山西省大同市第一中学校、忻州市第一中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

绝密★启用前 2023~2024学年度下学期期末质量检测 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区城内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：宇体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.若集合A={x1<x+1<4},B={x|x2<4},则A∩B= A.(0,2) B.(-2,0) C.(-1,2) D.(-1,0) 2.已知向量a=(x,1-x),b=(x+3,9),若a⊥b,则 A.x=-2 C.x=3 D=号 3.某制造企业有两台设备在一天内正常运行的概率分别为0.5,0.6，且它们是否正常运行相互 独立，则一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为 A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 4.若tana=2,则gin28+O0s。的值为 cos 2a A- B-号 c号 n克 5.已知圆柱的母线长比底面半径长多2cm,表面积为24xcm,则该圆柱的体积为 A.12πcm3 B.14x cm' C.16xcm' D.18πcm3 【高一数学 第1页（共4页）】 24698A 可▣ 扫描全能王创建 6.我著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂 分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解折 式米分析两数的图象特征.则函数八)=n音在区间[一x,]上的图象大致为 B. D. 7.已知由5个数据组成的一组数据的平均数为4，方差为1，现再加入一个数据10，组成一组新 的数据，则这组新数据的方差为 A号 B号 c号 D.7 8.已知fx)=2c0s(x-苓)（其中w>0),若方程If(x川=1在区间(0，）上恰有4个实根，则 w的取值范围是 A(停3] B[g3] c[2,) D.(2,] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图，小明在A处向正东方向走3km后到达B处，他再沿南偏西30°方向走akm4: 到达C处，这时他离出发点A的距离为V万km,那么a的值可以是 A.1 B.√2 C.5 D.2 10.下列结论中正确的是 A已知向量1a1=2,b1=1,la+2b1=3,则a…b=号 B.已知直线L平面a,直线m∥平面a,则山m C.一组数据13,8,10,6,9,15,5,3的60%分位数为9 D.已知随机事件A和B互斥，若P(A)=0.6,P(B)=0.3,则P(AUB)=0.8 1.如图，在长方体ABCD-AB,C,D,中，AB=BC=2,AA=3,0为BD, 的中点，E为棱AA1上任意一点，直线OE与棱CC,交于点F.则下列结 论正确的是 A.四边形BFD,E是平行四边形 B.当E为AA,的中点时，四边形BFD,E是菱形 C.四边形BFD,E的周长的最小值为9 D.四棱锥B,一BED,F的体积为4 【高一数学第2页（共4页）】 24698A 扫描全能王创建 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知：=号，则：的虚部为 13.若正实数a,b满足4a十b=ab,则4a十b的最小值是 14.已知函数八)=l0:营1og,兰8)=2红--21-是+m,若对于任意工∈[1.4幻：存 在x2∈(0，十∞)，使得f(x1)≤g(x2),则实数m的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知复数z=1+i是一元二次方程x2+ax十b=0(a∈R,b∈R)的根. (1)求a,b的值； (2)若复数(a十bi)(m-i)(其中m∈R)为纯虚数，求复数u=(5m一1)十3mi的模. 16.(本小题满分15分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,满足，名。十6一。=l (1)求角A; (2)若△ABC的外接圆的面积为经，sinB+snC-5 sin A,求△ABC的面积 【高一数学第3页（共4页）】 24698A 扫描全能王创建 17.(本小题满分15分) 当我们沉浸在游戏世界中时，很容易忽视时间的流逝，甚至忘记自己的学业和生活.一些大 学生因为过度沉迷网络游戏，导致学业成绩下滑，身体健康状态也受到影响.长时间盯着电 脑屏幕，不仅会导致视力下降，还可能引发颈椎病等健康问题.更为严重的是，过度依赖虚拟 世界的社交可能会削弱我们在现实生活中的社交能力，造成人与人之间的疏离感， 某大学心理机构为了向大学生宜传沉迷网络游戏的危害，该机构随机选择了200位沉迷网 络的大学生进行宣传，将这些大学生每天玩网络游戏的时间分成五段：[2,4)，[4,6)，[6,8) [8,10),[10,12](单位：小时)，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值： 顿率 组 (2)请估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间（同组 0.2 数据用区间的中点值代替)： (3)现在从[2,4)和[4,6)两组中用分层抽样的方法抽取5人， 再从这5人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天玩网 络游戏的时间所在区间不同的概率. 0.075 0.025 024681012时间（小时 18.(本小题满分17分) 如图，在矩形ABCD中，F为CD的中点，E为AD上靠近点A的三等分点，BD与EF相交 于点G,记EG=AGF. (1)求A的值： (2)若AB=1,BC=2,求BG·BF的值. 