专题 3-4 幂函数【10类题型】- 2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019）

2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019） 专题3-4 抽象函数对称性周期性与赋值计算 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】幂函数的概念与判断 【题型2】幂函数的图象判断 【题型3】幂函数过定点问题 【题型4】求幂函数解析式 【题型5】幂函数及其复合函数的定义域问题 【题型6】幂函数及其复合函的值域问题 【题型7】利用幂函数单调性比大小 【题型8】由幂函数的单调性求参数 【题型9】以幂函数为背景的函数不等式 【题型10】幂函数性质的综合应用 【课后作业】 模块二 【核心题型突破】·举一反三 【题型1】幂函数的概念与判断 幂函数的概念 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数． 对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 1． 下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型2】幂函数的图象判断 幂函数的图象与性质 1、五个具体幂函数的图象 当时，可得到五个幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，，在同一直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如下图所示． 2、五个具体幂函数的性质 观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下： 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 3、一般幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减， 在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴， 当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 2． 幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3． 已知函数，若，则函数的图象是（    ） A．  B．  C．    D．   【巩固练习1】右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（    ）    A．，，1，2 B．2，1，， C．，，2， D．2，，， 【巩固练习2】已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【巩固练习3】函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．  D．   【题型3】幂函数过定点问题 1、幂函数过定点（1,1）， 2、含参函数过定点问题：通过设置x的值，使参数无效化 4． 幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 5． 不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【巩固练习1】函数的图象过定点 ． 【巩固练习2】已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为 ． 【巩固练习3】已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【巩固练习4】幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点 ． 【题型4】求幂函数解析式 幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 6． 已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 7． （2024·高一·广东茂名·期末）已知幂函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【巩固练习1】（23-24高一上·广东湛江·期中）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【巩固练习2】若函数是幂函数，且满足，则的值为 . 【巩固练习3】已知是幂函数，则 . 【巩固练习4】（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数是幂函数，则的值为 ． 【题型5】幂函数及其复合函数的定义域问题 分数型指数幂：，若分子与分母的奇偶与正负决定x的取值范围. 8． 函数的定义域为 ，的定义域为 ，的定义域为 . 9． 已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【巩固练习1】（2024·高一·浙江·期末）已知幂函数，则此函数的定义域为 ． 【巩固练习2】函数的定义域为 ，的定义域为 . 【巩固练习3】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型6】幂函数及其复合函的值域问题 小结：求复合函数值域主要有以下几步： ①先求函数的定义域； ②通过换元把复合函数拆成内、外函数； ③先求内函数的值域； ④以内函数的值域为定义域，求外函数的值域 10． 函数的值域为 . 11． 求函数的值域． 【巩固练习1】下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】函数，其中，则其值域为 . 【题型7】利用幂函数单调性比大小 幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 12． 若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（22-23高一上·重庆万州·月考）若， ，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高一上·广东佛山·月考）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知幂函数且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型8】由幂函数的单调性求参数 当a＞0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增 当a＜0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减 13． （23-24高二下·江苏苏州·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．或1 B．或2 C．1 D． 【巩固练习1】若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【巩固练习2】已知幂函数在内是单调递增函数，则实数 . 【巩固练习3】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C．