1.4 两条直线的交点（七大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

1．4 两条直线的交点 课程标准 学习目标 （1）能用自己的语言解释两条直线的交点坐标与两条直线的方程之间的关系， （2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，能根据方程组解的个数判断两条直线的位置关系． （1）会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． （2）会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 知识点01 直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数． 【即学即练1】（2024·高二·天津·期中）两直线的交点坐标是： . 知识点02 过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 【即学即练2】（2024·高二·全国·专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)过点； (3)平行于直线． 题型一：求直线的交点 【典例1-1】（2024·高二·上海·阶段练习）两直线和的交点为 ． 【典例1-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线和，则直线和的交点为 . 【方法技巧与总结】 判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． （1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． （2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． （3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 【变式1-1】（2024·高二·北京房山·期末）已知直线，则与的交点坐标为 ；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【变式1-2】（2024·高二·四川成都·期中）已知直线与交于点，则 ． 题型二：由方程组解的个数判断直线的位置关系 【典例2-1】（2024·高二·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【典例2-2】（2024·高二·全国·单元测试）已知直线，是直线l外一点，那么直线（    ） A．过点P且与直线l斜交 B．过点P且与直线l重合 C．过点P且与直线l平行 D．过点P且与直线l垂直 【方法技巧与总结】 通过构建并求解包含直线方程系数的方程组，可以根据方程组的解的个数判断直线的位置关系。具体来说，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无穷多解，则两直线重合。 【变式2-1】（2024·高二·全国·专题练习）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【变式2-2】（2024·高三·上海杨浦·阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 题型三：由直线交点的个数求参数 【典例3-1】（2024·高二·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【方法技巧与总结】 通过联立两直线的方程并构建关于参数的方程组，可以根据直线交点的个数来求解参数。具体来说，若方程组有唯一解，则两直线有一个交点；若方程组无解，则两直线无交点；若方程组有无穷多解，则两直线重合，即无数个交点。由此可求解出对应的参数值。 【变式3-1】（多选题）（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 【变式3-3】（2024·上海奉贤·二模）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 题型四：由直线交点坐标求参数 【典例4-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为 . 【典例4-2】（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 . 【方法技巧与总结】 通过联立两直线的方程，并将已知的交点坐标代入方程组，可以构建一个关于参数的方程。求解这个方程，即可得到参数的值。具体来说，若交点坐标满足方程组，则可通过代数运算求解出参数，该参数使得两直线在指定点相交。 【变式4-1】（2024·高二·全国·期中）已知直线与直线的交点位于第四象限，则的取值范围是 . 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）若直线与直线相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 【变式4-3】（2024·高二·全国·课堂例题）若直线与直线的交点在直线上，则k的值为 ． 题型五：三线能否围成三角形问题 【典例5-1】（2024·高二·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高二·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【方法技巧与总结】 判断三条直线能否围成三角形，主要依据是直线间的相交与平行关系。首先，任意两条直线必须相交，形成三个交点。其次，这三个交点不能共线。满足这两个条件，则三条直线能围成三角形；否则，不能围成三角形。 【变式5-1】（2024·高二·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 【变式5-2】（2024·高二·四川遂宁·期中）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 【变式5-3】（2024·高三·全国·专题练习）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式5-4】（2024·高二·全国·课后作业）若三条直线能构成三角形，则a应满足的条件是（    ） A．