精品解析：北京市丰台区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

丰台区2023~2024学年度第二学期期末练习 八年级数学 注意事项 1．本练习卷共6页，共三道大题，25道小题，满分100分．练习时间90分钟． 2．在练习卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和考号． 3．练习答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 5．练习结束，将本练习卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 计算的结果为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 2. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，O为的中点，若，则点O与点B的距离是（ ） A. 20 B. 10 C. D. 5 6. 某次演讲比赛中，小东同学在演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面的成绩（百分制）如下表： 演讲内容 演讲能力 演讲效果 分数 90 80 85 若对演讲内容、演讲能力、演讲效果分别赋权5，3，2，则小东同学此次演讲比赛的平均成绩（百分制）是（ ） A. 80 B. 85 C. 86 D. 90 7. 如图，在中，E，F分别是中点，连接．如果只添加一个条件即可证明四边形是菱形，那么这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 8. 下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将一些相同练习册摞在一起，这些练习册的总厚度y与本数x； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③ 第二部分 非选择题 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________． 10. 已知函数，随的增大而增大，写出一个满足条件的的值______． 11. 如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为30m，则A，B两点间的距离为______m． 12. 甲、乙两台包装机同时包装糖果，从中各抽取5袋，测得它们的实际质量（单位：g）并绘制如下统计图．如果甲、乙包装机这5次包装糖果的质量的方差分别为，，那么______（填“”，“”或“”）． 13. 如图，函数的图象与x轴的交点是，则关于x的不等式的解集为______． 14. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，则的长为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点B的坐标为，则菱形的面积是______． 16. 某校初二（1）班负责学校种植园的黄瓜、茄子两块菜地，定期选派学生完成菜地的打理工作，打理内容包括A（施肥），B（除草），C（浇水）三项，要求如下： ①其中项目A，B顺序可以交换，但项目C必须放在最后完成； ②每块菜地同一时间只能有一人进行打理； ③每块菜地每项完成时间如下表： 时间（分钟） 项目 菜地 A B C 黄瓜菜地 15 12 9 茄子菜地 18 15 9 现有该班3名同学打理菜地，小明只负责项目A，小亚只负责项目B，小红只负责项目C，在不考虑其他因素的前提下，若这3人只完成黄瓜菜地的打理，则需要______分钟；若这3人完成两块菜地的打理，则最少需要______分钟． 三、解答题（共52分，第17-20题，每题5分，第21-23题，每题6分，第24-25题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 如图，在中，分别过点B，D作的垂线，垂足为E，F．求证：． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． （1）求的值； （2）若函数的图象与一次函数的图象的交点为C，在给出的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并直接写出的面积． 20. 北京园博园是一个集园林艺术、文化景观、生态休闲、科普教育于一体的大型公益性城市公园．小田和小旭在北京园博园游玩，两人同时从永定塔出发，沿相同的路线游览到达国际展园，路线如图所示． 记录得到以下信息： a．小田和小旭从永定塔出发行走的路程和（单位：）与游览时间x（单位：）的对应关系如下图： b．在小田和小旭的这条游览路线上，依次有4个景点，从永定塔到这4个景点的路程如下表： 景点 济南园 忆江南 北京园 锦绣谷 路程（） 1 2 3 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这条游览路线上，永定塔到国际展园路程为　　　； （2）小田和小旭在游览过程中，除永定塔与国际展园外，在　　　相遇（填写景点名称），此时距出发经过了　　　； （3）下面有三个推断： ①小旭从锦绣谷到国际展园游览的过程中，平均速度是； ②小旭比小田晚到达国际展园； ③时，小田比小旭多走了． 所有合理推断序号是　　　． 21. 如图，菱形的对角线交于点O，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 22. 为了解某校八年级学生的环保知识学习的情况，从八年级全体学生中随机抽取男生、女生各人进行环保知识测试，获得了他们的测试成绩（百分制），并对成绩的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．所抽取的八年级男生的环保知识测试成绩的数据的频数分布表： 分数 频数 2 3 7 3 其中，在的成绩的数据有： ． b．所抽取的八年级男生、女生的环保知识测试成绩的数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 男生 m n 女生 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）在所抽取的男生中，记环保知识测试成绩高于他们的平均分的人数为．在所抽取的女生中，记环保知识测试成绩高于她们的平均分的人数为．比较，的大小，并说明理由； （3）假设该校八年级学生都参加此次测试，其中男生有人，估计男生测试成绩不低于分的人数（直接写出结果）． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向上平移1个单位长度得到． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 24. 如图，E是正方形边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点A作的垂线交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，取中点P，连接并延长，交于点H，依题意补全图形，直接写出的大小，并证明． 25. 在平面直角坐标系中，对于线段和点P给出如下定义：若，，则称点P是线段MN的“关联点”．已知点，，，． （1）点E在线段上． ①如图，当点E是线段的中点时，在点，，中，线段的“关联点”是　　　　； ②当点E在线段上运动时，点G是线段“关联点”，直接写出点G的横坐标t的取值范围； （2）点F在四边形的边上运动（点F不与点A重合），点，点，若线段上存在线段的“关联点”，直接写出h的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丰台区2023~2024学年度第二学期期末练习 八年级数学 注意事项 1．本练习卷共6页，共三道大题，25道小题，满分100分．练习时间90分钟． 2．在练习卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和考号． 3．练习答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 5．练习结束，将本练习卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 计算的结果为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法．熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键． 根据二次根式的乘法求解作答即可． 详解】解：由题意知，， 故选：B． 2. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义：一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而变化，对于每一个确定的自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可． 【详解】解：A、的值与的值一一对应，是函数，符合题意； B、部分的值对应多个的值，不是函数，不符合题意； C、部分的值对应多个的值，不是函数，不符合题意； D、部分的值对应多个的值，不是函数，不符合题意． 故选A． 3. 如图，在中，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了等边对等角，三角形内角和定理，平行四边形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理得到，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∴ ∵在中， ∴ ∴． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法、除法、二次根式的性质化简，据此相关运算内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、不是同类项，故该选项是错误的； C、，故该选项是正确的； D、，故该选项是错误的； 故选：C 5. 如图，在中，，，O为的中点，若，则点O与点B的距离是（ ） A. 20 B. 10 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 连接，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【详解】解：连接， 在中，，，， ， O为的中点， ， 故选B． 6. 某次演讲比赛中，小东同学在演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面的成绩（百分制）如下表： 演讲内容 演讲能力 演讲效果 分数 90 80 85 若对演讲内容、演讲能力、演讲效果分别赋权5，3，2，则小东同学此次演讲比赛的平均成绩（百分制）是（ ） A. 80 B. 85 C. 86 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 利用加权平均数的计算方法解题即可． 【详解】（分） ∴小东同学此次演讲比赛的平均成绩（百分制）是86分． 故选：C． 7. 如图，在中，E，F分别是的中点，连接．如果只添加一个条件即可证明四边形是菱形，那么这个条件可以是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质．先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， A、当时，四边形是矩形，故本选项不符合题意； B、当时，无法得到四边形是菱形，故本选项不符合题意； C、当时，无法得到四边形是菱形，故本选项不符合题意； D、当时，，此时四边形是菱形，故本选项符合题意； 故选：D 8. 下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将一些相同的练习册摞在一起，这些练习册的总厚度y与本数x； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象．熟练掌握函数图象是解题的关键． 分析①②③中y随着x的变化情况，然后与图中y随x的增大而减小对比，判断作答即可． 【详解】解：由题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车的剩余路程y随着行驶时间x的增大而减小；可以用如图所示的图象表示，故①符合要求； 将一些相同的练习册摞在一起，这些练习册的总厚度y随着本数x的增大而增大；不能用如图所示的图象表示，故②不符合要求； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随着与放水时间x的增大而减小．可以用如图所示的图象表示，故③符合要求； 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 10. 已知函数，随的增大而增大，写出一个满足条件的的值______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是利用一次函数的性质，找出关于的不等式．利用一次函数的性质，求即可． 【详解】解：函数，随的增大而增大， 即 的值可以为： 故答案为：（答案不唯一） 11. 如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为30m，则A，B两点间的距离为______m． 【答案】60 【解析】 【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2DE，问题得解． 【详解】解：∵点D，E分别是AC和BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∵DE＝30， ∴AB＝2DE＝2×30＝60（m）． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键． 12. 甲、乙两台包装机同时包装糖果，从中各抽取5袋，测得它们的实际质量（单位：g）并绘制如下统计图．如果甲、乙包装机这5次包装糖果的质量的方差分别为，，那么______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差，根据方差的计算公式分别进行解答即可． 【详解】解：甲的平均数是：； ∴甲的方差是：； 乙的平均数是：； 速乙的方差是：； ， 故答案为：． 13. 如图，函数的图象与x轴的交点是，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．观察函数图象得：y随x的增大而增大，即可求解． 【详解】解：观察函数图象得：y随x的增大而增大， ∵函数的图象与x轴的交点是， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为： 14. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和图形的折叠问题，勾股定理．根据矩形和折叠的性质可得，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得：， 在中，， ∴． 故答案为： 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点B的坐标为，则菱形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键． 由题意知，，由四边形是菱形，，可得，，，，则，由勾股定理得，，则，根据菱形的面积为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 16. 某校初二（1）班负责学校种植园的黄瓜、茄子两块菜地，定期选派学生完成菜地的打理工作，打理内容包括A（施肥），B（除草），C（浇水）三项，要求如下： ①其中项目A，B顺序可以交换，但项目C必须放在最后完成； ②每块菜地同一时间只能有一人进行打理； ③每块菜地每项完成时间如下表： 时间（分钟） 项目 菜地 A B C 黄瓜菜地 15 12 9 茄子菜地 18 15 9 现有该班3名同学打理菜地，小明只负责项目A，小亚只负责项目B，小红只负责项目C，在不考虑其他因素的前提下，若这3人只完成黄瓜菜地的打理，则需要______分钟；若这3人完成两块菜地的打理，则最少需要______分钟． 【答案】 ①. 36 ②. 45 【解析】 【分析】本题考查有理数加法在生活中的应用，根据所给规则合理安排工作顺序，即可求解． 【详解】若这3人只完成黄瓜菜地的打理，需要（分钟）； 若要需要最少时间， 小明先给黄瓜菜地施肥，同时小亚给茄子菜地除草，用时15分钟， 然后小明给茄子菜地施肥，用时18分钟， 同时小亚给黄瓜菜地除草，用时12分钟，然后小红给黄瓜菜地浇水，用时9分钟， 然后小红最后给茄子菜地浇水， ∴总用时为（分钟）． 故答案为：36，45． 三、解答题（共52分，第17-20题，每题5分，第21-23题，每题6分，第24-25题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘法，化简二次根式和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算二次根式的乘法，化简二次根式和绝对值，然后计算加减． 【详解】 ． 18. 如图，在中，分别过点B，D作的垂线，垂足为E，F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握证三角形全等，是解题的关键． 首先根据平行四边形的性质得到，，求出，然后证明出，即可得到． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． （1）求的值； （2）若函数的图象与一次函数的图象的交点为C，在给出的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并直接写出的面积． 【答案】（1） （2）画图见解析，2 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，画一次函数的图象，坐标与图形面积，熟练的求解一次函数的解析式是解本题的关键． （1）利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）先列表，再描点画图，然后利用三角形面积公式求解即可； 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过，两点． ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 列表： 1 画图如下： 由图象可得，点C的坐标为 ∴的面积． 20. 北京园博园是一个集园林艺术、文化景观、生态休闲、科普教育于一体的大型公益性城市公园．小田和小旭在北京园博园游玩，两人同时从永定塔出发，沿相同的路线游览到达国际展园，路线如图所示． 记录得到以下信息： a．小田和小旭从永定塔出发行走的路程和（单位：）与游览时间x（单位：）的对应关系如下图： b．在小田和小旭的这条游览路线上，依次有4个景点，从永定塔到这4个景点的路程如下表： 景点 济南园 忆江南 北京园 锦绣谷 路程（） 1 2 3 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这条游览路线上，永定塔到国际展园的路程为　　　； （2）小田和小旭在游览过程中，除永定塔与国际展园外，在　　　相遇（填写景点名称），此时距出发经过了　　　； （3）下面有三个推断： ①小旭从锦绣谷到国际展园游览的过程中，平均速度是； ②小旭比小田晚到达国际展园； ③时，小田比小旭多走了． 所有合理推断的序号是　　　． 【答案】（1）4 （2）忆江南， （3）②③ 【解析】 【分析】（1）由图象可知，，则永定塔到国际展园的路程为4； （2）由图象可知，当时，小田和小旭在忆江南相遇，由图象可知，小田的运动速度为，则小田和小旭在忆江南相遇时的相遇时间为，计算求解即可；（3）由图象可知，小旭从锦绣谷到国际展园游览的过程中，平均速度是，可判断①的正误；小旭比小田晚到达国际展园，可判断②的正误；时，小田走的路程为，则小田比小旭多走了，可判断③的正误． 【小问1详解】 解：由图象可知，， ∴永定塔到国际展园的路程为4， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，小田和小旭在忆江南相遇， 由图象可知，小田的运动速度为， ∴小田和小旭在忆江南相遇时的相遇时间为（）， 故答案为：忆江南，； 【小问3详解】 解：由图象可知，小旭从锦绣谷到国际展园游览的过程中，平均速度是，①错误，故不符合要求； 小旭比小田晚到达国际展园，②正确，故符合要求； 时，小田走的路程为， ∴小田比小旭多走了，③正确，故符合要求； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了函数图象，有理数减、乘、除运算的应用．从图象中获取正确的信息是解题的关键． 21. 