0 D．3 【巩固练习4】已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 【题型9】以幂函数为背景的函数不等式 利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或者幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题。解题步骤如下： （1）确定可以利用的幂函数； （2）借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系； （3）解不等式（组）求参数范围，注意分类讨论思想的应用。 14． 已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是 . 15． 已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是 . 【巩固练习1】若幂函数图象过点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型10】幂函数性质的综合应用 16． 已知幂函数的图像关于y轴对称． （1）求的解析式； （2）求函数在上的值域． 【巩固练习1】已知函数． （1）若为偶函数，且在是增函数，求的解析式： （2）若在上减函数，求的取值范围． 【巩固练习2】已知幂函数的图象过点 (1)解不等式：； (2)设，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【课后作业】 模块三 【课后作业】 1． 如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（　　）    A． B． C． D． 2． （23-24高一上·河南开封·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 3． 不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 4． 已知是幂函数，则（    ） A．3 B． C．6 D． 5． 已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 6． 已知幂函数的图象不经过坐标原点，则（    ） A． B．3 C．1或 D．或3 7． 已知幂函数单调递减，则实数 . 8． （23-24高一上·福建漳州·期中）（多选）关于幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的图象关于点对称 9． 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10． （23-24高一上·四川南充·期末）若，则实数的取值范围为 . 11． 已知幂函数在上单调递减，若，则a的取值范围为 . 12． 已知幂函数的图象与坐标轴无交点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 13． 已知幂函数在上是增函数 (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019） 专题3-4 抽象函数对称性周期性与赋值计算 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】幂函数的概念与判断 【题型2】幂函数的图象判断 【题型3】幂函数过定点问题 【题型4】求幂函数解析式 【题型5】幂函数及其复合函数的定义域问题 【题型6】幂函数及其复合函的值域问题 【题型7】利用幂函数单调性比大小 【题型8】由幂函数的单调性求参数 【题型9】以幂函数为背景的函数不等式 【题型10】幂函数性质的综合应用 【课后作业】 模块二 【核心题型突破】·举一反三 【题型1】幂函数的概念与判断 幂函数的概念 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数． 对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 1． 下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：函数为一次函数，故A不符合题意； B：函数为二次函数，故B不符合题意； C：函数为二次函数，故C不符合题意； D：函数为幂函数，故D符合题意.故选：D 【巩固练习1】下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：函数为一次函数，故A不符合题意； B：函数为二次函数，故B不符合题意； C：函数为二次函数，故C不符合题意； D：函数为幂函数，故D符合题意. 【巩固练习2】现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个. 【题型2】幂函数的图象判断 幂函数的图象与性质 1、五个具体幂函数的图象 当时，可得到五个幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，，在同一直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如下图所示． 2、五个具体幂函数的性质 观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下： 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 3、一般幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减， 在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴， 当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 2． 幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【解析】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像， 当时，图像递增，且越大，图像递增速度越快， 由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，.故选：D. 3． 已知函数，若，则函数的图象是（    ） A．  B．  C．    D．   【答案】C 【分析】作出函数的图象，利用函数图象的对称变换可得出函数的图象. 【详解】作出函数的图象如下图所示：    因为，则将函数的图象关于轴对称，可得出函数的图象，如下图所示：    【巩固练习1】右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（    ）    A．，，1，2 B．2，1，， C．，，2， D．2，，， 【答案】B 【分析】利用幂函数的图象性质逐一观察判断即可. 【详解】函数在第一象限内单调递减，对应的图象为； 对应的图象为一条过原点的直线，对应的图象为； 对应的图象为抛物线，对应的图象应为； 在第一象限内的图象是； 所以与曲线对应的n依次为2，1，，. 【巩固练习2】已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增； 当时，易知为幂函数，在单调递增. 