精品解析：2024年江苏省无锡市锡山区九年级下学期期中调研数学试题

2024年江苏省无锡市锡山区九年级下学期期中调研数学试题 （考试时间：120分钟；总分：160分） 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卷上相应的答案涂黑．) 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解． 【详解】解：-2的倒数是-， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握． 2. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积幂的乘方和幂的乘方，同底幂乘法和除法，去括号运算法则逐一计算作出判断． 【详解】A.，选项错误； B.，选项错误； C.，选项正确； D.，选项错误． 故选C． 3. 下列图案，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 故选：C． 4. 若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m≥1 B. m≤1 C. m＞1 D. m＜1 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围． 【详解】∵方程有两个不相同的实数根， ∴ 解得：m＜1． 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 5. 如果圆锥的母线长为，底面圆半径为，则这个圆锥的侧面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆锥的侧面积，先求出底面周长，进一步求出侧面积即可． 【详解】解：底面圆半径为，则底面周长， 圆锥的侧面积． 故选：B． 6. 若正多边形的一个外角的度数为，则这个正多边形的内角和度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理及多边形的内角和公式．先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和． 【详解】解：正多边形的边数为：， 则这个多边形是正八边形， 所以该正多边形的内角和为． 故选：C． 7. 在平面中，下列命题为真命题的是（ ） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是菱形 C. 四个角相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，不是真命题的可以举出反例排除． 【详解】A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误； B、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误； C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确； D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如铮形（如图），故此选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查命题与定理，正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定． 8. 如图，是的直径，垂直于弦，，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理以及圆周角定理．连接，根据等腰三角形的性质求得的度数，然后根据等弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ． 故选：C． 9. 二次函数，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如表： 0 1 2 且当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①；②和3是关于的方程的两个根；③；④不可能为1． 其中正确结论的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．依据题意，通过表格确定函数的对称性、函数和坐标轴的交点等基本特征，进而求解． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴是直线． 又， ，故①正确． 又根据对称性， 当时，， 当时，． 和3是关于的方程的两个根，故②正确． 又抛物线的对称轴是直线， ． 又当时，， 且当时，． ． ． ． ，故③错误． 若，则抛物线为． 当时，，与矛盾． ，故④正确． 综上正确的有①②④共3个． 故选：A． 10. 如图，和都是等边三角形，点在的延长线上．，若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质．过点作，垂足为点，设，时而可表示出相关线段长，再根据列出方程求得，最后根据可得答案． 【详解】解：过点作，垂足为点， 设， ， ，， ， 和都是等边三角形， ，，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ∴， ， ， 即， ． 故选：B． 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分【其中第17题第一空1分，第二空2分】，共计24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷相应位置．) 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 12. 分解因式_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：， 故答案为：． 13. 锡山区常住人口约890000人，则890000用科学记数法表示为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【详解】解：890000用科学记数法表示为． 故答案为：． 14. 分式方程的解是____． 【答案】x=3 【解析】 【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程x=3（x﹣2），求出整式方程的解得到x=3，经检验x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解． 考点：解分式方程 15. 某个函数同时满足两个条件：①图象过点、；②当时，随的增大而减小．这个函数表达式可以是_____________．（只要写出一个符合愿意的答案即可） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式．设此函数的解析式为，再把点，代入求出、的值即可． 【详解】解：设此函数的解析式为， 图象过点、， ， 解得， 这个函数表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 16. 《九章算术》中“折竹”问题（如图）：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”译文：“一根竹子，原高一丈，竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．（1丈=10尺）问：竹子折断处离地面有几尺?”答：竹子折断处离地面有_____________尺． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用．竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 答：折断处离地面的高度为尺； 故答案为：． 17. 如图，，，，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，，均在反比例函数的图象上，则点的横坐标为_____________，点的横坐标为_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，等腰直角三角形的判定和性质．分别过点，，，作轴的垂线，垂足分别为，，，，设，则，点，则点的横坐标为，再根据点在反比例函数 的图象上可求出，进而得点的横坐标为4，设，同理，则点，点的横坐标为，然后可求出，进而得点的横坐标为，设，则，点，点的横坐标为，然后求出，进而得点的横坐标为，同理：点的横坐标为，点的横坐标为，，以此类推即可点的横坐标． 【详解】解：分别过点，，，作轴的垂线，垂足分别为，，，，如下图所示： 是以为直角顶点的等腰直角三角形， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 设，则， 点的坐标为，则点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， （舍去负值）， 点的横坐标为4， 设，同理， 则点，点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 即， ， ， 点的横坐标为， 设，则，点，点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 即， ， ， 点的横坐标为， 同理：点的横坐标为，点的横坐标为， ，以此类推，点的横坐标为． 点的横坐标为，点的横坐标为． 故答案为：；． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、，点、分别是正方形的边、上的动点，且，过原点作，垂足为，连接、，则面积的最大值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识．先证明，再证点在以直径的圆上运动，则当点在的延长线上时，点到的距离最大，由相似三角形的性质可求，的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：如图，连接，交于，连接，取的中点，连接，过点作于，交于点，作与点， 直线分别与轴、轴相交于点、， 点，点， ，， ， 四边形是正方形， ∴，，，， ，， 又， ， ，， 点是的中点，即点是的中点， ， ， ， 点在以直径的圆上运动， 当点在的延长线上时，点到的距离最大， 点是的中点， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 点到的最大距离为， 面积的最大值， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先去绝对值、计算特殊解三角函数值、算术平方根，进一步计算即可； （2）利用完全平方公式及平方差公式即可求得． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础． （1）利用配方法求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）， ， 则，即， ， ∴，； （2）由得：， 由得：， 则不等式组的解集为． 21. 如图，在中，，是对角线上的两点，且． （1）求证：； （2）试证明：以为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ； （2） 证明：， ∴， 由（1）可知，， ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由证明即可； （2）先证明，再由全等三角形的性质得，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 中国古代在数学方面的成就辉煌，《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》等都是我国古代数学的重要文献．某数学兴趣小组准备采用抽签的方式确定学习内容，将书目制成编号为，，，的4张卡片（卡片除编号和书目外，其余完全相同)，现将这4张卡片背面朝上洗匀放好． （1）若从4张卡片中随机抽取一张，则抽到《九章算术》的概率为_____________； （2）若从4张卡片中随机抽取两张，求抽到《九章算术》和《海岛算经》的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 解：如图，画树状图， 共有12种等可能的结果，抽到《九章算术》和《海岛算经》的结果有2种， ∴抽到《九章算术》和《海岛算经》的概率为 ． 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率，理解题意、掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）根据概率公式计算概率即可； （2）列表或画树状图，得到所有的等可能结果，然后找到满足条件的结果，再利用概率公式求概率即可． 【小问1详解】 解：从4张卡片中随机抽取一张，则抽到《九章算术》的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 略 23. 在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其它四个类别进行了抽样调查(每位同学只选一类)，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的位息，解答下列问题： （1）条形统计图中，____________，____________； （2）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是____________度； （3）学校计划购买课外读物册，请根据样本数据，估计学校购买其它类读物多少册比较合理? 【答案】（1），； （2）； （3）册． 【解析】 【分析】（）利用文学的人数及其百分比求出抽样调查的学生人数，即可求出最喜爱科普的学生人数，进而可求出最喜爱艺术的学生人数； （）用乘以最喜爱艺术类读物的人数占比即可求解； （）用乘以最喜爱其它类读物的人数占比即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：由统计图可得，抽样调查的学生人数为人， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：艺术类读物所在扇形的圆心角是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 答：估计学校购买其它类读物册比较合理． 24. 如图，在中，，，． （1）的面积是____________； （2）尺规作图：请在图中作，使得经过点，同时与相切于点，则所作的的面积是____________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、尺规作线段垂直平分线、圆切线的判定定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质、尺规作线段垂直平分线是解题的关键． （1）过点作于点，推出，，根据含角的直角三角形的性质，得出，根据勾股定理计算，推出，根据等角对等边得出，则，根据的面积，计算即可； （2）分别以点、为圆心，大于为半径画弧交于两点，连接两交点，作出线段的垂直平分线，延长，在延长线上截取，分别以点、为圆心，大于为半径画弧交于两点，连接两交点，作出线段的垂直平分线，和线段的垂直平分线交于点，根据线段垂直平分线的性质，则，，以点为圆心，为半径作出，根据圆切线的判定定理，则与相切于点，故即为所求；过点作于点，连接，利用证明，推出，求出的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∴， ∵，，． ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的， 如图，过点作于点，连接， ∵经过点，同时与相切于点，由（1）得，， ∴，， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 25. 如图，在中，，，，点在上，，以为半径的交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）求线段的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线. （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，利用垂直平分线的性质及等腰三角形的性质通过等量代换可得出，即，则，则结论可证； （2）连接，设，，利用勾股定理即可求出x的值． 【详解】（1）略 （2）解：连接，OD, 设，， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的判定及勾股定理，掌握切线的判定方法及勾股定理是解题的关键． 26. 某公司销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）（为正整数）之间满足一次函数的关系，下表记录的是某三周的有关数据． （元/件） 40 55 70 （件） 1100 950 800 （1）求与的函数表达式（不求自变量的取值范围）； （2）若某周该产品的销售量不少于750件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润； （3）规定这种产品的售价不超过进价的2倍，若产品的进价每件提高元时，该商场每周销售这种产品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出的取值范围为_____________． 【答案】（1） （2）这周该商场销售这种产品获得的最大利润为元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式、二次函数的应用、二次函数的图象与性质，理解题意、熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． （1）设，由表格得：当时，；当时，，代入得：，求解得出与的函数表达式即可； （2）根据某周该产品的销售量不少于750件，得出，求解得出，设这周该商场销售这种产品获得的利润为元，得出，根据二次函数的图象与性质，得出当时，随的增大而增大，则当时，取得最大值，求出最大利润即可； （3）根据“规定这种产品的售价不超过进价的2倍，产品的进价每件提高元”，得出，设该商场每周销售这种产品的利润为元，得出，根据二次函数的图象与性质、该商家每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，得出，求解得出，结合，综合得出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵该产品每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）（为正整数）之间满足一次函数的关系， ∴设， ∵由表格得：当时，；当时，， ∴代入得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵某周该产品的销售量不少于750件，由（1）得， ∴， 解得：， 设这周该商场销售这种产品获得的利润为元， ∴， ∴，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 答：这周该商场销售这种产品获得的最大利润为元； 【小问3详解】 解：∵规定这种产品的售价不超过进价的2倍，产品的进价每件提高元， ∴， 设该商场每周销售这种产品的利润为元， ∴， ∴，对称轴为， ∵该商家每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 故答案为：． 27. 已知矩形中，，，点是边上的动点(不与重合)，设，将沿折叠至． （1）如图1，当点在对角线上时，求的值； （2）设与矩形重叠部分的面积为，求关于的函数表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数与面积问题，灵活运用知识点、分类讨论是解题的关键． （1）根据矩形的性质、折叠的性质，得出，，推出，证明，得出，则，计算即可； （2）分“当时”和“当时”两种情况讨论．当时，点在左侧以及上，则此时，得出函数表达式；当时，点在右侧，记和交于点，过点作于点，根据折叠的性质，得出，证明四边形是矩形，得出，设，则，根据勾股定理，则，得出，表示出，根据，得出函数表达式．综合两种情况，得出关于的函数表达式即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，，将沿折叠至，当点在对角线上， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：当时，点在左侧以及上， 此时； 如图，当时，点在右侧，记和交于点，过点作于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 展开得：， 整理得：， ∴； 综上所述，． 28. 如图1，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且．点为抛物线第二象限上一动点． （1）直接写出该二次函数的表达式为 ___________； （2）连接，求四边形面积的最大值； （3）如图2，连结交于点，过点作轴的平行线交于点．当为等腰三角形时，求出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为：或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数与y轴的交点可得，，则，将点的坐标代入抛物线表达式，运用待定系数法即可求解； （2）根据点的坐标可得直线的解析式，由二次函数与坐标轴的交点的计算可得点的坐标，如图所示，过点作轴的垂线，交于点，可得，由此可得四边形面积，代入计算，再根据二次函数求最值的计算方法即可求解； （3）设点，则点，可得直线的表达式为：，根据两直线的交点的计算可得点的坐标为：，根据等腰三角形的定义，分类讨论：当时，则点在的中垂线上；当时，即；由此即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数中，令时，， ∴， ∴， ∴点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的表达式为：， 在二次函数中，当时，， 解得，， ∴，则， 如图所示，过点作轴的垂线，交于点， ∵点为抛物线第二象限上一动点， ∴设点，则点， ∴， ∴四边形面积 ， ∵， 故四边形面积存在最大值， 当时，四边形ABCP面积的最大值为； 【小问3详解】 解：设点，则点， 设直线的解析式为：，， ∴， 解得，， ∴直线的表达式为：， 联立上式和直线的表达式得：， 解得：，则点的坐标为：， 由直线的表达式知，其和轴正半轴的夹角为， 如果，则，则，故不存在， 则， 而， 当时， 则点在的中垂线上，则， ∴， 解得：（舍去）或， 即点； 当时，即， 解得：（舍去）或， 即点， 综上，点P的坐标为：或． 