精品解析：河南省三门峡市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

七年级数学试题卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，答题前，同学们务必先将自己的学校、班级、姓名、考场号、座号，以及准考证号写在试题卷和答题卡第一页的指定位置． 2．答题时，同学们一定要按要求把答案写在答题卡上，答案写在试题卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在实数，0，中，最小的实数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 庙底沟博物馆作为一处展示彩陶文化和古代历史的旅游景点，以其春晚亮相的彩陶“花瓣纹”而成为热门打卡地，此图是小丽参观庙底沟博物馆后绘制的“花瓣纹彩陶盆”．在下面的四个图形中，能由该图经过平移得到的图形是（ ） A B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列变形错误的是（ ） A. 由得 B. 由得 C 由得 D. 由得 5. 如图，直线相交于点O，于O．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，真命题的个数有（ ） ①内错角相等； ②对顶角相等； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； ④从直线外一点到这条直线垂线段，叫做点到直线的距离． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 在初中数学项目式学习活动中，老师要将全班50名学生分成几个小组，每个小组由6人或8人组成，则正确的分组方案有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 8. 学生评教工作是学生对教师课堂教学质量进行系统的评价、提出教学改进的重要途径，是学校教学质量监控的重要手段．我市某校为了了解800名学生对教师课堂教学的满意程度，随机抽取了共300名学生进行问卷调查．以下说法错误的是（ ） A. 300名学生的满意程度是总体 B. 每个学生的满意程度是个体 C. 300名学生的满意程度是总体的一个样本 D. 样本容量是300 9. 元代数学家朱世杰撰写的《四元玉鉴》中记载了一个问题：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱，问：梨果多少价几何？”大意是：用九百九十九文钱共买了一千个梨和果，其中十一文钱可买九个梨，四文钱可买七个果，间梨、果各几个？设买了x个梨，y个果，根据题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平面直角坐标系中点A的坐标为，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，依照此规律跳动下去，的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 9的平方根是_________． 12. 人的身体是由水、蛋白质、脂肪、无机质四种成分构成，其中水约占，蛋白质约占，脂肪约占，无机质约占．要反映上述信息，最合适的统计图是____________． 13. 已知点在第二象限，点所在的直线平行于y轴，且到y轴的距离是3，则点P的坐标可以是____________．（写出一个即可） 14. 某数学兴趣小组在开展折纸活动时，将一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点的位置，恰好在上，如图所示，若，则的度数为____________． 15. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程组： 17. 解不等式组，并求其所有整数解的和． 18. 法国数学家勒奈·笛卡尔发明了坐标系，将代数与几何完美结合，架起了数与形之间的桥梁，实现了研究数学的重要方法之一−−数形结合．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点均在格点上，请回答以下问题： （1）平移，使顶点A的对应点为点，请画出平移后的（其中分别是中顶点B，C的对应点）； （2）已知点P是直线上的一个动点，当时，请直接写出点P的坐标． 19. 中小学生综合实践课程是实现“实践育人”教育目标的重要载体，是课堂教学的延伸我市某校为构建“五育并举”教育体系，推动落实以“实践育人”为基本途径，以“活动育人”为实施模式，组织开展“春光无限好，研学正当时”的研学活动，以促进书本知识和校外实践的深度融合．该校为了了解学生对研学活动中各门课程的喜爱程度，随机抽取了若干名学生进行问卷调查，并将调查结果用两幅不完整的统计图表描述如下： a．调查问卷： 在下面六门课程中，你最喜爱的课程是（ ）（单选） A．动手实践 B．生命体验 C．拓展培训 D．劳动教育 E．国防教育 F．传统文化 b．学生最喜爱课程人数统计表： 课程种类 频数 百分比 A．动手实践 32 B．生命体验 24 C．拓展培训 D．劳动教育 30 E．国防教育 28 F．传统文化 36 合计 a c．