精品解析：北京市朝阳区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

北京市朝阳区2023~2024学年度第二学期期末检测 七年级数学试卷（选用） 2024.7 （考试时间90分钟 满分100分） 考生须知： 1．本试卷共6页，共三道大题，26道小题． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共24分，每题3分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 9 的算术平方根是（ ） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 81 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的性质计算即可； 【详解】9的算术平方根是3． 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的计算，准确计算是解题的关键． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点所在的象限是第二象限． 故选：B 3. 如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查实数与数轴、勾股定理，掌握勾股定理是解题关键．由数轴可知正方形的边长为1，由勾股定理即可得出正方形的对角线长为，根据以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧可得出，则可得出点A表示的数． 【详解】解：由图可知正方形的边长为1， ∴正方形的对角线长为：， ∵以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧， ∴， ∴点A表示的数是， 故选：B． 4. 如图，三角形中，，于点D．在线段中，长度最短的是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形三边关系，根据垂线段最短，在，，中，最短，三角形三边关系可得出：，， 进而可得出在线段中，长度最短的是． 【详解】解：在，，中， ∵ ∴最短， ∵三角形中，， ∴，， 综上，在线段中，长度最短的是． 故选：D． 5. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【详解】解：A．∵，∴，原变形正确，故该选项符合题意； B．∵，∴，原变形错误，故该选项不符合题意； C．∵，∴，原变形错误，故该选项不符合题意； D．∵，∴，原变形错误，故该选项不符合题意； 故选∶A 6. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，即可． 【详解】∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7. 经调查，七年级某班学生上学所用的交通工具中，自行车占，公交车占，私家车占，其他占．如果用扇形图描述以上数据，下列说法正确的是（ ） A. “自行车”对应扇形的圆心角为 B. “公交车”对应扇形的圆心角为 C. “私家车”对应扇形圆心角为 D. “其他”对应扇形的圆心角为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图的知识，解题的关键是掌握扇形统计图中圆心角度数为：乘以百分比，即可． 【详解】A、“自行车”对应扇形的圆心角为：，不符合题意； B、“公交车”对应扇形的圆心角为：，符合题意； C、“私家车”对应扇形的圆心角为，不符合题意； D、“其他”对应扇形的圆心角为，不符合题意； 故选：B． 8. 已知，，给出下面3个结论：①当时，；②M的最小值是18；③M的最大值是24．上述结论中，所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，代数式求值，当时，可根据已知条件得出，即可求出x的值，再代入代数式计算即可判断①，由已知条件得出，根据可得出，则，利用一次函数的性质可判断②③． 【详解】解：当时，，即， ∴， ∴，故①正确， 由可知： ，且 ∴， 则， ∴随x的增大而减小， ∴取最大值6时，此时M有最小值为：．故②正确， 取最小值4时，此时M有最大值为：．故③错误， 故选：A． 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 的相反数是_____． 【答案】 【解析】 【详解】只有符号不同的两个数互为相反数， 由此可得的相反数是-， 故答案为：-. 10. 比较大小：4______ 【答案】＞ 【解析】 【分析】先估算出的范围，即可得出答案． 【详解】∵4= 又∵ ＞ ∴4＞ 故答案为： ＞ 【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能估算出的范围是解此题的关键． 11. 与2的差大于，用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查列不等式，解题的关键是理解题意． 12. 不等式的正整数解是_______． 【答案】1，2 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．求出不等式的解集，找出解集中的正整数解即可． 详解】解：不等式， 移项合并同类项得：， 解得：， 则不等式的正整数解为：1，2． 故答案为：1，2． 13. 有如下调查：①调查某批次汽车的抗撞击能力；②了解某班学生的视力情况；③选出某班长跑最快的学生参加全校比赛．以上调查，适宜抽样调查的是________．（填写序号） 【答案】① 【解析】 【分析】本题考查全面调查与抽样调查，当在要求精确，难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择全面调查；当考查对象很多或考查会造成破坏，以及考查经费和时间都有限时，应选择抽样调查． 