第04讲 有理数的乘除（4大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新七年级数学衔接讲义（人教版2024）

第04讲 有理数的乘除（4大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 两个有理数的乘法法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的卖际应用 题型四 倒数 题型五 有理数乘法运算律 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数除法的应用 题型八 有理数乘除混合运算 知识点01 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 知识点02 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：． 知识点03 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 知识点04 有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 【典型例题一 两个有理数的乘法法运算】 1．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）计算 的结果是（   ） A． B．6 C．4 D．9 2．（2023·安徽·模拟预测）计算的结果是（    ） A．13 B． C．40 D． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）1同任何数相乘，仍得 ，而与任何数相乘，得到的是原数的 ． 4．（22-23七年级上·福建龙岩·阶段练习）有一种运算法则用公式表示为，依此法则计算 ． 5．（22-23六年级上·上海普陀·期中）计算：． 6．（2023七年级·江苏·专题练习）计算： (1)9×(－6) (2)(－9)×6 (3)(－9)×(－6) 【典型例题二 多个有理数的乘法运算】 1．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·甘肃兰州·期中）下列各式中积为正的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023九年级·全国·专题练习） ． ． 4．（22-23七年级上·浙江金华·阶段练习）若有四个不同的正整数，，， 满足，那么的值是 ． 5．（22-23七年级上·北京·期中）计算：． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【典型例题三 有理数乘法的卖际应用】 1．（22-23七年级下·黑龙江鸡西·期中）妈妈买了一瓶香水花了240元，其中消费税为售价的25%，妈妈为此支付消费税（    ）元 A．60 B．192 C．48 D．180 2．（22-23七年级·江苏·假期作业）蜗牛前进的速度每秒只有毫米，恰好是某人步行速度的分之一，那么此人步行的速度大约是每小时（　　） A．9公里 B．公里 C．米 D．米 3．（22-23六年级上·北京·期末）小昕爷爷去年在银行里存入50000元，存定期两年，年利率是2.70%，到期时可以得到利息 元． 4．（22-23七年级上·黑龙江大庆·期中）某商场计划今年的销售额比去年增加，而实际销售额又比计划销售额多，这个商场今年实际销售额是去年的 ． 5．（22-23六年级上·山东东营·阶段练习）鸭的孵化期是32天，鸡的孵化期是鸭的，鸡的孵化期是多少天？ 6．（22-23七年级上·内蒙古·阶段练习）王叔叔2018年5月1日把2000元存入银行定期三年，年利率为5.2%，到期时应交5%的利息所得税，取款时，叔叔一共可取回多少元？（利息所得税是对个人和企业所得的利息收征收的一种税） 【典型例题四 倒数】 1．（2023·吉林松原·模拟预测）的倒数为（   ） A．3 B． C． D． 2．（2024·广东广州·一模）分数的倒数是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）的倒数是 . 4．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）的倒数的绝对值是 ． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）写出下列各数的倒数： 3，－1，0.3，－，，－3． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）写出下列各数的倒数： ． 【典型例题五 有理数乘法运算律】 1．（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）若，则的值可表示为（ ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·浙江金华·期末）利用分配律计算时，正确的方案可以是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）计算： ． 4．（22-23八年级上·天津西青·期末）计算： ． 5．（2023九年级·全国·专题练习）计算：． 6．（22-23七年级上·山东济宁·期中）计算： (1)； (2)． 【典型例题六 有理数的除法运算】 1．（23-24七年级上·福建南平·期中）计算的结果是（　　） A． B．2 C． D． 2．（23-24六年级上·上海杨浦·阶段练习）如果正整数能整除23，那么是（    ） A．46 B．23 C．任何自然数 D．1或23 3．（23-24七年级上·福建漳州·期中）计算： ． 4．（23-24七年级上·陕西西安·期中）三个有理数，，两两不等，那么，，，中负数有 个． 5．（23-24七年级上·全国·课后作业）把下列有理数写成整数之商： (1)； (2)． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典型例题七 有理数除法的应用】 1．（22-23七年级上·福建漳州·开学考试）请你估计一下（    ）最接近你自己现在的年龄． A．600分 B．600时 C．600周 D．600月 2．（22-23七年级上·全国·单元测试）甲、乙二人从第一层开始比赛爬楼梯，甲爬到第4层时，乙恰好爬到第3层，照这样的速度，甲爬到第16层时，乙爬到第（   ）层． A．9 B．10 C．11 D．12 3．（23-24七年级上·山东潍坊·阶段练习）乘坐空调公交，每人需投币2元；如果刷卡每人次扣费1.8元，相当于享受( )折优惠． 4．（22-23七年级上·安徽淮南·开学考试）小华家买来一袋4千克的大米，吃了7天．平均每天吃( )千克，每天吃的大米占这袋大米的( )． 5．（23-24七年级上·山西运城·期中）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差—数”．定义：对于一个自然数，如果这个数除以7余数是6，且除以5余数为4，则称这个数为“差一数”．例如：，，所以34是“差一数”；，，所以27不是“差一数”． (1)判断69和97是否为“差—数”？并说明理由； (2)求大于500且小于600的所有“差—数”． 6．（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）我们知道，正整数按照能否被整除可以分成两类：正奇数和正偶数．小浩受此启发，按照一个正整数被除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被除余数为，则这个正整数属于类，例如等：如果一个正整数被除余数为，则这个正整数属于类，例如等：如果一个正整数被整除，则这个正整数属于类，例如等． (1)属于　 　类（填或）； (2)①从类数中任取两个数，则它们的和属于　 　类（填或）； ②从类数中任意取出个数，从类数中任意取出个数，从类数中任意取出个数，把它们都加起来，则最后的结果属于　 　类（填或）． 【典型例题八 有理数乘除混合运算】 1．（22-23七年级上·江苏·阶段练习）计算：的结果为（    ） A． B．1 C． D． 2．（22-23七年级上·江苏苏州·开学考试）如果4平方米的地面大约能站32人，那么1公顷的地面大约能站（    ）人． A．3200 B．32000 C．80000 D．800000 3．（23-24七年级上·山东德州·开学考试）42人正好坐满10条游船，每条大船坐5人，每条小船坐3人，大船有( )条，小船有( )条． 4．（22-23七年级上·湖北宜昌·开学考试）若“！”是一种数学运算符号，且，，，，……，则的值为多少？ ． 5．（23-24六年级上·上海普陀·期末）计算：． 6．（23-24七年级上·广东韶关·期中）有一个填写运算符号的游戏：在“1☐2☐6☐9”中的每个☐内，填入运算符号“”“”“”“”中的某一个（可重复使用），然后计算结果． (1)若，请推算☐内的运算符号． (2)在“”中的☐内填入运算符号，使计算结果最小，直接写出这个最小值． 【变式训练1 两个有理数的乘法法运算】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果等于（   ） A． B．2 C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D．2 3．