精品解析：北京市门头沟区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

门头沟区2023-2024学年度第二学期期末调研试卷 八年级数学 考生须知 1．本试卷共8页，三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名、班级和考场． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各点中，在直线上点是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果函数是关于的一次函数，且随增大而增大，那么取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（ ） A. 8分 B. 8.1分 C. 8.2分 D. 8.3分 7. 下列命题正确的是（ ）． A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等且有一个角是直角平行四边形是正方形 8. 我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边， 下列四个推断：①；②；③；④． 其中所有正确推断的序号是（ ）． A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 化简：______；当时，______． 11. 请写出一个图形经过一、三象限正比例函数的解析式___． 12. 如图，在中，点、分别是边、的中点，，则__________． 13. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，如果∠ABC＝60°，AC＝4，那么这个菱形的面积是_______． 14. 如图，已知函数和的图象交点为，则不等式的解集为_______． 15. 在平面直角坐标系中，点，．如果直线与线段有交点，那么______（写出一个满足题意的值即可）． 16. 学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下： ①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟． 三、解答题（本题共68分，第17~22题每小题5分，第23~26题每小题6分，第27~28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 若，求的值. 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求，两点的坐标，并画出它的图象； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）当时，直接写出的取值范围． 20. 如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：． 21. 下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种方法，完成证明． 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，点是的中点． 求证：． 方法一 证明：如图，延长到点E，使得，连接． 方法二 证明：如图，取中点E，连接． 22. 如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点F处，AF与BC相交于点E． （1）求证：△ABE≌△CFE； （2）若AB=4，AD=8，求AE的长． 23. 【问题情境】大自然中植物千姿百态，如果细心观察，你会发现：植物叶子通常有着不同的特征．如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？某课外小组开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动． 【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、柳树叶中各随机选取了10片，通过测量它们长和宽（单位：）的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 杨树叶的长宽比 2 柳树叶的长宽比 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 杨树叶的长宽比 柳树叶的长宽比 【问题解决】填空： （1）上述表格中：______，______，______； （2）这两种树叶从长宽比的角度看，______树叶的形状差别比较小； （3）一片长为，宽为的树叶，这片树叶来自于______树的可能性比较大． 24. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点(1，2)． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 25. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是______； （2）下表是当，，时，与的几组对应值： … 0 1 2 3 … … 5 4 3 2 1 0 1 … … 3 2 1 0 1 2 3 … … 2 1 0 1 2 4 … 上述表格中：______； （3）在下面的平面直角坐标系中，再画出函数和的图象： （4）进一步探究发现，函数的图象都是______图形（填“轴对称”或“中心对称”）．结合函数的图象，再写出函数的其它性质（一条即可）______． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直交于点． （1）求k、m的值； （2）已知点，过点P作垂直于y轴的直线，交直线于点M，过点P作垂直于x轴的直线，交直线于点N． ①当时，求△PMN的面积； ②若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 27. 如图，在正方形中，E是边上一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，，直线与直线交于点，连接与直线交于点Q． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 28. 如图，在平面直角坐标系中，，，且，．如果，为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，那么就称该矩形为点，的“相关矩形”．下图为点，的“相关矩形”的示意图． （1）已知点的坐标为， ①如果点的坐标为，求点，的“相关矩形”的面积； ②如果点在轴上，点的“相关矩形”为正方形，求直线表达式． （2）当，，时，如果在线段上存在一个点，使点，的“相关矩形”为正方形，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 门头沟区2023-2024学年度第二学期期末调研试卷 八年级数学 考生须知 1．本试卷共8页，三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名、班级和考场． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解：A中，是最简二次根式，故符合要求； B 中，不是最简二次根式，故不符合要求； C中，不是最简二次根式，故不符合要求； D中，不是最简二次根式，故不符合要求； 故选：A． 2. 下列各点中，在直线上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别将四个选项中的点的坐标代入已知解析式进行验证，即可得出答案． 