精品解析：北京市石景山区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

石景山区2023—2024学年第二学期初二期末试卷 数 学 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分，考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和考号． 3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标．掌握关于x轴对称的点的坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键．根据关于x轴对称的点的坐标特点即可得出答案． 【详解】在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为， 故选A． 2. 下列标识中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的特点是解本题的关键．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，结合选项所给图形进行判断即可． 【详解】解：A、不中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B 3. 下面多边形中，内角和是外角和2倍的图形是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．设内角和是外角和的倍的多边形是边形，根据多边形内角和公式及外角和为列方程计算即可． 【详解】解：设内角和是外角和的2倍的多边形是边形， 则， 解得：， 即内角和是外角和的2倍的多边形是六边形， 故选：D． 4. 下列关于变量x与y关系的图形中，能够表示“y是x的函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的概念，函数的图象，熟练掌握函数的概念是解题的关键．根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，结合函数图象即可解答． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故A不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故B不符合题意； C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C不符合题意； D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故D符合题意； 故选：D． 5. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．方程常数项移到右边，两边加上9变形即可得到结果． 【详解】解：方程移项得：， 配方得：，即, 故选A． 6. 不解方程，判断关于x的方程的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据题意求出，最后根据计算结果判断方程根的情况． 【详解】由题意得： ∴方程有两个不相等的实数根 故选：C． 7. 在中，，分别平分，，分别交于点，．若，，则的长为（ ） A. B. 1 C. 1.5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先证，同理，，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， 即， 解得：； 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键． 8. 在矩形中，，，动点P从点A出发，沿路线作匀速运动，连接，则的面积y与动点P的运动路程x之间的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，能根据点的不同位置确定出变化趋势，且求出特殊点的值是解决此类问题的关键． 根据点在线段、线段两种情况确定随的变化规律，确定出当点与点重合时，的值即可判断． 【详解】解：当点在线段上运动时，的面积随点的增大而增大， 所以当时，， 当点在线段上运动时，的面积不随点的变化而变化，点在线段上运动的时间是线段上的2倍， 所以符合题意的是B选项． 故选：B． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 在中，，则______． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．可证，从而可求，进而即可求解． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ， ， ∵， ， ， ． 故答案：． 10. 一组数据“，1，3，2，5”的方差为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了求方差，理解并掌握方差的定义和方差公式是解题关键．首先求得这组数据的平均数，然后按照方差公式求解即可． 【详解】解：这组数据的平均数为， 所以，这组数据的方差为． 故答案为：4． 11. 如图，，两地被建筑物阻隔，为测量，两地的距离，先在外选定一点，通过测量得到，的中点，，且，则，两点间的距离是______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理，计算即可． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴是中位线 ∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，中，于E，F为上一点，请添加一个条件，使得四边形是矩形，这个条件可以为______． 【答案】答案不唯一 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，平行四边形的性质，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 先得到四边形是平行四边形，然后再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行推理． 【详解】解：添加，使得四边形是矩形， 证明：∵是平行四边形， ∴， 又∵， ∴是平行四边形， 又， ∴， ∴是矩形． 故答案为：．答案不唯一 13. 甲、乙两名同学在相同的情况下，分别进行了五次“引体向上”的考前预测，得到两组成绩（单位：个）数据，如下表所示： 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 14 观察、比较两组数据，成绩比较稳定的同学为______（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的应用，熟练掌握方差的定义和公式是解题关键．分别求得甲、乙两人成绩数据的方差，比较即可获得答案． 【详解】解：甲同学成绩的平均数为， 则甲同学成绩的方差为， 乙同学成绩的平均数为， 则乙同学成绩的方差为， 因为， 所以，成绩比较稳定的同学为乙． 