（2024·西藏拉萨·一模）小明与小刚规定了一种新运算“”：若，是有理数，则，小明计算出，请帮小刚计算 ． 4．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）规定一种新运算：如，则 ． 5．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中） 6．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) 【变式训练2 多个有理数的乘法运算】 1．（23-24七年级上·陕西榆林·阶段练习）计算：（    ） A． B．1 C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）如果个有理数相乘所得的积为，那么这个数中（    ） A．最多有一个数为 B．至少有一个数为 C．恰有一个数为 D．均为 3．（23-24七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）计算的值为 ． 4．（23-24七年级上·河北秦皇岛·期末）已知，其中表示当时代数式的值，如，， ． 5．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）计算：． 6．（23-24七年级上·云南文山·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式训练3 有理数乘法的卖际应用】 1．（23-24七年级上·重庆綦江·开学考试）一种运动鞋，在“6·18网购节”时，先提价后又打八折，与原价相比，现价（    ） A．降低了 B．提高了 C．不变 D．无法确定 2．（22-23七年级·江苏·假期作业）蜗牛前进的速度每秒只有毫米，恰好是某人步行速度的分之一，那么此人步行的速度大约是每小时（　　） A．9公里 B．公里 C．米 D．米 3．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，在长为 20 米，宽为 15 米的池塘上修建宽为2 米的横向与纵向的观景道路，则道路的面积为 平方米． 4．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）在如图的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）的面积为 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）某校在阶梯教室举行英语沙龙活动，张红的座位号与下列一组数中的负数的个数相等，李强的座位号与下列一组数中正整数的个数相等． 7，，0，，，，，36，，，，. (1)问张红、李强坐的各是第几号位置？ (2)若这次参加英语沙龙的人数是张红座位号的3倍与李强座位号的5倍的和，问这次参加英语沙龙的学生有多少人？ 6．（22-23七年级上·广东湛江·期中）教师节当天，出租车司机小王在东西向的街道上免费接送教师，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)将最后一名老师送到目的地时，小王距出发地多少千米？方位如何？ (2)若汽车耗油量为0.5升/千米，则当天耗油多少升？ (3)若汽油价格为6.20元/升，则小王共花费了多少元钱的油费？ 【变式训练4 倒数】 1．（2024·广东广州·三模）的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）下列四个实数中，不存在倒数的是（    ） A．0 B．3.14 C． D．1.3333 3．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）的倒数是 ． 4．（23-24六年级上·山东济南·阶段练习）的倒数是 ． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）求下列各数的倒数． (1)； (2)； (3)； (4)5 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）写出下列各数的倒数： ，，，，． 【变式训练5 有理数乘法运算律】 1．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）算式利用了（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．分配律 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）有一个数字键“”坏了的计算器，用这个计算器计算时，下列按键方案中（ ）合适． A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·山东济宁·期末）计算： ． 4．（23-24七年级上·宁夏中卫·期中）小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是 ． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）简便计算 6．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）下面各题怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【变式训练6 有理数的除法运算】 1．（2024·山西临汾·一模）计算的结果是（    ） A．12 B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）已知算式“”的值为，“”部分是因被污染而看不清的运算符号，则该运算符号应该是（    ） A． B． C． D． 3．（2024六年级下·上海·专题练习）计算： ． 4．（23-24七年级上·吉林·期中）若两个数的积是，其中一个数是，则另一个数是 ． 5．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）计算： (1)； (2)． 6．（22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）乘坐飞机的每位旅客，携带行李超过20千克的部分，每千克要按飞机票原价的1.5%购买行李票．张芳从南京到北京，票价打六折后是600元，南京到北京的飞机票原价是多少元？张芳带了40千克的行李，应付行李费多少元？ 【变式训练7 有理数除法的应用】 1．（22-23七年级上·安徽淮南·开学考试）李华小时走了千米，他走1千米要多少小时？正确列式是（　　） A． B． C． 2．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）在地球陆地面积分布扇形统计图中，表示亚洲陆地面积的扇形圆心角为，由此可知，亚洲陆地面积占世界陆地总面积的（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·广东·开学考试）分钟 小时． 4．（23-24七年级下·安徽六安·期中）根据工信部组织修订的《电动自行车安全技术规范》强制性国家标准，电动自行车最高设计车速不超过25公里/小时．已知张老师家距学校5千米，在不违反交通规则的情况下，张老师骑电动自行车从家到学校所需时间至少有 分钟． 5．（2024七年级·全国·竞赛）某人想在乘汽车不超过30分钟就可以到达公司的地方找一处住宅，已知离公司不大于6千米时，汽车平均每小时只能走30千米，其他地方每小时可走50千米，试问此人的住宅应在离公司不大于多少千米的地方合适？ 6．（23-24七年级上·吉林·期中）把相同的瓷碗按如图方式整齐地叠放在一起．叠放4个时，测量的高度为cm；叠放6个时，测量的高度为cm． (1)根据题意，可知每增加一个瓷碗，高度增加______cm； (2)求碗高； (3)若叠放10个瓷碗，高度为______cm． 【变式训练8 有理数乘除混合运算】 1．（23-24七年级上·重庆开州·期中）计算的结果是（　　） A．6 B．36 C． D．1 2．（22-23七年级上·江苏苏州·开学考试）如果4平方米的地面大约能站32人，那么1公顷的地面大约能站（    ）人． A．3200 B．32000 C．80000 D．800000 3．（23-24七年级上·广西桂林·期中）计算： ． 4．（22-23七年级上·广东河源·期中）符号n！表示正整数从1到n的连乘积，读作n的阶乘．例如．求 ． 5．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： 6．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 1．（2023·安徽·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B．1 C． D． 2．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）能与相乘得1的是（    ） A． B． C． D．3 3．（23-24七年级上·广西南宁·期中）计算的结果是（    ） A． B． C．9 D．70 4．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）若“”是一种数学运算符号，并且，，，，…，则的值为（   ） A． B．