1.3 两条直线的平行与垂直（九大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

1．3 两条直线的平行与垂直 课程标准 学习目标 （1）能说明两条直线平行或垂直（几何关系）与两条直线斜率的关系（代数关系）的内在统一性，能根据斜率判定两条直线平行或垂直． （2）能利用两条直线平行或垂直的条件解决问题，体会坐标法思想，发展直观想象、数学运算等素养． （1）理解并掌握两条直线平行与垂直的条件． （2）会运用条件判定两直线是否平行或垂直． （3）运用两直线平行或垂直时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题． 知识点01 两条直线相交、平行与重合 1、代数方法判断 两条直线的位置关系，可以用方程组 的解进行判断（如下表所示） 方程组的解 位置关系 交点个数 代数条件 无解 平行 无交点 而或 或 有唯一解 相交 有一个交点 或 有无数个解 重合 无数个交点 或 2、几何方法判断 （1）若两直线的斜率均不存在，则两条直线平行． （2）若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下： 设， （1）与相交； （2）且； （3）与重合且． 简记表： 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 【即学即练1】（2024·高二·全国·专题练习）已知经过，经过，，求证：． 知识点02两条直线的垂直 1、两条直线垂直的几何方法判断 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 2、两条直线垂直的代数方法判断 已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0） （1）若 （2）若 【即学即练2】解答下列各题： (1)已知四点，，，，求证：； (2)已知直线，，求证：． 题型一：两条直线平行的判定 【典例1-1】（2024·高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 【方法技巧与总结】 判断两条不重合直线是否平行的步骤 【典例1-2】（2024·高二·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，． 【变式1-1】（2024·高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点； (3)的倾斜角为，经过点； (4)平行于轴，经过点． 【变式1-2】（2024·高二·江苏·假期作业）判断下列各题中直线与是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)经过点，，经过点，． 题型二：求与已知直线平行的直线方程 【典例2-1】求过点，且与直线平行的直线的方程． 【典例2-2】（2024·高二·江苏盐城·期中）已知直线l1：3x+y+2=0；l2：mx+2y+n=0． (1)若l1⊥l2，求m的值； (2)求过点且与直线l1平行的直线的方程； 【方法技巧与总结】 与已知直线平行的直线方程的求法可以求点斜式方程，也可以先设成一般式，用待定系数法求方程． 【变式2-1】（2024·高一·新疆哈密·期中）设直线，直线的交点M，求： （1）过点M与直线平行的直线l的方程； （2）过点M且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程. 【变式2-2】（2024·高二·宁夏石嘴山·期中）经过点，且与直线平行的直线的方程是 . 【变式2-3】（2024·高二·安徽·阶段练习）过点且与直线平行的直线的方程是 . 【变式2-4】（2024·高二·上海奉贤·期末）过点且与直线平行的直线的方程是 ． 题型三：两条直线相交、平行、重合的判定 【典例3-1】（2024·高二·山东潍坊·期末）已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【典例3-2】（2024·高二·山东潍坊·阶段练习）已知直线：，直线：，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．相交或重合 【方法技巧与总结】 设， （1）与相交； （2）且； （3）与重合且． 【变式3-1】（2024·高二·全国·课后作业）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合 【变式3-2】（2024·高一·甘肃武威·课后作业）已知两条直线，当m为何值时，与 (1)相交； (2)平行； (3)重合． 题型四：两条直线垂直关系的判定 【典例4-1】（2024·高二·全国·课堂例题）判断下列各对直线是否垂直． (1)； (2)． 【典例4-2】（2024·高二·江苏·课后作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； 【方法技巧与总结】 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤 （1）一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步． （2）二用：就是将点的坐标代入斜率公式． （3）求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 总之，与一个斜率为0，另一个斜率不存在时，；与斜率都存在时，满足． 