或 B． C．且 D．且 题型六：直线交点系方程 【典例6-1】（2024·江苏·高二假期作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为___________. 【典例6-2】（2024·安徽六安·高二校考期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为_________ . 【方法技巧与总结】 过两条相交直线，交点的直线方程可设为不含直线． 【变式6-1】（2024·全国·高二专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)过点； (3)平行于直线． 【变式6-2】（2024·高二·全国·假期作业）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 1．（2024·高二·江西·课后作业）若三条直线，，构成三角形，则的取值范围是(　　) A． B．， C． D．， 2．（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）若两条直线与有交点，则该交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法： ①若方程组无解，则两直线平行； ②若方程组只有一解，则两直线相交； ③若方程组有无数多解，则两直线重合． 其中说法正确的有（    ） A．① B．② C．③ D．以上都不正确 3．（多选题）（2024·高二·江苏·专题练习）已知直线：和直线：，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数k，使得直线的倾斜角为 B．对任意的实数k，直线与直线都有公共点 C．对任意的实数k，直线与直线都不重合 D．对任意的实数k，直线与直线都不垂直 4．（多选题）（2024·高二·湖南长沙·期中）已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（    ） A．2 B． C． D． 5．（多选题）（2024·高二·河北张家口·期中）若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为（    ）． A． B． C． D． 6．（2024·高二·山西晋中·阶段练习）三条直线与相交于一点，则的值为 . 7．（2024·高二·湖北武汉·期中）写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 8．（2024·高一·陕西渭南·期末）若三条直线，，将平面划分成6个部分，则实数的取值集合为 . 9．（2024·高二·江苏宿迁·阶段练习）若直线：与：的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是 . 10．（2024·高二·黑龙江鸡西·阶段练习）已知三条直线，，相交于一点，则k的值为 ． 11．（2024·高二·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 12．（2024·高三·全国·专题练习）直线l1：和l2：的交点的坐标为 ． 13．（2024·高二·上海·假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值． 14．（2024·高二·河南·阶段练习）已知直线，直线和． (1)求证：直线 恒过定点； (2)设（1）中的定点为，与，的交点分别为 ， ，若恰为 的中点，求． 15．（2024·高二·全国·课后作业）数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求： (1)外心的坐标； (2)重心的坐标； (3)垂心的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．4 两条直线的交点 课程标准 学习目标 （1）能用自己的语言解释两条直线的交点坐标与两条直线的方程之间的关系， （2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，能根据方程组解的个数判断两条直线的位置关系． （1）会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． （2）会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 知识点01 直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数． 【即学即练1】（2024·高二·天津·期中）两直线的交点坐标是： . 【答案】 【解析】联立两直线方程可得. 故答案为： 知识点02 过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 【即学即练2】（2024·高二·全国·专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)过点； (3)平行于直线． 【解析】（1）法一:直线与的交点为， 当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为． 直线方程为． 法二:由题意，直线不符合题意， 所以由直线系方程可设所求直线为 ， 当直线的斜率为时，，解得， 故所求直线方程为； （2）法一：过点时，由两点式得：即为． 直线方程为． 法二：由题意，直线不符合题意， 过点时，代入（1）中直线系方程得， 故所求直线方程为． （3）法一：平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为， 直线方程为． 法二：由题意，直线不符合题意， 平行于直线时，由（1）中直线系方程，解得, 故所求直线方程为． 题型一：求直线的交点 【典例1-1】（2024·高二·上海·阶段练习）两直线和的交点为 ． 【答案】 【解析】由题意可得，解得， 交点坐标为. 故答案为： 【典例1-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线和，则直线和的交点为 . 