学生最喜爱的课程条形统计图： 根据以上信息，请回答下列问题： （1）表中____________，____________； （2）请补全频数分布直方图； （3）若该校共有学生1000人，请根据调查结果估计该校最喜欢“传统文化”课程的学生约有多少？ 20. 已知是立方根． （1）求a，b，c的值； （2）阅读材料，理解无理数的表示方法． 因为是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 在（1）的条件下请解答下列问题： ①的整数部分是____________，小数部分是____________； ②已知，其中x是整数，，求的值． 21. 如图，已知交于点平分，试判断与是否平行，并说明理由． 22. 5月26日，2024年三门峡市“陕州地坑院杯”自行车邀请赛在陕州区激情开赛，来自全国24个省、自治区、直辖市的900多名骑行爱好者参与了本次赛事，此赛事影响广泛，引发骑行热潮．某品牌自行车专卖店抓住商机，决定投资6.9万元购买120辆A型和20辆B型越野变速自行车，其中B型车单价是A型车单价的4倍少50元． （1）求A，B两种型号的自行车单价分别是多少元？ （2）第二次进货时考虑到库存和资金周转，经销商决定用不超过3.4万元的资金购买A，B两种型号的自行车共40辆，且B型号自行车不少于18辆，经销商共有几种购买方案？请写出这些方案． （3）若该专卖店销售A型号的自行车每辆可获利润100元，销售B型号的自行车每辆可获利润80元，在（2）的各种进货方案中，当购进B型号的自行车____________辆时，可获利润最大，最大利润是____________元． 23. 综合与实践 阅读材料 某数学兴趣小组的同学在学习《平行线及其判定》时遇到这样一个问题． 已知：如图1，为之间的一点，连接，得到． 求证：． 兴趣小组的同学合作探究得出以下证明： 过点E作，则有， ， ． ____________． ∴____________． 即____________． （1）问题解决 请将上面的推理过程补充完整． （2）变式练习 已知：如图2，，E为之间一点，且．若平分，平分，求的度数． （3）拓广探索 已知，若点E为平面内任意一点，，，除（1）中结论外，请你直接写出和的其他所有数量关系．（和均为小于平角的角） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级数学试题卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，答题前，同学们务必先将自己的学校、班级、姓名、考场号、座号，以及准考证号写在试题卷和答题卡第一页的指定位置． 2．答题时，同学们一定要按要求把答案写在答题卡上，答案写在试题卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在实数，0，中，最小的实数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握比较方法是解题的关键．正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小；据此进行比较即可求解． 【详解】解：， ， ∵ ， 最小的数是； 故选：A． 2. 庙底沟博物馆作为一处展示彩陶文化和古代历史的旅游景点，以其春晚亮相的彩陶“花瓣纹”而成为热门打卡地，此图是小丽参观庙底沟博物馆后绘制的“花瓣纹彩陶盆”．在下面的四个图形中，能由该图经过平移得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质：图形形状大小和方向不发生改变，只是位置发生改变．根据平移的性质：图形形状大小和方向不发生改变，只是位置发生改变直接判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A图形图像的方向发生改变不是平移，错误， B图形图像的方向发生改变不是平移，错误， C图形是平移后得到的图像，正确， D图形图像的方向发生改变不是平移，错误， 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．根据各象限内点的坐标特点，再根据点的坐标符号，即可得出答案． 【详解】解：点， 点所在的象限是第四象限． 故选：D 4. 下列变形错误的是（ ） A. 由得 B. 由得 C. 由得 D. 由得 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．由得，变形正确，故该选项不符合题意； B．由得，变形正确，故该选项不符合题意； C．由得，原变形错误，故该选项符合题意； D．由得，变形正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，直线相交于点O，于O．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线定义的理解，对顶角相等，由垂直定义可得出，根据角的和差关系可得出，最后根据对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 下列命题中，真命题的个数有（ ） ①内错角相等； ②对顶角相等； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，根据平行线的性质，点到直线的距离，对顶角的定义一一判断即可． 