2.1.1直线的倾斜角与斜率课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.1.1倾斜角与斜率 十六世纪以后,由于生产和科学技术的发展,天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如,德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的,太阳处在这个椭圆的一个焦点上;意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。为了要精准地研究这些比较复杂的曲线,导致了解析几何的出现。 法国数学家笛卡儿,费马,创立了坐标系,用坐标系刻画运动变化,这就是解析几何的创始. 直观感知 操作确认 思辨论证 度量计算 几何图形的形状、大小和位置关系 综合法 本章我们采用坐标法研究几何图形的性质. 坐标法是解析几何中最基本的研究方法. 新知引入 点 数 曲线 ? 坐标系 几何问题 代数问题 转 化 (坐标) 笛卡儿 费马 直线 圆 椭圆 抛物线 双曲线 坐标系 几何的基本元素—点 代数的基本对象—数(有序数对或数组) 坐标系 探究交流 平面直角坐标系中的点与有序数对一一对应,那么平面中的图形和怎样的代数对应呢?几何的基本元素—点 问题1:确定一条直线位置的几何要素是什么? 两点可确定一条直线 追问1:还有没有确定一条直线的方法? 一点和一个方向可确定一条直线; 两点确定一条直线也可以归结为一点和一个方向确定. 追问2:如何确定一条直线的方向呢? 设P1,P2为直线上的两个点, 则就是这条直线的方向向量. 两点P1,P2 一点和一方向 探究交流 方向是直线的一个重要几何要素. 问题2 :如何表示直线的方向? 水平直线的方向向右 直线的方向向上 探究交流 问题2:利用直角坐标系进一步研究确定直线位置的几何要素,如图过一点可作无数条直线,它们组成一个直线束,这些直线的区别是什么?你能利用直角坐标系中的一些元素将这些直线区分开? 方向不同 倾斜程度不同 我们看到,这些直线相对于x轴的倾斜程度不同,也就是它们与x轴所成的角不同 如何给这样的角下定义? X Y O P . 探究交流 利用倾斜角刻画直线方向的合理性 ①定义:当直线l与x轴相交时,以x轴作为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角 叫做直线l的倾斜角。 1.直线的倾斜角 ②范围:0 ≤ <180 当直线l与x轴平行或重合时,规定其倾斜角 =0 ③方向相同的直线,倾斜角相同 构建数学 当直线轴相交时,我们以轴为基准,轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角 直线倾斜角的定义: 规定:1.当直线与x轴平行或重合时, 2.当直线与x轴垂直时, 范围: 3.方向相同的直线,倾斜角相同 方向不同 倾斜程度不同 倾斜角不相等 直线 倾斜角 探究交流 练习:下列图中标出的直线的倾斜角对不对? o x y o x y o x y o x y (1) (2) (3) (4) 小试身手 问题3: 直线l的倾斜角 与P1(x1,y1), P2(x2,y2)(x1≠x2)有什么联系? O x y (1) 我们利用尝试利用向量法探究下面问题 探究交流 问题4: 直线l的倾斜角 与P1(x1,y1), P2(x2,y2)(x1≠x2)有什么联系? O x y P (2) 探究交流 问题4: 直线l的倾斜角 与P1(x1,y1), P2(x2,y2)(x1≠x2)有什么联系? O x y P P1 P2 O x y P2 P1 P 探究交流 O x y P P2 P1 O x y P1 P2 P 探究交流 追问: x1=x2时,直线线l的倾斜角 与P1(x1,y1), P2(x2,y2)有什么联系? 探究交流 把一条直线的倾斜角 的正切值tan 叫做这条直线的斜率,常用k表示. 的范围 k的范围 k=0 k>0 k不存在 k<0 与x轴垂直 与x轴平行或重合 直线的倾斜角越大,斜率越大( ) 为锐角时, 越大,斜率越大,k由0变化到+∞; 为钝角时, 越大,斜率越大,k由-∞变化到0; 所有的直线都有倾斜角;但不是所有直线都有斜率. 探究交流 例1 如图,已知A(3,2),B(,1),C(0,1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 解:直线AB的斜率 直线BC的斜率 直线CA的斜率. 由>0及>0可知,直线与的倾斜角均 为锐角;由<0可知,直线的倾斜角为钝角. 典例分析 16 探究交流 (3).(多选)若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30 角,则直线l的倾斜角为( ). A.30 B.60 C.120 D.150 BC 探究交流 小试身手 探究交流 例题讲解——求斜率或倾斜角的范围 例1.(1)若直线l的倾斜角 满足45 < <120 ,求直线l的斜率k的取值范围. (2)若直线l的斜率k满足k≥,求直线l的倾斜角 的取值范围. (3)若直线l的斜率k满足k≤,求直线l的倾斜角 的取值范围. (4)若直线l的斜率k满足﹣1<k<1,求直线l的倾斜角 的取值范围. 知 求k或知k求 : 利用y=tan x的图象 例题讲解——求斜率或倾斜角的范围 例2.已知两点A(-3,4),B(3,2),直线l经过点P(2,-1) ,且与线段AB相交,则 l的斜率k的取值范围是_. [变式1]直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,求直线l 的斜率k和倾斜角 的取值范围. k= 倾斜角 斜率k k=tan 两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 方向向量(x,y) k= tan = 课堂小结 与斜率有关的最值或范围问题 与斜率有关的最值或范围问题 【小结】与斜率有关的最值或范围问题 与斜率有关的最值或范围问题 与斜率有关的最值或范围问题 Lavf58.45.100 $$