6.9直线的相交（1）　自主学案　2023—2024学年浙教版数学七年级上册　

浙教版数学七年级上册自主学案 第6章　图形的初步知识 6.9　直线的相交 第1课时　对顶角 教材的地位 和作用 　本节课是在学生已经学习了直线、射线、线段和角的有关知识的基础上,进一步研究平面内两条直线相交形成4个角的位置和数量关系,同时也为证明几何题提供了一个示范作用,本节对于进一步培养学生的识图能力,激发学生的学习兴趣具有推动作用,所以本节课具有很重要的地位和作用 重点 难点 重点 　对顶角的概念及对顶角相等的性质 难点 　写出规范的说理过程和对对顶角相等的探索 易错点 　初学者易忽视图形中对顶角这个条件 知识点一　对顶角的概念 对顶角的定义有两种叙述:一是两条直线相交成四个角,其中不相邻的两个角是对顶角;二是一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角. 1.如图1所示的图形中,∠1与∠2是对顶角的是 (C) 图1 知识点二　对顶角的性质 对顶角的性质:对顶角　相等　.  2.如图2,直线AB与CD相交于点O,OE平分∠AOC.若∠EOC=25°,则∠BOD的度数为　50°　.  图2 【例题探究】 类型　有关对顶角的计算 例1 (教材补充例题)已知:如图3所示,直线AB,CD,EF相交于点O,∠1∶∠3=3∶1,∠2=30°,求∠BOE的度数. 图3 解:∵∠1+∠2+∠3=180°,且∠1∶∠3=3∶1,∠2=30°, ∴∠1=112.5°, ∴∠BOE=∠1=112.5°. 例2 (教材例2拓展题)如图4所示,已知直线AB,CD,EF相交于点O,OG是∠AOF的平分线,∠BOD=35°,∠COE=18°.求∠COG的度数. 图4 　　解:∵∠DOF=∠COE=18°, ∴∠BOF=∠BOD+∠DOF=35°+18°=53°. 又∵∠AOF+∠BOF=180°, ∴∠AOF=180°-∠BOF=180°-53°=127°. ∵OG是∠AOF的平分线, ∴∠AOG=∠AOF=×127°=63.5°. 因此∠COG=∠AOC+∠AOG=∠BOD+∠AOG=35°+63.5°=98.5°. 【归纳总结】 在相交直线中,利用对顶角进行角的转换是常用的方法,这体现了转化思想的运用. 我们已经知道“对顶角相等”,而相等的角一定是对顶角吗? 解:相等的角不一定是对顶角. 【学以致用】 1．下列说法中，正确的是(　B　) A．有公共顶点，并且相等的角是对顶角 B．如果两个角不相等，那么它们一定不是对顶角 C．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 D．有的对顶角不相等 2．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的度数为(　D　) A．25° B．30° C．40° D．50° 第2题图 3．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＋∠2＝100°，则∠BOC的度数为(　A　) 第3题图 A．130° B．140° C．150° D．160° 【解析】 ∵∠1＋∠2＝100°，∠1＝∠2， ∴∠1＝50°， ∴∠BOC＝180°－∠1＝130°. 4．如图，直线AB，CD，EF相交于一点O，∠AOF＝3∠BOF，∠AOC＝90°，则∠DOF的度数为(　C　) A．30° B．40° C．45° D．60° 第4题图 【解析】 ∵∠AOF＝3∠BOF， ∴可设∠BOF＝x°，则∠AOF＝3x°. ∵∠AOF＋∠BOF＝180°， ∴3x°＋x°＝180°， ∴x＝45，即∠BOF＝45°， ∴∠AOE＝45°. 又∵∠AOE＋∠EOC＝∠AOC＝90°， ∴∠EOC＝45°，∴∠DOF＝45°. 5．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE.若∠AOC＝80°，求∠BOF的度数． 第5题图 解：∵∠AOC＝80°， ∴∠BOD＝∠AOC＝80°. 又∵OE平分∠BOD， ∴∠BOE＝∠DOE＝∠BOD＝40°， ∴∠COE＝180°－∠DOE＝140°. 又∵OF平分∠COE， ∴∠EOF＝∠COE＝70°， ∴∠BOF＝∠EOF－∠BOE＝30° 6．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC. (1)∠AOC的对顶角是__∠BOD__，∠AOC的邻补角是__∠BOC，∠AOD__. (2)若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数． (3)若∠EOC∶∠EOD＝2∶3，求∠BOE的度数． 第6题图 解：(2)∵OA平分∠EOC，∠EOC＝70°， ∴∠AOE＝∠AOC ＝∠EOC＝35°. 又∵∠BOD＝∠AOC， ∴∠BOD＝35°. (3)∵∠EOC∶∠EOD＝2∶3， ∠EOC＋∠EOD＝180°， ∴∠EOC＝×180°＝72°， ∠EOD＝×180°＝108°. 又∵OA平分∠EOC， ∴∠AOE＝∠AOC＝∠EOC＝36°， ∴∠BOE＝180°－∠AOE＝144°. 7．如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOD和∠AON互余，∠AON＝∠COM. (1)求∠MOB的度数． (2)若∠COM＝∠BOC，求∠BOD的度数． 第7题图 解：(1)∵∠BOD和∠AON互余， ∴∠BOD＋∠AON＝90°. 又∵∠AON＝∠COM， ∴∠BOD＋∠COM＝90°， ∴∠MOB＝180°－(∠BOD＋∠COM)＝90°. (2)设∠COM＝x°，则∠BOC＝5x°， ∴∠BOM＝4x°. 又∵∠BOM＝90°， ∴4x＝90，解得x＝22.5， ∴∠BOD＝90°－∠COM＝90°－22.5°＝67.5°. 8．[模型观念]如图，各图中直线都相交于一点，请探究相交于一点的直线的条数与所形成的对顶角的对数之间的规律． 第8题图 (1)请观察上图并填写下表： 相交于一点的直线的条数 2 3 4 对顶角的对数 2 6 12 (2)若n条直线相交于一点，则共有多少对对顶角(用含n的代数式表示)? (3)若50条直线相交于一点，则共有__2__450__对对顶角． 解：(1)由图可得，2条直线相交于一点，共有2对对顶角；3条直线相交于一点，共有6对对顶角；4条直线相交于一点，共有12对对顶角． (2)根据规律可得，n条直线相交于一点，共有n(n－1)对对顶角． (3)当n＝50时，n(n－1)＝50×49＝2 450， 即50条直线相交于一点，共有2 450对对顶角． 学科网（北京）股份有限公司 $$