【详解】解：A. 当时，，则不在直线上，故该选项不正确，不符合题意； B. 当时，，则不在直线上，故该选项不正确，不符合题意； C. 当时，，则不在直线上，故该选项不正确，不符合题意； D. 当时，，则在直线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图像上的点的坐标的特点，熟练掌握函数图像上的点的坐标满足函数解析式是解题关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可． 【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 如果函数是关于的一次函数，且随增大而增大，那么取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，随的增大而增大，可得自变量系数大于0，进而可得的范围． 【详解】解：关于的一次函数的函数值随着的增大而增大， ， ． 故选：D． 【点睛】此题考查一次函数问题，解题的关键是：掌握在中，，随的增大而增大，，随的增大而减小． 5. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A、∵ ∴是直角三角形， 故A不符合题意； B、 ∴ 不是直角三角形，故B符合题意； C、∵ ∴设 ∴ ∴ 是直角三角形 故C不符合题意； D、∵ ∴ ∴是直角三角形， 故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 6. 某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（ ） A. 8分 B. 8.1分 C. 8.2分 D. 8.3分 【答案】B 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法求出该企业的总成绩即可． 【详解】分． 故选B． 【点睛】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键． 7. 下列命题正确的是（ ）． A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据菱形的判定方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断． 【详解】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以A选项为假命题； B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题； D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，所以D选项为真命题． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．熟练掌握特殊四边形的判定定理是关键． 8. 我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边， 下列四个推断：①；②；③；④． 其中所有正确推断的序号是（ ）． A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点，正确运用完全平方公式变形求值成为解题的关键． 由题意可得大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，再结合图形和勾股定理可得、可判定①②；然后通过完全平方公式变形求值可判定③④． 【详解】解：∵大正方形面积为49，小正方形面积为4， ∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2， ∴，，即①、②正确； ∴ ，则：，,即③正确； ∴， ∴，即④错误； 综上，正确的有①②③． 故选B． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由在实数范围内有意义，列不等式再解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式的有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解本题的关键． 10. 化简：______；当时，______． 【答案】 ①. 3 ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握成为解题的关键． 根据即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3，． 11. 请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式___． 【答案】y=x（答案不唯一） 【解析】 【详解】试题分析：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠0）， ∵此正比例函数的图象经过一、三象限，∴k＞0． ∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=x（答案不唯一）． 12. 如图，在中，点、分别是边、的中点，，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：点、分别是边、中点，， 是的中位线， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 13. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，如果∠ABC＝60°，AC＝4，那么这个菱形的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先由四边形ABCD是菱形，求得AC⊥BD，OA=AC，∠ABO=∠ABC，然后在直角三角形AOB中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半与勾股定理即可求得OB的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC=AC=×4=2，∠ABO=∠ABC =×60°=30°， ∴在Rt△AOB中， AB=2OA=4，OB=， ∴BD=2OB=， ∴该菱形的面积是：AC•BD=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质．解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用，注意菱形的面积等于其对角线积的一半． 14. 如图，已知函数和的图象交点为，则不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由一次函数图象确定不等式的解集，由图象得出的横坐标为，函数在函数的下方时的取值范围为，由此即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：函数和的图象交点为，的横坐标为， 不等式的解集为， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，点，．如果直线与线段有交点，那么______（写出一个满足题意的值即可）． 【答案】1（不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数解析式．理解题意是解题的关键． 