【答案】 【解析】联立，解得. 直线和的交点为. 故答案为： 【方法技巧与总结】 判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． （1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． （2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． （3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 【变式1-1】（2024·高二·北京房山·期末）已知直线，则与的交点坐标为 ；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【答案】 答案不唯一（只需写出中的一个即可） 【解析】解方程组，得，所以与的交点坐标为； 由得，直线恒过定点；若直线不能围成三角形， 只需经过，或与平行，或与平行. 当经过时，图1所示，，； 当与平行时，图2所示，，； 当与平行时，图3所示，，. 故答案为：；或或（只需写出中的一个即可）. 图 1 图 2 图 3 【变式1-2】（2024·高二·四川成都·期中）已知直线与交于点，则 ． 【答案】 【解析】由得，所以， ， 故答案为：3. 题型二：由方程组解的个数判断直线的位置关系 【典例2-1】（2024·高二·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【答案】B 【解析】直线的斜率存在， ∴， 由题意， 则， 故：与：相交， ∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则， 则点，在直线，即上， 但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线， ∴不可能是方程组的一组解，C错误. 故选：B. 【典例2-2】（2024·高二·全国·单元测试）已知直线，是直线l外一点，那么直线（    ） A．过点P且与直线l斜交 B．过点P且与直线l重合 C．过点P且与直线l平行 D．过点P且与直线l垂直 【答案】C 【解析】在直线外，所以， 方程与两变量的系数完全相同，而，即常数项不同， 它们的方程组成的方程组无解，所以两直线的位置关系是平行， 又，所以直线必过点，所以直线过点且与直线平行. 故选：C 【方法技巧与总结】 通过构建并求解包含直线方程系数的方程组，可以根据方程组的解的个数判断直线的位置关系。具体来说，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无穷多解，则两直线重合。 【变式2-1】（2024·高二·全国·专题练习）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】A 【解析】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点． 故选：A 【变式2-2】（2024·高三·上海杨浦·阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 【答案】4 【解析】若方程组有无穷多组解， 即两条直线重合,即 , 则 故答案为：4 题型三：由直线交点的个数求参数 【典例3-1】（2024·高二·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 【典例3-2】（2024·高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 【方法技巧与总结】 通过联立两直线的方程并构建关于参数的方程组，可以根据直线交点的个数来求解参数。具体来说，若方程组有唯一解，则两直线有一个交点；若方程组无解，则两直线无交点；若方程组有无穷多解，则两直线重合，即无数个交点。由此可求解出对应的参数值。 【变式3-1】（多选题）（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由整理可得. 因为集合，. （1）直线过点，则，解得， 此时，直线与直线不平行； （2）若直线与平行，则，解得. 综上所述，或. 故选：BD. 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 故答案为： 【变式3-3】（2024·上海奉贤·二模）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 【答案】/ 【解析】由，可得， 由关于，的方程组有唯一解， 可得方程有唯一解，则 故答案为： 题型四：由直线交点坐标求参数 【典例4-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】联立可得， 所以，两直线的交点坐标为，且交点在第四象限， 则，解得，因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【典例4-2】（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 . 【答案】 【解析】联立方程组，解得，即两直线的交点为， 将点代入直线，可得，解得， 即实数的值为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 通过联立两直线的方程，并将已知的交点坐标代入方程组，可以构建一个关于参数的方程。求解这个方程，即可得到参数的值。具体来说，若交点坐标满足方程组，则可通过代数运算求解出参数，该参数使得两直线在指定点相交。 【变式4-1】（2024·高二·全国·期中）已知直线与直线的交点位于第四象限，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】联立方程组，解得，即交点坐标为， 因为交点位于第四象限，所以且， 解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）若直线与直线相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由两直线相交可得， 联立，解得； 所以两直线的交点坐标为； 又两直线交点在第一象限，所以，解得， 又直线l的倾斜角为，则，所以可得. 