【详解】解：两直线平行，内错角相等；故①为假命题， 对顶角相等，故②为真命题， 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；故③为真命题， 从直线外一点到这条直线的垂线段的长，叫做点到直线的距离，故④为假命题， 以上②③为真命题， 故选：C． 7. 在初中数学项目式学习活动中，老师要将全班50名学生分成几个小组，每个小组由6人或8人组成，则正确的分组方案有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的非负整数解的应用，正确建立方程是解题关键．设分成组6人小组，组8人小组，再根据“全班50名学生”建立方程，然后找出方程的所有非负整数解即可得． 【详解】解：设分成组6人小组，组8人小组， 由题意得：， 解得， 因为都是正整数， 当时，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 综上，分组方案有2种， 故选：B． 8. 学生评教工作是学生对教师课堂教学质量进行系统的评价、提出教学改进的重要途径，是学校教学质量监控的重要手段．我市某校为了了解800名学生对教师课堂教学的满意程度，随机抽取了共300名学生进行问卷调查．以下说法错误的是（ ） A. 300名学生的满意程度是总体 B. 每个学生的满意程度是个体 C. 300名学生的满意程度是总体的一个样本 D. 样本容量是300 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，根据总体、个体、样本、样本容量的定义进行解答即可．我们把所要考查的对象的全体叫做总体；个体：把组成总体的每一个考查对象叫做个体；样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；样本容量：一个样本中所包含的数量，是解题的关键． 【详解】解：A．300名学生的满意程度是总体的一个样本，原说法错误，故该选项符合题意； B．每个学生满意程度是个体，说法正确，故该选项不符合题意； C．300名学生的满意程度是总体的一个样本，说法正确，故该选项不符合题意； D．某校为了了解800名学生对教师课堂教学的满意程度，随机抽取了共300名学生进行问卷调查，其样本容量是300，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：A． 9. 元代数学家朱世杰撰写的《四元玉鉴》中记载了一个问题：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱，问：梨果多少价几何？”大意是：用九百九十九文钱共买了一千个梨和果，其中十一文钱可买九个梨，四文钱可买七个果，间梨、果各几个？设买了x个梨，y个果，根据题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设买了x个梨，y个果，用九百九十九文钱共买了一千个梨和果，根据这两个数量得到两个方程构成方程组即可． 【详解】解：设买了x个梨，y个果， 则 故选：A． 10. 如图，平面直角坐标系中点A的坐标为，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，依照此规律跳动下去，的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，坐标与图形，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．根据题意可以发现规律，顺序数为偶数的点都在第一象限，且对应点的坐标的纵坐标比横坐标小1，的坐标为，根据规律直接求解即可． 【详解】解：如图，观察发现，第2次跳动至点坐标是， 第4次跳动至点的坐标是， 第6次跳动至点的坐标是， 第8次跳动至点的坐标是， 第次跳动至点的坐标是， 则第2024次跳动至点的坐标是， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 9的平方根是_________． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵（±3）2=9， ∴9的平方根是±3． 故答案为±3． 【点睛】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 12. 人的身体是由水、蛋白质、脂肪、无机质四种成分构成，其中水约占，蛋白质约占，脂肪约占，无机质约占．要反映上述信息，最合适的统计图是____________． 【答案】扇形统计图 【解析】 【分析】本题考查统计图的选择，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可． 【详解】解：∵已知人的身体是由水、蛋白质、脂肪、无机质四种成分构成，其中水约占，蛋白质约占，脂肪约占，无机质约占 ∴为此最合适的统计图是扇形统计图， 故答案为：扇形统计图. 13. 已知点在第二象限，点所在的直线平行于y轴，且到y轴的距离是3，则点P的坐标可以是____________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据第二象限内点的坐标特征和点所在直线平行于y轴，且到y轴的距离是3，即横坐标．纵坐标为的实数，即可得出点P的坐标． 【详解】解：∵点在第二象限，点所在的直线平行于y轴，且到y轴的距离是3， ∴，y为任意的实数， ∴点P坐标可以是， 故答案为：（答案不唯一） 14. 