2023! C．2023 D．2022! 5．（22-23七年级上·内蒙古通辽·期末）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完，一天之后“一尺之捶”剩尺，两天之后剩尺，那么3天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 6．（23-24七年级上·广东江门·期末）9的倒数是 ． 7．（2023七年级·全国·专题练习）乘法的定义：求几个相同 的和的简便运算，叫做乘法． 8．（22-23七年级下·安徽淮南·阶段练习）一个正方形的边长扩大为原来的2倍，它的面积变为原来的 倍． 9．（22-23七年级上·全国·课后作业）某学习小组，共有四名同学，在一次考试中所得分数为83.5、82、81.5、73，则这四名同学的平均分为 ，最低分比平均分低了 分； 10．（22-23七年级上·江苏苏州·开学考试）如图，两个圆重叠在一起，重叠部分的面积是大圆面积的，是小圆面积的，已知小圆面积是，则大圆面积是( )． 11．（23-24七年级上·吉林·期中）计算：． 12．（23-24七年级上·全国·课堂例题）写出下列各数的倒数： ，，，，． 13．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）王阿姨购买了一款5万元的两年期理财产品，这款理财产品的年收益率是，求该款理财产品两年到期后王阿姨的收益．（年收益率指每年的收益占本金的百分比） 14．（23-24七年级上·全国·课后作业）小明在标有，，，，，，，……的卡片中依次拿到张卡片． (1)若数字之积为，则小明拿到了哪三张卡片？ (2)能拿到数字相邻的且其积为的三张卡片吗？若能，请写出这三张卡片的数字；若不能，请说明理由． 15．学习有理数得乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式； 小军：原式； (1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？ (2)用你认为最合适的方法计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 有理数的乘除（4大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 两个有理数的乘法法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的卖际应用 题型四 倒数 题型五 有理数乘法运算律 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数除法的应用 题型八 有理数乘除混合运算 知识点01 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 知识点02 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：． 知识点03 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 知识点04 有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 【典型例题一 两个有理数的乘法法运算】 1．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）计算 的结果是（   ） A． B．6 C．4 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘法，直接约分即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．（2023·安徽·模拟预测）计算的结果是（    ） A．13 B． C．40 D． 【答案】D 【分析】本题考查了两个有理数的乘法运算，注意计算的准确性即可． 【详解】解：， 故选：D 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）1同任何数相乘，仍得 ，而与任何数相乘，得到的是原数的 ． 【答案】 原数 相反数 【分析】根据有理数乘法运算法则求解即可． 【详解】解：1同任何数相乘，仍得原数，而与任何数相乘，得到的是原数的相反数， 故答案为：原数，相反数 【点睛】此题考查了有理数的运算法则，解题的关键是掌握有理数的运算法则． 4．（22-23七年级上·福建龙岩·阶段练习）有一种运算法则用公式表示为，依此法则计算 ． 【答案】11 【分析】根据题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得：． 故答案为：11． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（22-23六年级上·上海普陀·期中）计算：． 【答案】2 【分析】先将化为，再进行乘法运算求解即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查有理数的乘法运算，熟练使用乘法法则是解题的关键． 6．（2023七年级·江苏·专题练习）计算： (1)9×(－6) (2)(－9)×6 (3)(－9)×(－6) 【答案】(1)-54 (2)-54 (3)54 【详解】（1）解：9×(－6)=-54 （2）解：(－9)×6=-54 （3）解：(－9)×(－6)=54 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 【典型例题二 多个有理数的乘法运算】 1．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，比较有理数的大小．先根据乘法法则，判断出积的符号，根据正数大于0，0大于负数，进行判断即可． 【详解】解：根据乘法法则可知：A选项中的积为正数，B，C选项中的积为负数，D选项的积为0， ∴计算结果最大的是选项A． 故选A． 2．（22-23七年级上·甘肃兰州·期中）下列各式中积为正的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法法则的运用，任何数与零相乘，都得0．多个有理数相乘的法则∶①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正 根据有理数的乘法法则进行计算，再根据所得的结果的符号进行判断． 【详解】解：A、，故积为负，不符合题意； B、，故积为负，不符合题意； C、，积为0，不符合题意； D、，故积为正，符合题意； 故选∶D． 3．（2023九年级·全国·专题练习） ． 【答案】 【分析】依据有理数的乘法法则，先确定结果的符号，把小数化成分数，然后利用乘法交换率和结合律进行简便计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了多个有理数的连乘运算；熟练掌握有理数的乘法运算法则、正确计算是解题的关键． 4．（22-23七年级上·浙江金华·阶段练习）若有四个不同的正整数，，， 满足，那么的值是 ． 【答案】2023 【分析】若和的值分别取，则与的值为，依此可求，，，，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵，，，表示4个不同的正整数，且， ∴、、、四个数的值可分别取为，1，，2， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2023． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，判断出相乘的积是4的四个因数是解题的关键，也是本题的难点． 5．（22-23七年级上·北京·期中）计算：． 【答案】7 【分析】先利用有理数的乘法分配律去括号,再利用有理数的乘法法则计算即可; 【详解】解: = = =7 【点睛】本题考查了有理数的乘法,掌握有理数的乘法法则及其运算律是解题的关键,同时在计算时要注意符号的变化． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）0 【分析】根据有理数乘法法则，先确定结果的正负，再绝对值相乘，即可得到结果．0乘任何数都等于0． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键． 【典型例题三 有理数乘法的卖际应用】 1．（22-23七年级下·黑龙江鸡西·期中）妈妈买了一瓶香水花了240元，其中消费税为售价的25%，妈妈为此支付消费税（    ）元 A．60 B．192 C．48 D．180 【答案】A 【分析】根据题意直接列式计算即可． 【详解】解：根据题意可得，元， 故选：A． 【点睛】题目主要考查有理数的乘法的应用，理解题意，列出算式是解题关键． 2．（22-23七年级·江苏·假期作业）蜗牛前进的速度每秒只有毫米，恰好是某人步行速度的分之一，那么此人步行的速度大约是每小时（　　） A．9公里 B．公里 C．米 D．米 【答案】B 【分析】蜗牛与人的速度单位不一样，先化为统一单位，再计算人步行的速度． 【详解】解：∵蜗牛前进的速度每秒只有毫米， ∴每小时前进毫米米． 此人步行的速度大约是每小时米公里． 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数运算的应用，解答此题的关键是计算出蜗牛每小时前进的速度，再计算出此人步行的速度． 