第02讲 数轴、相反数和绝对值（4大知识点+17大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新七年级数学衔接讲义（人教版）

第02讲 数轴、相反数和绝对值（4大知识点+17大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 数轴的三要素及其画法 题型二 用数轴上的点表示有理数 题型三 利用数铀比较有理数的大小 题型四 数轴上两点之间的距离 题型五 数轴上的动点问题 题型六 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型七 相反数的定义 题型八 化简多重符号 题型九 相反数的应用 题型十 绝对值的意义 题型十一 求一个数的绝对值 题型十二 化简绝对值 题型十三 绝对值非负性 题型十四 绝对值方程 题型十五 绝对值的其他应用 题型十六 有理数大小比较 题型十七 有理数大小比较的实际应用 知识点01 相反数 1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0. 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. 3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数. （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点02 绝对值 1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. 2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 知识点03 利用绝对值比较大小 1.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 知识点04 数轴 1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 3.应用 ：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 【典型例题一 数轴的三要素及其画法】 1．（2023·河北衡水·二模）如图，，，，中有一个点在数轴上，请借助直尺判断该点是（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·贵州遵义·阶段练习）下列所示的数轴中，画得正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·全国·课前预习）规定了 、 和 的 叫数轴． 4．（22-23七年级上·全国·课后作业）如图，是数轴的有 个． ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 5．（22-23七年级上·全国·课前预习）画数轴： ①画一条直线（一般水平方向），标出一点为原点，在原点下边标上“O”． ②规定正方向（一般规定从原点向右的方向为正），用箭头表示． ③选择适当的长度为单位长度． 6．（2023七年级·全国·专题练习）观察下列图形，指出哪条数轴画得正确，其余错在哪里？ 【典型例题二 用数轴上的点表示有理数】 1．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期中）如图，数轴上表示的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（23-24七年级上·河南郑州·期中）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）在□里填上合适的数．    4．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）点A是数轴上的一个点，将点A向左移动1个单位，再向右移动5个单位，终点恰好是原点，则点A表示的数是 ． 5．（23-24七年级上·广东东莞·期中）在数轴上画出表示下列各数的点：，0，2，，． 6．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）如图，点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，，．若点C表示的数为，则点B表示的数为多少？ 【典型例题三 利用数铀比较有理数的大小】 1．（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）点A，B在数轴上的位置如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．点A表示的数是负数 B．点B表示的数是负数 C．点A表示的数比点B表示的数大 D．点B表示的数比小 2．（22-23九年级下·江西景德镇·阶段练习）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为 （    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·全国·课前预习）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的 ；正数大于 ，负数小于 ，正数大于一切 ． 4．（22-23七年级上·广东梅州·期末）如图所示在数轴上的点A对应的数为a，B对应的数为b，则a，b与0的大小关系为 < 0 < ． 5．（23-24六年级上·山东烟台·期中）画出数轴，把下列各数：，，， ，表示在数轴上，并用“＜”把各数连接起来． 6．（23-24七年级上·云南昆明·期中）把下列各数表示在数轴上，比较各数大小，并用“＜”连接． ，，，，1，0． 【典型例题四 数轴上两点之间的距离】 1．（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）在数轴上，表示的点与表示6的点之间的距离是（    ） A．7个单位长度 B．5个单位长度 C．8个单位长度 D．16个单位长度 2．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）在数轴上，到表示的点的距离等于6的点表示的数是（　　） A．5 B． C．5或 D． 3．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）数轴上表示数和表示数的两点之间的距离是 ． 4．（23-24七年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1厘米）．若数轴上点和点刚好对着刻度尺上的刻度和刻度，且这两点到原点的距离相等，则数轴上原点对着直尺上的刻度是    5．（22-23七年级上·湖南益阳·阶段练习）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是．    (1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算的值；若以C为原点，又是多少？ (2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且，求． 6．（22-23七年级·湖南长沙·阶段练习）同学们知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求 ； (2)若，则 ； (3)请你找出所有符合条件的x，使得（直接写出答案）． 【典型例题五 数轴上的动点问题】 1．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）蚂蚁从数轴上的点出发爬了个单位长度到了原点，则点所表示（ ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·福建南平·期中）如图，半径为1的圆从表示2的点A开始沿着数轴向左滚动一周，滚动一周后到达点B，则点B表示的数是（   ） A．－2π B．2－2π C．2π－2 D．2－π 3．（22-23七年级上·河南商丘·期中）数轴上一点表示的数为-3，将点向右移动5个单位长度得到点，则点表示的数为 ． 4．（22-23七年级上·湖南·阶段练习）数轴上点 A 对应的数是-1，一只小虫从点 A 出发沿着数轴的正方向爬行，速度为每秒钟爬行 1 个单位，当它爬行至 B 点时刚好用了 3 秒钟，直接写出数轴上点 B 对应的数为 . 5．（22-23七年级上·辽宁大连·期末）如图，数轴上A、B两点对应的数分别为6和10．点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒． （1）线段AB的长度是_______，点Q对应的数是_______； （2）当点P、Q重合时，求t的值； （3）当时，求t的值． 6．（22-23七年级上·福建南平·期中）如图，在数轴上，点A、B、C表示的数分别为－2、1、6（点A与点B之间的距离表示为AB）． （1）AB= ，BC= ，AC= ． （2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：2BC－AC的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求其值． （3）若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．求随着运动时间t的变化，AB、BC、AC之间的数量关系． 【典型例题六 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 1．（2023·福建龙岩·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子错误的是（　　） A．ab＜0 B．a+b＞0 C．＜﹣1 D．|a|＞b 2．（22-23七年级上·四川内江·阶段练习）有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示：则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·山东·期中）有理数a，b，c在数轴上所表示的点如图所示，请在空格处填上“<”或“>”： 0 4．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）已知数的大小关系如图所示，则下列各式： ①，②，③，④， ⑤，其中正确的有 ．（请填写序号） 5．（22-23七年级下·全国·单元测试）实数a、b在数轴上的对应位置如图所示，化简|2a﹣b|﹣|b﹣1|+|a+b|． 6．（22-23七年级上·山东滨州·阶段练习）有理数a,b,c在数轴上的对应点如图所示. （1）在横线上填上“＞”或“＝”或“＜”： a 0,a-b 0,. （2）在数轴上标出表示有理数-a,-b,-c的点； （3）用“＞”把a,b,c,-a,-b,-c连接起来. 【典型例题七 相反数的定义】 1．（2024·江苏南京·三模）实数2023的相反数是（　　） A． B． C． D．2023 2．（2024·江西九江·二模）如图，这是小甲同学和小乙同学的对话． 小乙同学提出的问题的答案为（    ） A．2024 B． C． D． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）的相反数是 ． 4．（23-24七年级上·河南信阳·开学考试）已知a是的相反数，b比最小的正整数大4，c是相反数等于它本身的数，则的值是 ． 5．（2023七年级·江苏·专题练习）去括号求值：﹣（+3.5）． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确： (1)是相反数； (2)是相反数； (3)3是的相反数； (4)与互为相反数． 【典型例题八 化简多重符号】 1．（2023七年级上·浙江·专题练习）化简的结果为（　　） A． B．0 C．1 D．2 2．（22-23七年级上·福建福州·阶段练习）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）化简的结果是 ． 4．（22-23七年级上·青海海东·期中）化简： = ； = ； = ； 5．（2023七年级·全国·专题练习）在一个数前面加上“－”号表示求这个数的相反数，如果在这些数前面加上“＋”号呢？ 6．（2023七年级·全国·专题练习）化简下列各数： (1)﹣（+54）； (2)﹣（﹣13.2）； (3)﹣（+）； (4)﹣（﹣3）． 【典型例题九 相反数的应用】 1．（22-23七年级上·广西南宁·期中）一个数和它的相反数相等，则这个数是（   ） A．0 B．1 C．-1 D． 2．（22-23七年级上·江苏徐州·阶段练习）若的值与互为相反数，则的值是 （   ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·广东东莞·阶段练习）已知与2互为相反数，则 ． 4．（22-23七年级上·四川资阳·期末）如图，数轴上A、B两点表示的数互为相反数，且点A与点B之间的距离是5个单位长度，则点A表示的数是 ． 5．（22-23七年级上·福建厦门·期中）已知与互为相反数，求的值. 6．（22-23六年级上·山东·课后作业）如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上． （1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为　 　； （2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为　 　； （3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置． 【典型例题十 绝对值的意义】 1．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）已知点A，点B在数轴上对应的数a，b的位置如图所示，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 2．（23-24七年级上·广西河池·期末）若，则等于（   ） A． B．7 C． D．0 3．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）若，则a的值为 ． 4．（23-24七年级上·山东济宁·期中）学习绝对值后，我们知道，在数轴上分别表示有理数a、b的A、B两点之间的距离可以表示为．例如在数轴上表示和2的两点之间距离可以用的方式求出．根据以上结论，可以看成在数轴上表示x的点与表示的点之间的距离；当时，我们可以进一步确定x的值为 ． 5．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，求x的值． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）绝对值是4的数有几个？各是什么？ （2）绝对值是0的数有几个？各是什么？ （3）是否存在绝对值是的数？为什么？ 【典型例题十一 求一个数的绝对值】 1．（2023·北京房山·一模）的绝对值为（  ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，某葡萄采摘园采摘了A、B、C、D四筐葡萄，每筐葡萄以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，其中最接近标准质量的葡萄是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·山东德州·期末）已知，且，则 ． 4．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）比较大小： ．（填“”“”或“”） 5．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）把下列各数填入相应的集合内．，，，，，， 正整数集合{                    …} 分数集合{                       …} 非正数集合{                   …} 6．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）在数轴上表示下列各数1.5，0，，，，并用“＜”号把它们连接起来． 【典型例题十二 化简绝对值】 1．（22-23七年级上·山东德州·阶段练习）在下列选项中，能说明等式“”不成立的例子是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·河南周口·期中）下列各式正确的是（    ） A．|﹣5|＝﹣5 B．﹣|5|＝5 C．|5|＝±5 D．|﹣5|＝|5| 3．（23-24七年级上·海南·期末）当时，化简 ． 4．（23-24七年级上·广东深圳·期中）a、b、c位置如图，则 ． 5．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）已知a，b互为相反数，且，求b的值． 6．（23-24七年级上·重庆潼南·期中）阅读理解 在学习绝对值后，可以理解为有理数5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离．因为有理数5和2在数轴上对应的两点之间距离为3，所以．数7和之间的距离可以表示为，表示数到的距离． (1)在数轴上，点、分别表示数a、b，之间的距离为：______． (2)在数轴上，点为，点到点的距离为5，求点表示的数，请运用以上知识解答． (3)根据阅读理解，填空 ①的最小值是______． ②当______时，． 【典型例题十三 绝对值非负性】 1．（22-23七年级上·山东日照·期末）已知：，则方程的解为（    ） A．－3 B．0 C．6 D．9 2．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．-2 D．-1 3．（23-24七年级上·湖北·周测）的最小值是 ；此时 ． 4．（22-23七年级上·广东梅州·阶段练习）若，则 ， ． 5．（22-23七年级上·甘肃武威·阶段练习）已知|x﹣2|+|y+2|＝0，求x，y的值． 6．（22-23七年级上·湖南永州·阶段练习）（1）已知|x5| + | y4|=0，求x，y的值.     （2）已知a、b互为相反数，| c2021|=0，求a+b+c的值． 【典型例题十四 绝对值方程】 1．（22-23七年级上·贵州铜仁·期中）若|a|=3，，则a=（       ） A．3 B．-3 C． D． 2．（22-23七年级·全国·假期作业）若，则x的值是(     ) A． B．4 C．4或 D．不确定 3．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）若，则的值为 ． 4．（22-23七年级上·全国·课后作业）小明计算：，其中“*”是被污染看不清楚的一个数，他翻开答案知道该题计算结果是6，那么“*”表示的数是 ． 5．（2023七年级上·江苏·专题练习）解方程：． 6．（2023七年级上·全国·专题练习）先阅读，后解题： 符号表示的绝对值为2，表示的绝对值为2，如果那么或． 若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或，利用上面的知识，解方程：． 【典型例题十五 绝对值的其他应用】 1．（22-23七年级上·山西太原·阶段练习）浑源凉粉是山西省大同市浑源县的一道特色小吃，现有4袋浑源凉粉，每袋以425克为标准，超过的克数记为正数，不足的克数记为负数，以下数据是记录结果，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，检测四个“足球世界杯”的比赛用球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的用球是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（22-23七年级上·全国·课后作业）若a≠0，b≠0，c≠0，求的可能值为 ． 4．（22-23七年级上·北京海淀·期末）厂家检测甲、乙、丙、丁四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是 ． 5．（2023七年级上·全国·专题练习）一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 6．（22-23七年级上·河南新乡·阶段练习）已知零件的标准直径是，超过标准直径的数量记作正数，不足标准直径的数量记作负数，检验员抽查了五件样品，检查结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径（） （1）指出哪件样品的直径最符合要求； （2）如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间是次品，误差的绝对值超过是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品？ 【典型例题十六 有理数大小比较】 1．（2024·浙江杭州·二模）下列实数比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁葫芦岛·二模）下列四个数中，最小的数为（    ） A． B．3 C． D．0 3．（23-24七年级上·山东滨州·期末）比较大小 ．（填“>、<、=”） 4．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）在π，，，，3．141，中，最大的数是 5．（23-24七年级上·广东韶关·期中）请你把，，，，0按从小到大的顺序在图中串成糖葫芦状．（数写在○内的横线上）    6．（22-23六年级上·上海静安·期中）小杰自行车上的一个螺帽松了，他准备用扳手紧一下．他拿了一套扳手，它们的尺寸大小分别是：，，，，，．小杰用的扳手太小，用的扳手紧太大，那么小杰可以选择的扳手还有几把？分别是哪几把？ 【典型例题十七 有理数大小比较的实际应用】 1．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）某一天，北京、上海、深圳、西峰四个城市的最低气温分别是，，，．这四个城市中，这天气温最低的城市是（   ） A．北京 B．上海 C．深圳 D．西峰 2．（23-24七年级上·山东济南·期末）下表是我国四个城市某一天的平均气温： 城市 北京 哈尔滨 济南 上海 气温（） 2 其中平均气温最低的城市是（    ） A．