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为菱形， ∠DAB=PD=5. (1)求锐二面角P一AB一D的大小： (2)求AP与平面PBC所成的角的正弦值. 【高一数学第4页（共4页）】 24698A 扫描全能王创建2023~2024学年度下学期期末质量检测·高一数学 参考答案、提示及评分细则 1 2 。 答案 C D 题号 10 1 AD BC 答案 AB 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1.【答案】A 【解析】因为A=(l0<r<3),B=(xl-2<r<2),则.A0B=xl0 <2,故选A 2.【答案】C 【解析】由于向量a·bx(r+3)+9(1-x)-r-6r+9=(r-3),且a1b,则a·b-(r-3)-0.解得x 3.故选C. 3.【答案】D 【解析】记一天内这两台设备至少有一台正常运行为事件A.则P(A)=1-(1-0.5)×(1-0.6)=0.8.故 选D. 4.【答案】B 【解析】闪为n0-2-0-___ 5.【答案】C 【解析】设圈柱的底面半径为rcm,可得母线长为r+2.表面积为2rrP+2xr(r+2)=24x.解得r-2或,--3 (舍去).则厕柱的体积为(r十2)-16:cn’.故选C. 6.【答案】B sin(一r) (x)为奇函数,排除CD.又由l/(s)1-sin-1.排除A.故选B. 7.【答案】A 【解析】依题意,这组新数据的平均数为4×5+10-5.方差为[1+(4-5)”]+[0+(10-5)]-35.故 选A. 8.【答案】D 【解析】由方程1/(r)1一 2cos(r-).,可得cos(r-)-士士 所以ar-吾-2kr士或2kr+士(tz】)当r(0.)时,ar-(-哥r-吾) 所以-(-哥.n一)的可能取值为.,.7.. 因为原方程在区间(o.)上恰有4个实根,所以{<一<{. 解得2<,即。的取值范围是(2.].故选D. 【高一数学参考答案 第1页(共5页)】 24698A 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.【答案】AD(全部选对得6分,选对1个得3分,有选错的得0分) 【解析】如图,由条件可知:1ABl=3km. ABC=60”:1BCl=a k:IACl-7km,根据全弦定理可知7=9- 3+a.即ad-3+2-0,解得:a=1或2.故选AD 10.【答案】BC(全部选对得6分,选对1个得3分,有选错的得0分) 【解析】对于A选项$,因为la+2bl=3,所以(a+2b)-lal+4a·b+41b=9,有4+40·b+4-9,可得a ·b--.故A选项错误: 对于B选项,由直线m/平面a.可得平面。内存在直线n/n.又由直线11平面。.可得/1n.故B选项 正确; 对于C选项,这组数据按从小到大的顺序排列为:3,5.6,8.9.10.13.15.因为0.6×8-4.8.所以这组数据的 60%分位数为9.故C选项正确; 对于D选项.由随机事件A和B互斥,有P(AB)=0.又由P(A)=0.6.有P(A)=1-0.6-0.4.可得P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-0.4+0.3-0. 7.故D选项错误.故选BC. 11.【答案】ABD(全部选对得6分,选对1个得2分,选对2个得4分,有选错的得0分) 【解析】对于A选项,连接AC.A.C..因为A.C.CA是平行四边形.0为平行四边形的对角线的中点,可得 △OFC,△OEA.可得OE-OF,可得四边形BFD.E的对角线互相平分,所以四边形BFD.E是平行四边 形,故A选项正确: 对于B选项,当E为AA.的中点时.EF/AC.又由AC1平面BB.D.D.所以AC1BD..可得EF1BD.,所 以四边形BFDE是菱形,故B选项正确: 对于C 1. 折到与长方形ABB.A:在一个平面内,因为AB=AD=2. AA= 屏幕截图Ctrl+At+A -5.所以BE十D.E的最小值为5.可得四边形BFDE的周 长的最 屏录制Ctrl+At+S 对于D 屏幕识图Ctrl+Alt+O r.-xx2x3x2+xx2x3x 2-4.超 屏翻译Ctr4At+F 三,填空题 截图时隐当前窗口 12.【答案】 【解析】-1-+0-0)--}+,则:--7的部-. (1十)(1-i) 13.【答案】16 【解析】由ab-4u+624a6-4a(当且仅当b-4a,即a-2.6-8时取等号),可得ab16,故4a+b的 最小值为16. 14.【答案】[+) 【解析】因为f(r)=(log-x-1D(2-logtx)--(log-x)+3logx-2--(log r-3)+,又因为x [1.4].,有o<log:<2.所以f(s)-. 又由(r)--(2-1+2-)-(r-1)+m+1<-22-×2-+m+1-n-1(当且仅当x-1时取等 号),所以g(:).=m-1. 【高一数学参考答案 第2页(共5页)】 24698A 因为对于任意x:E[1.4].存在x(0.+0o).使得f(x)<g(x). 所以f(x)n<g(r:)..则<n-1.解得m,即me[,+oo) 四、解答题;本题共5小题,共77分,解答应写出必要的文字说明,证明过程及演算步骤 15.【答案】(1)=-2.6-2(2)5 【解析】(1)将复数:代人方程,有(1十D+a(1十i)十b-0。..... 整理为.b..........................................................4分 可/□f6-。 l十2-o' -......... ...............................................分... 。 故-....2........................................................... .分. (2)(+bi)(m-)=(-2+2i)(n-i)=.2-2n)+.2n+2))............................-.9分 12-2n=o 因为复数(a十bi)(n-i)为纯虚数,所以 又因为。-4+3i.所以lol-4+3-5. .........................................1..1分... 16.