故答案为： 【变式4-3】（2024·高二·全国·课堂例题）若直线与直线的交点在直线上，则k的值为 ． 【答案】/ 【解析】因为直线与直线相交，则，则且， 由，解得， 即直线与直线的交点坐标为， 将点的坐标代入，得， 即，即，因为，解得. 故答案为：. 题型五：三线能否围成三角形问题 【典例5-1】（2024·高二·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 【典例5-2】（2024·高二·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解析】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B 【方法技巧与总结】 判断三条直线能否围成三角形，主要依据是直线间的相交与平行关系。首先，任意两条直线必须相交，形成三个交点。其次，这三个交点不能共线。满足这两个条件，则三条直线能围成三角形；否则，不能围成三角形。 【变式5-1】（2024·高二·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 【解析】（1）因为：，：，且，所以， 又直线过点，所以，所以， 即，即，解得或 所以或； （2）因为，则：，：， ①当时，由得， 此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ②当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ③当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ④当，，交于一点时，，则由,解得 所以与的交点，将M代入到方程得，解得； 综上所述：时，，，三条直线能围成三角形时a的取值范围为． 【变式5-2】（2024·高二·四川遂宁·期中）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 【答案】C 【解析】已知三条直线能构成三角形，首先不平行， 若，则三条直线围成三角形， 若，则，，解得， 时，由，得，代入得，或，因此 综上：且． 故选：C． 【变式5-3】（2024·高三·全国·专题练习）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】三条直线不能构成三角形 至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点. 若∥，则；若∥，则； 若∥，则的值不存在； 若三条直线相交于同一点， 直线和联立：，直线和交点为; 直线和联立：，直线和交点为; 三条直线相交于同一点两点重合或. 故实数的取值最多有个. 故选:C 【变式5-4】（2024·高二·全国·课后作业）若三条直线能构成三角形，则a应满足的条件是（    ） A．或 B． C．且 D．且 【答案】D 【解析】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点. ①若，则由，得. ②若，则由，得. ③若，则由，得. 当时，与三线重合，当时，平行. ④若三条直线交于一点，由解得 将的交点的坐标代入的方程， 解得（舍去）或. 所以要使三条直线能构成三角形，需且. 故选：D. 题型六：直线交点系方程 【典例6-1】（2024·江苏·高二假期作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为___________. 【答案】或 【解析】方法一：由，得， 所以两条直线的交点坐标为（14，10）, 由题意可得直线的斜率为1或-1， 所以直线的方程为或， 即或. 方法二：设直线的方程为，整理得， 由题意，得，解得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 【典例6-2】（2024·安徽六安·高二校考期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为_________ . 【答案】 【解析】依题意两直线和的交点为， 所以在直线上， 所以过两点所在直线方程为. 故答案为： 【方法技巧与总结】 过两条相交直线，交点的直线方程可设为不含直线． 【变式6-1】（2024·全国·高二专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)过点； (3)平行于直线． 【解析】（1）法一:直线与的交点为， 当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为． 直线方程为． 法二:由题意，直线不符合题意， 所以由直线系方程可设所求直线为 ， 当直线的斜率为时，，解得， 故所求直线方程为； （2）法一：过点时，由两点式得：即为． 直线方程为． 法二：由题意，直线不符合题意， 过点时，代入（1）中直线系方程得， 故所求直线方程为． （3）法一：平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为， 直线方程为． 法二：由题意，直线不符合题意， 平行于直线时，由（1）中直线系方程，解得, 故所求直线方程为． 【变式6-2】（2024·高二·全国·假期作业）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【解析】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 1．（2024·高二·江西·课后作业）若三条直线，，构成三角形，则的取值范围是(　　) A． B．， C． D．， 【答案】A 【解析】三条直线，，构成三角形， 故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点． 而直线和交于原点，无论为何值，直线总不经过原点， 因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行， 所以， 故选：A． 2．（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）若两条直线与有交点，则该交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法： ①若方程组无解，则两直线平行； ②若方程组只有一解，则两直线相交； ③若方程组有无数多解，则两直线重合． 