4.3 角 学案 2023--2024学年人教版七年级数学上册

课 题 第4章几何图形初步 4.3 角 教学目标 1、角的概念； 2、角的比较与运算； 3、余角与补角； 教学过程 【复习】 1.下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（　　） A． B． B． C. D． 【考点】I7：展开图折叠成几何体． 【解答】解：A．四棱锥的展开图有四个三角形，故A选项错误；B．根据长方体的展开图的特征，可得B选项正确；C．正方体的展开图中，不存在“田”字形，故C选项错误；D．圆锥的展开图中，有一个圆，故D选项错误．故选：B． 2.如图所示的几何体是由右边哪个图形绕虚线旋转一周得到（　　） A． B． C． D． 【考点】I2：点、线、面、体． 【解答】解：A、转动后是圆柱，故本选项错误；B、转动后内凹，故本选项错误； C、沿虚线旋转一周可得到题目给的几何体，故本选项正确；D、转动后是球体，故本选项错误．故选：C 3.如图，C、D在线段AB上，且C为线段BD的中点，若AD=3，AB=1，则AC的长等于　6.5　． 【考点】ID：两点间的距离． 【解答】解：∵AD=3，AB=10，∴BD=AB﹣AD=7， ∵C为线段BD的中点， ∴BC=DC=BD=3.5，∴AC=AD+DC=6.5； 故答案为：6.5， 【学生定位】 1．（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有　3　个不同的角； （2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有　6　个不同的角； （3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有　10　个不同的角； （4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有　66　个不同的角； （5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有　　个不同的角． 【考点】IF：角的概念． 【解答】解：（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角，故答案为：3． 在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，故答案为：6． 在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有10个不同的角，故答案为：10． （2） 在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+10+11=66个不同的角， 故答案为：66． （5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+n+（n+1）=个不同的角． 故答案为：． 2.已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE． （1）如图①，当∠BOC=70°时，求∠DOE的度数； （2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数； （3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，判断∠DOE的大小是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数． 【考点】IJ：角平分线的定义． 【解答】解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴=35°，=10°，∴∠DOE=45°； （2）∠DOE的大小不变等于45°， 理由：∠DOE=∠DOC+∠COE= = ==45°； （3）∠DOE的大小发生变化，∠DOE=45°或135度． 如图①，则为45°；如图②，则为135°．（说明过程同（2）） 3.将一副三角尺叠放在一起． （1）如图（1），若∠1=25°，求∠2的度数； （2）如图（2），若∠CAE=3∠BAD，求∠CAD的度数． 【考点】IL：余角和补角． 【解答】解：（1）∵∠EAD=∠CAB=90°，∴∠1=90°﹣∠DAC，∠2=90°﹣CAD， ∴∠1=∠2； （2）如图（2），设∠BAD=x°，则∠CAE=3x°， ∵∠EAB+∠DAB=60°，∴90﹣3x+x=60， x=15，即∠BAD=15°，∴∠CAD=90°+15°=105°． 【问题考点】 问题1角的概念 对应知识点：1.角的概念及角的表示方法；2.钟面角；3.度分秒的换算；4.借助三角尺画一些特殊角； 问题2角的比较与运算 对应知识点：1.角大小的比较方法；2．利用角平分线的意义进行有关表示或计算；3. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算； 问题3余角与补角 对应知识点：1.掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；2．了解方位角的概念；3.两点间的距离的计算； 【精准突破】 【精准突破1】角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2） 定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 【要点诠释】 （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2. 角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 【要点诠释】 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3. 角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角； （2）用量角器可以画出任意给定度数的角； （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 4. 