2.2.3直线的一般式方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.2.3直线的一般式方程 直线的方程 一点及斜率 直线上两点 点斜式 斜截式 两点式 截距式 复习引入 形式 条件 直线方程 应用范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式 注:在使用点斜式和斜截式求解直线方程时,若斜率存在与否难以确定,应分“斜率存在”和“斜率不存在”这两种情况分别考虑,以免丢解. 不含与x轴垂直的直线 不含与x轴垂直的直线 不含与x, y轴垂直的直线 不含过原点和与x, y轴垂直的直线 直线过点(x0, y0), 且斜率为k 在y轴上的截距为b, 且斜率为k 过点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2) 过点P1(a,0), P2(0,b) (其中a≠0, b≠0) 复习引入 问题1:直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程,各有什么几何意义?它们本质是什么?它之间存在怎样的联系?谈谈你的理解和认识. (1)直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程,都具有明确的几何意义,都涉及确定直线位置的两个基本要素:两点或一点与斜率; (2)它们形式不同,但本质一致,都是对直线(几何图形)的定量(代数)刻画,并且在对直线的定量刻画中,斜率均处于核心地位; (3)点斜式方程是所有形式方程的基础,其他所有形式的方程都是点斜式方程在一定条件下的变式或推论; (4)所有不同形式的直线方程都有不同的适用条件,且都不能刻画斜率不存在的直线. 探究交流 区别:应用条件不同;表达形式不同; 追问: 能否用一种方程形式表示平面直角坐标系中的任何一条直线l? 联系: 都是关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0 探究交流 【分析】任意一条直线l,在其上任取一点P0(x0,y0), 当直线l的斜率为k时,其方程为y-y0=k(x-x0),这是关于x,y的二元一次方程; 当直线l的斜率不存在时,其方程为x-x0=0, 可认为是关于x,y的二元一次方程(y的系数为0), ∴平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示. 追问1: 能否用一种方程形式表示平面直角坐标系中的任何一条直线l? 探究交流 追问2: 任意一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线吗? 【分析】当B≠0时,方程Ax+By+C=0可变形为y=-x-, 它表示过点(0,- ),斜率为- 的直线. 当B=0时,A≠0,方程Ax+By+C=0可变形为x=-, 它表示过点(-,0),且垂直于x轴的直线. 故关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线. A,B不同时为0 探究交流 当A,B同时为0时, 方程Ax+By+C=0表示什么? C=0时,方程对任意的x,y都成立, 故方程表示整个坐标平面; C≠0时,方程无解, 方程不表示任何图象. 【注】平面内的任意一条直线都可以用一般式表示. 探究交流 【注1】直线方程化为一般式时,一般约定: x的系数为正,x, y的系数及常数项一般不出现分数,按含x项、含y项、常数项顺序排列. 练习2.方程Ax+By+C=0表示倾斜角为锐角的直线,则必有 ( ) A.A B>0 B.A B<0 C.A>0且B<0 D.A>0或B<0 B 探究交流 探究交流 结合例6,我们可以我们可以从几何角度看一个二元一次方程,即一个二元一次方程表示一条直线. 在代数中,我们研究了二元一次方程的解,因为二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标,所以这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合组成一条直线. 平面直角坐标系是把二元一次方程和直线联系起来的桥梁,这是笛卡儿的伟大贡献.在平面直角坐标系中,任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线;反之,直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示. 探究交流 探究交流 (1) 探究交流 探究交流 探究交流 问题3:在方程中,为何值时,方程表示的直线: ①平行于轴?②平行于轴?③与轴重合?④与轴重合? ⑤过原点? 探究交流 2.直线的位置关系与方程系数 探究交流 5.2直线的位置关系与方程系数 例2.已知直线m的方程为3x+4y-12=0,求过点(-1,3),且与直线m平行的 直线l的方程. 练习1:已知直线m的方程为3x+4y-12=0,求过点(-1,3),且与直线m垂直的直线l的方程. 探究交流 练习2.判断下列两组直线是否平行或垂直: (1)l1:x+2y-7=0;l2:2x+4y-7=0. (2)l1:4x-y+3=0;l2:3x+12y-11=0. 探究交流 练习3.已知直线l1:(m+2)x+(m+3)y-5=0和l2:6x+(2m-1)y=5. 当m为何值时,有:(1)l1⊥l2 ;(2)l1∥l2 当m=4时,l1:6x+7y-5=0,l2:6x+7y=5,即l1与l2重合; 当m=时,l1:﹣x+y-5=0,l2:6x6y5=0,即l1∥l2. 故当m=时,l1∥l2. 探究交流 两条直线的位置关系的判定 探究交流 6.直线恒过定点问题 练习6.直线y=k(x+2)+3恒过定点_. [变式1]无论k为何值时,直线kx-y+2+2k=0恒过定点_. y-3=k(x+2) 法1:化为y-2=k(x+2) [变式2]不论a为何值,直线(a+1)x+y+2-a=0恒过定点_. 法1:将方程化为点斜式 法2:化为k(x+2)-y+2=0, 只需x+2=0且-y+2=0, 得x=﹣2,y=2. 法2:化为a(x-1)+x+y+2=0, 只需x-1=0且x+y+2=0, 得x=1,y=﹣3. 法2:将含参数的项放一起 题型三:含参数的一般式方程问题 例3.已知直线. (1)求证:不论为何值,直线总经过第一象限; (1)证明:将直线的方程整理为, ∴直线的斜率为,且过定点, 而点在第一象限内,故不论为何值,恒过第一象限. 典例分析 例3.已知直线. (2)为使直线不经过第二象限,求的取值范围. (2)解:直线的斜率为. 如图所示,要使不经过第二象限,需斜率, ∴,即的取值范围为. 典例分析 $$