某数学兴趣小组在开展折纸活动时，将一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点的位置，恰好在上，如图所示，若，则的度数为____________． 【答案】##140度 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．由折叠性质可得，再由平行线的性质可得，从而利用平角的定义可求得，再利用平行线的性质即可求得的度数． 【详解】解：如图， 由折叠得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由可得得，从而得到关于a的不等式组，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴a的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16 （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，二元一次方程组的解法； （1）先计算立方根，化简绝对值，再合并即可； （2）直接利用加减消元法先消去未知数，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 得：， 解得：， 把代入②得：， ∴方程组的解为： 17. 解不等式组，并求其所有整数解的和． 【答案】，0 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组以及求其整数解，先求出不等式组的解集，再根据整数的定义求其整数解，最后把整数解相加即可得出答案． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴整数解有，，0，1，2， ∴所有整数解的和为0． 18. 法国数学家勒奈·笛卡尔发明了坐标系，将代数与几何完美结合，架起了数与形之间的桥梁，实现了研究数学的重要方法之一−−数形结合．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点均在格点上，请回答以下问题： （1）平移，使顶点A的对应点为点，请画出平移后的（其中分别是中顶点B，C的对应点）； （2）已知点P是直线上的一个动点，当时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）画图见解析 （2）或； 【解析】 【分析】本题考查的是画平移图形，坐标与图形面积；熟练的画图是解本题的关键． （1）根据的平移方式，分别确定的对应点，再顺次连接即可； （2）先设设，可得，利用，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：∵点P是直线上的一个动点，而， 设， ∴， ∵，， ∴， 解得：或， ∴或； 19. 中小学生综合实践课程是实现“实践育人”教育目标的重要载体，是课堂教学的延伸我市某校为构建“五育并举”教育体系，推动落实以“实践育人”为基本途径，以“活动育人”为实施模式，组织开展“春光无限好，研学正当时”的研学活动，以促进书本知识和校外实践的深度融合．该校为了了解学生对研学活动中各门课程的喜爱程度，随机抽取了若干名学生进行问卷调查，并将调查结果用两幅不完整的统计图表描述如下： a．调查问卷： 在下面六门课程中，你最喜爱的课程是（ ）（单选） A．动手实践 B．生命体验 C．拓展培训 D．劳动教育 E．国防教育 F．传统文化 b．学生最喜爱的课程人数统计表： 课程种类 频数 百分比 A．动手实践 32 B．生命体验 24 C．拓展培训 D．劳动教育 30 E．国防教育 28 F．传统文化 36 合计 a c．学生最喜爱的课程条形统计图： 根据以上信息，请回答下列问题： （1）表中____________，____________； （2）请补全频数分布直方图； （3）若该校共有学生1000人，请根据调查结果估计该校最喜欢“传统文化”课程的学生约有多少？ 【答案】（1）； （2）画图见解析 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据选择生命体验的频数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，即a的值，32除以a即可求得b的值； （2）根据（1）中的结果和统计图表中的数据，可以计算出选择拓展培训的人数，从而可以将频数分布直方图补充完整； （3）根据统计图中的数据，可以计算出该校学生中选择传统文化课程的人数． 【小问1详解】 解：， ， ∴； 【小问2详解】 解：C类有， 补全图形如下： 【小问3详解】 解：该校共有学生1000人，估计该校最喜欢“传统文化”课程的学生约有 （人）． 【点睛】本题考查了频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20. 已知是的立方根． （1）求a，b，c的值； （2）阅读材料，理解无理数的表示方法． 因为是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 在（1）的条件下请解答下列问题： ①的整数部分是____________，小数部分是____________； ②已知，其中x是整数，，求的值． 