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【要点诠释】 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 【例题精讲】 【例题1-1】下列语句正确的是（　　） A．一条直线可以看成一个平角 B．周角是一条射线 C．角是由一条射线旋转而成的 D．角是由公共端点的两条射线组成的图形 【考点】IF：角的概念． 【解答】解：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故选（D） 【例题1-2】下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（　　） A． B． C． D． 【考点】IF：角的概念． 【解答】解：能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是A中的图， B，C，D中的图都不能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形，故选：A． 【例题1-3】时钟显示为8：30时，时针与分针所夹的角是（　　） A．90° B．120° C．75° D．84° 【考点】IG：钟面角． 【解答】解：8点30分时，钟面上时针指向数字8与9的中间，分针指向数字6， 所以时针与分针所成的角等于2×30°+×30°=75°．故选C． 【例题1-4】(1)把25.72°分别用度、分、秒表示 (2)把45°12′30″化成度 【思路点拨】第(1)题中25.72°中含有两部分25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可．第(2)题中，45°12′30″含有三部分45°，12′和30″，其中45°已经是度，只要把12′和30″化成度即可． 【答案与解析】解：(1)0.72°＝0.72×60′＝43.2′，0.2′＝0.2×60″＝12″， 所以25.72°＝25°43′12″． (2)， 所以45°12′30″≈45.21°． 【精准突破2】角的比较与运算 1. 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 2. 角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 【要点诠释】 (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 3. 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 【例题精讲】 【例题2-1】若∠1=40.4°，∠2=40°4′，则∠1与∠2的关系是（　　） A．∠1=∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．以上都不对 【考点】IR：角的大小比较；II：度分秒的换算． 【解答】解：∵∠1=40.4°=40°24′，∠2=40°4′， ∴∠1＞∠2． 故选：B． 【例题2-2】将一长方形纸片，按图中的方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后点E′刚好落在A′B上，则∠CBD的度数为（　　） A．60° B．75° C．90° D．95° 【考点】IK：角的计算． 【解答】解：根据折叠的性质可知：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD， ∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BD+∠EBD=180°，∠CBD=∠CBA′+∠E′BD， ∴2∠CBD=180°， ∴∠CBD=90°． 故选C． 【例题2-3】如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数． 【考点】IJ：角平分线的定义． 【解答】解：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，∴∠BOE=∠AOB=×90°=45°，∠COF=∠BOF=∠BOC， ∵∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=60°﹣45°=15°，∴∠BOC=2∠BOF=30°；∠AOC=∠BOC+∠AOB=30°+90°=120°． 【精准突破3】余角与补角 1. 定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2． 性质：（1）等角的余角相等．（2）等角的补角相等． 【要点诠释】 (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐 角的补角比它的余角大90°． 3.方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 【要点诠释】 （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示； （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”； （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的 正东、正西、正南、正北的方向； （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 【例题精讲】 【例题3-1】已知一个角的余角比它的补角的还少10°，则这个角的度数是（　　） A．120° B．90° C．60° D．30° 【考点】IL：余角和补角．【解答】解：设这个角为x， 由题意得，90°﹣x=（180°﹣x）﹣10°，解得，x=60°，则这个角为60°，故选：C． 【例题3-2】如图所示的四条射线中，表示南偏西60°的是（　　） A．射线OA B．射线OB C．射线OC D．射线OD 【考点】IH：方向角．【解答】解：由图可知，射线OC表示南偏西60°．故选C． 【例题3-3】如图，已知∠AOB=155°，∠AOC=∠BOD=90°． （1）写出与∠COD互余的角； （2）求∠COD的度数； （3）图中是否有互补的角？