故答案为：乙． 14. 若点和点在一次函数的图象上，则______（用“＞”、“＜”或“＝”连接）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，根据，一次函数的函数值y随x的增大而减小解答． 【详解】∵ ∴函数值y随x的增大而减小， ∵ ∴ 故答案为：＞． 15. 要在一块长12，宽8的矩形空地中，修建两条形状为平行四边形的甬道（其中一条甬道形状为矩形），剩余部分栽种蔬菜，且菜地的面积为．若设两条甬道的宽为，则根据题意列出的方程可以为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．把所修的两条甬道分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，可列方程． 故答案为：． 16. 一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． x … 0 1 2 … y … 0 1 2 … 给出下面四个结论： ①；②方程的解为；③一次函数的图象不经过第四象限；④若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．先求出该一次函数解析式为，再根据一次函数的图象和性质，可判断，再由点①、②、③，当时，，又，随的增大而增大，当时，，即可判断④，即可求解． 【详解】解：根据题意得：当时，，当时，， ∴方程的解为，故②错误； ，解得：， ∴该一次函数解析式为， ∴，随的增大而增大，图像经过一、二、三象限，不经过第四象限，故①、③选项正确； 当时，， ∵，随的增大而增大，当时，， ∴若，则，故④正确， 故答案为：①③④ 三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分；第21-23题，每小题6分；第24-25题，每小题5分；第26题6分，27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 选择适当的方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 或， ，． 18. 已知：如图，为的对角线，，为直线上两点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质应用以及全等三角形的判定及性质，准确证明三角形全等是解题的关键．通过平行四边形的性质应用证的，即可得到结果； 【详解】证明：四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ∵ ， ． 19. 一次函数的图象与直线交于点． （1）求，的值； （2）函数的图象与轴交于点，为直线上一点，若，请结合函数图象，直接写出点的坐标为______． 【答案】（1），； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查求一次函数解析式和勾股定理以及解一元二次方程，掌握一次函数的图像及性质是解题的关键． （1）由直线过点，得，把代入得，求解即可； （2）由，得一次函数为，从而得，设，由构建方程求解得或，从而即可得解． 【小问1详解】 解：∵直线过点， ∴，解得， ∴， 把代入得， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴一次函数为， 令，则，解得， ∴， 由为直线上一点，设， ∵，， ∴ 解得或， ∴或． 故答案为：或． 20. 工艺美术中常需要设计几何图案．如图，在的正方形网格中，已确定三个格点，，的位置，需要在图中确定点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形．为了精准刻画点的位置，需建立平面直角坐标系．若点，． （1）请画出平面直角坐标系； （2）在图中描出点的位置，并写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）见解析； （2）或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． （1）根据点，建立平面直角坐标系即可； （2）根据平行四边形的判定描出点的位置，从而即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：画出平面直角坐标系如图所示， 【小问2详解】 解：点的位置如图所示， 由图可知，点的坐标为或或． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m为满足条件的最小整数时，求出m的值及此时方程的两个根． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式； （1）根据方程有两个不相等的实数根可得，解不等式求出m的取值范围； （2）由（1）中m的取值范围得出m的最小整数，代入方程，利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 由题意得： 解得： 【小问2详解】 ∵ ∴m的最小整数为 此时方程为 解得： 22. 随着产品质量的提升和国际市场的开拓，中国新能源汽车的出口潜力巨大．2021年，我国新能源汽车出口约30万辆；2023年，我国新能源汽车出口量约120万辆．求从2021年到2023年，我国的新能源汽车出口量的年平均增长率． 【答案】从2021年到2023年，我国的新能源汽车出口量的年平均增长率为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意，可知2022年我国新能源汽车出口量约万辆，则2023年我国新能源汽车出口量约万辆，据此列出方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设新能源汽车出口量的年平均增长率为， 根据题意，可得， 解得（不合题意，舍去），． 答：从2021年到2023年，我国的新能源汽车出口量的年平均增长率为． 23. 如图，在中，，D为中点，以为一组邻边作，与交于点O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、菱形的判定与性质、菱形的面积公式、含30度角的直角三角形等知识，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）由证明四边形是平行四边形，再根据即可证明四边形是菱形； （2）根据勾股定理和菱形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，D为中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形； ∵ ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵，四边形是菱形 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，解得 ∴ ∴ 24. 2024年5月12日是我国第16个防灾减灾日，某校为增强学生的防灾减灾意识，提高防灾减灾能力，开展了相关科普知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从学校200名学生中随机抽取40名学生的成绩（百分制）数据，整理并绘制了如下统计图表： 40名学生成绩的频数分布表（表1） 积分x（分） 频数 频率 3 a 14 m 5 合计 40 根据以上信息，回答下列问题： （1）表1中的值为______，的值为______； （2）补全频数分布直方图，并在图上标出数据； （3）若对成绩不低于分的学生进行奖励，请依据样本数据，估计学校名学生中获得奖励的学生有______名． 【答案】（1）6，； （2）见解析； （3）85 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用表格中的数据，求出所求问题的答案． （1）利用乘以得，利用求得； （2）先求出对应的频数，即可补全频数分布直方图； （3）用乘以不低于分的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：对应的频数为， 补全频数分布直方图如图： 【小问3详解】 解：（人， ∴估计学校名学生中获得奖励的学生有名． 故答案为：． 25. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点，且平行于直线． （1）求一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值都小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式的关系，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出不等式的解集，再根据当时，，即可得到，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数平行于直线． ∴， ∴ ∵一次函数的图象过点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：一次函数的值都小于一次函数的值，时，则， 解得， ∵当时，对于的每一个值，一次函数的值都小于一次函数的值， ∴， ∴． 26. 小明和弟弟小阳分别从家和科技馆同时出发，沿同一条路相向而行．小明开始以一定的速度跑步前往，10分钟后改为步行，到达科技馆恰好用了30分钟．小阳骑自行车以每分钟250米的速度直接回家，两人离家的路程y（单位：米）与各自离开出发地的时间x（单位：分）之间的函数图像如图所示． （1）家与科技馆之间的路程为______米；小明步行的速度为每分钟______米； （2）求小阳离家的路程y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）当离开出发地的时间为6分钟时，求小明和小阳之间的路程． 【答案】（1）；分钟/米 （2）小阳离家的路程y与x的函数解析式为 （3）小明和小阳之间的路程为米 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是能从函数的图象中获取相关信息； （1）认真分析图象得到路程与速度数据； （2）采用待定系数法列出小阳离家路程y与时间x之间的函数关系式； （3）分别求出小明和小阳的路程即可． 【小问1详解】 解：由图中可以看出，家与科技馆之间的路程为米； 由图中可以看出，小明步行时间为分钟，步行路程为米 ∴小明步行的速度为分钟/米 【小问2详解】 解：∵小阳骑自行车以每分钟250米的速度直接回家， 设小阳离家的路程y与x的函数解析式为 把代入得： ∴小阳离家的路程y与x的函数解析式为 当时， ∴自变量x的取值范围 【小问3详解】 解：当离开出发地的时间为6分钟时，小阳距家米 由图中可以看出，小明跑步速度为分钟/米 ∴当离开出发地的时间为6分钟时，小明走了米 ∴小明和小阳之间的路程为米 27. 已知：在正方形中，点E是延长线上一点，且，连接，过点D作的垂线交直线于点F，连接，取的中点G，连接． （1）当时， ①补全图1； ②求证：； ③用等式表示线段之间的数量关系，并证明． （2）如图2，当时，请你直接写出线段之间数量关系． 【答案】（1）①见详解；②见解析；③，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意作出图形即可； ②由正方形的性质 得，，进而 又，得，从而，于是证明； ③在上取一点，使得，连接，证是的中位线，得，再证明，利用勾股定理得，从而即可得解； （2）在延长线上取一点，使得，连接，由正方形的性质得，，进而证明，得，又证是的中位线，得再证，利用勾股定理得，从而即可得解． 【小问1详解】 解：①如图即为所求， ②证明：四边形是正方形， ，， ， ，， 即， ， ∴； ③，理由如下： 在上取一点，使得，连接， ， ； ，点是的中点， 是的中位线， ， 由②得，，， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 ， 理由如下：在延长线上取一点，使得，连接． 四边形是正方形， ， ，， ，， 即， ， ， ， 点是的中点， 是的中位线，， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的中位线的判定及性质及垂线定义，熟练掌握三角形的中位线的判定及性质和正方形的性质是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，M为平面内一点．对于点P和图形W给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P与点Q关于点M对称，则称点P为图形W关于点M的“中心镜像对称点”． （1）如图1，，． ①在点，，，中，线段关于点的“中心镜像对称点”是______； ②若点是线段关于点的“中心镜像对称点”，请直接写出点M的横坐标m的取值范围； （2）如图2，矩形中，，，，．若直线上存在矩形关于点的“中心镜像对称点”，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）①，；②； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称变换，一次函数的性质： （1）根据“中心镜像对称点”的定义可得线段上所有点的纵坐标为1，横坐标在和2之间（包括和2）：①求出各点的关于点的对称点，即可求解；②设点关于点的对称点的横坐标为s，根据“中心镜像对称点”的定义可得，即可求解； （2）先求出点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，再求出直线分别过点，时m的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴线段上所有点的纵坐标为1，横坐标在和2之间（包括和2）； ①点关于点的对称点为， 关于点的对称点为， 关于点的对称点为， 关于点的对称点为， 线段关于点的“中心镜像对称点”是，； 故答案为：， ②设点关于点的对称点的横坐标为s， ∵点是线段关于点的“中心镜像对称点”， ∴， 解得：， ∵线段上所有点的横坐标在和2之间（包括和2）， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：如图， 根据题意得：点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 当直线过点时， ， 解得：， 当直线过点时， ， 解得：， ∴直线上存在矩形关于点的“中心镜像对称点”， m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石景山区2023—2024学年第二学期初二期末试卷 数 学 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分，考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和考号． 