3．（22-23六年级上·北京·期末）小昕爷爷去年在银行里存入50000元，存定期两年，年利率是2.70%，到期时可以得到利息 元． 【答案】 【分析】到期时，利息＝存入银行的钱数×年利率×2．根据题意，列出相应的式子． 【详解】解：（元） 答：到期时可以取得元． 【点睛】本题主要考查了存钱利息，根据题意列出相应的式子是解题的关键． 4．（22-23七年级上·黑龙江大庆·期中）某商场计划今年的销售额比去年增加，而实际销售额又比计划销售额多，这个商场今年实际销售额是去年的 ． 【答案】 【分析】先求得今年计划的销售额，即可求解． 【详解】解：由题意可得： 故答案为： 【点睛】此题考查了有理数乘法的应用，解题的关键是理解题意，正确列出式子． 5．（22-23六年级上·山东东营·阶段练习）鸭的孵化期是32天，鸡的孵化期是鸭的，鸡的孵化期是多少天？ 【答案】鸡的孵化期是24天． 【分析】根据鸭的孵化期和鸡的孵化期的关系，用乘法计算即可求鸡的孵化期． 【详解】解：32×=24（天） 答：鸡的孵化期是24天． 【点睛】本题考查有理数乘法的应用．关键是确定鸭的孵化期和鸡的孵化期的关系． 6．（22-23七年级上·内蒙古·阶段练习）王叔叔2018年5月1日把2000元存入银行定期三年，年利率为5.2%，到期时应交5%的利息所得税，取款时，叔叔一共可取回多少元？（利息所得税是对个人和企业所得的利息收征收的一种税） 【答案】2296.4元． 【分析】王叔叔到期可以取回的钱应是本金与税后利息，运用关系式“本息=本金+本金×年利率×时间×（1-5%）”，把相关数据代入此关系式求解即可． 【详解】解：2000+2000×5.2%×3×（1-5%） =2000+312×0.95 =2000+296.4 =2296.4（元） 答：王叔叔一共可取回2296.4元． 【点睛】此题考查了存款利息与纳税相关问题，解题的关键是熟练掌握利息和利息税的计算公式．本息=本金+本金×利率×时间，利息税=利息×5%． 【典型例题四 倒数】 1．（2023·吉林松原·模拟预测）的倒数为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数的定义，互为倒数的两个数的乘积为1，据此列式即可作答． 【详解】解：∵， ∴的倒数为， 故选：D． 2．（2024·广东广州·一模）分数的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴分数的倒数是 故选：C． 3．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）的倒数是 . 【答案】 【分析】本题考查倒数，根据倒数的定义进行解题即可． 【详解】的倒数是， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）的倒数的绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，绝对值．熟练掌握倒数、绝对值的求解是解题的关键． 先求倒数，然后求绝对值即可． 【详解】解：的倒数为， 的绝对值为， 故答案为：． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）写出下列各数的倒数： 3，－1，0.3，－，，－3． 【答案】它们的倒数分别为，－1，，－，4，－． 【分析】先把小数变为分数、带分数化为假分数，然后根据倒数的概念求解． 【详解】解：3的倒数为； -1的倒数为-1； ，的倒数为； 的倒数为； 的倒数为4； ，的倒数为． 故它们的倒数分别为，－1，，－，4，－． 【点睛】本题考查倒数的定义，熟练掌握乘积是1的两数互为倒数是解题的关键． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）写出下列各数的倒数： ． 【答案】1，，3，，，，， 【分析】求一个数的倒数，只需将分子分母颠倒位置，1和的倒数是本身，据此解答． 【详解】解：的倒数是； 的倒数是； 的倒数是3； 的倒数是； 的倒数是； 的倒数是； 的倒数是； 的倒数是． 【点睛】本题考查倒数的求法，熟练掌握“乘积是1的两数，互为倒数” ． 【典型例题五 有理数乘法运算律】 1．（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）若，则的值可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原式变形为，再利用乘法分配律计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选C． 【点睛】此题考查有理数的乘法，利用乘法分配律计算是解题关键． 2．（22-23七年级上·浙江金华·期末）利用分配律计算时，正确的方案可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把带分数化成假分数即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法分配律，正确把带分数化成假分数是解题的关键． 3．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）计算： ． 【答案】8 【分析】利用有理数的乘法分配律计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了有理数乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法分配律是解题的关键． 4．（22-23八年级上·天津西青·期末）计算： ． 【答案】 【分析】逆用乘法的分配律计算即可． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘法、加法、减法运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． 5．（2023九年级·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】根据有理数的乘法法则、加法法则和减法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，注意计算过程中的符号，正确运用乘法分配律是解题的关键． 6．（22-23七年级上·山东济宁·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）先去括号，再进行加减计算即可； （2）运算乘法分配律去括号，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数运算律及相关运算法则． 【典型例题六 有理数的除法运算】 1．（23-24七年级上·福建南平·期中）计算的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的除法，掌握有理数的除法法则是解题的关键． 根据有理数的除法法则进行解题即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．（23-24六年级上·上海杨浦·阶段练习）如果正整数能整除23，那么是（    ） A．46 B．23 C．任何自然数 D．1或23 【答案】D 【分析】根据题意可知为整数即可解答，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵正整数能整除23， ∴是1或23． 故选：D． 3．（23-24七年级上·福建漳州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法运算法则，准确计算． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·陕西西安·期中）三个有理数，，两两不等，那么，，，中负数有 个． 【答案】 【分析】本题考查符号法则的运用.根据题意两两不等，可设 ，根据同号为正，异号得负即可判断. 【详解】解：根据题意 两两不等, 可设， ∴ 则，，，中有个是负数， 故答案为：. 5．（23-24七年级上·全国·课后作业）把下列有理数写成整数之商： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据有理数的除法可进行求解（1）（2） 【详解】（1）解：； （2）解： 【点睛】本题主要考查有理数的除法，熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】同号得正，异号得负，再绝对值相除；除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，据此作答即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． 【典型例题七 有理数除法的应用】 1．（22-23七年级上·福建漳州·开学考试）请你估计一下（    ）最接近你自己现在的年龄． A．600分 B．600时 C．600周 D．600月 【答案】C 【分析】将利用单位换算进行计算，可以估计出结果． 【详解】解：600月÷12=50岁， 600周÷52≈12岁， 600时÷24=25天， 600分÷60=10时， ∴只有600周符合学生的年龄， 故选C． 【点睛】本题考查了时间单位，解题的关键是掌握单位的换算方法． 2．