北京 B．哈尔滨 C．济南 D．上海 3．（22-23七年级上·福建三明·期中）大于﹣1.9的负整数是 ． 4．（22-23七年级上·全国·课后作业）据中央气象台今年1月8日的预报，下列四个地区的最低气温分别是：哈尔滨－11 ℃，杭州6 ℃，兰州－5 ℃，海口27 ℃，则其中气温最高的地区是 ，气温最低的地区是 ． 5．（22-23七年级上·广东·期中） 某条河河流目前的水位是4.5m，超过警戒线1.5m，预测未来3天平均每天下降0.55m. 试问预计3天后该河流的水位线是多少米？是否已低于警戒线？ 6．（22-23七年级·浙江杭州·期末）出租车司机小傅某天下午营运全是在东西走向的大道上行驶的．若如果规定向东为正，则行车里程（单位：km）如下： ＋11，－2，＋3，＋10，－11，＋5，－15，－8 （1）当把最后一名乘客送到目的地时，小傅距离出车地点的距离为多少？ （2）若每千米的营运额为7元，成本为1．5元/km，则这天下午他盈利多少元？ 【变式训练1 数轴的三要素及其画法】 1．（23-24七年级上·广西南宁·期中）下列是四位同学画的数轴，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广西钦州·期中）下列选项中，数轴表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（22-23七年级上·湖南永州·阶段练习）数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴.（填数轴的三要素） 4．（22-23七年级上·全国·课前预习）画一条水平 ，在直线上取一点，表示 （叫做 ），选取某一适当长度为 ，规定直线上向 的方向为 ，就得到一条数轴． 5．（22-23七年级上·山东菏泽·期中）请补全数轴，并用数轴上的点表示下列各数，然后按照由小到大的顺序用“”把它们连接起来． ，，－2.5，，－1． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，2.5，3，，0，，． 【变式训练2 用数轴上的点表示有理数】 1．（23-24六年级上·山东泰安·期末）A为数轴上表示的点，将点A沿数轴移动5个单位长度到点B，点B所表示的数为（    ） A． B．或7 C．或3 D．3 2．（22-23七年级上·浙江湖州·期中）下面的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数有（    ）个． A． B． C．9 D．8 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）写出一个“数轴上到原点的距离小于3的点”表示的有理数： ． 4．（23-24六年级上·山东烟台·期末）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆周上4等分点处分别标上数字0、1、2、3，让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示数的点对应圆周上的数字是 ． 5．（22-23七年级上·江西宜春·期中）将下列各数在给出的数轴上表示出来，并用“”把它们连接起来． ，0，，，． 6． （24-25七年级上·全国·假期作业）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”连接：，，，，，． 【变式训练3 利用数铀比较有理数的大小】 1．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）有理数a，b，c在数轴上所对应的点的位置如图所示，则下列关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·新疆喀什·阶段练习）如图，a与b的大小关系是（   ）    A． B． C． D．不能确定 3．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，比较大小：a ．（填“＞”“＜”“＝”） 4．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）两个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．(填“”、“”或“”)    5．（2024六年级下·上海·专题练习）为庆祝中华人民共和国成立74周年，某校举行一场文艺汇演，汇演中途设置了一个有奖问答环节，题目在背景屏幕上显示如图： 7． （23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）已知数轴上表示数的点与表示数的点之间得到距离为，表示数的点与表示数的点之间的距离为，求，两点之间的距离． 【变式训练4 数轴上两点之间的距离】 1．（22-23七年级上·四川眉山·期中）点A为数轴上表示的点，将点A沿数轴移动4个单位长度得到点B，点B表示的数为（     ） A．2 B． C．2或 D． 2．（23-24七年级上·浙江·期末）如图，数轴上A点所表示的数是，B点所表示的数是3，则线段的中点所表示的数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．1.5 3．（2024六年级下·上海·专题练习）在数轴上表示的点，沿数轴正方向移动个单位，移动后的点所对应的有理数是 ． 4．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）如图，数轴上点为原点，点，分别表示数，2，则线段的长度为 ． 5．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中点C为原点，A、D所对应的数分别为、1．B与D两点间的距离是3．在图中标出点B，C的位置，并写出点B对应的数． 6．（23-24七年级上·广西玉林·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图，且．    (1) _______0， _______0， ______0（请用“”或“”填空）； (2)化简：． 【变式训练5 数轴上的动点问题】 1．（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）点M在数轴上运动，先向右移动7个单位长度，再向左移动4个单位长度，此时正好在原点处，M开始运动时表示的数是（　　） A．3； B．-3； C．-10； D．10； 2．（22-23九年级下·江苏淮安·期中）如图，在数轴上，点A表示的数是4，将点A沿数轴向左移动a（）个单位长度得到点P，则点P表示的数可能是（    ）    A．0 B． C．0.5 D．2 3．（22-23七年级上·湖北武汉·阶段练习）点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动6个单位，再向左移动7个单位，终点恰好是原点，则点A最初表示的数是 ． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）在数轴上，点从某点表示的数是开始移动，先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度，最后到达点表示的数是 ． 5．（23-24七年级上·河南周口·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．那么在数轴上表示A、B两点之间的距离记为，请你利用数轴回答问题：    (1)在数轴上，如果表示的是，表示的是3，求两点之间的距离． (2)分别用字母表示数轴上m和2两点之间的距离以及n和两点之间的距离． (3)判断正负，用“＞”或“＜”填空：______0，______0，______0． 6．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“＜”号连接起来： ，， ，0，， 【变式训练6 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 1．（23-24七年级上·广东深圳·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（　　）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东茂名·期中）有理数a、b的对应点在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，则 0（填“” “” “”）． 4．（22-23七年级上·重庆渝北·期末）已知A，B，C三点在数轴上对应的数为a，b，c，它们在数轴上的位置如图所示，化简： ． 5． （23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）已知a，b互为相反数，且，求b的值． 6． （22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）设a，b在数轴上表示的实数到原点的距离相等，且位于原点的两侧，c，d互为倒数，e的绝对值为1，请求出下列代数式的值：2a+2b﹣+e． 【变式训练7 相反数的定义】 1．（2024·山东济宁·一模）相反数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·二模）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．请问的相反数是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）已知a，b互为相反数，则 ． 4．（22-23七年级上·甘肃平凉·阶段练习）已知，那么的相反数是 ；已知，则a的相反数是 ． 5．（22-23七年级上·北京·阶段练习）已知|a|＝3，|b|＝3，a、b异号，求a+b的值． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练8 化简多重符号】 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）等于（    ） A．2024 B． C． D． 2．（2023·吉林松原·三模）化简的结果为（　　） A． B． C．0 D．2 3．（22-23七年级上·广东深圳·期末）化简： ． 4．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）化简： ， ． 5．（23-24七年级上·全国·课堂例题）化简下列各数． ． 6．（23-24七年级上·新疆喀什·期中）如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 【变式训练9 相反数的应用】 1．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）若a与是互为相反数，则a的值为（） A．0 B． C．3 D． 2．（22-23七年级上·河北沧州·期末）m与互为相反数，则m的值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）若a，b互为相反数，则 ． 4．（22-23七年级上·重庆綦江·阶段练习）已知与的值互为相反数，则x的值为 ． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）如果一个数的绝对值等于，则这个数是 ． 6．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 【变式训练10 绝对值的意义】 1．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）如果，那么的取值范围是（    ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 2．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上表示的点A到原点的距离是（　　） A． B．3 C． D． 3．（22-23七年级·浙江温州·阶段练习）绝对值小于的所有整数有 个． 4．（23-24七年级上·福建厦门·期末）有理数b，在数轴上的对应点的位置如图中黑点所示，若整数a满足，则整数a的值可以是 ．（写出一个满足题意的具体数值）    5．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）把下列各数序号填入相应的类别中． ①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨． 自然数：{                           } 正分数：{                           } 负整数：{                           } 负有理数：{                           } 7． （22-23七年级上·浙江·阶段练习）请你在数轴上表示下列有理数：，，，，，并将这些数用“<”连接起来． 【变式训练11 求一个数的绝对值】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）的绝对值是（    ） A． B． C． D．23 2．（2024·江苏泰州·一模）等于（   ） A． B．4 C． D．2 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）化简： ； ； ． 4．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）的相反数是 ；的绝对值是 ． 5．（23-24六年级上·山东东营·阶段练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（23-24七年级下·全国·假期作业）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点分别表示数， 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，； 所以的最小值是． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： （1）的最小值是______； （2）当为何值时，代数式的最小值是． 【变式训练12 化简绝对值】 1．（22-23七年级上·全国·单元测试）若，则等于（ ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·山西朔州·期末）的相反数是（    ） A．2023 B． C． D．不能确定 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）化简： ． 4．（22-23七年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）化简： ①+（+2）=_________； ②－（+6）=_________； ③_________； ④_________． 5． （24-25七年级上·全国·假期作业）若，求，的值． 6．（23-24七年级上·河南焦作·期中）已知：c是最小的两位正整数，且a、b、c满足，若a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点P为数轴上的一个动点，对应的数为x． (1)求A、C两点间的距离； (2)若P、B两点间的距离是8，求x的值． 【变式训练13 绝对值非负性】 1．（22-23七年级上·山东德州·阶段练习）若，则的值可以是（　　） A． B． C． D．1 2．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）如果，那么（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）已知，则 ． 4．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）已知a，b，c为的三边长，b，c满足，且a为2，则的周长为 ． 5．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，求x的值． 6．（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：    (1)表示数轴上________与________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数，使得．这样的整数有_ ____． (4)利用绝对值的几何意义，写出的最小值． 【变式训练14 绝对值方程】 1．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）若，则的值为（    ） A．1或11 B．1或 C．或11 D．或 2．（2023·陕西西安·模拟预测）如果，那么（    ） A． B．或2 C． D．2 3．（22-23七年级上·江苏常州·期中）若，则 ． 4．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）绝对值等于11的数是 5．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）阅读下面材料： 在数轴上2与所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与3所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与所对应的两点之间的距离为． 归纳：在数轴上点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离或． 回答下列问题： (1)数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为 ；数轴上表示数x和 的两点之间的距离表示为； (2)试说明当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，的值总是一个固定的值，并求出这个固定值． 6．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）[例读]表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离: 可以看做表示3与的差的绝对值.也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之向的距离. [探索] (1)数轴上表示4和的两点之间的距离是； (2)①若，则x＝_____； ②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和是多少？ 【变式训练15 绝对值的其他应用】 1．（22-23七年级上·河北保定·期末）如图，检测个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）一种大米每袋的标准质量为，下列选项记录了4袋大米的质量，不足的记为负数，超过的记为正数，则其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·江西·阶段练习）绝对值小于 3的整数有 个． 4．（22-23七年级上·浙江台州·期中）在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是 号排球． 排球编号 一号 二号 三号 四号 五号 检测结果 5．（22-23七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答：                                                             （1）如果将A点向右移动4个单位长度，表示什么数? （2）如果将点C向左移动3个单位长度，三个点中哪个点表示的数最大？是多少？ （3）如果点A、点B同时向右运动，点A的速度是2个单位/秒，点B的速度是1个单位/秒，问经过多长时间两点重合？ 6．（22-23七年级上·全国·阶段练习）如图，数轴上有三个点A、B、C，它们可以沿着数轴左右移动，请回答： （1）点A、B、C分别表示的数是______________________． （2）将点B 向右移动三个单位长度后到达点D，点D表示的数是_____________． （3）移动点A到达点E，使B、C、E三点的其中任意一点为连接另外两点之间线段的中点，请直接写出所有点A 移动的距离和方向． 【变式训练16 有理数大小比较】 1．（2024·广东梅州·一模）下列各数中最大的负数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南娄底·三模）下列各数中，最大的数是（  ） A． B．0 C．2 D．4 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用“”“”“”号填空： ． 4．（23-24七年级上·浙江·期末）比较大小： ． 5．（22-23七年级上·河北邢台·阶段练习）比较与 的大小， 6．（22-23七年级上·四川巴中·阶段练习）比较下列各对数的大小． (1)与； (2)与； 【变式训练17 有理数大小比较的实际应用】 1．（2024·湖南益阳·三模）2024年1月22~26日，某地连续5天的最低气温（单位：℃）分别为，2，3，其中最低的气温是（   ） A． B． C． D．3 2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）在物理实验室中，我们常使用天平称量物体的质量，天平初始游码位置在0刻度处．若还左边物体的质量为ag，右边砝码的质量为bg，下列四种情况中，表示的是（　　） A．   B．   C．   D．以上都不对 3．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）小明、小李和小凯三人读同一篇文章，小明用了小时，小李用了小时，小凯用了小时， 的阅读速度最快． 4．（23-24七年级上·广东广州·期末）检查5个足球的质量（克），把超过标准质量的克数记为正数，低于标准质量的克数记为负数，数据统计结果如下表： 足球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差（克） 则最接近标准质量的是 号足球．（只填写编号） 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）下表记录了某日我国几个城市的平均气温： 北京 西安 哈尔滨 上海 广州 （1）将各城市的平均气温从高到低进行排列； （2）在地图上找到这几个城市的位置，并将它们从北到南进行排列． 6．（22-23七年级上·陕西西安·期中）希望小学要买60个足球，现有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球单价都是30元，但各个商店的优惠办法不同： 甲店：全部打八折销售； 乙店：当购买足球不超过20个时，不打折；购买超过20个时，超过部分打六折； 丙店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送； 为了节省费用，希望小学应到哪个商店购买合算？为什么？ 1．（2024·江西赣州·二模）2024的相反数是（    ） A． B．2024 C．0 D． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图，明明不小心把一滴墨水洒在画好的数轴上，被墨水覆盖的数可能是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·北京门头沟·期末）有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，如果有理数b满足，那么b的值不可能是（    ） A．2 B．3 C． D． 4．（22-23七年级上·重庆·阶段练习）正式排球比赛对所用的排球质量是有严格规定的，现检查4个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果为：第一个克，第二个为克，第三个为克，第四个为克，则哪个排球质量最好（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 5．（22-23七年级上·河南濮阳·期末）下表是11月份某一天㜃阳市五县一区的平均气温： 区县 华龙区 台前县 清丰县 濮阳县 范县 南乐县 气温（） 0 濮阳市县区中该天平均气温最低的是（    ） A．华龙区 B．泌阳县 C．台前县 D．范县 6．（23-24七年级上·天津静海·阶段练习）化简下列各数： （） ；（） ；（） ． 7．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）若数轴上点A、B表示的两个数互为相反数，并且这两点间的距离是12，则该两点表示的数为 8．（23-24七年级上·云南昆明·期中）小明写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上（如图），请你判断墨迹盖住的整数有 个． 9．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，数轴上标出的所有点中，相邻两点间的距离都相等，已知点A表示，点表示8．点为数轴上一点，且表示的数是整数，点到A点的距离与到点的距离之和为24，则这样的点有 个． 10．（22-23七年级上·江苏徐州·期中）定义：若数轴上A、B两点分别对应数a、b，则 A、B两点之间的距离记作，且．根据图中信息，完成下列各题： （1） ； （2）若数轴上点P 对应数，则 ①当=时，= ； ②当取最小值时，的取值范围为 ； （3）求A、B、O、C、D这5个点中所有两点间的距离之和． 11．（2023七年级上·江苏·专题练习）解方程． 12．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）在数轴上表示：，，，，，并用“”号把它们连结起来． 13．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）化简 (1)； (2)； (3) (4) 14．（23-24七年级上·广东广州·期中）某人在距离超市3米的地方休息，5分钟后，他向右走了5米，又向左走了2米，如果把超市看作原点，此时，这个人处于什么位置？ 15．（22-23七年级上·广东江门·阶段练习）已知A、B在数轴上分别表示a，b． (1)对照数轴填写下表： a 6 －6 －6 －6 2 －1.5 b 4 0 4 －4 －10 －1.5 A、B两点的距离 (2)若A、B两点间的距离记为d，试问：d和a，b有何数量关系? (3)在数轴上找出所有符合条件的整数点P，使它到5和－5的距离之和为10，并求所有这些整数的和； (4)若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，取得的值最小? 最小值是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 数轴、相反数和绝对值（4大知识点+17大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 数轴的三要素及其画法 题型二 用数轴上的点表示有理数 题型三 利用数铀比较有理数的大小 题型四 数轴上两点之间的距离 题型五 数轴上的动点问题 题型六 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型七 相反数的定义 题型八 化简多重符号 题型九 相反数的应用 题型十 绝对值的意义 题型十一 求一个数的绝对值 题型十二 化简绝对值 题型十三 绝对值非负性 题型十四 绝对值方程 题型十五 绝对值的其他应用 题型十六 有理数大小比较 题型十七 有理数大小比较的实际应用 知识点01 相反数 1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0. 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. 3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数. （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点02 绝对值 1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. 2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 知识点03 利用绝对值比较大小 1.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 知识点04 数轴 1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 3.应用 ：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 【典型例题一 数轴的三要素及其画法】 1．（2023·河北衡水·二模）如图，，，，中有一个点在数轴上，请借助直尺判断该点是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的定义即可解答． 【详解】解：由规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，结合图形即可得出点在数轴上． 故选C． 【点睛】本题考查数轴的定义．掌握规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴是解题关键． 2．（22-23七年级上·贵州遵义·阶段练习）下列所示的数轴中，画得正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的三要素：原点，正方向，单位长度，即可解答． 【详解】解：A、没有正方向，故错误，不合题意； B、单位长度不一致，故错误，不合题意； C、符合数轴的定义，故正确，符合题意； D、负数排列顺序不正确，故错误，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的三要素是解题的关键． 3．（22-23七年级上·全国·课前预习）规定了 、 和 的 叫数轴． 【答案】 原点 正方向 单位长度 直线 【解析】略 4．（22-23七年级上·全国·课后作业）如图，是数轴的有 个． ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 【答案】1 【分析】根据数轴的定义和三要素逐一判断即可． 【详解】解：①不是数轴，没有正方向； ②不是数轴，没有单位长度； ③不是数轴，-1，-2，-3的位置错误； ④不是数轴，没有原点； ⑤不是直线； ⑥是数轴； 所以只有⑥是数轴，有1个． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了数轴的定义和三要素，熟练掌握数周的定义，以及三要素——原点、单位长度、正方向是解题的关键． 5．（22-23七年级上·全国·课前预习）画数轴： ①画一条直线（一般水平方向），标出一点为原点，在原点下边标上“O”． ②规定正方向（一般规定从原点向右的方向为正），用箭头表示． ③选择适当的长度为单位长度． 【答案】①见解析；②见解析；③见解析 【详解】解:作图如下： 6．（2023七年级·全国·专题练习）观察下列图形，指出哪条数轴画得正确，其余错在哪里？ 【答案】见解析 【分析】根据数轴三要素和画法解题即可． 【详解】解：D正确， A：没有原点，B：没有方向； C：单位长度不统一；E：负半轴数字倒置． 【点睛】本题考查数轴三要素及画法，画数轴时原点，正方向和单位长度缺一不可，且左边的数要比右边的小。单位长度的大小可以根据不同的需要选择． 【典型例题二 用数轴上的点表示有理数】 1．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期中）如图，数轴上表示的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【详解】解：在数轴上表示的点是N． 故选：D． 2．（23-24七年级上·河南郑州·期中）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，确定该数的取值范围即可求解． 【详解】解：设手掌遮挡住的点表示的数为， 由数轴可知， ∵ 故选：B 3．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）在□里填上合适的数．    【答案】 【分析】根据点在数轴上的位置，进行填写即可． 【详解】解：如图：    故答案为： 【点睛】本题考查用数轴表示有理数，熟练掌握数轴的三要素，以及数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键． 4．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）点A是数轴上的一个点，将点A向左移动1个单位，再向右移动5个单位，终点恰好是原点，则点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】向右移动，数变大；向左移动，数变小． 【详解】解：将原点先先向左移动5个单位，再向右移动1个单位即得到点A 故点A表示的数为： 故答案为： 【点睛】本题考查数轴上点的移动．抓住向右为数轴的正方向即可． 5．（23-24七年级上·广东东莞·期中）在数轴上画出表示下列各数的点：，0，2，，． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，根据正数在原点右边，负数在原点左边，0在原点上，即可解答，正确在数轴上表示出来有理数是解题的关键． 【详解】解：在原点左边， 0在原点上， 2在原点右边， 在原点左边， 在原点右边， 数轴如图所示： ． 6．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）如图，点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，，．若点C表示的数为，则点B表示的数为多少？ 【答案】6 【分析】本题考查数轴，根据题意可得点A表示的数为，又由即可得到点B表示的数． 【详解】∵，点C表示的数为， ∴点A表示的数为， ∵， ∴点B所表示的数为6． 【典型例题三 利用数铀比较有理数的大小】 1．（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）点A，B在数轴上的位置如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．点A表示的数是负数 B．点B表示的数是负数 C．点A表示的数比点B表示的数大 D．点B表示的数比小 【答案】C 【分析】由数轴可得点A表示的数小于点B表示的数小于0，据此判断即可． 【详解】由数轴可得，点A表示的数小于点B表示的数小于0， 故点A、点B表示的数都是负数，都小于0，故选项A、B、D正确； 点A在点B的左边，即点A表示的数比点B表示的数小，故选项C错误． 故选：C 【点睛】本题考查有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记数轴上右边的数大于左边的数． 2．（22-23九年级下·江西景德镇·阶段练习）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数轴可知遮盖的数大于小于，结合选项即可求解． 【详解】解：由图可知： 遮盖的数大于小于， ∴该数可能是， 故选D． 【点睛】本题考查数轴，熟练掌握数轴上数的特点，会比较有理数的大小是解题的关键． 3．（22-23七年级上·全国·课前预习）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的 ；正数大于 ，负数小于 ，正数大于一切 ． 【答案】 大 0 0 负数 【解析】略 4．（22-23七年级上·广东梅州·期末）如图所示在数轴上的点A对应的数为a，B对应的数为b，则a，b与0的大小关系为 < 0 < ． 【答案】 a b 【分析】根据数轴上点的位置进行判断，0的右边大于0，0的左边小于0，据此分析即可 【详解】解：∵在数轴上的点A对应的数为a，B对应的数为b， 点在原点的左侧，点在原点的右侧，正数大于负数， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了根据数轴判断有理数的大小，数形结合是解题的关键． 5．（23-24六年级上·山东烟台·期中）画出数轴，把下列各数：，，， ，表示在数轴上，并用“＜”把各数连接起来． 【答案】 ，数轴见解析 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小．从左往右，数轴上的数依次增大．化简各数后，表示在数轴上，即可比较大小． 【详解】解：，，，      由数轴可知： 6．（23-24七年级上·云南昆明·期中）把下列各数表示在数轴上，比较各数大小，并用“＜”连接． ，，，，1，0． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小； 根据数轴特点把各数表示在数轴上，然后根据数轴上右边的点表示的数总比左边的大用“＜”连接即可． 【详解】解：，， 在数轴上表示各数如图：    由数轴得：． 【典型例题四 数轴上两点之间的距离】 1．（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）在数轴上，表示的点与表示6的点之间的距离是（    ） A．7个单位长度 B．5个单位长度 C．8个单位长度 D．16个单位长度 【答案】A 【分析】根据数轴上两点间的距离，计算两点差的绝对值即可． 【详解】解：表示的点与表示6的点之间的距离是， 故选：A． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离公式，属于基础题，解题关键是理解题意． 2．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）在数轴上，到表示的点的距离等于6的点表示的数是（　　） A．5 B． C．5或 D． 【答案】C 【分析】根据数轴的特点，可以知道在数轴上与表示的点的距离等于6的点有两个，通过计算可以解答本题． 【详解】解：在数轴上表示到的点距离等于6的点所表示的数是： 或． 故选：C． 【点睛】本题考查数轴，解题的关键是明确数轴的特点，知道到一个点的距离相等的点有两个． 3．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）数轴上表示数和表示数的两点之间的距离是 ． 【答案】9 【分析】根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：数轴上两点分别用，表示， 在数轴上表示数和表示数的两点之间的距离． 故答案为：9． 【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离等于两点所表示的数的差的绝对值是解答此题的关键． 4．（23-24七年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1厘米）．若数轴上点和点刚好对着刻度尺上的刻度和刻度，且这两点到原点的距离相等，则数轴上原点对着直尺上的刻度是    【答案】 【分析】根据图示，数轴上两点之间到原点的距离的计算方法，两点之间的中点的计算方法即可求解． 【详解】解：∵点表示的数是，点表示的数是，这两点到原点的距离相等， ∴数轴上原点对着直尺上的刻度是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数轴上两点之间距离的计算方法，理解图示，掌握数轴上两点之间距离的计算，两点之间的中点的计算等知识是解题的关键． 5．（22-23七年级上·湖南益阳·阶段练习）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是．    (1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算的值；若以C为原点，又是多少？ (2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且，求． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据以为原点，则表示1，表示，进而得到的值；根据以为原点，则表示，表示，进而得到的值； （2）根据原点在图中数轴上点的右边，且，可得表示，表示，表示，据此可得的值． 【详解】（1）解：若以为原点，则点所对应的数为，点所对应的数为1， 此时，； 若以为原点，则点所对应的数为，点所对应的数为， 此时，； （2）解：原点在图中数轴上点的右边，且， 则点所对应的数为，点所对应的数为，点所对应的数为， 此时，． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及数轴的运用，解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． 6．（22-23七年级·湖南长沙·阶段练习）同学们知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求 ； (2)若，则 ； (3)请你找出所有符合条件的x，使得（直接写出答案）． 【答案】(1)6 (2)7或 (3) 【分析】（1）利用绝对值的意义去绝对值即可求解． （2）利用绝对值是意义去绝对值即可求解． （3）令，得：，令，得：，又，利用数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：6． （2）由得： 当时，解得：， 当时，解得：， 故答案为：7或． （3）令，得：， 令，得：， 又， 则，表示的是x到1和之间的距离之和， ． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 【典型例题五 数轴上的动点问题】 1．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）蚂蚁从数轴上的点出发爬了个单位长度到了原点，则点所表示（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：当蚂蚁向右爬行时，点所表示为-4； 当蚂蚁向左爬行时，点所表示为4， ∴点所表示为． 故选：A 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 2．（22-23七年级上·福建南平·期中）如图，半径为1的圆从表示2的点A开始沿着数轴向左滚动一周，滚动一周后到达点B，则点B表示的数是（   ） A．－2π B．2－2π C．2π－2 D．2－π 【答案】B 【分析】根据圆运动的方向、圆的周长以及点的位置，即可求解． 【详解】解：半径为1的圆，周长为，即 ∵点A表示的数为2，且点在点的左侧 ∴点B表示的数是 故选B． 【点睛】此题考查了用数轴表示数，解题的关键是根据题意求得两点之间的距离以及掌握数轴的有关性质． 3．（22-23七年级上·河南商丘·期中）数轴上一点表示的数为-3，将点向右移动5个单位长度得到点，则点表示的数为 ． 【答案】2 【分析】数轴上的点平移时数的大小变化规律：左减右加． 据此作答． 【详解】解：∵点表示数−3，将点向右移动5个单位长度得到点， ∴点表示的数为−3+5=2． 故答案为：2. 【点睛】本题考查了数轴，关键在于掌握数轴上的点平移时数的大小变化规律. 4．（22-23七年级上·湖南·阶段练习）数轴上点 A 对应的数是-1，一只小虫从点 A 出发沿着数轴的正方向爬行，速度为每秒钟爬行 1 个单位，当它爬行至 B 点时刚好用了 3 秒钟，直接写出数轴上点 B 对应的数为 . 【答案】2 【分析】在数轴上找到B点的位置，即可得到点 B 对应的数. 【详解】解：由题意可知，3秒钟爬行3个单位， 所以B点位置如图所示， 点 B 对应的数为2， 故答案为2. 【点睛】本题考查了数轴上点的移动，画出数轴，利用属性结合的思想解题更加直观. 5．（22-23七年级上·辽宁大连·期末）如图，数轴上A、B两点对应的数分别为6和10．点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒． （1）线段AB的长度是_______，点Q对应的数是_______； （2）当点P、Q重合时，求t的值； （3）当时，求t的值． 【答案】（1）4，6+t；（2）t=3；（3）当时，t的值为秒或秒． 【分析】（1）根据A、B两点表示的数，求出AB的长即可，然后根据Q的运动情况，得到Q表示的数即可； （2）分别表示出P、Q两点运动的距离，然后根据它们相遇时，P多走的距离为OA的长即可求解； （3）分P追上Q之前和之后两种情况讨论求解即可. 【详解】解：（1）数轴上A、B两点对应的数分别为6和10 ∴AB=10-6=4 ∵Q从A点出发，以每秒1个单位长度沿数轴正方向运动 ∴运动的距离=t ∴Q表示的数为：6+t； （2）∵PQ两点重合 ∴P多走的距离为OA的长 ∴3t-t=6 解得t=3 （3）当P追上Q之前， ∵，， ∴ 解得 当P追上Q之后 ∵，， ∴ 解得或（舍去） 综上：当时，t的值为或 【点睛】本题主要考查了数轴上点的运动问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 6．（22-23七年级上·福建南平·期中）如图，在数轴上，点A、B、C表示的数分别为－2、1、6（点A与点B之间的距离表示为AB）． （1）AB= ，BC= ，AC= ． （2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：2BC－AC的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求其值． （3）若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．求随着运动时间t的变化，AB、BC、AC之间的数量关系． 【答案】（1）3，5，8；（2）不会，理由见解析；（3）当t<1时，AB+BC=AC；当t大于或等于1，且t小于或等于2时，BC+AC=AB；当t>2时，AB+AC=BC 【分析】（1）根据点A、B、C在数轴上的位置，写出AB、BC、AC的长度； （2）求出BC和AC的值，然后求出2BC−AC的值，判断即可； （3）分别表示出AB、BC、AC的长度，然后分情况讨论得出之间的关系． 【详解】解：（1）由图可得，AB＝3，BC＝5，AC＝8， 故答案为：3，5，8； （2）2BC−AC的值不会随着时间t的变化而改变． 设运动时间为t秒， 则2BC−AC ＝2[6＋5t−（1＋2t）]−[6＋5t−（−2−t）] ＝12＋10t−2−4t−8−6t ＝2， 故2BC−AC的值不会随着时间t的变化而改变； （3）由题意得，AB＝t＋3， BC＝5−5t（t＜1时）或BC＝5t−5（t≥1时）， AC＝8−4t（t≤2时）或AC＝4t−8（t＞2时）， 当t＜1时，AB＋BC＝（t＋3）＋（5−5t）＝8−4t＝AC； 当1≤t≤2时，BC＋AC＝（5t−5）＋（8−4t）＝t＋3＝AB； 当t＞2时，AB＋AC＝（t＋3）＋（4t−8）＝5t−5＝BC． 【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是能求出两点间的距离． 【典型例题六 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 1．（2023·福建龙岩·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子错误的是（　　） A．ab＜0 B．a+b＞0 C．＜﹣1 D．|a|＞b 【答案】D 【分析】先由数轴可得：a＜0＜b，|a|＜|b|，则分别根据异号两数相乘得负、两数相加，取绝对值较大的加数的符号、异号两数相除得负，且商的大小与a，b两数的绝对值大小的关系作出判断． 【详解】由数轴可得：a＜0＜b，， A：ab＜0，正确； B：a+b＞0，正确； C：，正确； D：|a|＜b，故错误； 故只有D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴在实数运算中的应用，数形结合并明确相关计算法则，是解题的关键． 2．（22-23七年级上·四川内江·阶段练习）有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示：则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由数轴得出a，b的取值范围，再判定即可． 【详解】解：由数轴可得a＜-1＜0＜b＜1， ∴，，， 只有D正确， 故选D． 【点睛】本题主要考查了数轴，解题的关键是利用数轴得出a，b的取值范围． 3．（22-23七年级上·山东·期中）有理数a，b，c在数轴上所表示的点如图所示，请在空格处填上“<”或“>”： 0 【答案】> 【分析】根据数轴判断出三个字母表示的数的正负,再根据有理数的运算法则计算即可. 【详解】解:由图可得: ,,, 所以,, 所以. 故答案为: . 【点睛】本题考查了数轴上点所表示的数的大小与有理数的运算法则,熟练掌握两个知识点是解答关键. 4．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）已知数的大小关系如图所示，则下列各式： ①，②，③，④， ⑤，其中正确的有 ．（请填写序号） 【答案】②⑤ 【分析】首先判断出，再根据有理数的大小比较法则以及绝对值的性质等知识一一判断即可． 【详解】由题意， ∴①，错误； ②，正确； ③，错误； ④，错误； ⑤，正确； 综上，②⑤正确； 故答案为：②⑤ 【点睛】本题考查有理数的大小比较法则，绝对值等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5．（22-23七年级下·全国·单元测试）实数a、b在数轴上的对应位置如图所示，化简|2a﹣b|﹣|b﹣1|+|a+b|． 【答案】﹣3a﹣b+1． 【分析】根据题意可知a＜﹣2，b＞1，然后判断绝对值里式子的正负，再去绝对值即可. 【详解】解：根据题意可得：a＜﹣2，b＞1， ∴2a﹣b＜0，b﹣1＞0，a+b＜0， ∴|2a﹣b|﹣|b﹣1|+|a+b|， =﹣（2a﹣b）﹣（b﹣1）﹣（a+b）， =﹣2a+b﹣b+1﹣a﹣b， =﹣3a﹣b+1． 【点睛】本题考查实数与数轴，绝对值等，解此题的关键在于根据数轴上的点判断绝对值里式子的正负情况. 6．（22-23七年级上·山东滨州·阶段练习）有理数a,b,c在数轴上的对应点如图所示. （1）在横线上填上“＞”或“＝”或“＜”： a 0,a-b 0,. （2）在数轴上标出表示有理数-a,-b,-c的点； （3）用“＞”把a,b,c,-a,-b,-c连接起来. 【答案】（1）＜，＜，＞；（2）见解析（3）-c＞b＞-a＞a＞-b＞c. 【分析】（1）根据数轴得出c<a<0<b, a-b<0, |c|>|b|>|a|; （2）根据互为相反数的两个数在原点的两侧，并且到原点的距离相等画图即可； （3）根据数轴上右边的数总比左边的数大，判断大小即可． 【详解】解：（1）∵从数轴可知：a<0，a-b<0, |c|>|b|， 故答案为＜，＜，＞； （2）如图所示： ； （3）由（2）中的数轴可知：-c＞b＞-a＞a＞-b＞c. 【点睛】本题考查了数轴，绝对值等知识点，利用点在数轴上的位置来判断数的正负以及代数式的值的符号是解题关键． 【典型例题七 相反数的定义】 1．（2024·江苏南京·三模）实数2023的相反数是（　　） A． B． C． D．2023 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，熟记相反数的概念“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题关键． 【详解】解：实数2023的相反数是， 故选：A． 2．（2024·江西九江·二模）如图，这是小甲同学和小乙同学的对话． 小乙同学提出的问题的答案为（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一个数相反数的求法，求一个数的相反数就是在这个数的前面添加一个负号．直接根据相反数的意义进行解答． 【详解】解∶2024的相反数为， 故选∶B． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）的相反数是 ． 【答案】 【分析】利用相反数的定义计算． 【详解】解：的相反数为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义． 4．（23-24七年级上·河南信阳·开学考试）已知a是的相反数，b比最小的正整数大4，c是相反数等于它本身的数，则的值是 ． 【答案】25 【分析】，最小的正整数是1，相反数等于它本身的数是0，据此即可求解． 【详解】解： ∵a是的相反数， ∴； ∵最小的正整数是1，且b比最小的正整数大4， ∴； ∵相反数等于它本身的数是0， ∴． 故． 故答案为：25 【点睛】本题考查相反数的定义．熟记相关结论即可． 5．（2023七年级·江苏·专题练习）去括号求值：﹣（+3.5）． 【答案】﹣3.5 【分析】根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：﹣（+3.5）＝﹣3.5． 【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答本题的关键． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确： (1)是相反数； (2)是相反数； (3)3是的相反数； (4)与互为相反数． 【答案】(1)不正确 (2)不正确 (3)正确 (4)正确 【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”即可判断． 【详解】（1）根据相反数的定义，不能单独说一个数是相反数，故说法不正确； （2）根据相反数的定义，不能单独说一个数是相反数，故说法不正确； （3）根据相反数的定义，3是的相反数，说法正确； （4）根据相反数的定义，与互为相反数，说法正确； 【点睛】本题考查相反数的定义，属于基本概念题，熟练掌握相反数的定义是解决本题的关键． 【典型例题八 化简多重符号】 1．（2023七年级上·浙江·专题练习）化简的结果为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据去括号法则即可解答． 【详解】解：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了去括号法则，括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号． 2．（22-23七年级上·福建福州·阶段练习）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据化简多重符号的方法逐项判断即可求解． 【详解】解：A. ，原选项计算错误，不合题意； B. ，原选项计算正确，符合题意； C. ，原选项计算错误，不合题意； D. ，原选项计算错误，不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的多重符合化简，化简多重符号就是看数字前负号的个数，如果负号的个数是奇数个则最终符号为负号，如果负号个数为偶数个则最终符号为正号． 3．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）化简的结果是 ． 【答案】-2 【分析】根据去括号法则即可求得结果． 【详解】解：， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握和运用去括号法则是解决本题的关键． 4．（22-23七年级上·青海海东·期中）化简： = ； = ； = ； 【答案】 【分析】根据同号得正，异号得负化简即可 【详解】解： 故答案为：，， 【点睛】本题考查了双重符号的化简，掌握同号为正，异号为负是解题关键． 5．（2023七年级·全国·专题练习）在一个数前面加上“－”号表示求这个数的相反数，如果在这些数前面加上“＋”号呢？ 【答案】在一个数前面加上“＋”仍表示这个数，“＋”号可省略 【分析】根据多重符号的化简进行判断求解即可． 【详解】解：由题意，得 在一个数前面加上“＋”仍表示这个数，“＋”号可省略． 【点睛】本题主要考查了多重符号的化简，正确理解是解决问题的关键． 6．（2023七年级·全国·专题练习）化简下列各数： (1)﹣（+54）； (2)﹣（﹣13.2）； (3)﹣（+）； (4)﹣（﹣3）． 【答案】(1)﹣54 (2)13.2 (3)﹣ (4)3 【分析】根据数字前边负号的个数得到化简结果． 【详解】（1）解：﹣（+54）＝﹣54； （2）﹣（﹣13.2）＝13.2； （3）﹣（+）＝﹣； （4）﹣（﹣3）＝3． 【点睛】此题考查了有理数符号的化简法则：一个有理数前边负号的个数是偶数时结果为正,负号的个数是奇数是结果为负，熟记法则是解题的关键． 【典型例题九 相反数的应用】 1．（22-23七年级上·广西南宁·期中）一个数和它的相反数相等，则这个数是（   ） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】A 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【详解】0的相反数等于0， 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2．（22-23七年级上·江苏徐州·阶段练习）若的值与互为相反数，则的值是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用互为相反数的两数之和为零，即可得出答案． 【详解】∵（a+3）的值与4互为相反数，∴a+3+4=0，解得：a=﹣7． 故选A． 【点睛】本题考查了相反数的定义，正确把握定义是解题的关键． 3．（22-23七年级上·广东东莞·阶段练习）已知与2互为相反数，则 ． 【答案】1 【分析】根据“与2互为相反数”，得到关于m的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：∵与2互为相反数， ∴2m-4+2=0， 解得：m=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和相反数，正确掌握相反数的定义和一元一次方程的解法是解题的关键． 4．（22-23七年级上·四川资阳·期末）如图，数轴上A、B两点表示的数互为相反数，且点A与点B之间的距离是5个单位长度，则点A表示的数是 ． 【答案】－2.5 【分析】根据相反数在数轴上的分布特点求解即可. 【详解】∵5÷2＝2.5，点A在原点的左边， ∴点A表示的数是－2.5， 故答案为－2.5. 【点睛】本题考查了相反数的几何意义，在数轴上，表示互为相反数的两个点，分别位于原点的两旁，并且它们与原点的距离相等. 5．（22-23七年级上·福建厦门·期中）已知与互为相反数，求的值. 【答案】5 【分析】根据互为相反数的两个数之和为0，得出方程，解出即可. 【详解】解：由题意得 化简得 解得 所以的值为5. 【点睛】本题考查相反数的性质，根据性质列出方程是关键. 6．（22-23六年级上·山东·课后作业）如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上． （1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为　 　； （2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为　 　； （3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置． 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析 【详解】【分析】（1）（2）根据相反数的定义可求原点； （3）根据相反数的定义可求原点，再在数轴上表示出原点O的位置即可． （1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为B； （2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为C； （3）如图所示： 故答案为：B；C． 【典型例题十 绝对值的意义】 1．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）已知点A，点B在数轴上对应的数a，b的位置如图所示，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】此题考查了数的大小比较方法，绝对值的含义，直接利用绝对值的含义逐一分析即可． 【详解】解：由图可知，，，且， 故选：C． 2．（23-24七年级上·广西河池·期末）若，则等于（   ） A． B．7 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据求一个数的绝对值进行作答即可． 【详解】解：若，则， 故选：A． 3．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）若，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的求解，解答的关键是熟悉绝对值的定义； 根据绝对值的定义求解即可； 【详解】 ， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·山东济宁·期中）学习绝对值后，我们知道，在数轴上分别表示有理数a、b的A、B两点之间的距离可以表示为．例如在数轴上表示和2的两点之间距离可以用的方式求出．根据以上结论，可以看成在数轴上表示x的点与表示的点之间的距离；当时，我们可以进一步确定x的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查数轴与绝对值的意义，能够根据已知将数轴与绝对值结合，是解题关键． 数轴上与的距离是7的点为2或； 【详解】解：根据题意，，即和的距离为7个单位， 数轴上与的距离是7的点为2或； 故答案为：2或． 5．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，求x的值． 【答案】或 【分析】根据绝对值的意义，解绝对值方程即可． 【详解】解：， ∴或 ∴或． 【点睛】本题考查解绝对值方程．熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）绝对值是4的数有几个？各是什么？ （2）绝对值是0的数有几个？各是什么？ （3）是否存在绝对值是的数？为什么？ 【答案】（1）两个，4和；（2）一个，0；（3）不存在，理由见解析 【分析】（1）根据绝对值的定义以及性质解决此题； （2）根据绝对值的定义以及性质解决此题； （3）根据绝对值的非负性解决此题． 【详解】解：（1）绝对值等于4的数有两个，分别是4和． （2）绝对值是0的数有一个，是0． （3）不存在绝对值是的数，理由：任意实数的绝对值大于或等于0，是非负数． 【点睛】本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义以及性质是解决本题的关键． 【典型例题十一 求一个数的绝对值】 1．（2023·北京房山·一模）的绝对值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值．熟练掌握绝对值是解题的关键． 根据绝对值的定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，的绝对值为， 故选：C． 2．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，某葡萄采摘园采摘了A、B、C、D四筐葡萄，每筐葡萄以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，其中最接近标准质量的葡萄是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴最接近标准质量的葡萄是A； 故选A． 3．（23-24七年级上·山东德州·期末）已知，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据题意得出或是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或 4．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，解题的关键是熟练掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】解：∵，，且， ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）把下列各数填入相应的集合内．，，，，，， 正整数集合{                    …} 分数集合{                       …} 非正数集合{                   …} 【答案】；， ，；，，， 【分析】本题考查了有理数的分类，化简绝对值，根据题意，将各数填入相应的集合内． 【详解】解： 正整数集合{ …} 分数集合{， ，…} 非正数集合{，，， …} 故答案为：；， ，；，，，． 6．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）在数轴上表示下列各数1.5，0，，，，并用“＜”号把它们连接起来． 【答案】数轴见解析，． 【分析】本题考查用数轴上的点表示数以及利用数轴比较大小．先将各数化简，然后在数轴上表示出来，再利用数轴法进行比较即可． 【详解】解：，， 在数轴上表示为， 用“”号把它们连接起来：． 【典型例题十二 化简绝对值】 1．（22-23七年级上·山东德州·阶段练习）在下列选项中，能说明等式“”不成立的例子是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0，逐一验证即可． 【详解】解：由题意可知，，说明的绝对值等于它的本身，这个数应该正数或者是0． A．是负数，绝对值等于它的相反数，符合题意； B．是正数，绝对值等于它的本身，不符合题意； C．0的绝对值是0，也是它的本身，不符合题意； D．的绝对值是，是它本身，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，熟记绝对值的性质是解题的关键，注意题目要求的是所给式子不成立的选项． 2．（22-23七年级上·河南周口·期中）下列各式正确的是（    ） A．|﹣5|＝﹣5 B．﹣|5|＝5 C．|5|＝±5 D．|﹣5|＝|5| 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质分别化简即可． 【详解】解：A. |﹣5|＝5，原式不正确； B.﹣|5|＝﹣5，原式不正确； C. |5|＝5，原式不正确； D. |﹣5|＝|5|，原式正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了绝对值的性质，正数和0的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数． 3．（23-24七年级上·海南·期末）当时，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的化简，先判断绝对值里的数为正数还是负数，再去绝对值符号进行化简． 【详解】解：∵， ∴， ； 故答案为：． 4．（23-24七年级上·广东深圳·期中）a、b、c位置如图，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的化简，关键是要找准绝对值号内数的符号． 根据a、b、c在数轴上的位置，可知其性质符号，然后利用绝对值的代数意义，去掉绝对号后进行运算即可． 【详解】解：, ， 5．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）已知a，b互为相反数，且，求b的值． 【答案】3或 【分析】本题考查相反数的定义，求解绝对值，根据相反数的定义可得，代入，分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴． ∵， ∴，，即． 当时，，得． 当时，，得． ∴b的值为3或． 6．（23-24七年级上·重庆潼南·期中）阅读理解 在学习绝对值后，可以理解为有理数5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离．因为有理数5和2在数轴上对应的两点之间距离为3，所以．数7和之间的距离可以表示为，表示数到的距离． (1)在数轴上，点、分别表示数a、b，之间的距离为：______． (2)在数轴上，点为，点到点的距离为5，求点表示的数，请运用以上知识解答． (3)根据阅读理解，填空 ①的最小值是______． ②当______时，． 【答案】(1) (2)或 (3)①30；②或25 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离及化简绝对值： （1）利用数轴上两点之间的距离公式即可求解； （2）利用数轴上两点之间的距离公式即可求解； （3）①表示到的距离与到的距离之和，则由数轴可得，当在和之间时，有最小值，利用两点间的距离公式即可求解； ②利用分类讨论：当时，当时，当时，去绝对值即可求解； 熟练掌握数轴上两点之间的距离及绝对值的意义，利用分类讨论思想及数形结合思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）设点表示，则 ， 或， 点表示的数为3或． （3）①如图：    表示到的距离与到的距离之和， 则由数轴可得，当在和之间时，有最小值， 最小值为：； ②当时，， 解得：； 当时，， 解得：（不符合题意）， 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或25． 【典型例题十三 绝对值非负性】 1．（22-23七年级上·山东日照·期末）已知：，则方程的解为（    ） A．－3 B．0 C．6 D．9 【答案】A 【分析】根据绝对值和偶次方不可能为负数，可得，，解得m、n的值，然后代入方程即可求解． 【详解】解：因为，且，， 所以，， 解得：m=2，n=1， 将m=2，n=1代入方程2m+x=n，得 4+x=1 移项，得：x=−3． 故选：A． 【点睛】此题主要考查学生对解一元一次方程和非负数的性质的理解和掌握，解答此题的关键是根据绝对值和偶次方不可能为负数，解得m、n的值． 2．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．-2 D．-1 【答案】C 【分析】先根据非负数的性质求得a，b的值，再把a，b的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴a+1=0，b-2=0， 解得a=-1，b=2， 把a=-1，b=2代入原式得：原式=-1×2=-2． 故选：C． 【点睛】本题考查非负数的性质：两个非负数的和为0，则这两个数均为0． 3．（23-24七年级上·湖北·周测）的最小值是 ；此时 ． 【答案】 2023 3 【分析】由，可知当即时，的值最小为2023，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴当即时，的值最小为2023， 故答案为：2023，3． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4．（22-23七年级上·广东梅州·阶段练习）若，则 ， ． 【答案】 / 5 【分析】根据绝对值的非负性进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，5． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，熟知几个非负数相加的结果为0，那么这几个非负数的值都为0是解题的关键． 5．（22-23七年级上·甘肃武威·阶段练习）已知|x﹣2|+|y+2|＝0，求x，y的值． 【答案】x=2，y=﹣2 【分析】直接利用绝对值的性质得出x，y的值，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：x﹣2＝0，y+2＝0， 解得x＝2，y＝﹣2． 所以x，y的值分别是2和﹣2． 【点睛】本题考查绝对值的性质，了解并能运用性质解题是关键． 6．（22-23七年级上·湖南永州·阶段练习）（1）已知|x5| + | y4|=0，求x，y的值.     （2）已知a、b互为相反数，| c2021|=0，求a+b+c的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据绝对值的非负性求得的值，即可求解； （2）根据相反数的定义，绝对值的非负性，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）∵a、b互为相反数，| c2021|=0， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，相反数的性质，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【典型例题十四 绝对值方程】 1．（22-23七年级上·贵州铜仁·期中）若|a|=3，，则a=（       ） A．3 B．-3 C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义解答． 【详解】解：∵||=3， ∴a=， 故选：C． 【点睛】此题考查绝对值的计算，正确掌握绝对值的定义是解题的关键． 2．（22-23七年级·全国·假期作业）若，则x的值是(     ) A． B．4 C．4或 D．不确定 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质，去绝对值符号，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴ ， x=，即x的值是4或． 故选C． 【点睛】本题考查绝对值，解题的关键是牢记绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． 3．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了解绝对值方程，解题的关键是熟知绝对值的定义． 4．（22-23七年级上·全国·课后作业）小明计算：，其中“*”是被污染看不清楚的一个数，他翻开答案知道该题计算结果是6，那么“*”表示的数是 ． 【答案】9或/或9 【分析】根据题意可得，解出即可． 【详解】解∶根据题意得：， ∴或， 解得：或． 故答案为：9或 【点睛】本题主要考查了绝对值方程，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 5．（2023七年级上·江苏·专题练习）解方程：． 【答案】无解 【分析】根据绝对值的意义，分四种情况进行讨论计算，即可得出答案． 【详解】解：当时，原方程变形为：， 整理，可得：，此等式不成立，故原方程无解； 当时，原方程变形为：， 解得：，故原方程无解； 当时，原方程变形为：， 解得：，故原方程无解； 当时，原方程变形为：， 整理，可得：，此等式不成立，故原方程无解， 综上所述，原方程无解． 【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握绝对值的意义．正数的绝对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0． 6．（2023七年级上·全国·专题练习）先阅读，后解题： 符号表示的绝对值为2，表示的绝对值为2，如果那么或． 若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或，利用上面的知识，解方程：． 【答案】或 【分析】注意互为相反数的两个数的绝对值相等． 【详解】解：移项得，， 根据绝对值的意义，得或， 解得或． 【点睛】本题考查了绝对值的概念，同时要注意两种情况，再熟练解方程即可． 【典型例题十五 绝对值的其他应用】 1．（22-23七年级上·山西太原·阶段练习）浑源凉粉是山西省大同市浑源县的一道特色小吃，现有4袋浑源凉粉，每袋以425克为标准，超过的克数记为正数，不足的克数记为负数，以下数据是记录结果，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断哪一袋的实际克数最接近标准克数，就是看哪一袋的质量与标准质量的差距最小，即看记录结果数据中哪个数的绝对值最小，据此求解即可． 【详解】 记录结果为的这袋实际克数最接近标准克数． 故选D． 【点睛】本题考查了绝对值的实际意义，掌握绝对值的意义解题的关键． 2．（22-23七年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，检测四个“足球世界杯”的比赛用球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的用球是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】计算4个足球超过或不足的克数的绝对值，根据绝对值最小的则最接近标准即可作出判断． 【详解】解：4个足球超过或不足的克数的绝对值为：3.5，4，0.8，0.5， 由于的绝对值最小，则此球最接近标准． 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的实际应用，理解题意是关键． 3．（22-23七年级上·全国·课后作业）若a≠0，b≠0，c≠0，求的可能值为 ． 【答案】3或1或-1或-3 【分析】根据题意分当a，b，c为三正时，当a，b，c为三负时，当a，b，c为两正一负时和当a，b，c为一正两负时这四种情况进行分析即可． 【详解】解：因为a≠0，b≠0，c≠0， 当a，b，c为三正时，， 当a，b，c为三负时，， 当a，b，c为两正一负时，， 当a，b，c为一正两负时，， 综上所述其值为3或1或-1或-3． 故答案为：3或1或-1或-3． 【点睛】本题考查绝对值和有理数运算，熟练掌握绝对值的性质和利用分类讨论思维进行分析是解题的关键． 4．（22-23七年级上·北京海淀·期末）厂家检测甲、乙、丙、丁四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是 ． 【答案】丁 【分析】求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵|+1.5|=1.5，|-3.5|=3.5， |+0.7|=0.7，|-0.6|=0.6， 0.6＜0.7＜1.5＜3.5， ∴从轻重的角度看，最接近标准的是丁． 故答案为：丁． 【点睛】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大． 5．（2023七年级上·全国·专题练习）一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 【答案】小虫一共可以得到108粒芝麻． 【分析】小虫一共得到的芝麻数与爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，因此只需要把每次爬行的距离的路程的绝对值相加得到爬行的总距离，最后求解芝麻数即可． 【详解】小虫爬行的总路程为： |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) 小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) 答：小虫一共可以得到108粒芝麻． 【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，解题的关键在于理解，小虫一共得到的芝麻数与爬行的方向无关，只与爬行的距离有关． 6．（22-23七年级上·河南新乡·阶段练习）已知零件的标准直径是，超过标准直径的数量记作正数，不足标准直径的数量记作负数，检验员抽查了五件样品，检查结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径（） （1）指出哪件样品的直径最符合要求； （2）如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间是次品，误差的绝对值超过是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品？ 【答案】（1）第4件样品的直径最符合要求；（2）第1，2，4件样品是正品；第3件样品为次品；第5件样品为废品． 【分析】（1）表中的数据是零件误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好； （2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，就可确定是正品、次品还是废品． 【详解】解：（1）∵， ∴第4件样品的直径最符合要求． （2）因为，．所以第1，2，4件样品是正品； 因为，所以第3件样品为次品； 因为，所以第5件样品为废品． 【点睛】考查了绝对值，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据． 【典型例题十六 有理数大小比较】 1．（2024·浙江杭州·二模）下列实数比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查有理数的大小比较：正数大于0,0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，熟练掌握有理数大小比较法则是解题的关键 【详解】解：A. ，故该项判断错误； B. ，故该项判断错误； C. ，故该项判断正确； D. ，故该项判断错误； 故选：C 2．（2024·辽宁葫芦岛·二模）下列四个数中，最小的数为（    ） A． B．3 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查有理数比较大下，根据正数大于0，0大于负数，进行判断即可． 【详解】解：∵； ∴最小的数为； 故选C． 3．（23-24七年级上·山东滨州·期末）比较大小 ．（填“>、<、=”） 【答案】> 【分析】本题考查了有理数大小比较．根据两个负数相比较，绝对值越大的数反而越小进行判断． 【详解】解：∵，， ∵， ∴． 故答案为：＞． 4．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）在π，，，，3．141，中，最大的数是 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，掌握比较大小的方法是解本题的关键． 【详解】解：因为， 所以， 所以最大的数是：， 故答案为： 5．（23-24七年级上·广东韶关·期中）请你把，，，，0按从小到大的顺序在图中串成糖葫芦状．（数写在○内的横线上）    【答案】；；0；； 【分析】根据比较有理数大小的方法，先比较5个数的大小，然后再填在横线上即可． 【详解】解：∵， ∴数写在○内的横线上，如图所示：    【点睛】本题主要考查了比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握有理数大小的比较方法． 6．（22-23六年级上·上海静安·期中）小杰自行车上的一个螺帽松了，他准备用扳手紧一下．他拿了一套扳手，它们的尺寸大小分别是：，，，，，．小杰用的扳手太小，用的扳手紧太大，那么小杰可以选择的扳手还有几把？分别是哪几把？ 【答案】三把， ，， 【分析】先通分，再比较分数大小即可求解； 【详解】解：，，，，，， ∵小杰用的扳手太小，用的扳手紧太大， 又∵ ， ∴小杰可以选择的扳手有：三把，分别是 ，，． 【点睛】本题主要考查有理数大小比较，正确通分是解题的关键． 【典型例题十七 有理数大小比较的实际应用】 1．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）某一天，北京、上海、深圳、西峰四个城市的最低气温分别是，，，．这四个城市中，这天气温最低的城市是（   ） A．北京 B．上海 C．深圳 D．西峰 【答案】A 【分析】本题考查比较有理数的大小， “正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，由此比较各数大小即可． 【详解】解：， 因此这天气温最低的城市是：北京， 故选A． 2．（23-24七年级上·山东济南·期末）下表是我国四个城市某一天的平均气温： 城市 北京 哈尔滨 济南 上海 气温（） 2 其中平均气温最低的城市是（    ） A．北京 B．哈尔滨 C．济南 D．上海 【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小比较的实际应用，根据正有理数大于0，0大于负有理数，负有理数比较大小，绝对值大的反而小，即可得出结果． 【详解】解：， 则哈尔滨的气温最低， 故选：B． 3．（22-23七年级上·福建三明·期中）大于﹣1.9的负整数是 ． 【答案】-1 【分析】根据两个负数比大小，绝对值越大的反而小确定结果. 【详解】解：大于﹣1.9的负整数是：﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】此题考查对于负整数概念的理解及两个负数的大小比较，掌握两个负数大小的比较法则是本题的解题关键. 4．（22-23七年级上·全国·课后作业）据中央气象台今年1月8日的预报，下列四个地区的最低气温分别是：哈尔滨－11 ℃，杭州6 ℃，兰州－5 ℃，海口27 ℃，则其中气温最高的地区是 ，气温最低的地区是 ． 【答案】 海口 哈尔滨 【分析】根据有理数大小比较的法则得出-11＜-5＜6＜27，求出即可． 【详解】∵−11<−5<6<27， ∴其中气温最高的地区是海口，气温低的地区是哈尔滨， 故答案为海口，哈尔滨. 【点睛】考查有理数大小比较的实际应用，掌握有理数大小比较的法则是解题的关键. 5．（22-23七年级上·广东·期中） 某条河河流目前的水位是4.5m，超过警戒线1.5m，预测未来3天平均每天下降0.55m. 试问预计3天后该河流的水位线是多少米？是否已低于警戒线？ 【答案】2.85米，已低于警戒线. 【分析】目前的水位的高度−未来3天下降的高度＝3天后该河流的水位线的高度，依此列式与警戒线比较即可． 【详解】解： 4.5−0.55×3 ＝4.5−1.65 ＝2.85（m）， 4.5−1.5＝3（m）， 2.85＜3， 故3天后该河流的水位线是2.85米，已低于警戒线． 【点睛】考查了有理数的混合运算和有理数大小比较，得到3天后该河流的水位线的高度是解题的关键． 6．（22-23七年级·浙江杭州·期末）出租车司机小傅某天下午营运全是在东西走向的大道上行驶的．若如果规定向东为正，则行车里程（单位：km）如下： ＋11，－2，＋3，＋10，－11，＋5，－15，－8 （1）当把最后一名乘客送到目的地时，小傅距离出车地点的距离为多少？ （2）若每千米的营运额为7元，成本为1．5元/km，则这天下午他盈利多少元？ 【答案】（1）距离出发地点7km（2）357.5元 【详解】试题分析：（1）可以把出车地看做0，然后根据题意列式，即可推出结果，（2）根据司机下午的总营运路程，由每千米的营运额为7元，成本为1．5元/km，推出每千米的盈利，用每千米的盈利乘以总营运路程即可推出这天下午他的总盈利． 试题解析：（1）＋11－2＋3＋10－11＋5－15－8＝－7 答：距离出发地点7km． （2）11＋2＋3＋10＋11＋5＋15＋8＝65 65×（7－1．5）＝357．5元 答：当天下午盈利357．5元． 考点：1．有理数的运算，2．绝对值 【变式训练1 数轴的三要素及其画法】 1．（23-24七年级上·广西南宁·期中）下列是四位同学画的数轴，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴的三要素和画法．掌握原点、正方向、单位长度称数轴的三要素是解题关键．根据三要素逐一分析即可． 【详解】解：根据原点、正方向、单位长度称数轴的三要素，即可知C选项正确． 故选：C． 2．（23-24七年级上·广西钦州·期中）下列选项中，数轴表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了数轴，掌握规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是关键； 根据数轴的定义可判断； 【详解】解：根据数轴的定义可得，数轴正确的是C， 故选：C． 3．（22-23七年级上·湖南永州·阶段练习）数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴.（填数轴的三要素） 【答案】 原点 正方向 单位长度 【分析】根据数轴的三要素填空即可． 【详解】解：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 故答案为：原点，正方向，单位长度． 【点睛】此题考查了数轴，属于基础知识，要记住：原点，正方向，单位长度被称为数轴的三要素． 4．（22-23七年级上·全国·课前预习）画一条水平 ，在直线上取一点，表示 （叫做 ），选取某一适当长度为 ，规定直线上向 的方向为 ，就得到一条数轴． 【答案】 直线 O 原点 单位长度 右 正方向 【解析】略 5．（22-23七年级上·山东菏泽·期中）请补全数轴，并用数轴上的点表示下列各数，然后按照由小到大的顺序用“”把它们连接起来． ，，－2.5，，－1． 【答案】补全数轴见解析； 【分析】把各点表示在数轴上，根据“在数轴上右边的数总比左边的数大”用“＜”号连接即可． 【详解】解：各数在数轴上表示如图所示， ∴ 【点睛】本题考查了数轴和有理数大小的比较，掌握借助数轴比较有理数大小的方法是解决本题的关键． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，2.5，3，，0，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，关键是正确在数轴上表示各数，（1）画数轴必须具备“三要素”，三者缺一不可；单位长度必须一致，不能长短不一；正方向向右；（2）用数轴上的点表示数时，注意数的符号和该数到原点的距离． 根据有理数的大小，在数轴上表示出各点即可． 【详解】解：如图： 【变式训练2 用数轴上的点表示有理数】 1．（23-24六年级上·山东泰安·期末）A为数轴上表示的点，将点A沿数轴移动5个单位长度到点B，点B所表示的数为（    ） A． B．或7 C．或3 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴，由于A移动的方向不确定，故分A点向右移动与向左移动两种情况分别解题即可． 【详解】解：解：A表示的数是，右移个单位，得； 点A表示的数是，左移个单位，得； 所以点B表示的数是或3， 故选C． 2．（22-23七年级上·浙江湖州·期中）下面的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数有（    ）个． A． B． C．9 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了数轴．熟练掌握数轴是解题的关键． 根据在数轴上表示有理数进行作答即可． 【详解】解：由数轴可知，被盖住的整数有，共9个， 故选：C． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）写出一个“数轴上到原点的距离小于3的点”表示的有理数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查数轴的上距离的相关知识，到原点的距离等于3的点所表示的有理数在原点左侧是，在右侧表示3，那么到原点的距离小于3的点所表示的有理数在和3之间． 【详解】解：到原点的距离小于3的点所表示的有理数是． 故答案为：． 4．（23-24六年级上·山东烟台·期末）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆周上4等分点处分别标上数字0、1、2、3，让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示数的点对应圆周上的数字是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了找到表示数的点与圆周上起点处表示的数字重合，是解题的关键． 由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3则分别与圆周上表示数字0，3，2，1的点重合． 【详解】解：∵， ， ∴数轴上表示数的点与圆周上表示的数字2重合，即与2重合． 故答案为：2． 5．（22-23七年级上·江西宜春·期中）将下列各数在给出的数轴上表示出来，并用“”把它们连接起来． ，0，，，． 【答案】，数轴见解析 【分析】该题主要考查了有理数大小比较，把各数在给出的数轴上表示出来是解题的关键；先把各数在数轴上表示出来，再从左到右用“”连接起来即可． 【详解】解：， 则， 用“”把它们连接起来如图． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”连接：，，，，，． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查有理数与数轴的关系，理解并掌握数轴上的点与实数一一对应的关系是解题的关键． 画出数轴，在数轴上标出表示各数的点，然后根据右边的数总比左边的数大进行比较． 【详解】解：如图所示： 因为在数轴上右边的数大于左边的数， 所以． 【变式训练3 利用数铀比较有理数的大小】 1．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）有理数a，b，c在数轴上所对应的点的位置如图所示，则下列关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上的点从左往右依次增大得到a、b、c的大小关系．本题考查数轴上的点表示有理数，解题的关键是掌握利用数轴比较有理数大小． 【详解】解：根据a、b、c在数轴上的位置，得． 故选：C 2．（23-24七年级上·新疆喀什·阶段练习）如图，a与b的大小关系是（   ）    A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上有理数的大小比较，根据数轴可直接进行求解． 【详解】解：由数轴可知； 故选A． 3．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，比较大小：a ．（填“＞”“＜”“＝”） 【答案】＜ 【分析】本题考查了利用数轴进行比较大小，根据越在数轴的右边的数越大，即可作答． 【详解】解：由数轴可知 ∴ 故答案为：＜ 4．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）两个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．(填“”、“”或“”)    【答案】 【分析】根据数轴左边的数小于右边的数得到，即可直接解答． 【详解】解：根据数轴得：， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴，在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大． 5．（2024六年级下·上海·专题练习）为庆祝中华人民共和国成立74周年，某校举行一场文艺汇演，汇演中途设置了一个有奖问答环节，题目在背景屏幕上显示如图： 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，绝对值，准确熟练地在数轴上找到各数对应的点是解题的关键． 先化简各数，然后在数轴上准确找到各数对应的点，即可解答． 【详解】解：，，最小的正整数是1，的最小值是，0的相反数是0，比大的数是， 如图： ． 6．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）已知数轴上表示数的点与表示数的点之间得到距离为，表示数的点与表示数的点之间的距离为，求，两点之间的距离． 【答案】之间的距离为或或 【分析】本题考查了数轴上两点距离；根据题意求出与的值，即可确定出，两点之间的距离． 【详解】解：根据题意得：或，或， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． 综上所述，之间的距离为或或． 【变式训练4 数轴上两点之间的距离】 1．（22-23七年级上·四川眉山·期中）点A为数轴上表示的点，将点A沿数轴移动4个单位长度得到点B，点B表示的数为（     ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴，解题的关键是左减右加．没有说明移动方向，因此有两种情况向左减，向右加即可． 【详解】解：向左移动4个单位长度对应的点表示，向右移动4个单位长度对应的点表示， 所以点B表示的数为2或， 故选：C 2．（23-24七年级上·浙江·期末）如图，数轴上A点所表示的数是，B点所表示的数是3，则线段的中点所表示的数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的位置，掌握若点A表示的数是a，点B表示的数是b，则线段的中点表示的数是是解题的关键． 【详解】解：依题意得：中点表示的数为： 故选：B． 3．（2024六年级下·上海·专题练习）在数轴上表示的点，沿数轴正方向移动个单位，移动后的点所对应的有理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的特点，掌握数轴上两点间的距离公式求解即可． 根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）如图，数轴上点为原点，点，分别表示数，2，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴；根据数轴上两点间距离进行计算，即可解答． 【详解】解：∵数轴上点分别表示数，2， ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中点C为原点，A、D所对应的数分别为、1．B与D两点间的距离是3．在图中标出点B，C的位置，并写出点B对应的数． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查用数轴表示有理数．根据点A、D所对应的数确定出原点的位置，即为C的位置，根据B与D两点间的距离是3，且点在点的左侧，确定出点位置即可． 【详解】解：由题意，标出B，C的位置如图所示： 由图可知，点表示的数为． 6．（23-24七年级上·广西玉林·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图，且．    (1) _______0， _______0， ______0（请用“”或“”填空）； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）先根据各点在数轴上的位置判断出a，b，c的符号，即可判断各式的符号； （2）根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可化简求解． 本题考查的是数轴与绝对值相结合的问题，解答此类问题的关键是数值数轴的特点及绝对值的性质． 【详解】（1）由图可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）∵，， ∴=． 【变式训练5 数轴上的动点问题】 1．（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）点M在数轴上运动，先向右移动7个单位长度，再向左移动4个单位长度，此时正好在原点处，M开始运动时表示的数是（　　） A．3； B．-3； C．-10； D．10； 【答案】B 【分析】画出数轴，利用逆向思维，从原点出发向右4个单位，再向左7个单位，即可得到点M的位置，然后写出所表示的数即可． 【详解】解：如图所示，原点表示的数是0， ∵向左移动4个单位长度，此时正好在原点处， ∴第二次移动时，点表示的数是4， ∵点M先向右移动7个单位长度后点表示的数4， ∴点M开始运动时表示的数是-3． 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴，是基础题，逆向思维确定各点的位置是解题的关键，作出图形更形象直观． 2．（22-23九年级下·江苏淮安·期中）如图，在数轴上，点A表示的数是4，将点A沿数轴向左移动a（）个单位长度得到点P，则点P表示的数可能是（    ）    A．0 B． C．0.5 D．2 【答案】B 【分析】判断点P所在的大概位置，估计即可． 【详解】解：∵点A表示的数是4，将点A沿数轴向左移动a（）个单位长度得到点P， ∴点P在原点左边，即点P表示的数为负数 故选：B． 【点睛】本题考查数轴上点表示的数以及平移，关键是熟悉数轴上的点的平移规律左减右加． 3．（22-23七年级上·湖北武汉·阶段练习）点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动6个单位，再向左移动7个单位，终点恰好是原点，则点A最初表示的数是 ． 【答案】1 【分析】根据反推法得到点A最初表示的数． 【详解】解：原点向右移动7个单位，得到的点表示的数是7，再向左移动6个单位得到的点表示的数是1， 故答案为1． 【点睛】此题考查了数轴上点移动的规律：左减右加，正确掌握点移动的规律是解题的关键． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）在数轴上，点从某点表示的数是开始移动，先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度，最后到达点表示的数是 ． 【答案】0 【分析】根据数轴上的点左移减，右移加，可得答案． 【详解】解：点从数轴上表示的点开始移动， 点表示的数是， 点向右移动个单位长度， 点表示的数是， 又向左移动个单位长度， 点表示的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴，利用数轴上的点左移减，右移加是解题的关键． 5．（23-24七年级上·河南周口·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．那么在数轴上表示A、B两点之间的距离记为，请你利用数轴回答问题：    (1)在数轴上，如果表示的是，表示的是3，求两点之间的距离． (2)分别用字母表示数轴上m和2两点之间的距离以及n和两点之间的距离． (3)判断正负，用“＞”或“＜”填空：______0，______0，______0． 【答案】(1)8 (2)，； (3)＞；＜；＞ 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． （1）求两个数的差的绝对值即可； （2）利用绝对值的定义，再根据数轴上两点的距离解答即可； （3）根据、、在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，再判断出各式的符号即可． 【详解】（1）解：如果表示的是，表示的是3，则两点之间的距离为； （2）解：m和2两点之间的距离为，n和两点之间的距离为； （3）解：由题意可知，，， ，，． 故答案为：＞，＜，＞． 6．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“＜”号连接起来： ，， ，0，， 【答案】见解析， 【分析】本题考查有理数的大小比较及数轴，根据相反数、绝对值和乘方的意义化简各数，再利用数轴表示出6个数，然后利用数轴上右边的数总比左边的数大确定它们的大小关系． 【详解】解：，，，， 把各数在数轴上表示如下： ． 【变式训练6 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 1．（23-24七年级上·广东深圳·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴可知的取值范围，即可进行判断． 【详解】解：由数轴可知： A：，故A 错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，∴，故D正确； 故选：D 【点睛】本题考查根据数轴上实数的位置判断式子的正负．正确得出的取值范围是解题关键． 2．（23-24七年级上·广东茂名·期中）有理数a、b的对应点在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减运算，根据、在数轴上的位置以及掌握有理数加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题可知：，且， A. ，结论错误； B. ，结论错误； C. ，结论错误； D. ，结论正确； 故选D． 3．（22-23七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，则 0（填“” “” “”）． 【答案】 【分析】由数轴上右边的数总是大于左边的数可以知道：，且．根据有理数的运算法则即可判断． 【详解】解：由数轴可知，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用数轴判断式子的符号，掌握“一个正数和一个负数相加时，和的符号与绝对值较大的数的符号相同”是解题的关键． 4．（22-23七年级上·重庆渝北·期末）已知A，B，C三点在数轴上对应的数为a，b，c，它们在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】由数轴上点的位置可知且，则，，由此化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴上点的位置可知且， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置化简绝对值，正确得到，是解题的关键． 5．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）已知a，b互为相反数，且，求b的值． 【答案】3或 【分析】本题考查相反数的定义，求解绝对值，根据相反数的定义可得，代入，分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴． ∵， ∴，，即． 当时，，得． 当时，，得． ∴b的值为3或． 6．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）设a，b在数轴上表示的实数到原点的距离相等，且位于原点的两侧，c，d互为倒数，e的绝对值为1，请求出下列代数式的值：2a+2b﹣+e． 【答案】或 【分析】根据题意，a，b在数轴上表示的实数到原点的距离相等，且位于原点的两侧,所以，c，d互为倒数，所以，e的绝对值为1，所以，列出等量关系，然后把条件代入即可. 【详解】解： 由题意得， 时， 原式， ②， 原式＝， 答：代数式的值为或 【点睛】本题考查的是有理数部分的知识点，利用相反数、倒数以及绝对值的含义求出表等式之后在代入即可. 【变式训练7 相反数的定义】 1．（2024·山东济宁·一模）相反数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的相反数，根据只有符合不同的两个数是互为相反数即可解答． 【详解】解：，而的相反数为； 故选：A． 2．（2024·湖南·二模）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．请问的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：的相反数是； 故选D． 3．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）已知a，b互为相反数，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴， 故答案为：0． 4．（22-23七年级上·甘肃平凉·阶段练习）已知，那么的相反数是 ；已知，则a的相反数是 ． 【答案】 9 【分析】本题主要考查了相反数的概念．只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：已知，那么的相反数是； 已知，则a的相反数是9． 故答案为：；9． 5．（22-23七年级上·北京·阶段练习）已知|a|＝3，|b|＝3，a、b异号，求a+b的值． 【答案】0 【分析】根据，，、异号，可以可得、互为相反数，从而可以求得a+b=0． 【详解】解：，，、异号， ∴、互为相反数， ∴， 【点睛】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是绝对值相等，符号相反的两个数是相反数， 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)2 【分析】（1）根据绝对值的意义解答； （2）根据相反数的意义解答； （3）根据相反数的意义解答； （4）根据绝对值的意义解答． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了多重符号的化简，涉及相反数和绝对值，熟练掌握有理数的基本知识是关键． 【变式训练8 化简多重符号】 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）等于（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多重复号的化简，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】， 故选C． 2．（2023·吉林松原·三模）化简的结果为（　　） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据多重符号化简法则求解即可，熟练掌握多重符号化简法则是解题的关键． 【详解】解：． 故选：D． 3．（22-23七年级上·广东深圳·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数．熟练掌握的相反数是是解题的关键．根据定义求相反数即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）化简： ， ． 【答案】 2 【分析】根据相反数的意义进行符号的化简即可得． 【详解】，， 故答案为：2，． 【点睛】本题主要考查了多重符号化简，熟练掌握相反数的意义是解答本题的关键． 5．（23-24七年级上·全国·课堂例题）化简下列各数． ． 【答案】8；；； 【分析】利用化简多重符合的方法即可求解． 【详解】解：； ； ； 【点睛】本题考查了相反数的意义，熟练掌握化简多重符合的方法是解题的关键． 6．（23-24七年级上·新疆喀什·期中）如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 【答案】(1) (2)点表示的数是，点表示的数是 【分析】本题考查是数轴与有理数； （1）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解； （2）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图，点为原点，点表示的数是．    （2）如图，点为原点，点表示的数是，点D表示的数是．    【变式训练9 相反数的应用】 1．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）若a与是互为相反数，则a的值为（） A．0 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据相反数的意义可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 2．（22-23七年级上·河北沧州·期末）m与互为相反数，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵m与互为相反数， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查相反数的概念，解题的关键是掌握两数互为相反数，它们的和为0． 3．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）若a，b互为相反数，则 ． 【答案】0 【分析】根据a，b互为相反数，得到，代入计算即可． 【详解】∵a，b互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了相反数即只有符号不同的两个数，熟记互为相反数的两个数的和为零是解题的关键． 4．（22-23七年级上·重庆綦江·阶段练习）已知与的值互为相反数，则x的值为 ． 【答案】3 【分析】利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了相反数，熟练掌握互为相反数的两个数和为0是解本题的关键． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）如果一个数的绝对值等于，则这个数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数是互为相反数的关系，解题关键是掌握绝对值的定义．根据一个正数的绝对值等于它的本身，一个负数的绝对值等于它的相反数计算即可． 【详解】或的绝对值都等于， 绝对值等于的数是或 故答案为：或． 6．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 【答案】（1）或 （2） 【分析】 本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值等于一个正数的数有两个是解决本题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知，，结合a，b异号，可知或 （2）根据绝对值的性质，可知，，而，即可确定出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 又∵a，b异号， ∴或． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 【变式训练10 绝对值的意义】 1．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）如果，那么的取值范围是（    ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 【答案】C 【分析】此题主要考查了绝对值，根据非负数的绝对值等于本身，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，则a的取值范围是：非负数． 故选C． 2．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上表示的点A到原点的距离是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值的意义，根据绝对值的定义即可得到结论． 【详解】解：数轴上表示的点A到原点的距离是3， 故选：B 3．（22-23七年级·浙江温州·阶段练习）绝对值小于的所有整数有 个． 【答案】7 【分析】本题考查了绝对值、整数的知识．根据绝对值、相反数、整数、的性质求解，即可得到答案． 【详解】解：绝对值小于的整数是：，共7个． 故答案为：7． 4．（23-24七年级上·福建厦门·期末）有理数b，在数轴上的对应点的位置如图中黑点所示，若整数a满足，则整数a的值可以是 ．（写出一个满足题意的具体数值）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系．先判断的范围，再确定符合条件的数即可． 【详解】解：， 结合数轴，a的值可以是（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 5．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）把下列各数序号填入相应的类别中． ①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨． 自然数：{                           } 正分数：{                           } 负整数：{                           } 负有理数：{                           } 【答案】③⑥⑨；④⑤⑧；①⑦；①②⑦ 【分析】 本题考查了有理数的分类，绝对值的求解，根据自然数，正分数，负整数，负有理数的定义进行解答即可． 【详解】解：，， 自然数有：； 正分数有：； 负整数有：； 负有理数有：， 故答案为：③⑥⑨；④⑤⑧；①⑦；①②⑦． 6．（22-23七年级上·浙江·阶段练习）请你在数轴上表示下列有理数：，，，，，并将这些数用“<”连接起来． 【答案】数轴见解析，． 【分析】本题考查了化简绝对值，化简多重符号，在数轴上表示有理数，根据数轴比较有理数的大小．先化简绝对值与多重符号，然后表示在数轴上，根据数轴右边的数大于左边的数，比较大小即可求解． 【详解】解：，， 在数轴上表示有理数如图所示： 所以，． 【变式训练11 求一个数的绝对值】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）的绝对值是（    ） A． B． C． D．23 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的意义，负数的绝对值是这个数的相反数，进行求解即可． 【详解】解：的绝对值是23． 故选：D． 2．（2024·江苏泰州·一模）等于（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握． 利用绝对值的意义求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）化简： ； ； ． 【答案】 2 【分析】本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则． 【详解】解：，，， 故答案为：，，2． 4．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 2 / 【分析】本题主要考查相反数以及绝对值的定义，掌握相反数以及绝对值的定义是解题的关键．根据相反数以及绝对值的定义即可求解． 【详解】解：的相反数是；的绝对值是； 故答案为：；． 5．（23-24六年级上·山东东营·阶段练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查化简绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键： （1）根据绝对值的性质化简即可； （2）根据绝对值的性质化简即可； （3）根据绝对值的性质化简即可； （4）根据绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 6．（23-24七年级下·全国·假期作业）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点分别表示数， 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，； 所以的最小值是． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： （1）的最小值是______； （2）当为何值时，代数式的最小值是． 【答案】 （1）（2）为或 【分析】考查数轴上两点之间的距离． （1）把原式转化为看作是数轴上表示的点与表示和的点之间的距离最小值，即可求解； （2）根据原式的最小值为，得知此题为动点问题，因此通过数轴上表示的点的左边和右边，得到与的距离为的点即可． 【详解】（1）因为． 如图，表示点到点的距离与点到点的距离之和 当点在线段上时，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， 所以的最小值是； （2）因为数轴上表示数的点到表示数的点的距离为，数轴上表示数的点到表示数的点的距离也为， 因此当为或时，原式的最小值是． 【变式训练12 化简绝对值】 1．（22-23七年级上·全国·单元测试）若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据非负数的绝对值等于本身，可得． 【详解】解：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了化简对绝对，解题的关键是熟练掌握非负数的绝对值等于本身． 2．（22-23七年级上·山西朔州·期末）的相反数是（    ） A．2023 B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】先化简绝对值，根据相反数的定义求解即可． 【详解】解： 2023的相反数是 ∴的相反数是． 故选：B． 【点睛】此题考查了绝对值的意义，相反数的概念，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，相反数的概念．只有符合不同的两个数互为相反数． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）化简： ． 【答案】 【分析】根据绝对值的化简即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查绝对值的化简，掌握绝对值的性质是解题的关键． 4．（22-23七年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）化简： ①+（+2）=_________； ②－（+6）=_________； ③_________； ④_________． 【答案】①2；②－6；③－9；④－5 【分析】①②④根据相反数的定义化简，③根据绝对值的定义化简． 【详解】解：①+（+2）=2； ②－（+6）=－6； ③－9； ④． 故答案为：①2；②－6；③－9；④－5． 【点睛】本题考查了相反数和绝对值的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键． 只有符号不同的两个数是互为相反数． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）若，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质去绝对值是解题的关键．根据，求出，的值． 【详解】解：由绝对值的性质得，， ， ，， ，． 6．（23-24七年级上·河南焦作·期中）已知：c是最小的两位正整数，且a、b、c满足，若a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点P为数轴上的一个动点，对应的数为x． (1)求A、C两点间的距离； (2)若P、B两点间的距离是8，求x的值． 【答案】(1)26 (2)或 【分析】本题考查非负性，数轴上两点间的距离． （1）最小的两位正整数为，得到，根据非负性，求出的值，再根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）分点在点的左侧和右侧，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵c是最小的两位正整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴A、C两点间的距离为：； （2）∵，P、B两点间的距离是8，点P在数轴上， ①当点P在点B左边时，； ②当点P在点B右边时，； ∴或． 【变式训练13 绝对值非负性】 1．（22-23七年级上·山东德州·阶段练习）若，则的值可以是（　　） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据正数或0的绝对值等于本身即可求解． 【详解】解：∵， ∴的值为正数或0， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 2．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的非负性解决此题． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键． 3．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用绝对值的非负性可得，即可求解． 【详解】解：∵且 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查绝对值的非负性，熟记相关结论即可． 4．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）已知a，b，c为的三边长，b，c满足，且a为2，则的周长为 ． 【答案】7 【分析】根据绝对值和平方的非负性即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴的周长为： 故答案为：7 【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性．熟记相关结论即可． 5．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，求x的值． 【答案】或 【分析】根据绝对值的意义，解绝对值方程即可． 【详解】解：， ∴或 ∴或． 【点睛】本题考查解绝对值方程．熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键． 6．（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：    (1)表示数轴上________与________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数，使得．这样的整数有_ ____． (4)利用绝对值的几何意义，写出的最小值． 【答案】(1)4，1 (2)5， (3)，，0，1，2，3，4，5 (4)5 【分析】（1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解； （2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解； （3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数x所对应的点到−2的距离和到5的距离的和为7，继而求解； （4）首先结合数轴判断出式子的几何意义，再结合数轴判断． 【详解】（1）解：表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离； 故答案为：4，1； （2）表示数轴上有理数所对应的点到5所对应的点之间的距离； ∵， 则表示数轴上有理数所对应的点到所对应的点之间的距离； 故答案为：5，； （3）表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到5的距离的和为7， ∴这样的整数x有，，0，1，2，3，4，5， 故答案为：，，0，1，2，3，4，5； （4）表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到2的距离的和， 当时，的最小值为5． 【点睛】本题主要考查绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质，并结合数轴的特点解答． 【变式训练14 绝对值方程】 1．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）若，则的值为（    ） A．1或11 B．1或 C．或11 D．或 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质得到或，解之即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 故选B． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是注意互为相反数的两个数的绝对值相同． 2．（2023·陕西西安·模拟预测）如果，那么（    ） A． B．或2 C． D．2 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义求解即可． 【详解】∵ ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义． 3．（22-23七年级上·江苏常州·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】先移项，再根据绝对值的性质计算． 【详解】解：， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，如果原代数式为正，去掉绝对值后，其结果为本身；如果原代数式为负，去掉绝对值后，其结果为相反数． 4．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）绝对值等于11的数是 【答案】/11或-11/-11或11 【分析】利用绝对值是正数的数有两个，且互为相反数解答即可． 【详解】解：∵丨11丨=11，丨－11丨=11， ∴绝对值等于11的数是±11， 故答案为：±11． 【点睛】本题考查绝对值，理解绝对值的性质及意义是解答的关键． 5．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）阅读下面材料： 在数轴上2与所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与3所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与所对应的两点之间的距离为． 归纳：在数轴上点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离或． 回答下列问题： (1)数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为 ；数轴上表示数x和 的两点之间的距离表示为； (2)试说明当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，的值总是一个固定的值，并求出这个固定值． 【答案】(1)或， (2)这个固定值为5 【分析】本题考查了绝对值的意义与性质： （1）结合题干条件，即可作答； （2）因为当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，即，再根据绝对值的性质进行化简，即可作答； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为或， 因为， 所以数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为； （2）解：依题意， 因为当表示数x的点在与3的对应点之间移动时， 所以， 故， 即当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，的值总是一个固定的值，且为5． 6．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）[例读]表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离: 可以看做表示3与的差的绝对值.也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之向的距离. [探索] (1)数轴上表示4和的两点之间的距离是； (2)①若，则x＝_____； ②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和是多少？ 【答案】(1)数轴上表示4和的两点之间的距离是6 (2)①2或；②3 【分析】（1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可得； （2）①根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可得；②由题意得，，根据3与的距离是5得，根据x是整数得x的值为，进行计算即可得． 【详解】（1）解：， 即数轴上表示4和的两点之间的距离是6； （2）解：① 或， 或， 或， 故答案为：2或； ②由题意得，， ∵3与的距离是5， ∴， ∵x是整数， ∴x的值为， ∴所有符合条件的整数x的和为：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了实数与数轴，解题的关键是理解题意，掌握实数与数轴，绝对值． 【变式训练15 绝对值的其他应用】 1．（22-23七年级上·河北保定·期末）如图，检测个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是绝对值的应用，解题关键是理解绝对值的意义． 在本题中，正数表示超过标准质量的克数，负数表示不足标准质量的克数，最接近标准指绝对值最接近，由此可对选项进行逐一判断求解． 【详解】解：依题得：本题中最接近标准指绝对值最接近， 选项中，， 选项中，， 选项中，， 选项中，， 选项最接近， 即选项最接近标准． 故选：． 2．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）一种大米每袋的标准质量为，下列选项记录了4袋大米的质量，不足的记为负数，超过的记为正数，则其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】绝对值越小越接近标准质量，据此即可求解． 【详解】解： ∴D选项最接近标准质量 故选：D 【点睛】本题考查绝对值的应用．掌握绝对值的意义是关键． 3．（22-23七年级上·江西·阶段练习）绝对值小于 3的整数有 个． 【答案】5 【分析】绝对值小于3的整数有﹣2，﹣1，0，1，2，据此界的即可． 【详解】解：绝对值小于3的整数有﹣2，﹣1，0，1，2. ∴绝对值小于3的整数有5个． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键． 4．（22-23七年级上·浙江台州·期中）在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是 号排球． 排球编号 一号 二号 三号 四号 五号 检测结果 【答案】五 【分析】使用误差的绝对值作为评价标准，误差的绝对值越小数据越接近标准，即可判断． 【详解】根据表格检测结果的绝对值排序：，可知五号排球质量最接近标准， 故答案为：五． 【点睛】本题考查了绝对值的实际运用，关键要掌握绝对值的含义，以及在误差判断中运用． 5．（22-23七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答：                                                             （1）如果将A点向右移动4个单位长度，表示什么数? （2）如果将点C向左移动3个单位长度，三个点中哪个点表示的数最大？是多少？ （3）如果点A、点B同时向右运动，点A的速度是2个单位/秒，点B的速度是1个单位/秒，问经过多长时间两点重合？ 【答案】（1）1；（2）点C表示的数最大，是0；（3）2秒． 【分析】（1）根据向右移动加求出点A表示的数； （2）根据向左移动减求出点C表示的数，然后作出判断即可； （3）设经过x秒两点重合，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：（1）A移动后表示的数是：-3+4=1， 即A点向右移动4个单位长度后表示的数是1； （2）C移动后表示的数是：3-3=0， 0>-1>-3， 所以，点C表示的数最大，是0； （3）设经过x秒两点重合，根据题意得 -3+2x=-1+x 解得：x=2， 则经过2秒两点重合． 故答案为（1）1；（2）点C表示的数最大，是0；（3）2秒． 【点睛】本题考查数轴，熟记“向左移动减，向右移动加”的规律是解题的关键． 6．（22-23七年级上·全国·阶段练习）如图，数轴上有三个点A、B、C，它们可以沿着数轴左右移动，请回答： （1）点A、B、C分别表示的数是______________________． （2）将点B 向右移动三个单位长度后到达点D，点D表示的数是_____________． （3）移动点A到达点E，使B、C、E三点的其中任意一点为连接另外两点之间线段的中点，请直接写出所有点A 移动的距离和方向． 【答案】（1）﹣4，﹣2，3； （2）1； （3）点A向右移动4.5个单位长度或12个单位长度，点A向左移动3个单位长度. 【分析】（1）根据点A、B、C在数轴上的位置写出即可； （2）将点B向右移动三个单位长度后到达点D，则点D表示的数为-2+3=1； （3）分类讨论：当点A向左移动时，则点B为线段AC的中点；当点A向右移动并且落在BC之间，则A点为BC的中点；当点A向右移动并且在线段BC的延长线上，则C点为BA的中点，然后根据中点的定义分别求出对应的A点表示的数，从而得到移动的距离． 【详解】解：（1）点A、B、C分别表示的数分别是﹣4，﹣2，3； （2）将点B 向右移动三个单位长度后到达点D，点D表示的数是1； （3）当点A向左移动时，则点B为线段AC的中点， ∵线段BC=3-（-2）=5， ∴点A距离点B有5个单位， ∴点A要向左移动3个单位长度； 当点A向右移动并且落在BC之间，则A点为BC的中点， ∴A点在B点右侧，距离B点2.5个单位， ∴点A要向右移动4.5 单位长度； 当点A向右移动并且在线段BC的延长线上，则C点为BA的中点， ∴点A要向右移动12个单位长度． 故答案为（1）﹣4，﹣2，3；（2）1；（3）点A向右移动4.5个单位长度或12个单位长度，点A向左移动3个单位长度． 【点睛】本题考查数轴：数轴三要素（原点、正方向和单位长度）；数轴上左边的点表示的数比右边的点表示的数要小．也考查了平移的性质，注意数形结合的运用． 【变式训练16 有理数大小比较】 1．（2024·广东梅州·一模）下列各数中最大的负数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是有理数大小比较的方法，解题关键是要明确负数绝对值大的其值反而小． 有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：，，，， ， ， 所给的各数中最大的负数是． 故选：． 2．（2024·湖南娄底·三模）下列各数中，最大的数是（  ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据各数之间的大小关系得出答案即可． 【详解】因为， 所以最大的数是4． 故选：D． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用“”“”“”号填空： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是掌握两个负数大小的比较，绝对值大的其值反而小．根据两个负数，绝对值大的其值反而小即可比较． 【详解】解： ，，而， ． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·浙江·期末）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较； 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 5．（22-23七年级上·河北邢台·阶段练习）比较与 的大小， 【答案】 【分析】首先计算出两个数的绝对值，再根据两个负数相比较，绝对值大的其值反而小即可得到答案． 【详解】解：，， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是掌握有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 6．（22-23七年级上·四川巴中·阶段练习）比较下列各对数的大小． (1)与； (2)与； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质，计算出，，在比较两个正数的大小即可； （2）两个负数比较大小，先计算其绝对值，绝对值大的反而小，由此即可求解． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴． （2）解：∵，，且， ∴． 【点睛】本题主要考查绝对值的性质，数轴的特点，掌握绝对值的性质，数轴上数的特点是解题的关键． 【变式训练17 有理数大小比较的实际应用】 1．（2024·湖南益阳·三模）2024年1月22~26日，某地连续5天的最低气温（单位：℃）分别为，2，3，其中最低的气温是（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的比较大小，按照负数小于正数，绝对值大的负数反而小，进行比较即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴最低的气温是， 故选：B 2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）在物理实验室中，我们常使用天平称量物体的质量，天平初始游码位置在0刻度处．若还左边物体的质量为ag，右边砝码的质量为bg，下列四种情况中，表示的是（　　） A．   B．   C．   D．以上都不对 【答案】B 【分析】本体结合物理学中的天平来比较两个数的大小关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 从托盘天平知道，哪一边重就向哪边倾斜，据此来判断A、B、C选项． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意， 故选：B． 3．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）小明、小李和小凯三人读同一篇文章，小明用了小时，小李用了小时，小凯用了小时， 的阅读速度最快． 【答案】小明 【分析】把各数化成分子相同的分数，比较分母的大小确定原分数的大小． 【详解】解：，， ， 小明用时最少， 即小明的阅读速度最快． 故答案为：小明． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，解答本题的关键是明确分数和小数的转化，以及大小比较的方法． 4．（23-24七年级上·广东广州·期末）检查5个足球的质量（克），把超过标准质量的克数记为正数，低于标准质量的克数记为负数，数据统计结果如下表： 足球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差（克） 则最接近标准质量的是 号足球．（只填写编号） 【答案】3 【分析】本题考查有理数大小比较的实际应用．比较个数的绝对值，绝对值最小的即为最终结果． 【详解】解：∵； ∴最接近标准质量的是3号足球； 故答案为：3． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）下表记录了某日我国几个城市的平均气温： 北京 西安 哈尔滨 上海 广州 （1）将各城市的平均气温从高到低进行排列； （2）在地图上找到这几个城市的位置，并将它们从北到南进行排列． 【答案】（1）、、、、；（2）哈尔滨、北京、西安、上海、广州 【分析】（1）先画数轴将各地区的平均气温表示在数轴上，通过两数之间的大小关系，当 a<b时，在数轴上反映为表示数 a的点在表示数 b的点的左边，判断即可； （2）在地图上，找出各个城市，根据其纬度的大小关系确定其由北到南的顺序． 【详解】解：（1）将各地区的平均气温表示在数轴上，如下图： 各城市的平均气温从高到低排列为：、、、、； （2）在地图上，由北到南依次为哈尔滨、北京、西安、上海、广州． 【点睛】此题考查有理数与数轴上的点的对应关系，并且要通过数轴比较大小，属于基础题，熟练掌握基础知识是解题关键． 6．（22-23七年级上·陕西西安·期中）希望小学要买60个足球，现有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球单价都是30元，但各个商店的优惠办法不同： 甲店：全部打八折销售； 乙店：当购买足球不超过20个时，不打折；购买超过20个时，超过部分打六折； 丙店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送； 为了节省费用，希望小学应到哪个商店购买合算？为什么？ 【答案】为了节省费用，希望小学应到乙商店购买合算，理由见解析 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出三家商店需要花费的情况，然后比较大小即可． 【详解】解：为了节省费用，希望小学应到乙商店购买合算． 理由：由题意可得， 在甲店购买需要花费为：30×60×0.8＝1440（元）， 在乙店购买需要花费为：30×20+30×（60﹣20）×0.6＝1320（元）， 在丙店购买需要花费为：30×50＝1500（元）， ∵1320＜1440＜1500， ∴为了节省费用，希望小学应到乙商店购买合算． 【点睛】本题考查了有理数比较大小，解答本题的关键是明确题意，求出三个商店的花费情况． 1．（2024·江西赣州·二模）2024的相反数是（    ） A． B．2024 C．0 D． 【答案】A 【分析】此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可． 【详解】解： 2024的相反数是， 故选：A． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图，明明不小心把一滴墨水洒在画好的数轴上，被墨水覆盖的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的表示方法，根据覆盖的数在和0之间加以判断． 【详解】A选项中，，故不符合题意； B选项中，，故符合题意； C选项中，，故不符合题意； D选项中，，故不符合题意． 故选：B． 3．（22-23七年级上·北京门头沟·期末）有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，如果有理数b满足，那么b的值不可能是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上的位置可判断a在-2到-3之间，则-a在2到3之间，则b在a与-a之间，即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， b在a与-a之间， 则b的值不可能为3， 故选B． 【点睛】本题考查了相反数，数轴，解题的关键是掌握这些知识点． 4．（22-23七年级上·重庆·阶段练习）正式排球比赛对所用的排球质量是有严格规定的，现检查4个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果为：第一个克，第二个为克，第三个为克，第四个为克，则哪个排球质量最好（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【答案】C 【分析】根据题意，可以比较各个数的绝对值的大小，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴第三个排球质量最好． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是绝对值的应用，明确质量最好即绝对值最小是解题的关键． 5．（22-23七年级上·河南濮阳·期末）下表是11月份某一天㜃阳市五县一区的平均气温： 区县 华龙区 台前县 清丰县 濮阳县 范县 南乐县 气温（） 0 濮阳市县区中该天平均气温最低的是（    ） A．华龙区 B．泌阳县 C．台前县 D．范县 【答案】C 【分析】由表格可知：即可求解． 【详解】解：∵， ∴最低的是台前县， 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的大小比较；熟练掌握正数与负数大小的比较是解题的关键． 6．（23-24七年级上·天津静海·阶段练习）化简下列各数： （） ；（） ；（） ． 【答案】 【分析】根据相反数的定义分别化简即可． 【详解】（）； （）； （）； 故答案为：；；． 【点睛】此题考查了利用相反数的定义进行化简，熟记概念进行多重符号的化简是解题的关键． 7．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）若数轴上点A、B表示的两个数互为相反数，并且这两点间的距离是12，则该两点表示的数为 【答案】6和−6 【分析】因为数轴上点A、B表示的两个数互为相反数，则A、B分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等，根据这两点间的距离是12，求解即可． 【详解】解：∵数轴上点A、B表示的两个数互为相反数， ∴A、B分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等； 又∵这两点间的距离是12， ∴该两点表示的数为6和−6， 故答案为6和−6. 【点睛】此题综合考查了数轴、相反数的有关内容，也可以用几何方法借助数轴来求解，会非常直观． 8．（23-24七年级上·云南昆明·期中）小明写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上（如图），请你判断墨迹盖住的整数有 个． 【答案】16 【分析】观察数轴，根据整数的定义结合数轴即可得出被墨迹盖住的整数的个数．正确理解数轴的意义是解题的关键． 【详解】解：观察数轴，被墨迹盖住的整数有， 故答案为：16． 9．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，数轴上标出的所有点中，相邻两点间的距离都相等，已知点A表示，点表示8．点为数轴上一点，且表示的数是整数，点到A点的距离与到点的距离之和为24，则这样的点有 个． 【答案】25 【分析】由题意可计算出点A到点G的长度为24，即得出点在线段上，再根据点表示的数是整数，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：， ∴点在线段上，即点P所表示的数的取值范围为是， ∵点表示的数是整数， ∴或或或…或7或8，共25个． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题．判断出点在线段上是解题关键． 10．（22-23七年级上·江苏徐州·期中）定义：若数轴上A、B两点分别对应数a、b，则 A、B两点之间的距离记作，且．根据图中信息，完成下列各题： （1） ； （2）若数轴上点P 对应数，则 ①当=时，= ； ②当取最小值时，的取值范围为 ； （3）求A、B、O、C、D这5个点中所有两点间的距离之和． 【答案】（1）1；（2）①或，②；（3）30 【分析】（1）根据题目已知中的A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a−b|．即可解答； （2）使①中的式子等于2，解出即可；求|PB|＋|PC|的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当−2≤x≤1时，|PB|＋|PC|有最小值，再根据绝对值的性质即可求出最小值及x的取值 （3）根据两点间的距离公式，可得答案． 【详解】（1）A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a−b|＝|−3−（−2）|＝1． （2）①当|PA|＝2时，即|x−（−3）|＝2，解得：x＝−1或−5； ②当|PB|＋|PC|取最小值时，即可得|x−（−2）|＋|x−1|取最小值时，|x−1|＋|x＋2|的最小值为3，此时x的取值是−2≤x≤1； （3）A、B、O、C、D这5个点中所有两点间的距离之和＝|AB|＋|AO|＋|AC|＋|AD|＋|BO|＋|BC|＋|BD|＋|OC|＋|OD|＋|CD|＝1＋3＋4＋6＋2＋3＋5＋1＋3＋2＝30 故答案为：（1）1；（2）①＝−1或−5；②−2≤x≤1；（3）30． 【点睛】考查了绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便．事实上，|A−B|表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离． 11．（2023七年级上·江苏·专题练习）解方程． 【答案】或 【分析】根据绝对值的意义，分类讨论求解即可． 【详解】解：当时，， 解得， 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 当时，， 解得， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了绝对值方程，解本题的关键在熟练掌握绝对值的意义．正数的绝对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0． 12．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）在数轴上表示：，，，，，并用“”号把它们连结起来． 【答案】数轴见解析， 【分析】根据题意，在数轴上表示各数，根据数轴比较大小，即可求解． 【详解】解：如图所示，      【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，有理数的大小比较，数形结合是解题的关键． 13．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）化简 (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1)68 (2) (3) (4)3.6 【分析】（1）先去括号，然后根据负号的个数为偶数个，即可化简求值； （2）先去括号，然后根据负号的个数为奇数个，即可化简求值； （3）先去括号，然后根据负号的个数为偶数个，即可化简求值； （4）先去括号，然后根据负号的个数为偶数个，即可化简求值． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【点睛】本题考查了多重符号化简，解题关键是掌握若一个数前有多重符号，则由该数前面的符号中“”的个数来决定，即奇数个“”符号则该数为负数，偶数个“”符号，则该数为正数． 14．（23-24七年级上·广东广州·期中）某人在距离超市3米的地方休息，5分钟后，他向右走了5米，又向左走了2米，如果把超市看作原点，此时，这个人处于什么位置？ 【答案】此人在超市或超市右6米处． 【分析】此题考查了正数与负数和数轴，要根据题意进行分类讨论，将向右记为正，向左记为负是解题的关键．将超市记为原点，在超市左边记为负；在超市右边记为正；向左行走记为负；向右行走记为正；计算即可得到此人的位置． 【详解】解：分两种情况讨论： （1）此人在超市左边3米处，记为米；右走了5米记为米，向左走了2米，记为米，则此人位置为， 此人在超市； （2）此人在超市右边3米处，记为米；右走了5米记为米，向左走了2米，记为米，则此人位置为， 此人在超市右6米处． 15．（22-23七年级上·广东江门·阶段练习）已知A、B在数轴上分别表示a，b． (1)对照数轴填写下表： a 6 －6 －6 －6 2 －1.5 b 4 0 4 －4 －10 －1.5 A、B两点的距离 (2)若A、B两点间的距离记为d，试问：d和a，b有何数量关系? (3)在数轴上找出所有符合条件的整数点P，使它到5和－5的距离之和为10，并求所有这些整数的和； (4)若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，取得的值最小? 最小值是多少？ 【答案】（1）2，6，10，2，12，0；（2）；（3）0；（4）点C在-1和2之间时，取得最小值为3 【分析】（1）根据数轴上的两点，求两点距离即可； （2）数轴上两点间的距离即为差的绝对值； （3）到两定点距离之和等于两定点之间的距离的点的集合是两定点之间的连线，即可得解； （4）表示x到-1的距离，同理表示x到2的距离，该题及转化为数轴上一点到-1和2的距离和最小. 【详解】（1）由题意，得 A、B两点间的距离依次为：2，6，10，2，12，0； （2）由题意，得 （3）到两定点距离之和等于两定点之间的距离的点的集合是两定点之间的连线 故p点一定在5和-5之间 这样的整数点有1,2,3,4,5,-5,-4,-3,-2,-1,0 故它们的和为0； （4）由题意，得 表示x到-1的距离，同理表示x到2的距离， ∴点C在-1和2之间时，取得最小值，最小值为3. 【点睛】此题主要考查数轴的性质以及绝对值的应用，熟练掌握，即可解题. 学科网（北京）股份有限公司 $$