【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数图象的性质，二次函数与几何图形的综合，等腰三角形的定义及性质，掌握二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年江苏省无锡市锡山区九年级下学期期中调研数学试题 （考试时间：120分钟；总分：160分） 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卷上相应的答案涂黑．) 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 2. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 3. 下列图案，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m≥1 B. m≤1 C. m＞1 D. m＜1 5. 如果圆锥的母线长为，底面圆半径为，则这个圆锥的侧面积为（　　） A. B. C. D. 6. 若正多边形的一个外角的度数为，则这个正多边形的内角和度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面中，下列命题为真命题的是（ ） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是菱形 C. 四个角相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 8. 如图，是的直径，垂直于弦，，则是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如表： 0 1 2 且当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①；②和3是关于的方程的两个根；③；④不可能为1． 其中正确结论的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 10. 如图，和都是等边三角形，点在的延长线上．，若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 2 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分【其中第17题第一空1分，第二空2分】，共计24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷相应位置．) 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 分解因式_______． 13. 锡山区常住人口约890000人，则890000用科学记数法表示为_____________． 14. 分式方程的解是____． 15. 某个函数同时满足两个条件：①图象过点、；②当时，随的增大而减小．这个函数表达式可以是_____________．（只要写出一个符合愿意的答案即可） 16. 《九章算术》中“折竹”问题（如图）：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”译文：“一根竹子，原高一丈，竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．（1丈=10尺）问：竹子折断处离地面有几尺?”答：竹子折断处离地面有_____________尺． 17. 如图，，，，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，，均在反比例函数的图象上，则点的横坐标为_____________，点的横坐标为_____________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、，点、 分别是正方形的边、上的动点，且，过原点作，垂足为，连接、，则面积的最大值为_____________． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2）． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 21. 如图，在中，， 是对角线上的两点，且． （1）求证：； （2）试证明：以为顶点的四边形是平行四边形． 22. 中国古代在数学方面的成就辉煌，《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》等都是我国古代数学的重要文献．某数学兴趣小组准备采用抽签的方式确定学习内容，将书目制成编号为，，，的4张卡片（卡片除编号和书目外，其余完全相同)，现将这4张卡片背面朝上洗匀放好． （1）若从4张卡片中随机抽取一张，则抽到《九章算术》的概率为_____________； （2）若从4张卡片中随机抽取两张，求抽到《九章算术》和《海岛算经》的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 23. 在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其它四个类别进行了抽样调查(每位同学只选一类)，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的位息，解答下列问题： （1）条形统计图中，____________，____________； （2）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是____________度； （3）学校计划购买课外读物册，请根据样本数据，估计学校购买其它类读物多少册比较合理? 24. 如图，在中，，，． （1）的面积是____________； （2）尺规作图：请在图中作，使得经过点，同时与相切于点，则所作的的面积是____________． 25. 如图，在中，，，，点在上，，以为半径的交于点，的垂直平分线交于点，交于点 ，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）求线段的长． 26. 某公司销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）（为正整数）之间满足一次函数的关系，下表记录的是某三周的有关数据． （元/件） 40 55 70 （件） 1100 950 800 （1）求与的函数表达式（不求自变量的取值范围）； （2）若某周该产品的销售量不少于750件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润； （3）规定这种产品的售价不超过进价的2倍，若产品的进价每件提高元时，该商场每周销售这种产品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出的取值范围为_____________． 27. 已知矩形中，，，点是边上的动点(不与重合)，设，将沿折叠至． （1）如图1，当点在对角线上时，求的值； （2）设与矩形重叠部分的面积为，求关于的函数表达式． 28. 如图1，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且．点为抛物线第二象限上一动点． （1）直接写出该二次函数的表达式为 ___________； （2）连接，求四边形面积的最大值； （3）如图2，连结交于点，过点作轴的平行线交于点．当为等腰三角形时，求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $