重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

西南大学附中2023-2024学年度下期期末考试 高一数学试题 (满分:150分,考试时间:120分钟) 注意项: 1. 答卷前考生务必把自已的姓名,准考证号填写在答题卡上 2. 回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑:回答非选择题时,用05毫 朱黑色墨迹签字笔将答素写在答题卡上,写在本试卷上先效. 3.考试结束后,将答题卡交回(试题卷自已保管好,以备评讲) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知--2-ì,则z=( _ B.5 C.2 A.1 D.5 2. 若平面g和直线a,b满足aOg=A,bca,则a与b的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.异面 D. 相交或异面 3. 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a-2,b-6,A-30*,则 边c=( ) A.2 B.22或、6 C. 2或22 D.22 4. 如图所示,梯形A'B'C'D·是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图,A'D'-2, A'B'=B'C'=1,则平面图形ABCD中对角线AC的长度为( _ A.2 C.5 B.5 D.5 5. 知向量,满足l-2,l+2-2,且(2+)1,则( A.23 B.22 C.2 D.1 高一数学第1页(共4页) 6. 在△ABC中,AB=1,AC=2,A=120*.D为AB的中点,P为CD上一点,且 P-mC+1,则=( ) 7. 下列四个正方体图形中,1是正方体的一条对角线,点D、E、F分别为其所在校的中点 能得出71平面DEF的是( ) C A D 1-2.则A-( ) tanA tanCtanB' A. 1200 B. 1350 C.1500 D.:1653 二、多选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9. 若复数z一1-1.z为z的共矩复数,则以下正确的是( B.z*12^{} A 2在复平面对应的点位于第二象限 G^22} _ A. 锥so的体积为97x B 圆锥so的侧面展开图的圆心角为3π C. 当△S4B为轴截面时,圆锥表面上点A到点P的最短距离为、5+2、 D. △SAB面积的最大值为2 高一数学第2页(共4页) 11. 对非零向量a,5,定义运算"()”:a()6-lacoso+sine,其中e为ā与5的夹角,则 C ) A. 若a/,则la(*)引=la B. 若ā=(-1,2),6-(-3,1),则(-b)()-5 C. 若Rt△ABC中,C-",AC-2,BC-1,则AB()dC-4 D. 若△4BC中,4B()BC-BC(*)AB,则△4BC是等腰三角形或有内角为135*的三角形 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12. 已知平面向量ā-(2.1),6-(m,m+1),若ā/b,则m= 13. 如图,在四面体ABCD中:△4BD与△BCD均是边长为2、3的等边三角 形,二面角A-BD-C的大小为90。,则四面体ABCD的外接球表面积为 14. 费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点,具体位置取决于三角形的形状,如果 三角形的三个内角均小于120*时,则使得乙AOB=BOC-COA-120*的点O即为费马 点;当△4BC有一个内角大于或等于120时,最大内角的顶点为费马点,已知△ABC的内 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos2B+cos2C-cos2A=1,设点O为△ABC的 费马点,且满足04:0B+oB.0C+0C.0--43. 则边a的最小值为 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)如图,在直三校柱ABC-ABC中,AC1BC,E为A4的中点,F为BC的中点. (1) 证明:EF/平面A.BC: # (2) 若AC=BC-CC=2,求异面直线AF与BC所成角的余弦值. 高一数学第3页(共4页) 16.(15分)在△ABC中,内角A.B,C所对的边分别为a.b.c. 已知2acosA=ccosB+bcosC. (1)求A: (2) 若a=6,b-2,设D为C4延长线上一点,且BD1BC,求线段AD的长 17.(15分)如图,在正四校锥P-ABCD中,PA=AB-2,点M,N分别满足PM--PA, BN-BD. (1) 求证:MN1AD: (2) 求直线PC与平面BDM所成角的正弦值 18.(17分)如图,已知三校台ABC一AB.C的下底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形△ABC, AB-2A4=2A.B-2BB-2,平面ABB.A 1平面BCCB· (1) 证明:BC1平面ABB.A: (2) 求点B到平面ACCA的距离: (3) 若P为BC的中点,O为CC的中点,点F在侧面BCCB内,且AF/平面APO,当 ABCF的面积最小时,求平面:ACF与平面ACC4.