意图的规律，则某元素原子结构的原子核中应填的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字规律． 通过观察三种原子结构示意图的电子分布规律发现原子核外电子的电子数之和等于原子核中的数字，据此即可解答． 【详解】解：由三种原子结构示意图可知：原子核外电子排布为第一层2个，第二层8个，三个电子层的电子数之和等于原子核中的数字． 故：该元素原子结构的原子核中数字， 故选C． 2．（2024七年级·全国·竞赛）观察：则在第 组（从左往右数依次为第1，2，3，…组）． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律问题，旨在考查学生的抽象概括能力． 【详解】解： 是第个奇数， ∴第个奇数在第组，即在第组． 故答案为： 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：小华是一个勤奋好学的学生，常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是她从网络搜到的两位数乘11的速算法，其口诀是：“头尾一拉，中间相加，满十进一”．例如：①．计算过程：24两数拉开，中间相加，即，最后结果264；②，计算过程：68两数拉开，中间相加，即，满十进一，最后结果748 (1)计算： ①__________， ②_____________； (2)若某一个两位数十位数字是，个位数字是，将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是_______，十位数字是________，个位数字是_______；（用含a、b的式子表示） 【答案】(1)①；②； (2)a，，b； 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）根据口诀：“头尾一拉，中间相加，满十进一”，即可求解； （2）由（1）中两位数十位数字是a，个位数字是b，将这个两位数乘，得到一个三位数即可得到结果． 【详解】（1）解：①，计算过程：两数拉开，中间相加，即，最后结果； ②，计算过程：两数拉开，中间相加，即，满十进一，最后结果； 故答案为：①；②； （2）解：某个两位数十位数字是a，个位数字是b（）， 则根据数拉开，中间相加得到：百位数字是：a，十位数字是，个位数字是：b； 故答案为：a，，b． 【变式训练11 图形类规律探索】 1．（2024·重庆·二模）下列图形都是由边长相等且面积为1的等边三角形按一定的规律组成，其中，第①个图形面积为1，第②个图形面积为4，第③个图形面积为9，…，则第⑩个图形中三角形的个数是（　　） A．81 B．100 C．99 D．101 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的规律，通过已有图形发现规律成为解题的关键． 先根据已有图形归纳规律，然后再运用规律即可解答． 【详解】解：第①个图有个三角形， 第②个图形有个三角形， 第③个图形有个三角形， … 第⑩个图形有个三角形． 故选B． 2．（2024八年级·全国·竞赛）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把面积为一的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去．试利用图形揭示的规律计算： ．（n为正整数） 【答案】 【分析】本题考查了图形的规律，找出规律即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（2023七年级上·全国·专题练习）如图，从点O引出的射线（任两条不共线）条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1从点O引出3条射线共形成3个角；如图2从点O引出4条射线共形成6个角；如图3从点O引出5条射线共形成10个角； (1)观察操作：当从点O引出6条射线共形成有 个角； (2)探索发现：如图4当从点O引出n条射线共形成 个角；（用含n的式子表示） (3)实践应用：8支篮球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），总的比赛场数为 场．如果n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是 场． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】考查了数角的个数、归纳总结规律以及迁移应用规律的能力，根据题意总结规律和迁移应用规律是解答本题的关键． （1）观察图形可知， 2条射线组成1个角，3条射线就可以组成个角，4条射线可以组成个角，依此可得6条射线组成角的个数是，然后计算即可； （2）根据（1）的规律可知：n条射线组成角的个数是，然后计算即可； （3）将每只球队当作一条射线，每场单循环赛当作一个角，然后利用（2）的规律解答即可； 【详解】（1）解：观察图形可知，2条射线组成1个角，3条射线就可以组成个角， 4条射线可以组成个角， 依此可得6条射线组成角的个数是， 故答案为： （2）解：根据（1）的规律可知：n条射线组成角的个数是； 故答案为： （3）解：将每只球队当作一条射线，每场单循环赛当作一个角，所以8支篮球队进行单循环比赛相当于8条射线可以组成的角，即比赛场数； 如果n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是． 故答案为：， 1．（23-24七年级上·广西北海·期末）单项式的系数、次数分别是（    ） A．9，6 B．，7 C．9，7 D．，8 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的系数与次数等知识，单项式的数字因数是单项式的系数，单项式的所有字母的指数和叫做单项式的次数，据此即可求解． 【详解】解：单项式的系数是9，次数为． 故答案为：C 2．（23-24七年级上·四川内江·阶段练习）a是三位数，b是两位数，如果把a置于b的左边，那么所成的五位数可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是列代数式，理解把a置于b的左边，即把扩大倍，再列式即可． 【详解】解：a是三位数，b是两位数，把a置于b的左边， 则新构造的数为五位数为， 故选：B． 3．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）一列单项式按以下规律排列：x，，，，，，，…，则第2024个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的变化规律，根据题目所给单项式，总结出第n个单项式系数为，系数每3个为一组，按照1、2、2的进行循环，即可解答． 【详解】解：第一个单项式系数为：1，次数为1， 第二个单项式系数为：，次数为2， 第三个单项式系数为：5，次数为2， 第四个单项式系数为：，次数为1， 第五个单项式系数为：9，次数为2， 第六个单项式系数为：，次数为2， 第七个单项式系数为：13，次数为1， …… 第n个单项式系数为，系数每3个为一组，按照1、2、2的进行循环， ∴第2024个单项式的系数为， ∵ ∴第2024个单项式的系数为第675组第三个，即为2， ∴第2024个单项式是， 故选：D． 4．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）下列正方形涂有黑色阴影，三角形为等边三角形，且是一组有规律的图案，它们的边长相同，观察并猜想：第（y）个图案中涂有黑色阴影的正方形的个数为（    ） A．2y B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形类规律探究，先写出前几个图形中黑色阴影的正方形的个数，找到规律，得出第（y）图黑色阴影正方形的个数为，即可求解． 【详解】解：第（1）图黑色阴影正方形的个数为； 第（2）图黑色阴影正方形的个数为 第（3）图黑色阴影正方形的个数为 … 第（y）图黑色阴影正方形的个数为， 故选D 5．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）若a是不等于1的有理数，把称为a的绝对差倒数．若时，则，称是a的绝对差倒数，称这次运算为一次绝对差倒数运算．由经过一次绝对差倒数运算得，由经过一次绝对差倒数运算得．当绝对差倒数运算的结果为1时，则停止运算． 下列结论中，正确的有（    ） ①当时，经过4次绝对差倒数运算的结果是1； ②当时，经过7次绝对差倒数运算才停止； ③当时，经过3033次绝对差倒数运算的结果是1． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了数字的循环规律，分别按照定义求出若干组数的值，从而发现循环规律，是解题的关键． ①当时，根据绝对差倒数的概念逐次代入求解即可； ②当时，根据绝对差倒数的概念逐次代入求解即可； ③当时，根据绝对差倒数的概念逐次代入，进而找到规律求解即可． 【详解】①当时，，，，， ∴经过4次绝对差倒数运算的结果是1，故①正确； ②当时，，，，，，，， ∴经过7次绝对差倒数运算才停止，故②正确； ③当时，，，，，，， ∴可得规律：每3次运算减小2， ∵ ∴ ∴当时，经过3033次绝对差倒数运算的结果是1，故③正确． 综上所述，正确的有3个． 故选：D． 6．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 【分析】根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母指数和，可得答案． 本题主要考查了单项式的系数与次数．熟练掌握单项式的系数与次数的定义是解决问题的关键．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【详解】单项式的系数是，次数是3． 故答案为：，3． 7．（23-24七年级上·四川成都·期中）若多项式是关于x的三次三项式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数和项数的定义，多项式中次数最高项的次数是这个多项式的次数，每个单项式叫做多项式的项，根据两者的定义得出，且，求解，即可得出答案． 【详解】解：∵多项式是关于x的三次三项式， ∴，且， 解得：，且， 故 故答案为∶． 8．（22-23七年级上·全国·课后作业）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ ，其中整式有 ．