【详解】解：①调查某批次汽车的抗撞击能力，危险性大，成本高，故适合抽样调查； ②了解某班学生的视力情况，涉及人数较少，适合全面调查； ③选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，涉及人数较少，适合全面调查； 故答案为：① 14. 图中显示了15名七年级学生国家安全知识竞赛成绩和航天知识竞赛成绩（单位：分）．例如：甲同学的国家安全知识竞赛成绩为40分，航天知识竞赛成绩为70分．这15名学生中，国家安全知识竞赛成绩与航天知识竞赛成绩相等的有________人． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据函数图象得出国家安全知识竞赛成绩与航天知识竞赛成绩相等的点的个数，即可得出答案． 【详解】解：∵图中横、纵坐标相同的点有，， ∴国家安全知识竞赛成绩与航天知识竞赛成绩相等的有2人， 故答案为：2． 15. 如图，第一象限内有两个点，将线段平移，使点A，B平移后的对应点分别同时落在两条坐标轴上，则点A平移后的对应点的坐标为________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移的性质求解即可． 【详解】解：当点A平移后的对应点在y轴上，点B平移后的对应点在x轴上， 则A平移后的对应点的横坐标为0，点B平移后的对应点纵坐标为0， ∵ ∴． 点A平移后的对应点的坐标是， 故答案为：答案不唯一． 16. 某校为提高校园足球质量和水平，让学生在参与校园足球运动中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，实现德智体美劳全面发展，举办了校园足球联赛．根据赛事安排，每队均需参赛19场，记分办法如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分． （1）在这次足球联赛中，若某队得13分，则该队可能负_______场；（写出一种情况即可） （2）在这次足球联赛中，若甲、乙两队都得33分，甲队所有比赛都没有踢平，甲、乙两队负场数不同，则乙队最多胜______场． 【答案】 ①. 10（答案不唯一） ②. 10 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程和一元一次不等式的应用． （1）设该队胜了x场，平了y场，负了z场，根据“每队需参赛19场，某队得13分”，即可列出方程，求解即可； （2）根据甲队的比赛情况可知甲队共胜了11场，负了8场．设乙队胜了a场，平了b场，负了c场，根据“参赛19场，某队得33分”即可列出方程，结合a，b，c均为非负整数，且，即可得到a的最大值，从而解答． 【详解】解：（1）设该队胜了x场，平了y场，负了z场，根据题意，得 ， ∵x，y，z均为非负整数 ∴或，，， ∴该队可能负8场或10场，12场，14场． 故答案为：10（答案不唯一） （2）∵甲队所有比赛都没有踢平，且得33分， ∴甲队共胜了（场） 负了（场）， 设乙队胜了a场，平了b场，负了c场，根据题意，得 ， ∵a，b，c均为非负整数，且， ∴a最大值为 即乙队最多胜了10场． 故答案为：10 三、解答题（共52分，第17-24题，每题5分，第25-26题，每题6分） 17 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的化简，立方根计算，熟练掌握立方根是解题的关键．根据计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次不等式组，掌握加减消元法是解题的关键．先将第一个方程，然后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：，解得： 把代入①得：，解得： 则该方程组的解为 19. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：原不等式组为 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集为． 20. 完成下面的证明． 已知：如图，，． 求证：． 证明：∵，（已知） ∴____________=____________．（____________） ∵，（已知） ∴____________．（同角的补角相等） ∴．（____________） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，根据题意，则，根据，等量代换，则，再根据平行线的判定，即可． 【详解】证明，如下： ∵，（已知） ∴．（两直线平行，同旁内角互补） ∵，（已知） ∴．（同角的补角相等） ∴．（内错角相等，两直线平行） 21. 如图，在三角形中，点A，B的坐标分别为，，将三角形向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形，点A，B，O的对应点分别为． （1）画出三角形，并写出点的坐标； （2）直接写出三角形的面积． 【答案】（1）画图见解析； （2）7 【解析】 【分析】本题主要考查了平移作图，写出直角坐标系中点的坐标以及利用网格求三角形的面积． （1）根据平移画出三角形，再写出点的坐标即可． （2）利用网格求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：根据平移的性质，画图如下： ∴ 【小问2详解】 22. 某电商销售长征系列画册和红色经典故事两种图书，它们的进价和售价如下表： 种类 长征系列画册 红色经典故事 进价（元/套） 300 a 售价（元/套） b 100 该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元．（利润售价进价） （1）求表中a，b的值； （2）该电商计划购进长征系列画册和红色经典故事两种图书共300套，据市场销售分析，购进红色经典故事的套数不低于长征系列画册套数的2倍．若电商把300套图书全部售出，则购进长征系列画册多少套能使利润最大？（直接写出即可） 【答案】（1） （2）购进长征系列画册100套能使利润最大． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设该电商计划购进长征系列画册x套，则红色经典故事套，根据题意得到，求出，然后设总利润为w，表示出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 根据题意，得 解得 ． 【小问2详解】 设该电商计划购进长征系列画册x套，则红色经典故事套 根据题意得， 解得 设总利润为w ∴ ∵ ∴w随x的增大而增大 ∴当时，w有最大值． ∴购进长征系列画册100套能使利润最大． 23. 为了解某校七年级学生的气象知识竞赛成绩（百分制，单位：分），从中随机抽取了名学生的成绩，该校甲、乙两个数学课外活动小组对数据进行了整理、描述，部分信息如下： a．甲小组将数据分为4组，频数分布表与频数分布直方图如下： 分组 频数 表1 图1 b．乙小组将数据分组，频数分布表与频数分布直方图如下： 分组 频数 表2 图2 （1）写出表1中的值，表2中的值； （2）补全图； （3）如果学校准备根据样本的数据分布情况，对七年级竞赛成绩前的学生进行表彰，那么哪个数学课外活动小组对数据的整理、描述更合理，为什么？ 【答案】（1）； （2）见解析 （3）乙数学课外活动小组；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查频数直方图，解题的关键掌握频数直方图的定义，从直方图中得到信息，进行解答，即可． （1）根据题意，总人数为人，则，，即可； （2）由（1）得，的值，补全统计图，即可； （3）根据频数直方图的意义，即可． 【小问1详解】 解：，． 故答案为：；． 【小问2详解】 由（1）得，，补全统计图如下： 【小问3详解】 解：乙数学课外活动小组对数据的整理、描述更合理． 理由：如下： 由题意可知，人的是人，从甲数学课外活动小组对数据整理、描述的结果可以得出成绩前名的学生，即样本的； 从乙数学课外活动小组对数据整理、描述的结果可以得出成绩前名的学生，即样本的， ∴乙数学课外活动小组得到的样本数据的分布情况，能够更好地估计七年级竞赛成绩前的学生， ∴乙数学课外活动小组对数据的整理、描述更合理． 24. 对于正实数x四舍五入到个位后得到的整数记为，即当n为非负整数时，若，则，如：． （1）____________； （2）若，求x取值范围； （3）若，求的值． 【答案】（1）3 （2） （3）2 【解析】 【分析】本题主要考查了求近似数，非负整数的定义以及解一元一次不等式组． （1）根据正实数x四舍五入到个位后得到的整数记为可得出， （2）根据题意列出关于的不等式，求解即可． （3）根据题意列出关于x的不等式，求解并利用非负整数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：3． 【小问2详解】 根据题意，得． ． 【小问3详解】 根据题意，得． 解得． 是整数， ． ． 25. 直线，与的角平分线交于点的延长线交于点，交直线于点G． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点M在线段上，点N在线段上，且，连接．写出一个的度数，使得成立，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）；证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质的应用，角平分线的性质的应用，垂直的定义等知识点，合理作出辅助线是解决此题的关键． （1）如图，过点E作，利用平行线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后可得，进而即可得证； （2）设，用含的代数式表示出，再由平行线得出，进而即可得证； 【小问1详解】 如图，过点E作， ． ∵， ， ， 平分平分， ， ， ，即， ， ， ， ， 【小问2详解】 ，理由如下： 设，如图， ， ， ， ， ． ． ， ， ． 26. 在平面直角坐标系中，已知点，若点Q的坐标为，则称Q是点P的非常变换点．例如：点的非常变换点为． （1）已知点的非常变换点为Q，当时，点Q的坐标为_________，当时，点Q的坐标为___________； （2）在正方形中，点，已知点． ①若点M的非常变换点为C，求a的值； ②若线段上的所有点（含端点）和它们的非常变换点都在正方形的边上或内部，直接写出a的最小值及此时x的值． 【答案】（1）； （2）① ②；1 【解析】 【分析】本题主要考查了非常变换点的定义，二元一次方程组的应用，一元一次不等组的应用，理解非常变换点的定义是解题的关键． （1）根据非常变换点的定义求解即可． （2）①由题意得，的非常变换点为．根据非常变换点的定义列出关于x和a的二元一次方程组求解即可． ②根据线段在正方形内部及边上，列出关于x以及a的一元一次不等式组，解不等组求出x和a的取值范围，根据，则a的最小值为得出M和N的坐标，根据非常变换点的定义求出M和N各自对应的非常变换点和，最后验证和是否在正方形的边上或内部即可． 【小问1详解】 解：当时，点， ∴，， ∴， 当时，， ∴，， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 ①由题意得，的非常变换点为． 则， 整理得：， 解得：， ∴． ②若线段在正方形内部及边上， 则，解得：， ，解得： ∴a的最小值为， 若a取最小值，则x取最大值， ∴，则a的最小值为， 此时，其非常变换点，，其非常变换点， 则线段上的所有点（含端点）和它们的非常变换点都在正方形的边上或内部成立． 故a的最小值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市朝阳区2023~2024学年度第二学期期末检测 七年级数学试卷（选用） 2024.7 （考试时间90分钟 满分100分） 考生须知： 1．本试卷共6页，共三道大题，26道小题． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共24分，每题3分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 9 的算术平方根是（ ） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 81 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，三角形中，，于点D．在线段中，长度最短是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 5. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 经调查，七年级某班学生上学所用交通工具中，自行车占，公交车占，私家车占，其他占．如果用扇形图描述以上数据，下列说法正确的是（ ） A. “自行车”对应扇形的圆心角为 B. “公交车”对应扇形的圆心角为 C. “私家车”对应扇形的圆心角为 D. “其他”对应扇形的圆心角为 8. 已知，，给出下面3个结论：①当时，；②M的最小值是18；③M的最大值是24．上述结论中，所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 的相反数是_____． 10. 比较大小：4______ 11. 与2的差大于，用不等式表示为______． 12. 不等式的正整数解是_______． 13. 有如下调查：①调查某批次汽车的抗撞击能力；②了解某班学生的视力情况；③选出某班长跑最快的学生参加全校比赛．以上调查，适宜抽样调查的是________．（填写序号） 14. 图中显示了15名七年级学生国家安全知识竞赛成绩和航天知识竞赛成绩（单位：分）．例如：甲同学的国家安全知识竞赛成绩为40分，航天知识竞赛成绩为70分．这15名学生中，国家安全知识竞赛成绩与航天知识竞赛成绩相等的有________人． 15. 如图，第一象限内有两个点，将线段平移，使点A，B平移后的对应点分别同时落在两条坐标轴上，则点A平移后的对应点的坐标为________．（写出一个即可） 16. 某校为提高校园足球质量和水平，让学生在参与校园足球运动中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，实现德智体美劳全面发展，举办了校园足球联赛．根据赛事安排，每队均需参赛19场，记分办法如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分． （1）在这次足球联赛中，若某队得13分，则该队可能负_______场；（写出一种情况即可） （2）在这次足球联赛中，若甲、乙两队都得33分，甲队所有比赛都没有踢平，甲、乙两队负场数不同，则乙队最多胜______场． 三、解答题（共52分，第17-24题，每题5分，第25-26题，每题6分） 17 计算：． 18. 解方程组： 19. 解不等式组 20. 完成下面的证明． 已知：如图，，． 求证：． 证明：∵，（已知） ∴____________=____________．（____________） ∵，（已知） ∴____________．（同角的补角相等） ∴．（____________） 21. 如图，在三角形中，点A，B的坐标分别为，，将三角形向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形，点A，B，O的对应点分别为． （1）画出三角形，并写出点的坐标； （2）直接写出三角形的面积． 22. 某电商销售长征系列画册和红色经典故事两种图书，它们的进价和售价如下表： 种类 长征系列画册 红色经典故事 进价（元/套） 300 a 售价（元/套） b 100 该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元．（利润售价进价） （1）求表中a，b的值； （2）该电商计划购进长征系列画册和红色经典故事两种图书共300套，据市场销售分析，购进红色经典故事的套数不低于长征系列画册套数的2倍．若电商把300套图书全部售出，则购进长征系列画册多少套能使利润最大？（直接写出即可） 23. 为了解某校七年级学生的气象知识竞赛成绩（百分制，单位：分），从中随机抽取了名学生的成绩，该校甲、乙两个数学课外活动小组对数据进行了整理、描述，部分信息如下： a．甲小组将数据分为4组，频数分布表与频数分布直方图如下： 分组 频数 表1 图1 b．乙小组将数据分为组，频数分布表与频数分布直方图如下： 分组 频数 表2 图2 （1）写出表1中的值，表2中的值； （2）补全图； （3）如果学校准备根据样本的数据分布情况，对七年级竞赛成绩前的学生进行表彰，那么哪个数学课外活动小组对数据的整理、描述更合理，为什么？ 24. 对于正实数x四舍五入到个位后得到的整数记为，即当n为非负整数时，若，则，如：． （1）____________； （2）若，求x取值范围； （3）若，求的值． 25. 直线，与的角平分线交于点的延长线交于点，交直线于点G． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点M在线段上，点N在线段上，且，连接．写出一个的度数，使得成立，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，已知点，若点Q的坐标为，则称Q是点P的非常变换点．例如：点的非常变换点为． （1）已知点的非常变换点为Q，当时，点Q的坐标为_________，当时，点Q的坐标为___________； （2）正方形中，点，已知点． ①若点M的非常变换点为C，求a的值； ②若线段上的所有点（含端点）和它们的非常变换点都在正方形的边上或内部，直接写出a的最小值及此时x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$