若有，请写出来． 【考点】IL：余角和补角． 【解答】解：（1）∵∠AOC=∠BOD=90°， ∴∠COD+∠AOD=90°，∠COD+∠BOC=90°， ∴与∠COD互余的角是∠AOD和∠BOC； （2）∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=65°，∴∠COD=∠BOD﹣∠BOC=25°； （3）∠COD与∠AOB、∠AOC与∠BOD互补． 【巩固练习】 【巩固一】角的概念 1.下列说法正确的是（　　） A．平角是一条直线 B．角的边越长，角越大 C．大于直角的角叫做钝角 D．两个锐角的和不一定是钝角 【考点】IF：角的概念． 【解答】解：A、平角是两条射线组成的一条直线，故此选项错误； B、角的边越长，与角的大小无关，故此选项错误； C、大于直角且小于180°的角叫做钝角，故此选项错误； D、两个锐角的和不一定是钝角，正确． 故选：D． 2.计算90°﹣18°50′45″的结果正确的是（　　） A．71°9′15″ B．72°9′15″ C．72°10′15″ D．71°10′15″ 【考点】II：度分秒的换算． 【解答】解：原式=89°59′60″﹣18°50′45″=71°9′15″，故选：A． 3. 3点30分时，时钟的时针与分针所夹的锐角是（　　） A．70° B．75° C．80° D．90° 【考点】IG：钟面角． 【解答】解：3点30分时针与分针相距2+=， 3点30分时针与分针所夹的锐角是30×=75°，故选：B． 4. 周角=　　 平角=　1　 直角． 【考点】IF：角的概念． 【解答】解：∵周角=×360°=90°，∴90°÷180°=，90°÷90°=1， ∴周角=平角=1直角， 故答案为：，1． 5.(1)把26.29°转化为度、分、秒表示的形式； (2)把33°24′36″转化成度表示的形式． 【答案】 (1)26.29°＝26°+0.29°＝26°+0.29×60′＝26°+17.4′ ＝26°+17′+0.4×60″＝26°17′+24″＝26°17′24″ (2)33°24′36″＝33°+24′+36×＝33°+24′+0.6′ ＝33°+24.6′＝33°+24.6×＝33.41° 【巩固二】角的比较与运算 1.若∠1=20°18′，∠2=20°15′30′′，∠3=20.25°，则（　　） A．∠1＞∠2＞∠3 B．∠2＞∠1＞∠3 C．∠1＞∠3＞∠2 D．∠3＞∠1＞∠2 【考点】IR：角的大小比较；IK：角的计算． 【解答】∵∠1=20°18′，∠2=20°15′30′′，∠3=20.25°=20°15′，∴∠1＞∠2＞∠3． 故选A． 2.下列说法中，正确的是（　　） A．角的平分线就是把一个角分成两个角的射线 B．若∠AOB=∠AOC，则OA是∠AOC的平分线 C．角的大小与它的边的长短无关 D．∠CAD与∠BAC的和一定是∠BAD 【考点】IR：角的大小比较；IJ：角平分线的定义；IK：角的计算． 【解答】解：A、角的平分线就是把一个角分成两个相等的角的射线，故本选项错误； B、若∠AOB=∠AOC，OA也不是∠AOC的平分线，如图：故本选项错误； C、角的大小与它的边的长短无关，故本选项正确； D、当射线AB在∠CAD的内部时，∠CAD与∠BAC的差是∠BAD，故本选项错误；故选C． 3.如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆在桌面上，若∠AOD=140°，则∠BOC=　40　度． 【考点】IK：角的计算． 【解答】解：根据题意，易得∠AOB+∠COD=180°，即∠AOC+2∠BOC+∠BOD=180°， 而∠AOD=140°，即∠AOC+∠BOC+∠BOD=140°，则∠BOC=180°﹣140°=40°；故答案为：40． 4.如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC． （1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数； （2）若∠EOC：∠EOD=2：3，求∠BOD的度数． 【考点】IK：角的计算． 【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=∠EOC=×70°=35°，∴∠BOD=∠AOC=35°； （2）设∠EOC=2x，∠EOD=3x，根据题意得2x+3x=180°，解得x=36°， ∴∠EOC=2x=72°，∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°，∴∠BOD=∠AOC=36°． 5.如图，O为直线AB上一点，∠AOC=58°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°． （1）求出∠BOD的度数； （2）请通过计算说明：OE是否平分∠BOC． 【考点】IJ：角平分线的定义． 【解答】解：（1）∵∠AOC=58°，OD平分∠AOC，∴∠AOD=29°，∴∠BOD=180°﹣29°=151°； （2）OE是∠BOC的平分线．理由如下： ∵∠AOC=58°，∴∠BOC=122°．∵OD平分∠AOC，∴∠DOC=×58°=29°． ∵∠DOE=90°，∴∠COE=90°﹣29°=61°，∴∠COE=∠BOC，即OE是∠BOC的平分线． 【巩固三】余角与补角 1.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α与∠β互余的是（　　） A． B． C． D． 【考点】IL：余角和补角． 【解答】解：A、∠α与∠β不互余，故本选项错误；B、∠α与∠β不互余，故本选项错误； C、∠α与∠β互余，故本选项正确；D、∠α与∠β不互余，∠α和∠β互补，故本选项错误；故选C． 2.已知OA是表示北偏东50°方向的一条射线，则OA的反向延长线表示的是（　　） A．北偏西50°方向上的一条射线 B．北偏西40°方向上的一条射线 C．南偏西40°方向上的一条射线 D．南偏西50°方向上的一条射线 【考点】IH：方向角． 【解答】解：OA的反向延长线表示的是： 南偏西50°方向上的一条射线或西偏南40°方向上的一条射线． 故选D． 3.