【变式4-1】（2024·高二·全国·课后作业）根据下列给定的条件，用多种方法判断直线与直线的位置关系： (1)经过点，，经过点，； (2)经过点，，经过点，． 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）判断下列各组直线的位置关系： (1)，； (2)，； (3)，． 【变式4-3】（2024·高二·全国·课后作业）判断下列各题中直线与是否平行或垂直． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点. (3)经过点，经过点； (4)经过点，经过点. 题型五：求与已知直线垂直的直线方程 【典例5-1】（2024·高二·天津西青·阶段练习）经过点，且与直线垂直的直线的方程为 ． 【典例5-2】（2024·高二·新疆乌鲁木齐·开学考试）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 ． 【方法技巧与总结】 求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在，利用斜率乘积等于－1求斜率，若不存在，则所求斜率为0，然后用点斜式求直线方程． 【变式5-1】（2024·高一·黑龙江黑河·课后作业）过点(1，3)且与直线x＋2y－1＝0垂直的直线的方程是 ． 【变式5-2】（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）过点且与直线垂直的直线的方程为 ． 【变式5-3】（2024·高二·全国·课后作业）过点且与直线垂直的直线的方程为 ． 题型六：直线平行与垂直的综合应用 【典例6-1】（2024·高二·江苏·课后作业）已知点，，，，求证：四边形ABCD是梯形． 【典例6-2】（2024·高二·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【方法技巧与总结】 已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0） （1）若 （2）若 【变式6-1】（2024·高二·北京大兴·期中）已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 【变式6-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【变式6-3】（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状. 题型七：两直线的夹角 【典例7-1】（2024·高二·上海奉贤·期中）直线与直线的夹角，则a的取值范围是 ． 【典例7-2】（2024·高三·浙江·阶段练习）直线与直线所成夹角大小为 ． 【方法技巧与总结】 夹角公式 【变式7-1】（2024·高二·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知点和，点在轴上．若直线与直线的夹角为，则点的坐标为 ． 【变式7-2】（2024·高一·上海·期末）直线与的夹角为 . 【变式7-3】（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为 ． 题型八：已知直线平行求参数 【典例8-1】（2024·高三·上海·阶段练习）直线与直线平行，则 ． 【典例8-2】（2024·高二·江西·阶段练习）已知直线：和：平行，则 ． 【方法技巧与总结】 已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0），若. 【变式8-1】（2024·高二·上海·阶段练习）已知，设直线，，若，则 . 【变式8-2】（2024·高二·上海·阶段练习）已知平行四边形中，一组对边、所在直线的方程分别为，，求实数的值 . 【变式8-3】（2024·高二·上海·期中）若直线，平行，则实数的值为 . 题型九：已知直线垂直求参数 【典例9-1】（2024·高二·青海西宁·期中）已知直线和互相垂直，则 ． 【典例9-2】（2024·高二·安徽安庆·阶段练习）已知直线，直线．若，则实数的值为 ． 【方法技巧与总结】 已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0），若. 【变式9-1】（2024·高二·上海·期中）若直线和直线垂直，则 ． 【变式9-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为 . 1．设分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 2．（2024·高二·湖北武汉·期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 4．（2024·高二·陕西西安·期末）已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 5．（2024·全国·模拟预测）已知直线：，直线：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·河南洛阳·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）已知直线：与：，则下列结论正确的是（    ） A．直线与直线可能重合 B．直线与直线可能垂直 C．直线与直线可能平行 D．存在直线上一点P，直线绕点P旋转后可与直线重合 8．（2024·高二·福建泉州·阶段练习）过点，且与直线垂直的直线方程为 . 9．（2024·高一·江西景德镇·期中）过点且和直线平行的直线的方程是 . 10．（2024·高二·上海·阶段练习）过点且与直线平行的直线的方程为 . 11．（2024·高二·广东广州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为 . 12．（2024·高二·上海浦东新·期中）过点且与直线垂直的直线的方程 . 13．（2024·高二·四川乐山·阶段练习）经过点，且与直线垂直的直线的方程是 . 14．（2024·高二·全国·课后作业）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 ． 15．（2024·高二·上海·期末）直线与直线的夹角大小为 ． 16．（2024·高二·上海·阶段练习）设，若直线和直线平行，则 . 17．（2024·高一·北京顺义·阶段练习）若两条直线，垂直，则 . 18．（2024·高二·广东惠州·阶段练习）已知直线与直线垂直，则 ． 19．（2024·高二·广西南宁·阶段练习）已知直线，，若，则实数a的值为 . 20．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线，，试判断直线与是否平行． 21．（2024·高二·全国·课堂例题）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)平行于y轴，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 22．（2024·高二·全国·课后作业）已知，求取什么值时，直线与直线： (1)重合； (2)平行； (3)垂直． 23．（2024·高二·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 24．（2024·高二·全国·课后作业）判断下列各题中与是否垂直． (1)经过点；经过点； (2)的斜率为；经过点； (3)经过点；经过点． 25．（2024·高二·广东东莞·阶段练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．3 两条直线的平行与垂直 课程标准 学习目标 （1）能说明两条直线平行或垂直（几何关系）与两条直线斜率的关系（代数关系）的内在统一性，能根据斜率判定两条直线平行或垂直． （2）能利用两条直线平行或垂直的条件解决问题，体会坐标法思想，发展直观想象、数学运算等素养． （1）理解并掌握两条直线平行与垂直的条件． （2）会运用条件判定两直线是否平行或垂直． （3）运用两直线平行或垂直时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题． 知识点01 两条直线相交、平行与重合 1、代数方法判断 两条直线的位置关系，可以用方程组 的解进行判断（如下表所示） 方程组的解 位置关系 交点个数 代数条件 无解 平行 无交点 而或 或 有唯一解 相交 有一个交点 或 有无数个解 重合 无数个交点 或 2、几何方法判断 （1）若两直线的斜率均不存在，则两条直线平行． （2）若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下： 设， （1）与相交； （2）且； （3）与重合且． 简记表： 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 【即学即练1】（2024·高二·全国·专题练习）已知经过，经过，，求证：． 【解析】证明：由题意得直线的斜率为， 直线的斜率为， 又，, 即不共线，即不重合， 因为，∴. 知识点02两条直线的垂直 1、两条直线垂直的几何方法判断 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 2、两条直线垂直的代数方法判断 已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0） （1）若 （2）若 【即学即练2】解答下列各题： (1)已知四点，，，，求证：； (2)已知直线，，求证：． 【解析】（1）由斜率公式，得，， 则，所以． （2）由，的方程可知，它们的斜率，， 从而，所以． 题型一：两条直线平行的判定 【典例1-1】（2024·高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 【解析】（1），，，所以与不平行． （2）的斜率，的斜率，，所以l1与l2平行或重合． （3）由题意，知的斜率不存在，且不与轴重合，的斜率也不存在，且与轴重合，所以. （4）由题意，知，, ，所以与平行或重合． 需进一步研究，，，四点是否共线，. 所以，，，四点共线，所以与重合． 【方法技巧与总结】 判断两条不重合直线是否平行的步骤 【典例1-2】（2024·高二·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，． 【解析】（1）由直线，的方程可知两直线的斜率分别为， 又直线，在y轴上的截距分别为1和， 所以与不重合，从而； （2）由直线，的方程可知两直线的斜率分别为， 所以与不平行． 【变式1-1】（2024·高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点； (3)的倾斜角为，经过点； (4)平行于轴，经过点． 【解析】（1）由题意知，， 所以直线与直线l2平行或重合， 又，故． （2）由题意知，，所以直线与直线平行或重合， 又，故直线与直线重合． （3）由题意知，，则， 所以直线与直线平行或重合． （4）由题意知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，所以． 【变式1-2】（2024·高二·江苏·假期作业）判断下列各题中直线与是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)经过点，，经过点，． 【解析】（1）因为经过点，，所以， 又经过点，，所以， 因为，所以与不平行； （2）直线经过点，的方程为， 直线经过点，的方程为， 故直线和直线平行； 题型二：求与已知直线平行的直线方程 【典例2-1】求过点，且与直线平行的直线的方程． 【解析】已知直线的斜率是， 因为所求直线与已知直线平行，所以所求直线的斜率也是． 根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为， 即． 【典例2-2】（2024·高二·江苏盐城·期中）已知直线l1：3x+y+2=0；l2：mx+2y+n=0． (1)若l1⊥l2，求m的值； (2)求过点且与直线l1平行的直线的方程； 【解析】（1）因为l1⊥l2， 所以3m+2=0，解得. （2）因为所求直线与直线l1平行，所以设所求直线方程为3x+y+c=0， 把点代入，得3+2+c=0，解得， 故过点且与直线l1平行的直线的方程为. 【方法技巧与总结】 与已知直线平行的直线方程的求法可以求点斜式方程，也可以先设成一般式，用待定系数法求方程． 【变式2-1】（2024·高一·新疆哈密·期中）设直线，直线的交点M，求： （1）过点M与直线平行的直线l的方程； （2）过点M且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程. 【解析】解:联立两直线方程可解得; (1)设直线方程为,将，代入可解得，所求的直线方程为,即. (2)当截距不为时，设直线方程为， 将代入可解得，所求的直线方程为， 当截距为时，设直线方程为， 将代入可解得，所求的直线方程为. 综上所述所求的直线方程为或. 【变式2-2】（2024·高二·宁夏石嘴山·期中）经过点，且与直线平行的直线的方程是 . 【答案】 【解析】设所求方程为：， 因为所求直线经过点， 所以， 故所求直线方程为：， 故答案为： 【变式2-3】（2024·高二·安徽·阶段练习）过点且与直线平行的直线的方程是 . 【答案】 【解析】直线的斜率为，故所求直线的方程为， 整理得：， 故答案为： 【变式2-4】（2024·高二·上海奉贤·期末）过点且与直线平行的直线的方程是 ． 【答案】 【解析】设所求的直线方程为， 把点坐标代入方程得. 所以直线方程为. 故答案为： 题型三：两条直线相交、平行、重合的判定 【典例3-1】（2024·高二·山东潍坊·期末）已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【答案】B 【解析】由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交． 故选：B． 【典例3-2】（2024·高二·山东潍坊·阶段练习）已知直线：，直线：，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．相交或重合 【答案】D 【解析】直线可化为， 所以当时，两直线重合； 当时，两直线相交. 故选：D 【方法技巧与总结】 设， （1）与相交； （2）且； （3）与重合且． 【变式3-1】（2024·高二·全国·课后作业）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合 【答案】A 【解析】设两直线的斜率分别为，是方程的两根， ，利用根与系数的关系得：，故两直线的位置关系是垂直． 故选：. 【变式3-2】（2024·高一·甘肃武威·课后作业）已知两条直线，当m为何值时，与 (1)相交； (2)平行； (3)重合． 【解析】（1）当时，，所以 当时，，此时与相交； 当且时， 由，得或 由得 故且且时，与相交； （2）由（1）知，或时， （3）由（1）知，时，与重合. 题型四：两条直线垂直关系的判定 【典例4-1】（2024·高二·全国·课堂例题）判断下列各对直线是否垂直． (1)； (2)． 【解析】（1）将的方程化为斜截式为．因此的斜率为， 又因为的斜率为2， 而且， 从而可知与不垂直． （2）显然，的倾斜角为，的倾斜角为，从而可知与垂直． 【典例4-2】（2024·高二·江苏·课后作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； 【解析】（1）直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与垂直； （2）直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与垂直. 【方法技巧与总结】 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤 （1）一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步． （2）二用：就是将点的坐标代入斜率公式． （3）求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 总之，与一个斜率为0，另一个斜率不存在时，；与斜率都存在时，满足． 【变式4-1】（2024·高二·全国·课后作业）根据下列给定的条件，用多种方法判断直线与直线的位置关系： (1)经过点，，经过点，； (2)经过点，，经过点，． 【解析】（1）方法1:：因，，则直线AB方程为： ； 因，，则直线CD方程为：. 