（22-23七年级上·全国·单元测试）甲、乙二人从第一层开始比赛爬楼梯，甲爬到第4层时，乙恰好爬到第3层，照这样的速度，甲爬到第16层时，乙爬到第（   ）层． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据题意可以求得甲乙两人的速度的关系，然后即可得到甲爬到第16层时，乙爬到第几层，本题得以解决． 【详解】解：设每两层楼之间的距离为， 则甲从第一层到第四层爬的高度是，乙从第一层到第三层爬的高度是， 故甲的速度是乙的速度的倍， 甲爬到16层，爬了，则乙爬了，故此时乙爬到11层， 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的除法，解答本题的关键是明确题意，求出甲爬到第16层时，乙爬到第几层． 3．（23-24七年级上·山东潍坊·阶段练习）乘坐空调公交，每人需投币2元；如果刷卡每人次扣费1.8元，相当于享受( )折优惠． 【答案】九/9 【分析】根据题意可列出算式，即得出答案． 【详解】解：∵， ∴相当于享受九折优惠． 故答案为：九． 【点睛】本题考查有理数除法的实际应用．根据题意正确列出算式是解题关键． 4．（22-23七年级上·安徽淮南·开学考试）小华家买来一袋4千克的大米，吃了7天．平均每天吃( )千克，每天吃的大米占这袋大米的( )． 【答案】 【分析】根据平均每天吃的大米质量大米的总质量吃的天数即可求解． 【详解】解：平均每天吃的大米质量大米的总质量吃的天数 ∴平均每天吃千克 每天吃的大米占这袋大米的比例为： 故答案为：， 【点睛】本题考查有理数的除法运算的实际应用．注意正确理解题意即可． 5．（23-24七年级上·山西运城·期中）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差—数”．定义：对于一个自然数，如果这个数除以7余数是6，且除以5余数为4，则称这个数为“差一数”．例如：，，所以34是“差一数”；，，所以27不是“差一数”． (1)判断69和97是否为“差—数”？并说明理由； (2)求大于500且小于600的所有“差—数”． 【答案】(1)是“差—数”，不是“差—数”， (2)524、559、594 【分析】本题主要考查了整数问题的综合运用以及新定义题的理解，灵活运用新定义的特征是解答本题的关键． （1）直接根据“差一数”的定义计算判断即可； （2）根据题意可得：所求数加1能被35整除，据此可先求出大于500且小于600的能被35整除的数，进一步即得结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴是“差—数”； ∵，， ∴不是“差—数”； （2）解：∵“差一数”这个数除以7余数为6，且除以5余数为4， ∴这个数加1能被35整除， ∵大于500且小于600的能被35整除的数为525、560、595， ∴大于500且小于600的所有“差一数”为524、559、594． 6．（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）我们知道，正整数按照能否被整除可以分成两类：正奇数和正偶数．小浩受此启发，按照一个正整数被除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被除余数为，则这个正整数属于类，例如等：如果一个正整数被除余数为，则这个正整数属于类，例如等：如果一个正整数被整除，则这个正整数属于类，例如等． (1)属于　 　类（填或）； (2)①从类数中任取两个数，则它们的和属于　 　类（填或）； ②从类数中任意取出个数，从类数中任意取出个数，从类数中任意取出个数，把它们都加起来，则最后的结果属于　 　类（填或）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）计算，根据计算结果即可求解； （2）①从类数中任取两个数进行计算，即可求解；②从类数中任意取出个数，从类数中任意取出个数，从类数中任意取出个数，把它们的余数相加，再除以，根据余数判断即可求解． 【详解】（1）解：， ∴被除余数为，属于类， 故答案为：． （2）解：①从类数中任取两个数，如：，，被除余数为，则它们的和属于类； ②从类数中任意取出个数，从类数中任意取出个数，从类数中任意取出个数，把它们的余数相加，得，， ∴余数为，属于类， 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查了新定义的应用和有理数的除法，解题的关键是熟练掌握新定义进行解答． 【典型例题八 有理数乘除混合运算】 1．（22-23七年级上·江苏·阶段练习）计算：的结果为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的除法和乘法计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】此题考查有理数的乘除运算，关键是根据有理数的除法和乘法法则计算． 2．（22-23七年级上·江苏苏州·开学考试）如果4平方米的地面大约能站32人，那么1公顷的地面大约能站（    ）人． A．3200 B．32000 C．80000 D．800000 【答案】C 【分析】先求出1平方米的地面大约能站8人，再根据1公顷=10000平方米，即可求解． 【详解】解：∵4平方米的地面大约能站32人， ∴1平方米的地面大约能站32÷4=8（人）， ∴1公顷的地面大约能站 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，明确平方米和公顷之间的进率为10000是解决本题的关键． 3．（23-24七年级上·山东德州·开学考试）42人正好坐满10条游船，每条大船坐5人，每条小船坐3人，大船有( )条，小船有( )条． 【答案】 6 4 【分析】 已知每条大船比小船多坐人，假设都坐小船,则,则就剩下了人,这剩下的人应是坐大船的，则大船就有条,由此即可解答问题. 【详解】假设都坐小船，则大船有： , (条) , 小船有:(条) , 答：大船有条，小船有条. 故答案为: . 【点睛】 本题考查鸡兔同笼问题，掌握鸡兔同笼的解题方法是解题的关键. 4．（22-23七年级上·湖北宜昌·开学考试）若“！”是一种数学运算符号，且，，，，……，则的值为多少？ ． 【答案】8 【分析】根据题意可知，然后化简所求式子即可． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题． 5．（23-24六年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了有理数乘除的混合运算，解题的关键是按照运算顺序和计算法则进行计算． 按照从左到右的顺序依次进行计算即可． 【详解】解： ． 6．（23-24七年级上·广东韶关·期中）有一个填写运算符号的游戏：在“1☐2☐6☐9”中的每个☐内，填入运算符号“”“”“”“”中的某一个（可重复使用），然后计算结果． (1)若，请推算☐内的运算符号． (2)在“”中的☐内填入运算符号，使计算结果最小，直接写出这个最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号； （2）先写出结果，然后说明理由即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，所以□内的运算符号是“”． （2）解：这个最小值是． ∵在“”中的□内填入运算符号，使计算结果最小， ∴使的结果最小即可， ∵的最小值是， ∴的最小值是． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题得关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【变式训练1 两个有理数的乘法法运算】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： 故选：A ． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，熟知有理数乘法计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 3．（2024·西藏拉萨·一模）小明与小刚规定了一种新运算“”：若，是有理数，则，小明计算出，请帮小刚计算 ． 【答案】16 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义，将，代入计算，即可求出的值． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）规定一种新运算：如，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的运算．原式利用题中的新定义化简即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算；先算括号内的减法，再算乘法即可． 【详解】解：原式 ． 6．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算和乘法运算律， （1）先将原式进行变形，再利用乘法分配律的逆用进行运算即可； （2）先将原式进行变形，再利用乘法分配律进行运算即可； 熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 2 【变式训练2 多个有理数的乘法运算】 1．