夹角的余弦值 19.(17分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 sin?A-sinAsinB =1. cos2B-cosC (1)求C: (2) 若c-3,a+b-6,求边AB上的角平分线CD长 5CF-4F的取值范围. (3) 若△ABC为锐角三角形,点F为△4BC的垂心,CF=6,求 BF (命题人、审题人:校命题小组) 高一数学第4页(共4页) 高一数学答案 一、单项选择题:1-8 DDCCB ACA 二、多项选择题:9. BD 10. BCD 11. ABD 三、填空题:12. -2 13. 20π 14. 22 15.(1) 取BC.的中点G,连接FG,4.G,F,G是BC,BC.的中点, 则四边形GFEA.为平行四边形.则4.G/EF 又EF平面A.BC,A.GC平面4.BC,所以EF//平面A.BC. (2)取CC.的中点O,连接QA,OF,F,O是BC,CC的中点,则FO//BC. 则乙OFA(或其补角)为异面直线AF与BC.所成的角 FOA中,F=5,AO=,FO=2, 则cos 24FO-F0#+F4-40(V2)+)-()0 2FO.FA 2x2x5 10. {10. 16.(1)解:因为2acos A=ccosB+bcosC,由正弦定理可得2sinAcos A=sinCcosB+sinBcosC, sinAsinB' 2 2 又$<a,所以B<A,即B<60*.所以B=45^°.则C=180{*-A-B=75^°. 在R.△BCD中,D=90*-C=150,又sinD- 所以 “sn50##~642<. ,所以AD=CD-AC=(6+23)-2=4+23 A 17.(1)在正四校锥P-ABCD中,取BD.AB,BC中点分别为O.E.F 以O为坐标原点,OE.OE.OP分别为×,y,z轴正方向 建立如图所示的空间直角坐标系O一xyz 则O(0,0,0),P(0,0,2),B(1,1,0).C(-1,1,0),A(1,-1,0),D(-1,-1,0) (8△-)0-0_0. (2)设平面MBD的一个(×y×)D→2-2)-2). [BD.m--2x-2=0 取 =$,x=-,=,得=-2,2,)P=(-112 -### 设直线PC与平面BDM所成角为,所以sine=lcos<PC,m>- 10 18.(1)在等腰梯形A.ABB.中,过A,B.分别作AD1AB,B.E1AB交AB于点D,E,连接AB, 又AABB中,AB-2,BB=1, 则AB*=AB}+BB}-2AB·BB$·cosB=3则AB =3$$ 所以AB.2+BB.2=AB},即AB 1BB 又平面ABBA 1平面BCCB' 交线为BB,AB一面ABBA 所以AB1平面BCC.B,则AB 1BC. 又AB1.BC,所以平面BC1平面ABB.A (2)由(1)BC1平面ABB.A,又BCc平面ABC, C 所以平面ABC1平面ABB.A,交线是AB, 又A.D1AB,4.Dc面ABB.A: 所以A.D1平面ABC 以B为坐标原点,BC.BA分别为×,y轴正方向,过点B作A.D的平行线为:轴 设平面A4C的法向量为m=(x,y,z),则 BA.23221 令y=,则m=(3,3,1),则求点B到平面ACC4的距离d= ## #### {Z7 (3)延长校台的三条侧校A4,BB,CC,相交于点S 取B.C的中点M,SO的中点N,延长NM交BB.于点T. V 由校台中 4第,4__G-## AB2 SASB sC2' ...... B P 即A,B.C.为S4,SB,SC的中点.所以4.N是aSAO的中位线 则A.N//AO,则A./平面APO 由由梭台的性质,则A.M//AP,则A.M/平面APO,所以平面A.MN/平面APO 又AF/平面APO,所以点F在平面A.MN内, 又点F在侧面BCC.B内,所以点F在平面A.MN与侧面BCC.B.的交线上, 即点F在线段MT上.则易得当点F在点T处时,△BCF的面积最小. 以B为原点,BC,BS为×,y轴正方向建立平面直角坐标系, $ 则Cc20) (1)6)(0.2))v(. 1), (1 所以F为BB的中点,在(2)所建立的空间直角坐标系下, [nAC-0 2x-2y-0 -#73 令_,则i=(、7),则docin 1313385 385: 385 19.(1)解:由题 sin24-sin4sinB B=1,即sin}A-sinAsinB-cos?B-cos?C cos2B-cosC 因为cos?B=1-sin}B,cos}c=1-sin?C,带入可得sin}A-sin4sinB=sin?C-sin}B, 又由正弦定理可得a?-ab=c2-b2,即a2+b2-c2=ab, 2ab ($2) c=3,a+b=6,c2=a2}+b2}--ab=(a+b)2}-3ab,可得ab=, 2 (3)延长AF交BC于点D,延长BF交AC于点E,设乙BCF=9,则乙ACF=--9, 2 在直角△CFD中,DF=CFsin9=6sin9. 63-12sin-)-cos+sin 1-cose1-n! 3CF-AF -tan= BF 12sin) 2sine 2 sin+2=2 “22 e(0,,#所n