因两直线斜率相同，纵截距不同，则两直线平行； 方法2：由题可得，因，则与共线，又注意到，其与，均不共线，可知不共线，则直线AB与直线CD平行； （2）方法1：由题可得直线AB方程为： ； 直线MN方程为：.因两直线斜率乘积为，则两直线垂直； 方法2：由题可得，因，则两直线垂直； 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）判断下列各组直线的位置关系： (1)，； (2)，； (3)，． 【解析】（1）因为 且两直线的纵截距, 所以两直线平行. （2）因为 所以两直线垂直. （3）因为 所以两直线既不平行，也不垂直. 即两直线的位置关系为相交但不垂直. 【变式4-3】（2024·高二·全国·课后作业）判断下列各题中直线与是否平行或垂直． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点. (3)经过点，经过点； (4)经过点，经过点. 【解析】（1）两直线斜率都存在， 由，. 由，得与既不平行也不垂直． （2）与都与x轴垂直，且与不重合，所以与平行. （3），， 由，得与既不平行也不垂直． （4）与x轴垂直，与轴垂直，得与垂直． 题型五：求与已知直线垂直的直线方程 【典例5-1】（2024·高二·天津西青·阶段练习）经过点，且与直线垂直的直线的方程为 ． 【答案】 【解析】因为所求直线与直线垂直， 所以所求直线的斜率为， 因为所求直线过点， 所以所求直线方程为，即， 故答案为： 【典例5-2】（2024·高二·新疆乌鲁木齐·开学考试）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 ． 【答案】 【解析】由得，则直线的斜率为， 因为所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率为， 又所求直线经过点，所以所求直线方程为，即. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在，利用斜率乘积等于－1求斜率，若不存在，则所求斜率为0，然后用点斜式求直线方程． 【变式5-1】（2024·高一·黑龙江黑河·课后作业）过点(1，3)且与直线x＋2y－1＝0垂直的直线的方程是 ． 【答案】 【解析】由题得直线x＋2y－1＝0的斜率为，所以所求直线的斜率为2， 所以所求的直线的方程为y-3=2(x-1)即2x-y+1=0. 故答案为 【变式5-2】（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）过点且与直线垂直的直线的方程为 ． 【答案】 【解析】直线的斜率为，则所求直线斜率为.又因为所求直线过点, 则其方程为,即. 故答案为： 【变式5-3】（2024·高二·全国·课后作业）过点且与直线垂直的直线的方程为 ． 【答案】 【解析】设所求直线方程为，由直线过点得，解得， 故所求直线方程为． 故答案为： 题型六：直线平行与垂直的综合应用 【典例6-1】（2024·高二·江苏·课后作业）已知点，，，，求证：四边形ABCD是梯形． 【解析】由点，，，， 可得 , 而 , , 故,但 , 所以四边形ABCD是梯形． 【典例6-2】（2024·高二·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【解析】（1）设线段中点为，则点坐标为， 设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有， 解得，所以； （2）因为直线的斜率为， 所以边上的高线所在直线的斜率为， 又，故边上的高线所在直线的方程为， 即为. 【方法技巧与总结】 已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0） （1）若 （2）若 【变式6-1】（2024·高二·北京大兴·期中）已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 【解析】（1）因为点，点，所以边所在直线斜率， 所以边上的高所在直线的斜率，且过点． 所以边上的高所在直线的方程为． （2）由得，所以角平分线的倾斜角为， 所以角平分线所在直线的斜率． 又因为角平分线过点， 所以角平分线所在直线的方程为． 【变式6-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【解析】（1）由题意得， ，，设. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）. （2）若的坐标为（-1，6）， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为（7，2）， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 【变式6-3】（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状. 【解析】由斜率公式，得， ， ， ， ， . ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形. 又，∴. 又，∴与不垂直， ∴四边形为矩形. 题型七：两直线的夹角 【典例7-1】（2024·高二·上海奉贤·期中）直线与直线的夹角，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题知直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线与直线的夹角， 所以，即， 解得. 