（23-24七年级上·陕西榆林·阶段练习）计算：（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算，掌握相应的运算法则，是解答本题的关键． 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）如果个有理数相乘所得的积为，那么这个数中（    ） A．最多有一个数为 B．至少有一个数为 C．恰有一个数为 D．均为 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法运算即可求解． 【详解】解：个有理数相乘所得的积为， ∴这个数中至少有一个数为， 故选：． 【点睛】本题主要考查有理数的运算，掌握其运算法则是解题的关键． 3．（23-24七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）计算的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据任何数和零相乘都得零计算即可． 【详解】解： 故答案为：0 4．（23-24七年级上·河北秦皇岛·期末）已知，其中表示当时代数式的值，如，， ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合与运算．根据有理数的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，，，， ∴， 故答案为：． 5．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】 本题主要考查了有理数的乘法计算，熟知有理数的乘法计算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 6．（23-24七年级上·云南文山·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ． （2） ． 【点睛】此题考查了有理数的乘法运算，正确掌握有理数乘法的计算法则是解题的关键． 【变式训练3 有理数乘法的卖际应用】 1．（23-24七年级上·重庆綦江·开学考试）一种运动鞋，在“6·18网购节”时，先提价后又打八折，与原价相比，现价（    ） A．降低了 B．提高了 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】设该运动鞋原价为，根据提价后又打八折可计算出现价，即可进行比较． 【详解】解：设该运动鞋原价为 提价后又打八折后，现价为： ∵ ∴现价降低了 故选：A 【点睛】本题考查有理数的乘法运算．正确计算出现价是解题关键． 2．（22-23七年级·江苏·假期作业）蜗牛前进的速度每秒只有毫米，恰好是某人步行速度的分之一，那么此人步行的速度大约是每小时（　　） A．9公里 B．公里 C．米 D．米 【答案】B 【分析】蜗牛与人的速度单位不一样，先化为统一单位，再计算人步行的速度． 【详解】解：∵蜗牛前进的速度每秒只有毫米， ∴每小时前进毫米米． 此人步行的速度大约是每小时米公里． 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数运算的应用，解答此题的关键是计算出蜗牛每小时前进的速度，再计算出此人步行的速度． 3．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，在长为 20 米，宽为 15 米的池塘上修建宽为2 米的横向与纵向的观景道路，则道路的面积为 平方米． 【答案】92 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据图形，列出算式进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：92． 4．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）在如图的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）的面积为 【答案】36 【分析】本题考查了几何图形面积的计算，掌握几何图形的特点是解题的关键． 根据长方形的长与宽，图形结合，可得三号正方形的边长为：，根据长方形的宽为两个三号正方形与阴影部分正方形边长之和，由此可得阴影部分正方形的边长，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，三号正方形的边长为：， ∴中间正方形的边长为：， ∴中间小正方形（阴影部分）的面积为：， 故答案为： ． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）某校在阶梯教室举行英语沙龙活动，张红的座位号与下列一组数中的负数的个数相等，李强的座位号与下列一组数中正整数的个数相等． 7，，0，，，，，36，，，，. (1)问张红、李强坐的各是第几号位置？ (2)若这次参加英语沙龙的人数是张红座位号的3倍与李强座位号的5倍的和，问这次参加英语沙龙的学生有多少人？ 【答案】(1)张红的座位号是7，李强的座位号是3 (2)36 【分析】本题主要考查的是有理数的概念和分类，找出负数、正整数的个数是解题的关键． （1）找出其中负数和正整数的个数即可得到答案； （2）列出算式进行计算即可． 【详解】（1）负数有：，，，,，，共7个；正整数有：7，36，，共3个． 张红的座位号是7，李强的座位号是3． （2） (人)， 答：这次参加英语沙龙的学生有36人． 6．（22-23七年级上·广东湛江·期中）教师节当天，出租车司机小王在东西向的街道上免费接送教师，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)将最后一名老师送到目的地时，小王距出发地多少千米？方位如何？ (2)若汽车耗油量为0.5升/千米，则当天耗油多少升？ (3)若汽油价格为6.20元/升，则小王共花费了多少元钱的油费？ 【答案】(1)小王在出发地西面4千米 (2)27升 (3)元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．读懂题意，列出算式，进行计算即可． （1）将所有数据相加，根据和的情况，进行判断即可； （2）将所有数据的绝对值相加，求和后乘以每千米的油耗即可； （3）利用（2）中的结果乘以汽油每升的价格，计算即可． 【详解】（1）解：， ∴小王在出发地西面4千米； （2）（升）； （3）（元）． 【变式训练4 倒数】 1．（2024·广东广州·三模）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案． 【详解】解： ∴的倒数为， 故选：C． 2．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）下列四个实数中，不存在倒数的是（    ） A．0 B．3.14 C． D．1.3333 【答案】A 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义，即可解答． 【详解】A、0没有倒数，故A符合题意； B、3.14的倒数是，故B不符合题意； C、的倒数为，故C不符合题意； D、1.3333的倒数是，故D不符合题意； 故选：A． 3．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：的倒数是， 故答案为：． 4．（23-24六年级上·山东济南·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和倒数等知识点，根据绝对值和倒数的性质求解即可，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵，的倒数为， ∴的倒数为， 故答案为： 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）求下列各数的倒数． (1)； (2)； (3)； (4)5 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义（乘积是1的两数互为倒数）是解答本题的关键． （1）由可得结论； （2）把化为，由可得结论； （3）把化为，由可得结论； （1）由可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴的倒数为：； （2）解：， ∵， ∴的倒数为：， 即的倒数为：； （3）解：， ∵ ∴的倒数是， 即的倒数是； （4）解：∵， ∴5的倒数是， 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）写出下列各数的倒数： ，，，，． 【答案】的倒数是，的倒数是，的倒数是，的倒数是，的倒数是 【分析】两数相乘为的数互为倒数，注意没有倒数；带分数要化为假分数、小数化为分数，再根据倒数的概念解答即可． 【详解】解：的倒数是， 的倒数是， ∵， ∴的倒数是， ∵， ∴的倒数是， ∵， ∴的倒数是， 综上可得：的倒数是，的倒数是，的倒数是，的倒数是，的倒数是． 【点睛】本题考查倒数，掌握倒数的定义是解题的关键． 【变式训练5 有理数乘法运算律】 1．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）算式利用了（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．分配律 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律，乘法分配律的概念为：两个数的和乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变，用字母表示：，据此可得答案，熟知有理数乘法分配律的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，算式运用了乘法分配律， 故选：． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）有一个数字键“”坏了的计算器，用这个计算器计算时，下列按键方案中（ ）合适． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查乘法结合律、乘法分配律，将原式变形，即可求得答案． 【详解】A．，不含数字，该选项符合题意； B．，含数字，该选项不符合题意； C．，方案与原式不相等，该选项不符合题意； D．，方案与原式不相等，该选项不符合题意． 故答案为：A． 3．（23-24七年级上·山东济宁·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律，根据乘法分配律把原式变形为，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解； ， 故答案为：1． 4．（23-24七年级上·宁夏中卫·期中）小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据直接用乘法结合律来计算会非常简便来确定即可． 【详解】解：被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个， 并且直接用乘法结合律来计算会非常简便， 观察■，只有数字7可以直接用乘法结合律来计算． 故答案为：7． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）简便计算 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，先把原式整理得，再运算括号内，最后运算乘法，即可作答． 【详解】 6．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）下面各题怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)5 (2)7623 (3)8686 (4)48 【分析】本题考查了分数的混合运算，以及有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用乘法分配律得出，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先整理为整百数，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （3）先整理为整百数，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （4）先整理原式，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练6 有理数的除法运算】 1．（2024·山西临汾·一模）计算的结果是（    ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）已知算式“”的值为，“”部分是因被污染而看不清的运算符号，则该运算符号应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的除法，能根据商为确定运算符号是解题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 3．（2024六年级下·上海·专题练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·吉林·期中）若两个数的积是，其中一个数是，则另一个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法，根据题意，列出算式，根据有理数的除法法则进行计算即可求解，掌握有理数的除法法则是解题的关键． 【详解】解：， ∴另一个数是， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，有理数的除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除混合计算法则求解即可； （2）根据有理数除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 6．（22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）乘坐飞机的每位旅客，携带行李超过20千克的部分，每千克要按飞机票原价的1.5%购买行李票．张芳从南京到北京，票价打六折后是600元，南京到北京的飞机票原价是多少元？张芳带了40千克的行李，应付行李费多少元？ 【答案】机票原价是1000元；行李费300元． 【分析】本题考查了百分数的应用， （1）根据百分数的意义列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可． 正确的理解题意是解题的关键． 【详解】解：（1）（元）， 答：南京到北京的飞机票原价是1000元； （2） （元）， 答：张芳带了40千克的行李，应付行李费300元． 【变式训练7 有理数除法的应用】 1．（22-23七年级上·安徽淮南·开学考试）李华小时走了千米，他走1千米要多少小时？正确列式是（　　） A． B． C． 【答案】C 【分析】走1千米所需时间＝总时间÷总路程，即可求解． 【详解】解：∵走1千米所需时间＝总时间÷总路程， ∴正确列式为： 故选：C 【点睛】本题考查有理数的除法运算的实际应用．抓住速度＝路程÷时间即可． 2．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）在地球陆地面积分布扇形统计图中，表示亚洲陆地面积的扇形圆心角为，由此可知，亚洲陆地面积占世界陆地总面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，用亚洲陆地面积的扇形圆心角度数除以360度再乘以即可得到答案． 【详解】解：， ∴亚洲陆地面积占世界陆地总面积的， 故选B． 3．（23-24七年级上·广东·开学考试）分钟 小时． 【答案】/ 【分析】本题考查时间的化简，根据1小时分钟求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 分钟小时， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·安徽六安·期中）根据工信部组织修订的《电动自行车安全技术规范》强制性国家标准，电动自行车最高设计车速不超过25公里/小时．已知张老师家距学校5千米，在不违反交通规则的情况下，张老师骑电动自行车从家到学校所需时间至少有 分钟． 【答案】12 【分析】题目主要考查有理数的除法的应用，根据时间等于路程除以速度计算即可，注意单位的变换． 【详解】解：根据题意得：小时， 小时分钟， 故答案为：12． 5．（2024七年级·全国·竞赛）某人想在乘汽车不超过30分钟就可以到达公司的地方找一处住宅，已知离公司不大于6千米时，汽车平均每小时只能走30千米，其他地方每小时可走50千米，试问此人的住宅应在离公司不大于多少千米的地方合适？ 【答案】千米 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式．先求出求出行驶离公司6千米的地方需要的时间，然后再求出行驶其他路段所用的时间，再求出在剩余时间内最多可以行驶的路程，即可求出最远的距离，得出答案． 【详解】解：（小时）， （分钟）， （千米）， （千米）． 答：此人的住宅应在离公司不大于21千米的地方合适． 6．（23-24七年级上·吉林·期中）把相同的瓷碗按如图方式整齐地叠放在一起．叠放4个时，测量的高度为cm；叠放6个时，测量的高度为cm． (1)根据题意，可知每增加一个瓷碗，高度增加______cm； (2)求碗高； (3)若叠放10个瓷碗，高度为______cm． 【答案】(1) (2)碗高为cm (3) 【分析】本题考查有理数加减法实际运用 （1）由图示可知，根据两叠碗的高度差除以碗相差个数，即可求出增加一个瓷碗的高度； （2）由（1）可知增加一个瓷碗的高度，再用4个碗叠放总高减去3个碗增加高度即可求得； （3）叠放10个瓷碗高度，可看成一个碗高度加上9个碗增加的高度，即可求得． 【详解】（1）解：每增加一个瓷碗，高度增加：， 故答案为：； （2）解：碗的高度为：， 故碗的高度为cm； （3）解：； 故答案为：． 【变式训练8 有理数乘除混合运算】 1．（23-24七年级上·重庆开州·期中）计算的结果是（　　） A．6 B．36 C． D．1 【答案】B 【分析】将除法变为乘法，再约分计算即可求解． 【详解】解：原式 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘除法，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算． 