如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α=∠β的图形是　①②③　．（只填写图形编号） 【考点】IL：余角和补角． 【解答】解：根据角的和差关系可得图①∠α=∠β=45°， 根据同角的余角相等可得第图②∠α=∠β，根据等角的补角相等可得图③∠α=∠β， 图④∠α+∠β=180°，不相等，因此∠α=∠β的图形是①②③．故答案为：①②③． 4.如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O． （1）写出图中所有与∠AOD互补的角； （2）若∠AOE=120°，求∠BOD的度数． 【考点】IL：余角和补角． 【解答】解：（1）∵直线AB，CD相交于点O，∴∠AOC和∠BOD与∠AOD互补， ∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF，∵OF⊥CD，∴∠COF=∠DOF=90°， ∴∠DOE=∠ACO，∴∠DOE也是∠AOD的补角，∴与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE； （2）∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠AOE=60°，∵OF⊥CD，∴∠COF=90°， ∴∠AOC=∠COF﹣∠AOF=90°﹣60°=30°，∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠BOD=∠AOC=30°． 【查缺补漏】 1.下列说法中正确的有（　　） ①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫两点的距离； ③两点之间线段最短；④若AB=BC，则点B是AC的中点； ⑤把一个角分成两个角的射线叫角的平分线；⑥直线l经过点A，那么点A在直线l上． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点】IJ：角平分线的定义；IB：直线的性质：两点确定一条直线；IC：线段的性质：两点之间线段最短；ID：两点间的距离． 【解答】解：∵过两点有且只有一条直线，∴①正确； ∵连接两点的线段的长度叫两点的距离，∴②错误； ∵两点之间，线段最短，∴③正确； 当B在直线AC外时，AB=BC，则点B不是AC的中点，∴④错误； ∵从角的顶点出发，把一个角分成两相等的角的射线叫角的平分线，∴⑤错误； ∵直线l经过点A，那么点A在直线l上，∴⑥正确，即正确的有3个，故选B． 2.如图，∠AOC=90°，∠BOC=60°，OE平分∠BOC，OD平分∠AOB．求： （1）∠DOE度数； （2）若∠BOC=α（0＜α＜90°），其他条件不变，∠DOE的度数是多少？ 【考点】IK：角的计算． 【解答】解：（1）∵∠AOC=90°，∠BOC=60°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=150°． ∵OE平分∠BOC，OD平分∠AOB，∴∠BOE=∠BOC=30°，∠BOD=∠AOB=75°，∴∠DOE=∠BOD﹣∠BOE=45°． （2）∵∠AOC=90°，∠BOC=α，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°+α． ∵OE平分∠BOC，OD平分∠AOB， ∴∠BOE=∠BOC=α，∠BOD=∠AOB=45°+α，∴∠DOE=∠BOD﹣∠BOE=45°． 【举一反三】 （1）如图1，直线AB，CD相交于点O，射线OE平分∠BOC，∠AOC=62°46′，∠DOF=90°，求∠AOF和∠COE的度数． （2）如图2，BC=AB，D为AC的中点，DC=2cm，求AB的长． 【考点】IJ：角平分线的定义；ID：两点间的距离；II：度分秒的换算． 【解答】解：（1）∵∠AOC+∠AOF+∠DOF=180°，∴∠AOF=180°﹣∠AOC﹣∠DOF． ∵∠AOC=62°46′，∠DOF=90°，∴∠AOF=180°﹣62°46′﹣90°=27°14′． ∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠BOC=180°﹣∠AOC =180°﹣62°46′=117°14′． ∵射线OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=×117°14′=58°37′． （2）∵D为AC的中点，∴AC=2DC=2×2=4（cm）． ∵BC=AB， ∴AB=2BC．∵AC=AB+BC=3BC， ∴AB=AC=×4=（cm）． ∴AB的长为cm． 2.已知∠AOD=150°． （Ⅰ）如图1，∠AOC=∠BOD=90°，①∠BOC的余角是　∠AOB和∠COD　， 比较∠AOB　=　∠COD（填＞，=或＜），理由：　同角的余角相等　； ②求∠BOC=　30°　； （Ⅱ）如图2，已知∠AOB与∠BOC互为余角， ①若OB平分∠AOD，求∠BOC的度数；②若∠DOC是∠BOC的4倍，求∠BOC的度数． 【考点】IL：余角和补角；IJ：角平分线的定义． 【解答】解：（I）①∵∠AOC=∠BOD=90°， ∴∠BOC+∠AOB=90°，∠BOC+∠COD=90°， ∴∠BOC的余角是∠AOB和∠COD，故答案为：∠AOB和∠COD； ∵∠AOC=∠BOD=90°，∴∠BOC+∠AOB=90°，∠BOC+∠COD=90°， ∴∠AOB=∠COD（同角的余角相等），故答案为：=；同角的余角相等； ②∵∠AOD=150°，∠AOC=90°，∴∠DOC=60°， ∵∠BOD=90°，∴∠BOC=30°，故答案为：30°； （II）①∵∠AOB与∠BOC互为余角，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°， ∵BO平分∠AOD，∴∠AOB=∠AOD=150°=75°， ∴∠BOC=∠AOC﹣∠AOB=90°﹣75°=15°； ②∵∠AOB与∠BOC互为余角，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°， ∵∠DOC=∠AOD﹣∠AOC=150°﹣90°=60°， ∵∠DOC是∠BOC的4倍，∴设∠BOC=x°，则∠DOC=4x°， ∴4x=60，x=15，则∠BOC=15°． 　 