3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 下列标识中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面多边形中，内角和是外角和2倍的图形是（ ） A B. C. D. 4. 下列关于变量x与y关系的图形中，能够表示“y是x的函数”的是（ ） A B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ） A. B. C. D. 6. 不解方程，判断关于x的方程的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 7. 在中，，分别平分，，分别交于点，．若，，则的长为（ ） A. B. 1 C. 1.5 D. 2 8. 在矩形中，，，动点P从点A出发，沿路线作匀速运动，连接，则的面积y与动点P的运动路程x之间的函数图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 在中，，则______． 10. 一组数据“，1，3，2，5”的方差为______． 11. 如图，，两地被建筑物阻隔，为测量，两地距离，先在外选定一点，通过测量得到，的中点，，且，则，两点间的距离是______m． 12. 如图，中，于E，F为上一点，请添加一个条件，使得四边形是矩形，这个条件可以为______． 13. 甲、乙两名同学在相同的情况下，分别进行了五次“引体向上”的考前预测，得到两组成绩（单位：个）数据，如下表所示： 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 14 观察、比较两组数据，成绩比较稳定的同学为______（填“甲”或“乙”）． 14. 若点和点在一次函数的图象上，则______（用“＞”、“＜”或“＝”连接）． 15. 要在一块长12，宽8的矩形空地中，修建两条形状为平行四边形的甬道（其中一条甬道形状为矩形），剩余部分栽种蔬菜，且菜地的面积为．若设两条甬道的宽为，则根据题意列出的方程可以为______． 16. 一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． x … 0 1 2 … y … 0 1 2 … 给出下面四个结论： ①；②方程的解为；③一次函数的图象不经过第四象限；④若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分；第21-23题，每小题6分；第24-25题，每小题5分；第26题6分，27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 选择适当的方法解方程：． 18. 已知：如图，为的对角线，，为直线上两点，且．求证：． 19. 一次函数的图象与直线交于点． （1）求，的值； （2）函数的图象与轴交于点，为直线上一点，若，请结合函数图象，直接写出点的坐标为______． 20. 工艺美术中常需要设计几何图案．如图，在的正方形网格中，已确定三个格点，，的位置，需要在图中确定点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形．为了精准刻画点的位置，需建立平面直角坐标系．若点，． （1）请画出平面直角坐标系； （2）在图中描出点的位置，并写出所有符合条件的点的坐标． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m为满足条件的最小整数时，求出m的值及此时方程的两个根． 22. 随着产品质量的提升和国际市场的开拓，中国新能源汽车的出口潜力巨大．2021年，我国新能源汽车出口约30万辆；2023年，我国新能源汽车出口量约120万辆．求从2021年到2023年，我国的新能源汽车出口量的年平均增长率． 23. 如图，在中，，D为中点，以为一组邻边作，与交于点O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 24. 2024年5月12日是我国第16个防灾减灾日，某校为增强学生防灾减灾意识，提高防灾减灾能力，开展了相关科普知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从学校200名学生中随机抽取40名学生的成绩（百分制）数据，整理并绘制了如下统计图表： 40名学生成绩的频数分布表（表1） 积分x（分） 频数 频率 3 a 14 m 5 合计 40 根据以上信息，回答下列问题： （1）表1中的值为______，的值为______； （2）补全频数分布直方图，并在图上标出数据； （3）若对成绩不低于分的学生进行奖励，请依据样本数据，估计学校名学生中获得奖励的学生有______名． 25. 在平面直角坐标系中，一次函数图象过点，且平行于直线． （1）求一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值都小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 26. 小明和弟弟小阳分别从家和科技馆同时出发，沿同一条路相向而行．小明开始以一定的速度跑步前往，10分钟后改为步行，到达科技馆恰好用了30分钟．小阳骑自行车以每分钟250米的速度直接回家，两人离家的路程y（单位：米）与各自离开出发地的时间x（单位：分）之间的函数图像如图所示． （1）家与科技馆之间的路程为______米；小明步行的速度为每分钟______米； （2）求小阳离家的路程y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）当离开出发地的时间为6分钟时，求小明和小阳之间的路程． 27. 已知：在正方形中，点E是延长线上一点，且，连接，过点D作的垂线交直线于点F，连接，取的中点G，连接． （1）当时， ①补全图1； ②求证：； ③用等式表示线段之间的数量关系，并证明． （2）如图2，当时，请你直接写出线段之间的数量关系． 28. 在平面直角坐标系中，M为平面内一点．对于点P和图形W给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P与点Q关于点M对称，则称点P为图形W关于点M的“中心镜像对称点”． （1）如图1，，． ①在点，，，中，线段关于点的“中心镜像对称点”是______； ②若点是线段关于点的“中心镜像对称点”，请直接写出点M的横坐标m的取值范围； （2）如图2，矩形中，，，，．若直线上存在矩形关于点的“中心镜像对称点”，请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$