故函数,图象如图所示: 要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到.故选：C. 【巩固练习3】函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】C 【分析】判断出的奇偶性，结合幂函数的图象得到答案. 【详解】的定义域为R，又， 故为偶函数， 当时，，结合幂函数的图象可知，C正确. 【题型3】幂函数过定点问题 1、幂函数过定点（1,1）， 2、含参函数过定点问题：通过设置x的值，使参数无效化 4． 幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知当时，，此时函数值与取何值无关， 故幂函数（是常数）的图象一定经过点，故选：B 5． 不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【答案】 【解析】因为，故当，即时，， 即函数恒过定点. 【巩固练习1】函数的图象过定点 ． 【答案】 【解析】当时，，所以定点为. 【巩固练习2】已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为 ． 【答案】 【解析】令，得，故函数图象过定点， 【巩固练习3】已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 【巩固练习4】幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点 ． 【答案】 【分析】根据幂函数过点可求解析式，写出，根据函数的解析式可求所过定点. 【详解】因为幂函数过点，可解得，所以， 故，当时，，故恒过定点. 【题型4】求幂函数解析式 幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 6． 已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设幂函数，将点代入得，所以, 所以幂函数的解析式为.故选：B. 7． （2024·高一·广东茂名·期末）已知幂函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】因为是幂函数，所以，即， 所以，. 【巩固练习1】（23-24高一上·广东湛江·期中）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】设，由，得， ，则.故选：D 【巩固练习2】若函数是幂函数，且满足，则的值为 . 【答案】16 【解析】设，由可得可得. 故，则. 【巩固练习3】已知是幂函数，则 . 【答案】4 【解析】因为是幂函数， 所以，解得， 所以函数的解析式为, 故. 【巩固练习4】（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数是幂函数，则的值为 ． 【答案】或 【分析】根据幂函数的定义求出m的值即可. 【详解】由题意知，，解得或. 【题型5】幂函数及其复合函数的定义域问题 分数型指数幂：，若分子与分母的奇偶与正负决定x的取值范围. 8． 函数的定义域为 ，的定义域为 ，的定义域为 . 【答案】，R，R 【解析】由于， 所以，，解得 所以函数的定义域是. 9． 已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【解析】因为函数的定义域是， 所以，解得，所以函数的定义域为． 要使有意义，则，解得， 所以的定义域是． 【巩固练习1】（2024·高一·浙江·期末）已知幂函数，则此函数的定义域为 ． 【答案】. 【解析】由幂函数，可得，解得，即， 则满足，即幂函数的定义域为. 故答案为：. 【巩固练习2】函数的定义域为 ，的定义域为 . 【答案】，R 【解析】（1）由于，所以，，解得 所以函数的定义域是. （2），所以的定义域为R 【巩固练习3】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是幂函数，设， 将代入解析式，得，解得， 故，则， 故，解得故选：B 【题型6】幂函数及其复合函的值域问题 小结：求复合函数值域主要有以下几步： ①先求函数的定义域； ②通过换元把复合函数拆成内、外函数； ③先求内函数的值域； ④以内函数的值域为定义域，求外函数的值域 10． 函数的值域为 . 【答案】 【解析】由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减，可得. 11． 求函数的值域． 【解析】由题可知， 设，则， 当时取等号，故的值域为． 【巩固练习1】下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知值域为，故A错误； 时，等号成立， 所以的值域是，B错误； 因为定义域为， ，函数值域为，故C正确； ，，，所以，故D错误.故选：C. 【巩固练习2】函数，其中，则其值域为 . 【答案】 【解析】设，则.因为，所以. 当时，.所以函数的值域为. 【题型7】利用幂函数单调性比大小 幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 12． 若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得函数在上单调递增， 因为，所以得：，故A项正确.故选：A. 【巩固练习1】（22-23高一上·重庆万州·月考）若， ，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】幂函数在上单调递增，值域为， 由，则， 又，所以.故选：D 【巩固练习2】（23-24高一上·广东佛山·月考）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，， 又在第一象限内是增函数，， 所以，即.故选：D. 【巩固练习3】已知幂函数且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以在上单调递增， 又因为， 所以， 所以.故选：C. 【题型8】由幂函数的单调性求参数 当a＞0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增 当a＜0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减 13． （23-24高二下·江苏苏州·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．或1 B．或2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得. 【巩固练习1】若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果. 【详解】因为幂函数在上是增函数， 所以，解得. 【巩固练习2】已知幂函数在内是单调递增函数，则实数 . 【答案】 【分析】结合幂函数定义与单调递增性质计算即可得. 【详解】由函数为幂函数且在内单调递增， 所以，解得. 【巩固练习3】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】由函数是偶函数且在上是增函数，可知函数在上单调递减，由幂函数的性质可得，结合，即可解出或或，分别代入函数，结合是偶函数即可得出答案. 