如图，菱形的对角线交于点O，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）3 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，结合矩形的性质得，再由勾股定理得，即可求解． 本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形． 【小问2详解】 解：如图，连接 四边形是菱形， ， ∵四边形矩形 ∴ ∴在中，由勾股定理得：． 22. 为了解某校八年级学生的环保知识学习的情况，从八年级全体学生中随机抽取男生、女生各人进行环保知识测试，获得了他们的测试成绩（百分制），并对成绩的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．所抽取的八年级男生的环保知识测试成绩的数据的频数分布表： 分数 频数 2 3 7 3 其中，在的成绩的数据有： ． b．所抽取的八年级男生、女生的环保知识测试成绩的数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 男生 m n 女生 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）在所抽取的男生中，记环保知识测试成绩高于他们的平均分的人数为．在所抽取的女生中，记环保知识测试成绩高于她们的平均分的人数为．比较，的大小，并说明理由； （3）假设该校八年级学生都参加此次测试，其中男生有人，估计男生测试成绩不低于分的人数（直接写出结果）． 【答案】（1）， （2），理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】（1）由题意知，中位数为从小到大依次排序里的第8位数，落在，即，出现了4次，次数最多，即； （2）由题意知，，由女生成绩的中位数为，可知有7个人的成绩大于或等于，此时，进而可得； （3）由题意知，样本中不低于分的人数有7人，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，中位数为从小到大依次排序里的第8位数，落在，即， 出现了4次，次数最多，即， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，理由如下； 由题意知，， ∵女生成绩的中位数为， ∴有7个人的成绩大于或等于，此时， ∴； 【小问3详解】 解：由题意知，样本中不低于分的人数有7人， ∴， ∴估计男生测试成绩不低于分的人数为人． 【点睛】本题考查了中位数，众数，利用中位数进行决策，利用平均数进行决策，用样本估计总体．熟练掌握中位数，众数，利用中位数进行决策，利用平均数进行决策，用样本估计总体是解题关键． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数图象由函数的图象向上平移1个单位长度得到． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的解析式，平移性质，一次函数的交点问题与不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据向上平移1个单位长度，得出； （2）先得出经过点，再把代入，得出，结合函数的值小于一次函数的值，即可作答． 即可作答． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象由函数的图象向上平移1个单位长度得到 ∴ 【小问2详解】 解：由（1）知 ∴把代入得出 即经过点 把代入，得出 ∴ ∵函数的值小于一次函数的值， ∴ 当与平行时， 即也满足条件 ∴ 故答案为： 24. 如图，E是正方形边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点A作的垂线交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，取中点P，连接并延长，交于点H，依题意补全图形，直接写出的大小，并证明． 【答案】（1）见详解 （2），证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质以及容易证明，，，从而证得，根据全等三角形的性质得出结论； （2）先根据正方形的性质以及中点P，证明，结合线段的和差关系得出，再证明，根据角的等量代换，即可作答． 本题考查了正方形的性质以及全等三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 证明： 四边形是正方形， ，， ， ， ， ． ； 【小问2详解】 解：，证明如下： ∵四边形是正方形， ，， ∴ ∵点P是中点 ∴ 如图：射线交于一点W， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 25. 在平面直角坐标系中，对于线段和点P给出如下定义：若，，则称点P是线段MN的“关联点”．已知点，，，． （1）点E在线段上． ①如图，当点E是线段的中点时，在点，，中，线段的“关联点”是　　　　； ②当点E在线段上运动时，点G是线段的“关联点”，直接写出点G的横坐标t的取值范围； （2）点F在四边形的边上运动（点F不与点A重合），点，点，若线段上存在线段的“关联点”，直接写出h的取值范围． 【答案】（1）①；②或； （2） 【解析】 【分析】（1）①先画图，直接按照相定义进行计算判断即可；②如图，作的垂直平分线交轴于，交于，过作轴，交垂直平分线于，过作轴的平行线交于，证明为的关联点，为的关联点，再证明，可得，再进一步解答即可； （2）如图，证明四边形为正方形，可得的关联点是以为对角线的正方形的另外两个顶点，当最上方的顶点与重合时，；当过时，则，可得，从而可得答案. 【小问1详解】 解：①如图， ∵，， ∴， ∴， ∴是的关联点， 同理可得：是的关联点，不是的关联点， ②如图，作的垂直平分线交轴于，交于，过作轴，交垂直平分线于，过作轴的平行线交于， ∵，，， ∴设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，而， ∴， 设的解析式为， ∴， 解得：， ∴为：， 如图，直线：；， ∴，， ∴ ， 解得：，即， 设直线为， ∴， 解得：， ∵，结合上面推导可得：为， 把代入可得：， ∴为， 当时，， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴为的关联点， 同理可得：为的关联点， ∴，四边形为正方形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时的横坐标为， 当与重合，的横坐标为， 当与重合，的横坐标为， ∴当点E在线段上运动时，点G是线段的“关联点”，点G的横坐标t的取值范围为或； 【小问2详解】 解：如图，∵，，，， 由四边形的对角线相等，互相垂直平分，可得 四边形为正方形， ∴的关联点是以为对角线的正方形的另外两个顶点， ∴当最上方的顶点与重合时，； 当过时，则， ∴， 解得：， ∴线段上存在线段的“关联点”，h的取值范围为：； 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$