【效果检验】 1.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，下列叙述正确的有（　　）个 ①OA=O′A′②OB=O′B′③CD=C′D′④∠AOB=∠A′O′B′． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】N2：作图—基本作图． 【解答】解：根据尺规作图可知，OC=OD=OC′=OD′，CD=C′D′，∠AOB=∠A′O′B′， ∴③④正确， 故选B． 2.若α与β互余，且α：β=3：2，那么α的度数是（　　） A．18° B．36° C．54° D．108° 【考点】IL：余角和补角． 【解答】解：∵α与β互余，且α：β=3：2，∴设α=3x，则β=2x， 故α+β=2x+3x=90°，解得：x=18°，故α=3x=54°．故选：C． 3.如图，写出： （1）能用一个字母表示的角：　∠A，∠C　； （2）以B为顶点的角：　∠ABE，∠ABC，∠EBC　； （3）图中共有几个小于平角的角？　7个　． 【考点】IF：角的概念． 【解答】解：（1）能用一个字母表示的角有2个：∠A，∠C； （2）以B为顶点的角有3个：∠ABE，∠ABC，∠EBC； （3）图中小于平角的角有7个：∠A，∠C，∠ABE，∠ABC，∠EBC，∠AEB，∠BEC． 故答案是：∠A，∠C；∠ABE，∠ABC，∠EBC；7个． 4.（1）已知一个角的余角比它大10°，求这个角的补角． （2）化简求值：4（x2﹣xy）﹣（12xy﹣12y2），其中|x﹣1|+（y+1）2=0． 【考点】IL：余角和补角；16：非负数的性质：绝对值；1F：非负数的性质：偶次方；45：整式的加减—化简求值． 【解答】解：（1）设这个角为x，则90°﹣x﹣x=10°，解得x=40°， 180°﹣40°=140°．答：这个角的补角是140°． （2）4（x2﹣xy）﹣（12xy﹣12y2）=4x2﹣4xy﹣4xy+4y2=4x2﹣8xy+4y2， ∵|x﹣1|+（y+1）2=0，∴x=1，y=﹣1， 当x=1，y=﹣1时，原式=4×1﹣8×1×（﹣1）+4×1=4+8+4=16． 【课后作业】 1.下列语句正确的是( ) A．两条直线相交，组成的图形叫做角． B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角． C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角． D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角． 【答案】C 【解析】根据角的定义判断 2.将21.54°用度、分、秒表示为（　　） A．21°54′ B．21°50′24″ C．21°32′40″ D．21°32′24″ 【考点】II：度分秒的换算． 【解答】解：21.54°=21°32.4′=21°32′24″． 故选：D． 3.下列说法错误的是（　　） A．角的大小与角的边的长短无关 B．角的大小和它们的度数大小是一致的 C．角的平分线是一条直线 D．如果C点在∠AOB的内部，那么射线OC上所有的点都在∠AOB的内部 【考点】IR：角的大小比较；IJ：角平分线的定义． 【解答】解：A、角的大小与角的边的长短无关，正确，故本选项错误； B、角的大小和它们的度数大小是一致的，正确，故本选项错误； C、角的平分线是从角的顶点出发的一条射线，错误，故本选项正确； D、如果C点在∠AOB的内部，那么射线OC上所有的点都在∠AOB的内部，正确，故本选项错误；故选C． 4.如图所示，将两块三角板的直角重叠，若∠AOD=124°，则∠BOC=　56°　． 【考点】IL：余角和补角． 【解答】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=124° ∴∠BOC=∠AOB+∠COD﹣∠AOD=90°+90°﹣124°=56°．故答案为：56°． 5.如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC=40°，求∠COD的度数． 【考点】IK：角的计算；IJ：角平分线的定义． 【解答】解：∵∠BOC=2∠AOC，∠AOC=40°，∴∠BOC=2×40°=80°， ∴∠AOB=∠BOC+∠AOC=80°+40°=120°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=∠AOB=×120°=60°， ∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=60°﹣40°=20°． 6.如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数． 【考点】IL：余角和补角；IJ：角平分线的定义． 【解答】解：设∠AOB=x°，因为∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC=180°﹣x°． 由题意，得． ∴180﹣x﹣x=80，∴﹣2x=﹣100，解得x=50， 故∠AOB=50°，∠AOC=130°． 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课 题 第4章几何图形初步 4.3 角 教学目标 1、角的概念； 2、角的比较与运算； 3、余角与补角； 教学过程 【复习】 1.下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（　　） A． B． B． C. D． 2.如图所示的几何体是由右边哪个图形绕虚线旋转一周得到（　　） A． B． C． D． 3.如图，C、D在线段AB上，且C为线段BD的中点，若AD=3，AB=1，则AC的长等于　 　． 【学生定位】 1．（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有________________个不同的角； （2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有_______________个不同的角； （3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有_______________个不同的角； （4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有_______________个不同的角； （5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有_______________个不同的角． 2.已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE． （1）如图①，当∠BOC=70°时，求∠DOE的度数； （2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数； （3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，判断∠DOE的大小是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数． 3.将一副三角尺叠放在一起． （1）如图（1），若∠1=25°，求∠2的度数； （2）如图（2），若∠CAE=3∠BAD，求∠CAD的度数． 【精准突破】 【精准突破1】角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2） 定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 【要点诠释】 （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2. 角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 【要点诠释】 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3. 角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角； （2）用量角器可以画出任意给定度数的角； （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 4. 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【要点诠释】 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 【例题精讲】 【例题1-1】下列语句正确的是（　　） A．一条直线可以看成一个平角 B．周角是一条射线 C．角是由一条射线旋转而成的 D．角是由公共端点的两条射线组成的图形 【例题1-2】下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（　　） A． B． C． D． 【例题1-3】时钟显示为8：30时，时针与分针所夹的角是（　　） A．90° B．120° C．75° D．84° 【例题1-4】(1)把25.72°分别用度、分、秒表示 (2)把45°12′30″化成度 【精准突破2】角的比较与运算 1. 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 2. 角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 【要点诠释】 (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 3. 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 【例题精讲】 【例题2-1】若∠1=40.4°，∠2=40°4′，则∠1与∠2的关系是（　　） A． ∠1=∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．以上都不对 【例题2-2】将一长方形纸片，按图中的方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后点E′刚好落在A′B上，则∠CBD的度数为（　　） A．60° B．75° C．90° D．95° 【例题2-3】如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数． 【精准突破3】余角与补角 1. 定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2． 性质：（1）等角的余角相等．（2）等角的补角相等． 【要点诠释】 (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐 角的补角比它的余角大90°． 3.方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 【要点诠释】 （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示； （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”； （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的 正东、正西、正南、正北的方向； （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 【例题精讲】 【例题3-1】已知一个角的余角比它的补角的还少10°，则这个角的度数是（　　） A．120° B．90° C．60° D．30° 【例题3-2】如图所示的四条射线中，表示南偏西60°的是（　　） A．射线OA B．射线OB C．射线OC D．射线OD 【例题3-3】如图，已知∠AOB=155°，∠AOC=∠BOD=90°． （1）写出与∠COD互余的角； （2）求∠COD的度数； （3）图中是否有互补的角？若有，请写出来． 【巩固练习】 【巩固一】角的概念 1.下列说法正确的是（　　） A．平角是一条直线 B．角的边越长，角越大 C．大于直角的角叫做钝角 D．两个锐角的和不一定是钝角 2.计算90°﹣18°50′45″的结果正确的是（　　） A．71°9′15″ B．72°9′15″ C．72°10′15″ D．71°10′15″ 3. 3点30分时，时钟的时针与分针所夹的锐角是（　　） A．70° B．75° C．80° D．90° 4. 周角=_______________ 平角=_______________直角． 5.(1)把26.29°转化为度、分、秒表示的形式； (2)把33°24′36″转化成度表示的形式． 【巩固二】角的比较与运算 1.若∠1=20°18′，∠2=20°15′30′′，∠3=20.25°，则（　　） A．∠1＞∠2＞∠3 B．∠2＞∠1＞∠3 C．∠1＞∠3＞∠2 D．∠3＞∠1＞∠2 2.下列说法中，正确的是（　　） A．角的平分线就是把一个角分成两个角的射线 B．若∠AOB=∠AOC，则OA是∠AOC的平分线 C．角的大小与它的边的长短无关 D．∠CAD与∠BAC的和一定是∠BAD 3.如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆在桌面上，若∠AOD=140°，则∠BOC=_______________度． 4.如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC． （1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数； （2）若∠EOC：∠EOD=2：3，求∠BOD的度数． 5.如图，O为直线AB上一点，∠AOC=58°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°． （1）求出∠BOD的度数； （2）请通过计算说明：OE是否平分∠BOC． 【巩固三】余角与补角 1.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α与∠β互余的是（　　） A． B． C． D． 2.已知OA是表示北偏东50°方向的一条射线，则OA的反向延长线表示的是（　　） A．北偏西50°方向上的一条射线 B．北偏西40°方向上的一条射线 C．南偏西40°方向上的一条射线 D．南偏西50°方向上的一条射线 3.如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α=∠β的图形是_____________．（只填写图形编号） 4.如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O． （1）写出图中所有与∠AOD互补的角； （2）若∠AOE=120°，求∠BOD的度数． 【查缺补漏】 1.下列说法中正确的有（　　） ①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫两点的距离； ③两点之间线段最短；④若AB=BC，则点B是AC的中点； ⑤把一个角分成两个角的射线叫角的平分线；⑥直线l经过点A，那么点A在直线l上． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.如图，∠AOC=90°，∠BOC=60°，OE平分∠BOC，OD平分∠AOB．求： （1）∠DOE度数； （2）若∠BOC=α（0＜α＜90°），其他条件不变，∠DOE的度数是多少？ 【举一反三】 （1）如图1，直线AB，CD相交于点O，射线OE平分∠BOC，∠AOC=62°46′，∠DOF=90°，求∠AOF和∠COE的度数． （2）如图2，BC=AB，D为AC的中点，DC=2cm，求AB的长． 2.已知∠AOD=150°． （Ⅰ）如图1，∠AOC=∠BOD=90°， ①∠BOC的余角是_______________， 比较∠AOB　=　∠COD（填＞，=或＜）， 理由：_______________； ②求∠BOC=_______________； （Ⅱ）如图2，已知∠AOB与∠BOC互为余角， ①若OB平分∠AOD，求∠BOC的度数； ②若∠DOC是∠BOC的4倍，求∠BOC的度数． 　 【效果检验】 1.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，下列叙述正确的有（　　）个 ①OA=O′A′②OB=O′B′③CD=C′D′④∠AOB=∠A′O′B′． A．1 B．2 C．3 D．4 2.若α与β互余，且α：β=3：2，那么α的度数是（　　） A．18° B．36° C．54° D．108° 3.如图，写出： （1）能用一个字母表示的角：_______________； （2）以B为顶点的角：_______________； （3）图中共有几个小于平角的角？_______________． 4.（1）已知一个角的余角比它大10°，求这个角的补角． （2）化简求值：4（x2﹣xy）﹣（12xy﹣12y2），其中|x﹣1|+（y+1）2=0． 【课后作业】 1.下列语句正确的是( ) A．两条直线相交，组成的图形叫做角． B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角． C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角． D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角． 2.将21.54°用度、分、秒表示为（　　） A．21°54′ B．21°50′24″ C．21°32′40″ D．21°32′24″ 3.下列说法错误的是（　　） A．角的大小与角的边的长短无关 B．角的大小和它们的度数大小是一致的 C．角的平分线是一条直线 D．如果C点在∠AOB的内部，那么射线OC上所有的点都在∠AOB的内部 4.如图所示，将两块三角板的直角重叠，若∠AOD=124°，则∠BOC=_______________． 5.如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC=40°，求∠COD的度数． 6.如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数． 3 学科网（北京）股份有限公司 $$