故答案为：. 【典例7-2】（2024·高三·浙江·阶段练习）直线与直线所成夹角大小为 ． 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，两条直线夹角为， 则，， 则，， 所以. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 夹角公式 【变式7-1】（2024·高二·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知点和，点在轴上．若直线与直线的夹角为，则点的坐标为 ． 【答案】/（0.5） 【解析】设横坐标为，且由题意得， 与相互垂直，，解得,故, 故答案为： 【变式7-2】（2024·高一·上海·期末）直线与的夹角为 . 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则所以则两直线的夹角为， . 因为直线夹角的取值范围为，所以. 故答案为： 【变式7-3】（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为 ． 【答案】/ 【解析】设直线与直线的倾斜角分别为， 则，且， 所以， 因为， 所以，即两条直线的夹角为， 故答案为：. 题型八：已知直线平行求参数 【典例8-1】（2024·高三·上海·阶段练习）直线与直线平行，则 ． 【答案】4 【解析】由题意知，当时，直线与直线平行，故满足题意. 故答案为：4. 【典例8-2】（2024·高二·江西·阶段练习）已知直线：和：平行，则 ． 【答案】1 【解析】因为，所以，解得． 故答案为：1 【方法技巧与总结】 已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0），若. 【变式8-1】（2024·高二·上海·阶段练习）已知，设直线，，若，则 . 【答案】 【解析】由题意得 当时，直线重合，舍去，故. 故答案为：. 【变式8-2】（2024·高二·上海·阶段练习）已知平行四边形中，一组对边、所在直线的方程分别为，，求实数的值 . 【答案】 【解析】因为，，整理可得，， 因为四边形为平行四边形，故，则，且， 解得. 故答案为： 【变式8-3】（2024·高二·上海·期中）若直线，平行，则实数的值为 . 【答案】或 【解析】由已知直线，平行， 则， 解得或， 故答案为：或. 题型九：已知直线垂直求参数 【典例9-1】（2024·高二·青海西宁·期中）已知直线和互相垂直，则 ． 【答案】 【解析】直线和互相垂直， 则，解之得. 故答案为：. 【典例9-2】（2024·高二·安徽安庆·阶段练习）已知直线，直线．若，则实数的值为 ． 【答案】或 【解析】因为直线，直线，且， 所以，解得或. 故答案为：或. 【方法技巧与总结】 已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0），若. 【变式9-1】（2024·高二·上海·期中）若直线和直线垂直，则 ． 【答案】 【解析】易知直线的斜率为， 直线的斜率为, 由两直线垂直可得，解得. 故答案为： 【变式9-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为 . 【答案】/0.25 【解析】因为， 即，当且仅当时取等号， ，即的最大值为. 故答案为：. 1．设分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【解析】由题设，的斜率为，的斜率为， 又，则，即两直线垂直. 故选：C 2．（2024·高二·湖北武汉·期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，则点，所在直线的斜率为， 由题意知，过点，的直线与直线平行， 所以，整理得：. 故选：B 3．（2024·高二·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 【答案】B 【解析】过点和点的直线方程为，斜率为0， 又因为直线斜率为0，所以两直线平行. 故选：B 4．（2024·高二·陕西西安·期末）已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为直线与直线平行， 所以，解得或1，经检验均满足题意， 所以实数的所有取值之和为. 故选：B 5．（2024·全国·模拟预测）已知直线：，直线：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由可得，解得或. 当时，：，：，显然，重合，舍去， 故时，. 因此“”是“”的充要条件. 故选：C 6．（2024·河南洛阳·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若，则有，所以或， 当时，，故，重合； 当时，，满足条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 7．（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）已知直线：与：，则下列结论正确的是（    ） A．直线与直线可能重合 B．直线与直线可能垂直 C．直线与直线可能平行 D．存在直线上一点P，直线绕点P旋转后可与直线重合 【答案】BD 【解析】直线的斜率为， 直线的斜率， ，，不可能相等， 直线与直线不可能重合，也不可能平行，故A，C均错误； 当时，，，直线与直线可能垂直，故B正确； 直线与直线不可能重合，也不可能平行， 直线与直线一定有交点， 存在直线上一点，直线绕点旋转后可与直线重合，故D正确． 故选：BD． 8．（2024·高二·福建泉州·阶段练习）过点，且与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【解析】因为的斜率为， 所以过点，且与直线垂直的直线的斜率为2， 因此过点，且与直线垂直的直线的方程为， 即. 故答案为： 9．（2024·高一·江西景德镇·期中）过点且和直线平行的直线的方程是 . 【答案】 【解析】将直线方程化为斜截式得,,可得其斜率为, 因为所求直线与已知直线平行,所以所求直线的斜率为, 由直线方程的点斜式得,,化简得,, 故答案为:. 10．（2024·高二·上海·阶段练习）过点且与直线平行的直线的方程为 . 【答案】 【解析】设所求直线方程为， 将点代入，解得， 则所求直线方程为. 故答案为： 11．（2024·高二·广东广州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为 . 【答案】 【解析】直线与直线平行，则，直线方程为， 即. 故答案为： 12．（2024·高二·上海浦东新·期中）过点且与直线垂直的直线的方程 . 【答案】 【解析】方法一，直线的斜率是-2， 则与这条直线垂直的直线方程的斜率是， ∴过点且与直线垂直的直线方程为， 即； 方法二，设与直线垂直的直线方程为， 且该垂线过过点， ∴，解得， ∴这条垂线的直线方程为. 故答案为：. 13．（2024·高二·四川乐山·阶段练习）经过点，且与直线垂直的直线的方程是 . 【答案】 【解析】由，得，所以设与其垂直的直线方程为， 代点得，所以直线方程为，即 故答案为： 14．（2024·高二·全国·课后作业）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 ． 【答案】 【解析】由题意，直线，可得其斜率为， 因为所求直线与直线垂直，可得所求直线的斜率为， 所以所求直线为，即. 故答案为：. 15．（2024·高二·上海·期末）直线与直线的夹角大小为 ． 【答案】/ 【解析】直线的斜率，可得倾斜角为， 因为直线与轴垂直，其倾斜角为， 所以直线与直线的夹角大小为. 故答案为：. 16．（2024·高二·上海·阶段练习）设，若直线和直线平行，则 . 【答案】4 【解析】若直线和直线平行， 可得，解得， 则直线为，直线为， 显然两直线平行，故符合题意. 故答案为：4. 17．（2024·高一·北京顺义·阶段练习）若两条直线，垂直，则 . 【答案】 【解析】因为两条直线，垂直， 所以，所以，解得：. 故答案为：. 18．（2024·高二·广东惠州·阶段练习）已知直线与直线垂直，则 ． 【答案】2 【解析】当时，， 由知，斜率为2， 所以直线与不垂直，不符合题意； 当时，， 因为直线与直线垂直， 所以，解得． 故答案为：2． 19．（2024·高二·广西南宁·阶段练习）已知直线，，若，则实数a的值为 . 【答案】2 【解析】因为直线，，且， 所以，解得， 故答案为：． 20．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线，，试判断直线与是否平行． 【解析】将直线化为斜截式，得． 因此，直线的斜率，它在y轴上的截距． 将直线化为斜截式，得． 因此，直线的斜率，它在y轴上的截距． 由于，，所以． 21．（2024·高二·全国·课堂例题）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)平行于y轴，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【解析】（1）因为，，即，所以与不平行． （2）由题意可知恰好与y轴重合，所以． （3）由题意可知，，即， 所以与平行或重合． 又因为，可知E，F，G，H四点共线，所以与重合． 22．（2024·高二·全国·课后作业）已知，求取什么值时，直线与直线： (1)重合； (2)平行； (3)垂直． 【解析】（1）直线的斜率，它在y轴上的截距． 直线的斜率，它在y轴上的截距． 则重合，． （2）平行，． （3）垂直． 23．（2024·高二·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【解析】（1）设直线，的斜率分别为，，则，， 因为，所以． （2）由点A，B的横坐标相等，得的倾斜角为，则， 设直线的斜率为，则， 所以轴．故． （3）方法一：直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以； 方法二：直线的方向向量，直线的方向向量， 因为，所以，所以． 24．（2024·高二·全国·课后作业）判断下列各题中与是否垂直． (1)经过点；经过点； (2)的斜率为；经过点； (3)经过点；经过点． 【解析】（1），， 与不垂直． （2）， ． （3）由的横坐标相等得的倾斜角为， 则轴， 又，则轴，因此． 25．（2024·高二·广东东莞·阶段练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 【解析】（1）由已知可判断四边形是直角梯形， 证明如下：因为，，，． 由斜率公式得，，，， 所以，，即且不平行， 所以四边形是梯形， 又因为，所以， 综上，四边形是直角梯形； （2）根据题意，设的内角平分线所在直线的斜率为k， 则有，即， 整理得，，解得或， 又由的内角平分线所在直线的斜率k应在、的斜率之间， 所以， 则的平分线所在的直线方程为， 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$