3.1.2椭圆的几何性质(直线与椭圆的位置关系)课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2椭圆的简单 几何性质 (第三课时) 1.判定点与椭圆的位置关系 类比点与圆的位置关系的判定方法,尝试归纳点与椭圆位置关系的判定方法。 椭圆与直线的关系 直线和椭圆可以有哪些关系? 相交 相离 相切 给出解析式,如何判断是哪种情况? 相切、相交、相离的本质是什么? 交点个数 问题化为求交点个数的问题 交点是同时满足两个曲线方程的点 交点个数=方程组解的个数 探究交流 判定直线与椭圆的位置关系 法1:(作图)交点个数 相离(无交点) 相切(1个交点) 相交(2个交点) 法2:代数法(联立,消元, ) 位置关系 解的个数 的取值 相交 解 0 相切 解 0 相离 解 0 两 一 无 > = < 新知引入 5 进一步思考 这种方法能否用于判断其它曲线的关系呢? 如圆与椭圆,二次函数与椭圆,直线与多项式函数? 可以,步骤如下: ①列出两种曲线的方程 ②联立,方程组的解就是交点坐标;方程组解的个数就是曲线交点个数 如三次函数 与直线 就是方程 的交点个数 的解的个数 三次方程有公式,但在此不赘述 由代数基本定理:n次方程最多有n个实数根,因此可以判断,直线和三次函数图像最多有3个交点 应用:判定直线与椭圆的位置关系 线定 椭圆不定 椭圆定 线不定 1或2 应用:判定直线与椭圆的位置关系 线不定 椭圆不定 A. (0,1) B. (0,5) C. [1,5)∪(5,+∞) D. (1,+∞) 椭圆的弦长 求圆的弦长的方法: 前提:直线斜率k存在 前提:直线斜率k存在且不为0 求椭圆弦长的方法: 过焦点的最短弦长(通径): 补充知识:弦长公式1 解:设A(x1, y1), B(x2, y2), 直线l:y=x+t. 倾斜角为45 的直线l与椭圆x2+2y2=2交于A, B两点, 求弦AB最长时直线l的方程. 此时, 直线l:y=x. 由 >0, 得 一组平行线与椭圆相交, 当直线过椭圆中心时, 弦长最长. 应用1:平行线所截得的最长弦 新知引入 14 应用2:椭圆的弦长公式与韦达定理 求弦长|AB|与点O到直线AB的距离 已知直线l过椭圆x2+2y2=2的左焦点F1, 交椭圆于A, B两点, 求 ABF2面积的最大值. 已知直线过点(n, 0), 可设为: ②x=my+n ①y=k(x-n) 不含斜率不存在的情形 不含斜率为0的情形 消x 设l: x=my-1, A(x1,y2),B(x1,y2)且y1>y2. 解: 由题,知直线l不与x轴重合, 消x得 ∴ ABF2面积的最大值为 应用2:三角形的面积与韦达定理 16 补充知识:弦长公式2 微专题1 点差法及其运用 例3 已知椭圆 =1的弦AB的中点M的坐标为(2,1),则直线AB的方程为_. 探究交流 法一:易知直线AB的斜率k存在,设所求直线的方程为y-1=k(x-2), 得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0. 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两根, 得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0. 又M为AB的中点, 故所求直线的方程为x+2y-4=0. 20 方法二 设点A(x1,y1),B(x2,y2). ∵M(2,1)为AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2. 又A,B两点在椭圆上, 于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0. 故所求直线的方程为x+2y-4=0. 代点 作差 (中点公式) (斜率公式) 21 中点弦问题 目的:求斜率k 联立+中点公式 设而不求 韦达定理 中点弦问题 (中点/斜率公式) 代点 作差 点差法 目的:求斜率k 中点弦问题 点差法 (中点公式) 代点 作差 (斜率公式) 中点弦问题 点差法 关于原点对称 椭圆斜率乘积定值问题 3.椭圆上的点到直线距离的最值 (法1) 3.椭圆上的点到直线距离的最值 思路2:①求与l 平行且与椭圆相切的直线 ②求两平行线的距离 最大距离 (法2) 椭圆的弦长 前提:直线斜率k存在 前提:直线斜率k存在且不为0 求椭圆弦长的方法: 过焦点的最短弦长(通径): 解:设A(x1, y1), B(x2, y2), 直线l:y=x+t. 倾斜角为45 的直线l与椭圆x2+2y2=2交于A, B两点, 求弦AB最长时直线l的方程. 此时, 直线l:y=x. 由 >0, 得 一组平行线与椭圆相交, 当直线过椭圆中心时, 弦长最长. 应用1:平行线所截得的最长弦 新知引入 30 应用2:椭圆的弦长公式与韦达定理 求弦长|AB|与点O到直线AB的距离 应用2:三角形的面积与韦达定理 已知直线l过椭圆x2+2y2=2的左焦点F1, 交椭圆于A, B两点, 求 ABF2面积的最大值. ②当直线斜率存在时, 解:①当直线斜率不存在时, A(x1,y2), B(x1,y2)且y1>y2. 消y得 ∴ ABF2面积的最大值为 应用2:三角形的面积与韦达定理 33 已知直线l过椭圆x2+2y2=2的左焦点F1, 交椭圆于A, B两点, 求 ABF2面积的最大值. 已知直线过点(n, 0), 可设为: ②x=my+n ①y=k(x-n) 不含斜率不存在的情形 不含斜率为0的情形 消x 设l: x=my-1, A(x1,y2),B(x1,y2)且y1>y2. 解: 由题,知直线l不与x轴重合, 消x得 ∴ ABF2面积的最大值为 应用2:三角形的面积与韦达定理 34 解:设A(x1, y1), B(x2, y2), 直线l:y=x+t. 倾斜角为45 的直线l与椭圆x2+2y2=2交于A, B两点, 求弦AB最长时直线l的方程. 此时, 直线l:y=x. 由 >0, 得 一组平行线与椭圆相交, 当直线过椭圆中心时, 弦长最长. 应用:平行线所截得的最长弦 35 应用3.椭圆上的点到直线距离的最值 ①求与l 平行且与椭圆相切的直线 ②求两平行线的距离 最大距离 (法2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知椭圆x2+8y2=8,在椭圆上求一点P,使P到直线l:x-y+4=0的距离最短,并求出最短距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设与直线x-y+4=0平行且与椭圆相切的直线方程为x-y+a=0(a≠4), 消x得9y2-2ay+a2-8=0, 由 =4a2-36(a2-8)=0, 解得a=3或a=-3, ∴与直线l距离较近的切线为x-y+3=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 两条直线之间的距离即为所求最短距离, 且直线x-y+3=0与椭圆的切点即为所求点P. 直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系的判断方法: 联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程: + 由 于是x1+x2=. ∴==2, 解得k=-. 则x+4y=16,x+4y=16, 两式相减,得(x-x)+4(y-y)=0, ∴=-=-=-, 即kAB=-. Lavf58.45.100 由 故所求最短距离d==. 由 得即P. $$