2．（22-23七年级上·江苏苏州·开学考试）如果4平方米的地面大约能站32人，那么1公顷的地面大约能站（    ）人． A．3200 B．32000 C．80000 D．800000 【答案】C 【分析】先求出1平方米的地面大约能站8人，再根据1公顷=10000平方米，即可求解． 【详解】解：∵4平方米的地面大约能站32人， ∴1平方米的地面大约能站32÷4=8（人）， ∴1公顷的地面大约能站 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，明确平方米和公顷之间的进率为10000是解决本题的关键． 3．（23-24七年级上·广西桂林·期中）计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．先将除法运算转化成乘法运算，后按从左到右的顺序进行计算． 【详解】解：， 故答案为：1． 4．（22-23七年级上·广东河源·期中）符号n！表示正整数从1到n的连乘积，读作n的阶乘．例如．求 ． 【答案】403 【分析】根据题中的新定义计算即可求解． 【详解】解：根据题中的新定义得： ， 故答案为：403． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解题中的新定义是解题的关键． 5．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘除法，根据有理数的乘除法运算法则计算即可． 【详解】 6．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查分数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）除法转化为乘法，再约分即可； （2）利用乘法分配律展开，再计算即可； （3）乘法分配律的逆运用提取公因数，再进一步计算即可； （4）先计算括号内减法，再进一步计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 1．（2023·安徽·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法，正确理解有理数的乘法法则是解答本题的关键．有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与零相乘，积为零．根据有理数的乘法法则，即得答案． 【详解】解：． 故选：A． 2．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）能与相乘得1的是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法，倒数的定义；根据倒数的定义，即可求解． 【详解】解：的倒数是，则能与相乘得1的是， 故选：B． 3．（23-24七年级上·广西南宁·期中）计算的结果是（    ） A． B． C．9 D．70 【答案】C 【分析】本题考查有理数的除法，两个负数相除，负号直接去掉，再计算除法即可． 【详解】解：， 故选C． 4．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）若“”是一种数学运算符号，并且，，，，…，则的值为（   ） A． B．2023! C．2023 D．2022! 【答案】C 【分析】根据题意，列出，然后分子与分母约分，即可得出结果． 【详解】解：∵，，，，…， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了有理数的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（22-23七年级上·内蒙古通辽·期末）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完，一天之后“一尺之捶”剩尺，两天之后剩尺，那么3天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】两天之后尺，那么只要计算第三天截去的一半还剩多少即可求解． 【详解】解：两天之后剩尺，那么第三天截去了×＝尺，所以三天后，这个“一尺之棰”还剩－＝尺． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的运算，读懂题意并掌握有理数的运算法则是解题的关键． 6．（23-24七年级上·广东江门·期末）9的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查倒数的求法，根据乘积是1的两个数互为倒数即可解答． 【详解】解：∵， ∴9的倒数是， 故答案为：． 7．（2023七年级·全国·专题练习）乘法的定义：求几个相同 的和的简便运算，叫做乘法． 【答案】加数 【解析】略 8．（22-23七年级下·安徽淮南·阶段练习）一个正方形的边长扩大为原来的2倍，它的面积变为原来的 倍． 【答案】4 【分析】根据正方形的面积公式：，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，那么它的面积就扩大为原来的4倍．据此解答． 【详解】解：， 答：面积变为原来的4倍． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查正方形面积公式的灵活运用，以及因数与积的变化规律的应用． 9．（22-23七年级上·全国·课后作业）某学习小组，共有四名同学，在一次考试中所得分数为83.5、82、81.5、73，则这四名同学的平均分为 ，最低分比平均分低了 分； 【答案】 80 7； 【详解】平均分=总分÷学生个数，总分为83.5+82+81.5+73=320（分），学生个数为4，所以平均分=320÷4=80（分），最低分为73分，80－73=7. 故答案为平均分为80分，最低分比平均分低了7分. 点睛：掌握平均分算法公式：平均分=总分÷总个数. 10．（22-23七年级上·江苏苏州·开学考试）如图，两个圆重叠在一起，重叠部分的面积是大圆面积的，是小圆面积的，已知小圆面积是，则大圆面积是( )． 【答案】256 【分析】根据小圆面积和重叠部分的面积是小圆面积的求出重叠部分的面积，然后根据重叠部分的面积是大圆面积的进行即可． 【详解】解：∵小圆面积是，重叠部分的面积是小圆面积的， ∴重叠部分的面积为：， ∵重叠部分的面积是大圆面积的， ∴大圆面积是：， 故答案为：256． 【点睛】本题考查了有理数乘除的实际应用，求出重叠部分的面积是解题的关键． 11．（23-24七年级上·吉林·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． 12．（23-24七年级上·全国·课堂例题）写出下列各数的倒数： ，，，，． 【答案】的倒数是，的倒数是，的倒数是，的倒数是，的倒数是 【分析】两数相乘为的数互为倒数，注意没有倒数；带分数要化为假分数、小数化为分数，再根据倒数的概念解答即可． 【详解】解：的倒数是， 的倒数是， ∵， ∴的倒数是， ∵， ∴的倒数是， ∵， ∴的倒数是， 综上可得：的倒数是，的倒数是，的倒数是，的倒数是，的倒数是． 【点睛】本题考查倒数，掌握倒数的定义是解题的关键． 13．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）王阿姨购买了一款5万元的两年期理财产品，这款理财产品的年收益率是，求该款理财产品两年到期后王阿姨的收益．（年收益率指每年的收益占本金的百分比） 【答案】4500 【分析】本题主要考查了有理数乘法的应用，解题的关键是理解年收益率指每年的收益占本金的百分比． 【详解】解：（元）， 答：该款理财产品两年到期后王阿姨的收益为4500元． 14．（23-24七年级上·全国·课后作业）小明在标有，，，，，，，……的卡片中依次拿到张卡片． (1)若数字之积为，则小明拿到了哪三张卡片？ (2)能拿到数字相邻的且其积为的三张卡片吗？若能，请写出这三张卡片的数字；若不能，请说明理由． 【答案】(1)小明拿到的三张卡片为，， (2)能，这三张卡片为，， 【分析】（1）根据有理数的乘法即可求解； （2）根据有理数的乘法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴小明拿到的三张卡片为，，． （2）解：∵， ∴这三张卡片为，，． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法是解题的关键． 15．学习有理数得乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式； 小军：原式； (1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？ (2)用你认为最合适的方法计算：． 【答案】(1)小军的解法较好 (2) 【分析】本题考查了有理数乘法运算律．把带分数进行适当的转化，再利用乘法分配律计算即可求解． （1）根据计算的简便程度判断即可； （2）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解：对于以上两种解法，小军的解法较好， 故答案为：小军； （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$