（填序号） 【答案】①②③⑤⑥⑦ 【分析】根据整式的定义即可得． 【详解】解：整式的有：①，②，③，⑤，⑥，⑦，． 故答案为：①②③⑤⑥⑦． 【点睛】本题主要考查整式，熟练掌握整式的定义是解题的关键． 9．（23-24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，要给这个长、宽、高分别为x、y、z的箱子打包，其打包方式如图所示（单位：），则打包带的长至少要 ．    【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据图形正确列式即可． 【详解】解：由图可知，打包带的长相当于两个长，四个宽、六个高， 打包带的长至少要， 故答案为：． 10．（2024·湖南株洲·一模）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成，第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，……依此规律，第2024个图案中应该有 个白色圆片． 【答案】 【分析】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．由于第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，可得第个图案中有白色圆片的总数为．从而可得答案． 【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片， 第2个图案中有6个白色圆片， 第3个图案中有8个白色圆片， 第4个图案中有10个白色圆片， ， ∴第个图案中有个白色圆片． ∴第2024个图案中应该有个白色圆片． 故答案为：． 11．（22-23七年级上·陕西咸阳·期中）已知单项式是一个四次单项式，求的值． 【答案】1 【分析】利用单项式的概念得出的值． 【详解】因为单项式是一个四次单项式， 所以，所以. 【点睛】本题考查单项式的概念，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，属于基础题型． 12．（22-23七年级上·陕西西安·期中）已知多项式是关于的四次二项式，求的值． 【答案】 【分析】根据“多项式是关于的四次二项式”列式计算即可． 【详解】解：多项式是关于的四次二项式， ， ． 【点睛】本题考查了多项式的性质，能够根据“多项式是关于的四次二项式”得到是解题的关键． 13．（22-23七年级上·河北邯郸·期末）下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，观察图案回答问题： (1)第个图案中白色正方形的个数为________； (2)请用的代数式表示第个图案中白色正方形的个数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分别求出第一个图形、第二个图形、第三个图形白色正方形的个数，发现规律：后一个图形比前一个图形多个白色正方形，即可求得第个图案中白色正方形的个数； （2）根据（1）的规律得出，第个图形白色正方形的个数为． 【详解】（1）由题意，得第个图形白色正方形为个，第个图形白色正方形为个，第个图形白色正方形为个，发现规律：后一个图形比前一个图形多个白色正方形，则第个图案中白色正方形的个数为个； （2）由（1）中规律，得第n个图案中白色正方形的个数为个 【点睛】本题考查了图形类规律题，找到规律是解题的关键． 14．（23-24七年级上·广西玉林·期中）音箱厂家生产A、B两种款式的音箱，其中每天生产A种音箱个，两种音箱的成本和售价如表所示： 成本（元/个） 售价（元/个） A 8 15 B 10 20 (1)若该厂家每天生产A种音箱4000个，B种音箱2000个，求每天生产音箱的总成本； (2)若该厂家每天共生产音箱7500个，求每天生产音箱的总成本（用含的式子表示）； (3)若该厂家每天生产B种音箱的数量是A种音箱数量的，则所生产的音箱全部销售完后，每天共可获利多少元？（用含的式子表示） 【答案】(1)每天生产音箱的总成本为52000元 (2)每天生产音箱的总成本为元 (3)每天共可获利元 【分析】（1）根据题意，列式计算即可； （2）根据题意，列出代数式计算即可； （3）根据题意，得每天生产B种音箱个，再列出代数式化简即可； 本题主要考查列出代数式，一元一次方程的应用，根据所给信息准确列出代数式和方程是解题的关键． 【详解】（1）由题意可得：（元） 答：每天生产音箱的总成本为52000元； （2）由题意可得：元， 答：每天生产音箱的总成本为元； （3）根据题意，得每天生产B种音箱个， （元）， ∴每天共可获利元． 15．（2023·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)利用你发现的规律可知_______；（填具体数字） (2)写出第（为正整数）个等式：_______， (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键． （1）根据所给的式子可得，计算即可； （2）根据题目已知式子写出第个（n为正整数）等式； （3）利用（2）中的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） （3） ． 学科网（北京）股份有限公司 $$