其中说法正确的有（    ） A．① B．② C．③ D．以上都不正确 【答案】ABC 【解析】对于①，若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行，故①正确； 对于②，若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交，故②正确； 对于③，若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合，故③正确. 故选：ABC 3．（多选题）（2024·高二·江苏·专题练习）已知直线：和直线：，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数k，使得直线的倾斜角为 B．对任意的实数k，直线与直线都有公共点 C．对任意的实数k，直线与直线都不重合 D．对任意的实数k，直线与直线都不垂直 【答案】ABD 【解析】对于A项，当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角为，故A项正确； 对于B项，当时，直线的方程为，与重合，此时两直线有公共点； 当时，有，即一定相交. 综上所述，对任意的实数k，直线与直线都有公共点，故B项正确； 对于C项，由B可知，当时，直线与重合，故C项错误； 对于D项，要使直线与直线垂直，则应有，该方程无解， 所以对任意的实数k，直线与直线都不垂直，故D项正确. 故选：ABD. 4．（多选题）（2024·高二·湖南长沙·期中）已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为三条直线，，能构成三角形， 所以直线与，都不平行， 且直线不过与的交点， 直线与，都不平行时，，且， 联立，解得， 即直线与的交点坐标为， 代入直线中，得，故可知， 结合选项可知实数m的取值可以为2或， 故选：AD 5．（多选题）（2024·高二·河北张家口·期中）若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为直线，，不能构成三角形， 所以存在，，过与的交点三种情况. 显然，.则直线的斜率分别为，，. 当时，有，即，解得； 当时，有，即，解得； 当过与的交点时.先联立，解得，则与的交点为， 代入，得，解得． 综上：或或． 故选：ABD． 6．（2024·高二·山西晋中·阶段练习）三条直线与相交于一点，则的值为 . 【答案】3 【解析】由，即三条直线交于， 代入，有. 故答案为：3 7．（2024·高二·湖北武汉·期中）写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 【答案】，3，（写出一个即可） 【解析】显然，当时，不表示直线，无解，故方程组无解； 当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点，则方程组无解，即直线无交点， 若两直线平行，则，解得. 若两直线不平行时，过点，即，解得或， 此时，不过点，方程组无解. 综上，的取值为. 故答案为：，3，（写出一个即可） 8．（2024·高一·陕西渭南·期末）若三条直线，，将平面划分成6个部分，则实数的取值集合为 . 【答案】 【解析】直线、的交点为， 若3条直线将平面划分成6个部分，分2种情况讨论： ①直线过交点，则； ②直线与另外两直线平行，此时或， 所以实数k的取值集合为. 故答案为：. 9．（2024·高二·江苏宿迁·阶段练习）若直线：与：的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知，联立方程组可得交点的坐标为； 又因为点在第一象限，所以，解得. 即直线的斜率取值范围为，设其倾斜角为， 即，所以倾斜角的取值范围是. 故答案为：. 10．（2024·高二·黑龙江鸡西·阶段练习）已知三条直线，，相交于一点，则k的值为 ． 【答案】1或 【解析】由解得，，依题意，点在直线上， 则有，整理得，解得或， 所以k的值为1或. 故答案为：1或 11．（2024·高二·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【答案】 【解析】由解得，所以的交点坐标为， 过定点， 若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得； 当与平行时，，解得； 当与平行时，，解得. 故的值为. 故答案为：（只需写出其中一个即可）. 12．（2024·高三·全国·专题练习）直线l1：和l2：的交点的坐标为 ． 【答案】 【解析】解方程组得 所以两条直线交点的坐标为. 故答案为： 13．（2024·高二·上海·假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值． 【解析】依题意，任意两条直线不重合，若三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三线共点． 当有两条直线平行时，，则三条直线的斜率为， 若，则. 若，则.. 若三线共点，由解得，设， 将代入， 得， 综上所述，或或. 14．（2024·高二·河南·阶段练习）已知直线，直线和． (1)求证：直线 恒过定点； (2)设（1）中的定点为，与，的交点分别为 ， ，若恰为 的中点，求． 【解析】（1）由题， 可化为， 由于，令，可得， 所以，解得， 即直线 恒过定点． 所以直线 恒过定点. （2）由（1）知，不妨设， 由题意可知，恰为 的中点， 所以， 因为， 分别在直线 和直线 上， 所以， 解得 ，所以， 将代入直线方程，解得． 所以 的值为 . 15．（2024·高二·全国·课后作业）数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求： (1)外心的坐标； (2)重心的坐标； (3)垂心的坐标． 【解析】（1）中点为且，垂直平分线方程为：， 即， 由得：，即外心. （2）设，则重心， 将代入欧拉线得：，即…①； 由得：…②； 由①②得：或（与重合，不合题意）， ，重心. （3）由（2）知：；由（1）知：， 边的高所在直线方程为：，即； 由得：，垂心. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$