【答案】（1） （2）①3；；②7 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，非负数的性质，以及立方根的性质， （1）根据非负数的性质，以及立方根的性质，即可求解； （2）①估算出，即可求解；②估算出，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的立方根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①， ∵， ∴的整数部分是3，小数部分是； 故答案为：3；； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵x是整数，， ∴， ∴． 21. 如图，已知交于点平分，试判断与是否平行，并说明理由． 【答案】，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，平行线的判定，先证明，求解，结合角平分线的定义可得，从而可得结论． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 22. 5月26日，2024年三门峡市“陕州地坑院杯”自行车邀请赛在陕州区激情开赛，来自全国24个省、自治区、直辖市的900多名骑行爱好者参与了本次赛事，此赛事影响广泛，引发骑行热潮．某品牌自行车专卖店抓住商机，决定投资6.9万元购买120辆A型和20辆B型越野变速自行车，其中B型车单价是A型车单价的4倍少50元． （1）求A，B两种型号的自行车单价分别是多少元？ （2）第二次进货时考虑到库存和资金周转，经销商决定用不超过3.4万元的资金购买A，B两种型号的自行车共40辆，且B型号自行车不少于18辆，经销商共有几种购买方案？请写出这些方案． （3）若该专卖店销售A型号的自行车每辆可获利润100元，销售B型号的自行车每辆可获利润80元，在（2）的各种进货方案中，当购进B型号的自行车____________辆时，可获利润最大，最大利润是____________元． 【答案】（1）A型车单价为350元，则B型车单价为1350元 （2）共有3种购买法案；方案一：A型号自行车22辆，B型号自行车18辆；方案二：A型号自行车21辆，B型号自行车19辆；方案三：A型号自行车20辆，B型号自行车20辆 （3）18；3640 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用： （1）设A型车单价为a元，则B型车单价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设B型号自行车x辆，其中，根据题意，列出不等式，即可求解； （3）分别计算出（2）中3种方案所获利润，即可求解． 【小问1详解】 解：设A型车单价为a元，则B型车单价为元，根据题意得： ， 解得：， 则， 答：A型车单价为350元，则B型车单价为1350元； 【小问2详解】 解：设B型号自行车x辆，其中，根据题意得： ， 解得：， ∵，且x为整数， ∴x取18，19，20， 即共有3种购买法案， 方案一：A型号自行车22辆，B型号自行车18辆； 方案二：A型号自行车21辆，B型号自行车19辆； 方案三：A型号自行车20辆，B型号自行车20辆； 【小问3详解】 解：方案一：利润为元； 方案二：利润为元； 方案三：利润为元； ∵， ∴当购进B型号的自行车18辆时，可获利润最大，最大利润是3640元． 故答案为：18；3640 23. 综合与实践 阅读材料 某数学兴趣小组的同学在学习《平行线及其判定》时遇到这样一个问题． 已知：如图1，为之间的一点，连接，得到． 求证：． 兴趣小组的同学合作探究得出以下证明： 过点E作，则有， ， ． ____________． ∴____________． 即____________． （1）问题解决 请将上面的推理过程补充完整． （2）变式练习 已知：如图2，，E为之间一点，且．若平分，平分，求的度数． （3）拓广探索 已知，若点E为平面内任意一点，，，除（1）中结论外，请你直接写出和的其他所有数量关系．（和均为小于平角的角） 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的定义以及角平分线的相关计算等知识，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点E作，则有，根据平行线公理可得出，根据平行线的性质可得出，进一步可得出 ，即． （2）过点E作，由（1）可知，同理可得，由角平分线的定义可得出，，等量代换可得出，即，即可得出答案． （3）根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可． 【小问1详解】 证明：过点E作，则有， ， ． ， ∴， 即． 【小问2详解】 过点E作，如下图： 由（1）可知 同理可得：， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． ． 【小问3详解】 (1)如图，由，可得， ∵， ∴． (2)如图，过点作平行线，则由， 可得，， ∴． (3)如图，由，可得出， ∵， ∴． (4)如图，由，可得出， ∴， (5) (6)当点E在的下方时，同理可得，或． 综上，除了外，还有或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$