【详解】因为函数是偶函数且在上是增函数， 所以函数在上单调递减， 所以，即，解得， 又因为，所以或或， 当或时，，此时为奇函数，不满足题意； 当时，，此时为偶函数，满足题意； 所以. 【巩固练习4】已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可得命题：，由是的充分不必要条件，可得是的真子集，即可得到答案. 【详解】因为函数在区间上单调递增，所以，解得：，又因为是的充分不必要条件，则是的真子集，即的取值范围是 故答案为： 【题型9】以幂函数为背景的函数不等式 利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或者幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题。解题步骤如下： （1）确定可以利用的幂函数； （2）借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系； （3）解不等式（组）求参数范围，注意分类讨论思想的应用。 14． 已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为为幂函数，所以，则， 故的定义域为，且在定义域上为增函数， 所以由，可得，解得，故a的取值范围为. 15． 已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求的值，再利用奇偶性与单调性即可求解取值范围. 【详解】由幂函数的图象过点得，解得， 则，定义域为. 由可得为偶函数， 又幂函数的单调性可知，函数在上单调递减. 于是等价于，解得或. 所以的取值范围是. 【巩固练习1】若幂函数图象过点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知条件可得，解得，则， 所以，函数在上为增函数， 由可得，解得.故选：B. 【巩固练习2】不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】定义域为，且在与上均为减函数， 且当上，恒成立，当上，恒成立， 故①或②或③， 解①得：， 解②得：， 解③得：， 综上：不等式的解为.故选：D 【巩固练习3】已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令， 因为的定义域为关于原点对称，且， 所以是上的奇函数， 注意到幂函数都是上的增函数， 所以是上的增函数， 而， 所以，解得， 综上所述，的取值范围是.故选：A. 【题型10】幂函数性质的综合应用 16． 已知幂函数的图像关于y轴对称． （1）求的解析式； （2）求函数在上的值域． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为是幂函数， 所以，解得或． 又的图像关于y轴对称，所以， 故． （2）由（1）可知，． 因为，所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 故在上的值域为． 【巩固练习1】已知函数． （1）若为偶函数，且在是增函数，求的解析式： （2）若在上减函数，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）{或且}. 【解析】（1）在上增函数，，解得 又,， 由为偶函数知，； （2）若在上减函数，则， 解得或， 即的取值范围是{或且}． 【巩固练习2】已知幂函数的图象过点 (1)解不等式：； (2)设，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为幂函数的图象过点， 所以，解得 所以， 由， 所以， 整理得，即 解得或 故不等式的解集为 （2）由（1）可知，，则， 由得，， 即， 令，根据题意，存在实数，， 则 ，由于， 所以当时，取最小值，故， 所以的取值范围为. 【课后作业】 模块三 【课后作业】 1． 如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由幂函数的单调性可知曲线相应的应为. 2． （23-24高一上·河南开封·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，设幂函数为，则，故，则， 所以的定义域为，故满足，解得.故选：B. 3． 不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【答案】 【解析】因为，故当，即时，， 即函数恒过定点. 4． 已知是幂函数，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】 由幂函数的定义得出结果即可. 【详解】由题知，解得，且， 解得. 5． 已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数定义域得到不等式，结合求出，检验后得到答案. 【详解】因为幂函数的定义域为R，故， 解得， 又，所以， 检验，时，，即，满足题意． 6． 已知幂函数的图象不经过坐标原点，则（    ） A． B．3 C．1或 D．或3 【答案】A 【解析】令，解得或， 当时，，图象经过坐标原点，不合要求， 当时，，图象不经过坐标原点，满足要求.故选：A 7． 已知幂函数单调递减，则实数 . 【答案】 【分析】由幂函数的定义及性质列方程求解. 【详解】因为幂函数单调递减， 所以，解得. 8． （23-24高一上·福建漳州·期中）（多选）关于幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的图象关于点对称 【答案】AC 【解析】A选项，的定义域为，A正确； B选项，由于，故值域为，B错误； C选项，由于，故在区间上单调递减，C正确； D选项，因为的定义域为， 且，故为偶函数，故不关于原点对称，D错误.故选：AC 9． 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意. 所以，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则，解得.故选：C． 10． （23-24高一上·四川南充·期末）若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】考虑函数. 因为函数的单调递减区间为和. 所以不等式等价于 或者或者， 解得：或. 所以实数的取值范围为：. 11． 已知幂函数在上单调递减，若，则a的取值范围为 . 【答案】 【解析】幂函数在上单调递减，则，解得， 不等式化为，显然函数在R上单调递增， 因此，解得， 所以a的取值范围为. 12． 已知幂函数的图象与坐标轴无交点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1)；(2)且. 【解析】（1）由是幂函数，得，解得或， 由的图象与坐标轴无交点，得，则， 所以的解析式是. （2）显然函数是偶函数，且在上单调递减， 不等式， 因此，解得且， 所以原不等式的解集为且. 13． 已知幂函数在上是增函数 (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为是幂函数， 所以，解得或， 又在上是增函数，故， ，则. （2）由（1）知在上是增函数， 又，的定义域为， ，解得， 的取值范围是． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$