2.4.2圆的轨迹方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题二：圆的轨迹方程 轨迹方程的定义 轨迹的定义：平面上一动点M,按照一定规则运动,形成的曲线叫做动点M的轨迹. 轨迹方程的定义：点M的轨迹方程是指点M的坐标(x, y)满足的关系式. 若求“轨迹方程”，只需写出动点坐标x,y满足的关系式，注意x,y的取值范围； 若求“轨迹”，则要先求出“轨迹方程”，再说明方程的轨迹图形，注意“补漏”和“去掉多余”的点． 求轨迹方程的关键：动中找定——在动点运动的过程中找出动点满足的不变的性质。 =32. 轨迹方程 所以点的轨迹是以 (6,2)为圆心，半径为的一个圆. 轨迹 探究交流 求轨迹方程——①（坐标法） [例1](P89-9)已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为， 求点M的轨迹方程. 已知平面上两点A、B，则满足 =k(k>0且k≠1)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，又称阿氏圆。 ①建：建立平面直角坐标系； ②设：求谁的轨迹就设谁的坐标为(x,y); ③找：找限制条件，即动点满足的几何关系； ④代：将点的坐标代入几何关系式中； ⑤化：化简代数式，查漏排余 (建系不同,方程不同) 小结：坐标法求动点轨迹问题的基本步骤 第一步 建立适当的平面直角坐标系 寻找动点满足的几何关系 第二步 将几何问题用方程表示 代数化简、变形，得到轨迹方程 第三步 把轨迹方程“翻译”成轨迹 练1、(教材P89习题2.4 7题）等腰三角形的顶点A（4,2），底边的一个端点是B（3,5），求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？ 新知引入 轨迹与轨迹方程得区别，轨迹要说明其特征 且点M是线段AB的中点，所以 解： 设点M的坐标是 设点A的坐标是 由于点B的坐标是(4,3), 于是有 所以点A的坐标满足方程 因为点A在圆 上运动， 即 例2、（教材P87例5）已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. (x,y) (a,b) (x0,y0) 求轨迹方程——②相关点法 把（1）代入（2）得 整理得 所以点M的轨迹是以 为圆心，半径长为1的圆。 例2、（教材P87例5）已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 追问5：你能将上述例题抽象为一般的问题吗并总结梳理出求曲线方程的一般步骤吗？ 求轨迹方程——②相关点法 [例2](P87)已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 求谁设谁为(x,y) 点A的运动 点M的运动 引起 找所求点与已知点的坐标关系，代入已知点的方程 (x,y) (a,b) (x0,y0) 点A的方程 点M的方程 坐标 关系 代换 求轨迹方程——②相关点法 求轨迹方程——③定义法 例3(P88-7).等腰三角形的顶点A的坐标是(4,2)，底边一端点B的坐标是(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形. 定义法 [练习1]已知M(－2,0)，N(2,0)，求以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程，并说明它是什么图形. 探究交流 提醒。。斜率。向量。那个最好 坐标法 [练习]已知M(－2,0)，N(2,0)，求以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程，并说明它是什么图形. 探究交流 提醒。。斜率。向量。那个最好 求轨迹方程——④消参法 练习.已知当<m<1时，方程x2+y2－2(m+3)x+2(1－4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，求圆心C的轨迹方程. 求轨迹方程——④消参法 (1)坐标法：建立适当的坐标系后，设动点为(x，y)，根据几何条件寻求x，y之间的关系式． 求曲线方程的常见方法 (2)定义法：如果所给几何条件正好符合已学曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程． (3)代入法(相关点法)：利用所求曲线上的动点与已知曲线上动点的关系,把所求动点转换为已知动点．具体地说,就是用所求动点的坐标(x，y)来表示已知动点的坐标,并代入已知动点满足的曲线的方程,由此可求得动点坐标(x, y)满足的关系． 例3　点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程； x y O 求谁设谁为(x,y) 相关点法 16 例3　点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程； 求谁设谁为(x,y) x y O 直接法 17 设线段PQ的中点N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 例3　点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程. x y O 18 延伸探究　 1.在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程. 设T(x，y). 因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT. 当斜率存在时，有kOT·kBT＝－1. 整理得x2＋y2－x－y＝0. 当x＝0或1时，点(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)也都在圆上. 故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0. x y O 直接法 例3　点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点 19 延伸探究　 1.在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程. x y O 例3　点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点 点差法 20 设点E(x，y)，P(x0，y0). 整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1， ∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4， x y O 直接法 例3　点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点,P，Q为圆上的动点求BP的中点E的轨迹方程. 21 跟踪训练3　已知圆C经过(2,6)，(5,3)，(2,0)三点. (1)求圆C的方程； 设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆C的方程为x2＋y2－4x－6y＋4＝0. 22 (2)设点A在圆C上运动，点B(2,3)，且点M满足 ，求点M的轨迹方程. 设M(x，y)，A(xA，yA)， 由点A在圆C上，得(3x－4)2＋(3y－6)2－4(3x－4)－6(3y－6)＋4＝0， 即x2＋y2－4x－6y＋12＝0， 故点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－6y＋12＝0. 23 巩固：求轨迹方程 1.(P89-8)长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程. 点A,B的运动引起点M的运动 动点M的特征满足某曲线的定义 当A或B与O重合时,上式仍然成立. 定义法 直接法 相关点法 巩固：求轨迹方程 定义法 相关点法 巩固：求轨迹方程 解：设△ABC的重心M(x，y)，顶点C(a，b)， 将②代入①得(3x＋3)2＋(3y＋3)2＝9 3.已知△ABC的顶点A(－3,0), B(0,－3), 另一个顶点C在曲线 x2＋y2＝9上运动.求△ABC的重心M的轨迹方程． 由三角形重心坐标公式得 化简得△ABC重心M的轨迹方程 巩固：求轨迹方程 直接法 定义法 几何法 【课后练习】求轨迹方程 【课后练习】求轨迹方程 相关点法 定义法 【课后练习】求轨迹方程 消参法 【课后练习】求轨迹方程 【课后练习】求轨迹方程 几何法 教材P88-6.平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(﹣1,2)四点，则这四点是否在同一个圆上？为什么？ [注]①任意不共线的三点必共圆； ②对角互补的四边形的四个顶点共圆； 即·＝－1， ∵B(1,1)，∴ 整理得，点E的轨迹方程为x2＋y2－x－y－＝0. 由题意得解得 则＝(x－xA，y－yA)，＝(2－x,3－y)， 由＝2，得解得 ＝2 $$