【答案】(1)哥(2)33 【解析】(1)因为+1. 所以 ...........................................................分. 整理得 .....................................................6分. 2 又Ae(0.t),所以A-: ...................... 又因为△ABC的外接的面积为“所以-()-,可得。-7... .................... ..分 又因为7.及P+----b,所以+-7-,可.+.-7-33............-11分 又因为sin B+sinc-5in A及正弦定理,所以c-5。 ........................ 又因为.-7,所以bc-5........ ................. 将b+(-5代人(b+c)&-7-3b.可得&b=6.. .............14分 所以△ABC的面积为t&sinA-x6×-3 .............................分. 17.【答案】(1)0.1(2)7.4(3)2} 【解析】(1)由题率分布直方图,有0.025×2+2+0.2×2+2a+0.075×2-1...............3分 解得a-0.1. 所以频率分布直方图中a的值为0.1:........ ................. (2)估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间为:0.025×2×3+2×0.1×5+0.2X2×7+2×0.1× 【高一数学参考答案 第3页(共5页)】 24698A 9+0.075×2×11-7.4. 所以这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间约为7.4小时; ........................ (3)这200位大学生每天玩网络游戏的时问位于区间[2.4)的颤率为0.025×2-0.05,位于区间[4.6)的题 .为 . ....... ..................................................分. 这5人中,每天玩网络游戏的时间位于区间[22.1.的人数为55×8.0.-0.-1.记为...10分 0.05 每天玩网络游戏的时问位于区间[4.16).人数为5..1.4..为.,b.c....................-11分 在这5人中选2人包括的基本事件为:(a.b).(a.c).(a,d).(a,r).(b,e),(b,d).(b,r).(c,d).(c,r)。(d; )共........................................................................... .1..分 这2人每天玩网络游戏的时间所在区问不同包括的基本事件为(a,x).(b,x).(c,x).(d,x),共4个基本事 所以这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率为4-2 ........................ 18.【答案】(1)4(2) 【解析】(1)EG-aG:DG-D-D-D. -士++-x×(-)++x(-) --. ......................4分 又曲-有---)。 有-士+-士x(+)+x(+) -2++1.. .....................分 .整理为3-1-4-0.解得1-- 所以的值为 ................................................... ..分 (2)因为AB1BC.所以BA·BC-0... ............................... 2 又由-[C+C-可+丽 .........分 有B·-(+)·(可+-1+1'-x+”-5 .17分 19.【答案】(1)(2) 【解析】(1)如图取.B的中点E.,连接PE.ED.............. .................. 因为△PAB是边长为2的等边三角形,E为AB的中点,所以PE-3且ABIPE. ............. 因为底面ABCD为菱形,乙DAB-,所以△ABD为等边三角形. ...............3. 又因为... ........以 .... ..............................4分 【高一数学参考答案 第4页(共5页)】 24698A 又因为AB1PE,ABIDE,AB是平面ABP与平面ABCD的交线,所以 PED是规二南角P-AB-D的 平面角。 又因为PE-DE-PD-5,所以△PDE是等边三角形,所以乙PED-寻. 所以锐二面角P-AB一D为吾: .................... (2)如图.取ED的中点O.连接OC........... ................. 因为ABI PE,ABIDE.PEO DE-E.PE,DEC平面 PDE.所以 ABI 平面 PDE. 因为AB1平面 PDE.POC平面 PDE.所以 AB1 PO................. .............分 因为AB1PO.ED1PO.ABODE=E.AB.DEC平面ABCD.所以 PO1平面ABCD. 因为△PDE是等边三角形,PE-、5.所以Po-5-. ........................分. 因为AB1ED.AB/CD.所以DE1CD. 在Rt△oCD中oD-是.cp-2,可得oc-D+CD'-()+2-1. ............1o.. 因为PO1平面ABCD.OCC平面ABCD.所以OP1OC. 在R△oCP中:oPr-号oc-可得PC--一()+()_7. .....1分 △PBC的积PcxBc*-(PC)-×7×2:-()-7 因为Su-x2x2sin-5.所以Vr-c-sauc Po=x3x3= 设点A到平面PBc的距离为a.有V-mc-asam-ax3-a. 因为y_-a-V1-c以-.可得-