由直线与线段有交点，可知线段上的点满足即可，将线段上一点代入，计算求解即可． 【详解】解：∵直线与线段有交点， ∴线段上的点满足， 将代入得，， 故答案为：1． 16. 学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下： ①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟． 【答案】 ①. 53 ②. 28 【解析】 【分析】将所有工序需要时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案． 【详解】解：由题意得：（分钟）， 即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟； 假设这两名学生为甲、乙， ∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成， ∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟， 然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟， 最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟， ∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟）， 故答案为：53，28； 【点睛】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键． 三、解答题（本题共68分，第17~22题每小题5分，第23~26题每小题6分，第27~28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，再算乘除，最后算加减． 【详解】解： = = =． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则，理解二次根式的性质，准确化简各数是解题关键． 18. 若，求的值. 【答案】 【解析】 【分析】先将代数式，提公因式，因式分解，然后将字母值代入进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求，两点的坐标，并画出它的图象； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，画一次函数的图象，一次函数的性质： （1）分别令，进行求解即可； （2）根据一次函数的增减性，进行求解即可； （3）图象法求自变量的范围即可． 小问1详解】 解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， 画出图象如图： 【小问2详解】 由图象可知，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，； 【小问3详解】 由图象可知，当时，． 20. 如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，连接，证明四边形为平行四边形即可得证． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵相交于点， ∴． 21. 下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种方法，完成证明． 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，点是的中点． 求证：． 方法一 证明：如图，延长到点E，使得，连接． 方法二 证明：如图，取的中点E，连接． 【答案】见解析 【解析】 【分析】方法一：证明四边形为矩形，即可得证；方法二：利用是三角形的中位线定理，推出是的中垂线，即可得证． 【详解】证明：（法一）∵点D是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是矩形． ∴． ∵， ∴． （法二）∵点D是的中点， ∴． ∵点E是的中点， ∴． ∴． ∴， ∵， ∴． ∴是的垂直平分线． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，三角形的中位线定理以及中垂线的判定和性质．解题的关键是熟练掌握相关判定和性质． 22. 如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点F处，AF与BC相交于点E． （1）求证：△ABE≌△CFE； （2）若AB=4，AD=8，求AE的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）根据长方形的性质得到AB=CD，∠B=∠D=90°，由折叠得CF=CD，∠F=∠D，推出∠B=∠F，AB=CF，即可证得结论； （2）由全等三角形的性质得到AE=CE，设AE=x，则BE=8-x，在Rt△ABE中，由勾股定理得到，列得，求出x即可． 【小问1详解】 证明：在长方形纸片ABCD中，AB=CD，∠B=∠D=90°， 由折叠得CF=CD，∠F=∠D， ∴∠B=∠F，AB=CF， 又∵∠AEB=∠CEF， ∴△ABE≌△CFE； 【小问2详解】 ∵△ABE≌△CFE， ∴AE=CE， ∵BC=AD=8， ∴设AE=x，则BE=8-x， 在Rt△ABE中，， ∴， 解得x=5， ∴AE=5． 【点睛】此题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 23. 【问题情境】大自然中植物千姿百态，如果细心观察，你会发现：植物叶子通常有着不同的特征．如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？某课外小组开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动． 【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、柳树叶中各随机选取了10片，通过测量它们长和宽（单位：）的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 杨树叶的长宽比 2 柳树叶的长宽比 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 杨树叶的长宽比 柳树叶的长宽比 【问题解决】填空： （1）上述表格中：______，______，______； （2）这两种树叶从长宽比的角度看，______树叶的形状差别比较小； （3）一片长为，宽为的树叶，这片树叶来自于______树的可能性比较大． 【答案】（1），， （2）柳 （3）杨 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数、方差等知识点，掌握相关定义是关键． （1）根据中位数、众数、方差的定义即可解答； （2）根据题目给出的方差判定即可； （3）根据树叶的长宽比判定即可． 【小问1详解】 解：将杨树叶的长宽比按从小到大的顺序排序为： ，，2，，，，，，， 则其中位数是第5和第6的平均数，即：中位数； 柳树叶的长宽比的平均数为：，柳树叶的长宽比出现的次数最多的为，众数为． 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：杨树叶的长宽比的方差为大于柳树叶的长宽比的方差，柳树叶的形状差别较小． 故答案为：柳． 小问3详解】 解：∵该小组收集的树叶中有一片长为，宽为的树叶，则长宽比为， ∴这片树叶来自于杨树的可能性大． 故答案为：杨． 24. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点(1，2)． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数由平移得到可得出k值，然后将点（1，2）代入可得b值即可求出解析式； （2）由题意可得临界值为当时，两条直线都过点（1，2），即可得出当时，都大于，根据，可得可取值2，可得出m的取值范围． 【详解】（1）∵一次函数由平移得到， ∴， 将点（1，2）代入可得， ∴一次函数的解析式为； （2）当时，函数的函数值都大于，即图象在上方，由下图可知： 临界值为当时，两条直线都过点（1，2）， ∴当时，都大于， 又∵， ∴可取值2，即， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键． 25. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是______； （2）下表是当，，时，与的几组对应值： … 0 1 2 3 … … 5 4 3 2 1 0 1 … … 3 2 1 0 1 2 3 … … 2 1 0 1 2 4 … 上述表格中：______； （3）在下面的平面直角坐标系中，再画出函数和的图象： （4）进一步探究发现，函数的图象都是______图形（填“轴对称”或“中心对称”）．结合函数的图象，再写出函数的其它性质（一条即可）______． 【答案】（1）任意实数 （2）3 （3）见解析 （4）轴对称；当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大 【解析】 【分析】（1）由题意知，函数的自变量的取值范围是任意实数； （2）由题意知，； （3）描点连线即可； （4）由题意知，函数的图象都是轴对称图形，由图象可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大． 【小问1详解】 解：由题意知，函数的自变量的取值范围是任意实数， 故答案为：任意实数； 【小问2详解】 解：由题意知，， 故答案为：3； 【小问3详解】 解：作函数图象如下； 【小问4详解】 解：由题意知，函数的图象都是轴对称图形， 由图象可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大； 故答案为：轴对称；当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大． 【点睛】本题考查了求自变量的取值范围，已知自变量求函数值，作函数图象，轴对称，函数的图象与性质等知识．熟练掌握求自变量的取值范围，已知自变量求函数值，作函数图象，轴对称，函数的图象与性质是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直交于点． （1）求k、m的值； （2）已知点，过点P作垂直于y轴的直线，交直线于点M，过点P作垂直于x轴的直线，交直线于点N． ①当时，求△PMN的面积； ②若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）；（2）①；②或 【解析】 【分析】（1）把点A代入直线y＝x﹣2求点A的坐标，然后再代入直线y＝kx+2进行求解即可； （2）①当时则有，然后依据题意作出图象，进而根据三角形面积计算即可；②由题意易得点P在第一、三象限的角平分线上，分两种情况讨论，分别计算△PMN的面积为2与6时的值，进而问题可求解． 【详解】解：（1）把点A代入直线y＝x﹣2得：， ∴， 把代入直线y＝kx+2得：，解得：； （2）由（1）可得：，则有直线； ①∵， ∴， 由题意可得如图所示： ∵过点P作垂直于y轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作垂直于x轴的直线，交直线y＝kx+2于点N， ∴， ∴， ∴； ②由题意可知点在直线上，当时， 由①可得当时，则有， 当时，如图， 同理：，此时， ∴， 解得：， ∴当时，， 当时，则有如图所示： 当时，重合， 此时， 当时，如图， 同理：，， ∴， 解得：， ∴当时，则有， 综上所述：当时，n的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 27. 如图，在正方形中，E是边上的一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，，直线与直线交于点，连接与直线交于点Q． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2） （3），见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）根据正方形的性质得，，根据轴对称得，，，根据三角形的外角性质及角的和差可得根据同角的余角相等等量代换得出，得为等腰直角三角形，得， （3）过点C作交延长线于点H，证，，根据全等三角形的性质可得，，在中，，得结论． 【小问1详解】 解：依题意补全图形，如图． 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ，． 点B，F是关于直线对称， ，，． ． ． ， ． ， ． ，即． 【小问3详解】 解：．证明如下： 过点C作交延长线于点H． ． ， ． ． ， ． ． ． ． 在中，． ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 28. 如图，在平面直角坐标系中，，，且，．如果，为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，那么就称该矩形为点，的“相关矩形”．下图为点，的“相关矩形”的示意图． （1）已知点的坐标为， ①如果点的坐标为，求点，的“相关矩形”的面积； ②如果点在轴上，点的“相关矩形”为正方形，求直线表达式． （2）当，，时，如果在线段上存在一个点，使点，的“相关矩形”为正方形，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①6；②或 （2）或 【解析】 【分析】（1）①由题意知，，为“相关矩形”对角线上两顶点，由，，可知“相关矩形”的边长分别为，进而可求面积；②由的坐标为，点在轴上，点的“相关矩形”为正方形，可知正方形的边长为1，点坐标为或，然后利用待定系数法求直线的表达式即可； （2）根据点M在点E处，点M在点F处，及点M在线段上判断点D所在的位置，即可判断出m的取值范围． 【小问1详解】 ①解：由题意知，，为“相关矩形”对角线上两顶点， ∵的坐标为，点的坐标为， ∴“相关矩形”的边长分别为3，2， ∴面积为， ∴点，的“相关矩形”的面积为6； ②解：∵的坐标为，点在轴上，点的“相关矩形”为正方形， ∴正方形的边长为1，点坐标为或， 当时，设直线的表达式为， 将代入得，， ∴直线的表达式为； 当时，设直线的表达式为， 将，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为； 综上所述，直线表达式为或． 【小问2详解】 ①当点M与点E重合时，点D，M的“相关矩形”为正方形，如图，此时，点D的坐标为， ， ②当点M与点F重合时，点D，M的“相关矩形”为正方形，如图，此时，点D的坐标为， ， ③当点M在之间时，点D，M的“相关矩形”为正方形，如图，此时，点D的纵坐标m在2和3或者0和1之间． 或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数解析式，正方形的性质，点坐标等知识．理解题意，熟练掌握坐标与图形，一次函数解析式，正方形的性质，点坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$