精品解析：江西省鹰潭市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷

鹰潭市2023—2024学年度下学期期末质量检测 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.时量120分钟，满分150分. 第Ⅰ卷 选择题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上. 1. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 2. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 28 B. －28 C. 30 D. 360 【答案】A 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式，由求出值，回代入计算即得. 【详解】二项式的通项公式为：，， 由解得，，代入通项得：,即常数项为28. 故选：A. 3. 抛物线在点处的切线的斜率为（ ） A. －1 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】设切线方程为，联立方程组，，可解. 【详解】根据题意，抛物线在点处的切线的斜率存在， 设切线方程为， 联立方程组，得， 则，解得. 故选：C 4. 某校组队参加辩论赛，从7名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（ ） A. 180 B. 120 C. 90 D. 360 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法原理计算，先排甲，再排其余6人即可. 【详解】分步完成：甲不担任四辩，共有3种方法；剩下6名同学任选3人，且任意排序，共有种，所以一共有种， 故选：D. 5. 已知都是定义在上的函数，且，，则的值为（ ） A. 5 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用构造函数法，结合解方程以及函数的单调性求得的值. 【详解】当时，，构造函数， ，所以， ， 解得或（舍去）. 故选：D 6. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（ ） A. 511 B. 61 C. 93 D. 125 【答案】D 【解析】 【分析】由条件推得，故按照分类得到和两种首项不同，但公比相同的等比数列，利用分组求和即得. 【详解】由可得，①，当时，，② 由可得：（*），由代入解得， 由（*）知数列,组成首项为1，公比为2的等比数列， 数列,组成首项为2，公比为2的等比数列. 故 . 故选：D. 7. 在正四棱柱中，已知，O为棱的中点，则线段在平面上的射影的长度为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，利用空间向量求解即可. 【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 所以点平面的距离为， 所以线段在平面上的射影的长度为 . 故选：C 8. 若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】对所给不等式进行适当变形，利用同构思想得出对于任意的恒成立，进一步利用导数求出不等式右边的最小值即可求解. 【详解】显然首先， ， 令，则，所以在定义域内严格单调递增， 所以若有成立，则必有， 即对于任意的恒成立， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值， 从而，所以的取值范围是，即实数的最大值为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若相关系数r的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强 B. 设随机变量X服从正态分布，若，则 C. 若随机事件A，B满足：，则A，B相互独立 D. 随机变量，若方差，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用相关系数定义即可判断；对于B，利用正态分布曲线的对称性易得；对于C，先由对立事件的概率公式将其转化，再利用条件概率公式化简即可判断；对于D，利用二项分布的方差公式求出值，再利用其概率公式计算即得. 【详解】对于A，根据相关系数越接近1，则线性相关性越强，故A正确； 对于B，由题意，，根据正态分布曲线的对称性知， ，故B错误； 对于C，由，因，故得, 则可得，，即A，B相互独立，故C正确； 对于D，因，则，解得或， 当时，； 当时，. 故D错误. 故选：AC. 10. 已知数列的前项和为，等差数列的公差为，且，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则为递减数列 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求出，当时求出，即可得到，从而判断A，再由作差得到，从而得到的通项公式，即可判断B，按照B选项的思路得到，利用累乘法求出，即可判断C，结合C得到，利用裂项相消法和分组求和法求出，即可判断D.. 【详解】因为，，令，可得，解得， 对于A：当时， 此时，即，故A错误； 对于B：由A知，所以， 两式相减得，即， 即，所以， 因为，即， 所以为递减数列，故B正确； 对于C：当时，此时， 所以，则， 所以，则，，，，，，， 累乘可得，所以，则，故C正确； 对于D：由C可知， 所以 ， 所以 ，故D正确. 故选：BCD 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，点在第一象限内，点在的准线上，则下列判断正确的是（ ） A. 若与相切，则也与相切 B. C. 若点在轴上，则为定值 D. 若点在轴上，且满足，则直线的斜率为 【答案】AB 【解析】 【分析】通过证明过焦点弦两个端点的切线的交点在抛物线的准线上判断A，根据以为直径的圆与抛物线的准线相切判断B，设直线的方程为：，，，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，计算出判断C，推导出，可得轴为的平分线，即可得到，设直线的倾斜角为，利用焦半径公式求出，从而判断D. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 对于A：设，，依题意可得过，两点的抛物线的切线不与坐标轴垂直， 不妨设过的抛物线的切线方程为：， 即， 由，有， ∴， 又，整理得，解得， ∴过的抛物线的切线方程为：，整理得， 同理可得过的抛物线的切线方程为：， 设两切线的交点为，由， 可得， 设直线的方程为：，由有， ∴，，则， ∴， 即两切线的交点在抛物线的准线上， 所以若与相切，则也与相切，故A正确； 对于B：设的中点为，由，则，则， 又，所以到准线的距离， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相切， 又点在的准线上，所以，故B正确； 对于C：依题意可得，所以，， 所以 ，显然不是定值，故C错误； 对于D：因为 ， 所以轴为的平分线， 根据角平分线定理可得， 设直线的倾斜角为， 则，， 所以，解得，所以， 则直线的斜率为，故D错误. 故选：AB 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义求出集合中的所有元素，即可得解. 【详解】，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 所以，所以集合中所有元素之和为. 故答案为： 13. 设点为圆上任意一点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用表示的几何意义，作图先求出两条切线的斜率，再结合图形理解即得其范围. 【详解】 如图，作出圆，因点是圆上一点，故可看成圆上的点与原点连线的斜率. 考虑直线与圆相切时，设切线斜率为，则圆心到直线的距离为， 解得，由图知要使过原点的直线与圆有公共点， 需使直线倾斜角不小于切线的倾斜角，或不超过切线的倾斜角， 故直线的斜率或，即的范围为. 故答案为：. 14. 双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为双曲线右支上的一点，连接交左支于点Q.若，且，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用双曲线定义求出，然后把利用面积比求出最后代入余弦定理来求离心率. 【详解】如图所示，由双曲线的定义可知：，结合， 所以，又有， 故由可得， 所以，则， 则为等边三角形，， 由余弦定理可得： ， 解得. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项，且. （1）证明：是等比数列. （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） 因为，所以 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可； （2）结合（1）中结论求得的通项公式，再利用错位相减法及分组求和法即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以.. 记， 则， 两式相减得 所以，故 16. 已知函数，，. （1）求函数的单调区间； （2）若且恒成立，求的最小值. 【答案】（1）当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对与分类讨论即可得； （2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解. 【小问1详解】 （）， 当时，由于，所以恒成立，从而在上递增； 当时，，；，， 从而在上递增，在递减； 综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 令，要使恒成立， 只要使恒成立，也只要使. ， 由于，，所以恒成立， 当时，，当时，， 所以，解得：， 所以的最小值为. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. （1）证明：平面； （2）当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【答案】（1） 连结，交于点，连结， 因为， 所以，又， 所以，所以， 因为面，面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连结，交于点，连结，利用相似比得，然后可得，根据线面平行判定定理即可得证； （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用二面角的向量公式求出，再由点到直线的距离的向量公式可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，可取， 平面的法向量可取， 所以，得， 因为， 与同向的单位向量， 所以点到直线的距离为. 18. 学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. （1）求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； （2）记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； （3）若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望. 【答案】（1） （2） 的分布列为： 0 1 2 ， （3）13个工时 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式，结合组合的定义、古典概型公式进行求解即可； （2）根据超几何分布的概率公式，结合数学期望公式进行求解即可； （3）根据数学期望公式和性质进行求解即可. 【小问1详解】 设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件. 则， 所以. 【小问2详解】 依题意知服从超几何分布，且， ， 所以的分布列为： 0 1 2 ； 【小问3详解】 设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为， 则的所有可能取值为，的所有可能取值为， ，， ，， 有名女生参加活动，则男生有名参加活动.， 所以. 即两人工时之和的期望为13个工时. 19. 已知椭圆E：的左焦点，过点且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. （1）求椭圆E的方程； （2）设A，B是椭圆E的左、右顶点，是椭圆E的右焦点，过点F的直线l与椭圆E相交于M，N两点（点M在x轴的上方），直线AM，BN分别与y轴交于点P，Q，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由. 【答案】（1） （2）是， 【解析】 【分析】（1）当时，代入椭圆方程，得，结合椭圆性质可得解； （2）先研究轴，再研究当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理化简，可得解. 【小问1详解】 根据题意，当时，代入椭圆方程，得， 所以， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 是定值，理由如下： 由题意可得， 当轴时，直线的方程为，易知， 直线的方程为，所以， 直线的方程为，所以，则； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由得，则， 设，则， 直线的方程为，令，则，所以， 直线的方程为，令，则，所以， 所以， 所以， 可得， 综上，. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹰潭市2023—2024学年度下学期期末质量检测 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.时量120分钟，满分150分. 第Ⅰ卷 选择题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上. 1. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 28 B. －28 C. 30 D. 360 3. 抛物线在点处的切线的斜率为（ ） A. －1 B. C. D. 1 4. 某校组队参加辩论赛，从7名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（ ） A. 180 B. 120 C. 90 D. 360 5. 已知都是定义在上的函数，且，，则的值为（ ） A. 5 B. 2 C. D. 6. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（ ） A. 511 B. 61 C. 93 D. 125 7. 在正四棱柱中，已知，O为棱的中点，则线段在平面上的射影的长度为（ ） A. B. C. 4 D. 8. 若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若相关系数r的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强 B. 设随机变量X服从正态分布，若，则 C. 若随机事件A，B满足：，则A，B相互独立 D. 随机变量，若方差，则 10. 已知数列的前项和为，等差数列的公差为，且，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则为递减数列 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，点在第一象限内，点在的准线上，则下列判断正确的是（ ） A. 若与相切，则也与相切 B. C. 若点在轴上，则为定值 D. 若点在轴上，且满足，则直线的斜率为 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为______. 13. 设点为圆上任意一点，则的取值范围是______. 14. 双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为双曲线右支上的一点，连接交左支于点Q.若，且，则双曲线的离心率为______. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项，且. （1）证明：是等比数列. （2）求数列的前n项和. 16. 已知函数，，. （1）求函数的单调区间； （2）若且恒成立，求的最小值. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. （1）证明：平面； （2）当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 18. 学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. （1）求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； （2）记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； （3）若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望. 19. 已知椭圆E：的左焦点，过点且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. （1）求椭圆E的方程； （2）设A，B是椭圆E的左、右顶点，是椭圆E的右焦点，过点F的直线l与椭圆E相交于M，N两点（点M在x轴的上方），直线AM，BN分别与y轴交于点P，Q，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $