5.5 应用一元一次方程——“希望工程”义演　　课件　2023—2024学年北师大版数学七年级上册

5.5 应用一元一次方程——“希望工程”义演 第五章 一元一次方程 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 一元一次方程的实际应用 工程问题 配套和调配问题 知1－讲 感悟新知 知识点 一元一次方程的实际应用 1 1. 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤 (1)审题，设未知数； (2)找等量关系，列方程； (3)解方程； (4)检验； (5)写出答案 . 感悟新知 2. 常见的两种基本等量关系 (1) 总量与分量关系问题： 总量 = 各分量的和； (2) 余缺问题： 表示同一个量的两个不同的式子相等 . 知1－讲 感悟新知 知1－讲 特别警示 列一元一次方程解决实际问题时需要注意以下几点： 1. 恰当地设未知数可以简化运算，且单位要统一； 2. 题中的等量关系不一定只有一个，要根据具体情况选择； 3. 求出方程的解后要检验，既要检验所求出的解是不是方程的解，又要检验所求出的解是否符合实际意义 . 知1－练 感悟新知 利用方程解答下列问题： (1) x 的 3 倍与 2 的和等于 x 的 2 倍与 1 的差，求 x 的值； (2)已知整式 － 3x+2 与 2x － 1 的值互为相反数，求 x 的值 . 例1 知1－练 感悟新知 解题秘方：直接根据题中揭示的等量关系列出方程，求出未知数的值 . 知1－练 感悟新知 解：(1)根据题意，得 3x+2=2x － 1. 移项，得 3x － 2x= － 1 － 2. 合并同类项，得 x= － 3. (2)根据题意，得－ 3x+2+2x － 1=0. 移项，得 － 3x+2x= － 2+1. 合并同类项，得 － x= － 1. 系数化为 1，得 x=1. 知1－练 感悟新知 1-1.已知式子 3－4y 与2y－3 的和为－1， 求 y的值 . 知1－练 感悟新知 某校七年级 200 名学生分别到甲、乙两个纪念馆参观，其中到甲纪念馆参观的学生人数比到乙纪念馆参观的学生人数的 2 倍少 10 名， 到乙纪念馆参观的学生有多少名？ 例2 解题秘方：用分量的和等于总量列出方程，解决问题 . 知1－练 感悟新知 解：设到乙纪念馆参观的学生有 x 名，则到甲纪念馆参观的学生有(2x－10)名 . 根据题意，可列方程2x－10+x=200. 移项、合并同类项，得 3x=210. 系数化为 1，得得 x=70. 答：到乙纪念馆参观的学生有 70 名 . 知1－练 感悟新知 2-1.某厂 1 月份的产量为 a 吨， 2 月份的产量比1 月份增加了 2 倍， 3 月份的产量比 2 月份增加了 1 倍，如果第一季度的总产量为 1800 吨，求1 月份的产量是多少 . 解：由题意得1月份的产量为a吨，2月份的产量为3a吨，3月份的产量为6a吨， 所以a＋3a＋6a＝1800，解得a＝180. 答：1月份的产量为180吨． 知1－练 感悟新知 在国庆节来临之际，七年级(1)班课外活动小组计划做一批中国结 . 如果每人做 6 个，那么比计划多做 7 个；如果每人做 5 个，那么比计划少做 13 个 . 该小组计划做多少个中国结？ 例3 知1－练 感悟新知 解题秘方：不管是余还是缺，总量不变是列方程的关键 . 知1－练 感悟新知 解：设该小组共有 x 人 . 根据题意列方程，得 6x－7=5x+13. 移项、合并同类项，得 x=20. 所以 6x－7=113. 答：该小组计划做 113 个中国结 . 知1－练 感悟新知 3-1. 《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出 七， 不足三 . 问：人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出 5 钱，则差45 钱，每人出7 钱，则差 3 钱，求人数和羊价各是多少 . 请你解答 . 知1－练 感悟新知 解：设人数为x. 由题意得5x＋45＝7x＋3，解得x＝21. 所以羊价为5×21＋45＝150(钱)． 答：人数为21，羊价为150钱． 知1－练 感悟新知 一个三角形的三边长之比为 2∶4∶5，周长为 22 cm，求该三角形最长边的长 . 例4 知1－练 感悟新知 解题秘方：未知的量若以比的形式出现，则解决问题的关键是求出单位量，通过设单位量表示总量列方程 . 知1－练 感悟新知 解： 依题意，设三角形的三边长分别为 2x cm， 4x cm， 5x cm. 根据题意，得 2x+4x+5x=22. 合并同类项，得 11x=22. 系数化为 1，得 x=2. 所以 5x=10. 答：该三角形最长边的长是 10 cm. 知1－练 感悟新知 4-1.某班 51 人参加植树活动，根据任务的不同，分成甲、乙、丙三个小组，甲、乙两个小组的人数比为1∶ 2，乙、丙两个小组的人数比为3 ∶ 4，求甲、乙、丙三个小组各有多少人 . 知1－练 感悟新知 解：设甲小组有3x人，则乙小组有6x人，丙小组有8x人． 由题意得3x＋6x＋8x＝51，解得x＝3. 所以3x＝9，6x＝18，8x＝24. 答：甲、乙、丙三个小组各有9人、18人、24人． 知1－练 感悟新知 一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的 2 倍，如果把个位上的数字与十位上的数字对调，得到的数比原数小 36，求原来的两位数 . 例5 知1－练 感悟新知 解题秘方：用数位上的数字表示原数和新数，利用两个数之间的关系列方程 . 知1－练 感悟新知 解： 设原来的两位数个位上的数字为 x，则十位上的数字为2x. 根据题意，得 10× 2x+x－36=10x+2x，即 20x+x－36=10x+2x. 合并同类项，得 21x－36=12x. 移项，得 21x－12x=36. 合并同类项，得 9x=36. 系数化为 1，得 x=4. 所以 10× 2x+x=84. 答：原来的两位数是 84. 知1－练 感悟新知 教你一招：解决数字问题的关键在于如何巧妙地设出未知数，下面是一些数字问题设未知数的常用方法： 1. 连续数设中间； 2. 多位自然数设一位； 3. 数字换位设部分； 4. 小数点移动直接设； 5. 数字成比例设比值； 6. 特殊关系特殊设 . 知1－练 感悟新知 5-1.下表是 2023 年 5月的月历：任意框出表中同一竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是( ) A. 30 B. 51 C. 72 D. 75 D 感悟新知 知2－讲 知识点 工程问题 2 基本关系式 工作量 = 工作效率 × 工作时间， 工作时间 = ，工作效率 = . 感悟新知 知2－讲 2. 找等量关系的方法：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中， 如果一个量已知，从另一个量设元，那么就从第三个量找等量关系列方程 . 知2－讲 感悟新知 特别提醒 1. 当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，通常把总工作量看作整体 1. 2. 常见的等量关系为：总工作量 = 各部分工作量之和 . 感悟新知 知2－练 某市为打造引江枢纽风光带，将一段长为 1 200 m 的河道整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成，共用时 60 天 . 已知甲队每天整治 24 m，乙队每天整治 16 m，求甲、乙两队分别整治河道多少米？ 例6 知2－练 感悟新知 解题秘方：在工程问题中，工作量、工作效率、工作时间，已知一个量，设另一个量， 用第三个量列方程 . 知2－练 感悟新知 解： 设甲队整治河道 x m，则乙队整治河道(1 200－x) m. 根据题意列方程，得 + =60. 解这个方程，得 x=720. 1 200－x=480. 答：甲队整治河道 720 m，乙队整治河道 480 m. 知2－练 感悟新知 6-1.某地决定修建一条高速公路，其中一段长为 146 m 的山体隧道贯穿工程，由甲、乙两个工程队负责施工 . 甲工程队独立工作 2 天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了 1 天，这 3 天共掘进 26 m，已知甲工程队每天比乙工程队多掘进 2 m，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲、乙两个工程队还需要联合工作多少天？ 知2－练 感悟新知 感悟新知 知2－练 检查一处住宅区的自来水管，甲单独完成需 14 天，乙单独完成需 18 天，丙单独完成需 12 天 . 前 7 天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后 2 天由乙、丙两人合作完成，问乙中途离开了几天？ 例7 知2－练 感悟新知 解题秘方：将总工作量看作整体 1，等量关系为各部分的工作量之和等于总工作量 1. 知2－练 感悟新知 解： 设乙中途离开了 x 天 . 根据题意， 得× 7+ (7 － x) +( + )× 2=1， 解得 x=3. 答：乙中途离开了 3 天 . 知2－练 感悟新知 7-1.整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成，现计划由 2 人先做 4 h，然后增加一些人与他们一起做 8 h，完成这项工作 . 假设这些人的工作效率相同，应增加多少人？ 知2－练 感悟新知 感悟新知 知3－讲 知识点 配套和调配问题 3 1. 在配套问题中，配套的物品之间都具有一定的数量关系，这个数量关系可以作为列方程的依据 . 感悟新知 知3－讲 2. 生产配套问题中的基本等量关系 加工(或生产)的各种零件、配件的总数量比等于一套组合件中各种零件、配件的数量比 . 感悟新知 知3－讲 3. 调配问题中的基本等量关系 指从甲处调一些人(或物)到乙处，使之符合一定的数量关系，或从第三方调入一些人(或物)到甲、乙两处，使之符合一定的数量关系，其基本相等关系为：甲人(或物)数 + 乙人(或物) 数 = 总人( 或物)数 . 知3－讲 感悟新知 特别解读 1. 列方程解应用题的一般步骤： 审 → 设 → 列 → 解 →验→答 . 2. 配套问题中的关键词语 “刚好”与“最多”要认真区别 . 知3－练 感悟新知 某车间有 28 名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时能生产螺栓12 个或螺帽18个，2个螺栓要配3个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？ 例8 知3－练 感悟新知 解题秘方：解题的关键是找准题目中的相等关系，利用配套规则列方程求解 . 解： 设应安排x名工人生产螺栓，则(28 － x)名工人生产螺帽. 根据题意，得 3× 12x=2× 18( 28 － x)，解得 x=14. 所以 28 － x=14. 答：应安排 14 名工人生产螺栓， 14 名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套 . 知3－练 感悟新知 8-1.某服装厂生产一种运动服，已知每 3 m 长的布料可做上衣 2 件或裤子 3 条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用 800 m 长的布料生产服装，应分别用多少布料生产上衣和裤子，才能恰好配套？共能生产多少套？ 知3－练 感悟新知 感悟新知 知6－练 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 23 人，在乙处植树的有 17 人.现调 20 人去支援，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的 2 倍，应调往甲、乙两处各多少人？ 例9 感悟新知 知6－练 解题秘方：此类问题多用列表法找等量关系 . 设应调往甲处 x 人，列表如下： 原有人数 增加人数 现有人数 甲处 23 x 23+x 乙处 17 20－x 17+(20－x) 知6－练 感悟新知 解：设应调往甲处 x 人，则调往乙处(20－x)人 . 根据题意，得 × ( 23+x ) =17+ ( 20 － x ) . 解得 x=17，则 20 － x=3. 答：应调往甲处 17 人，调往乙处 3 人 . 知3－练 感悟新知 9-1.某班开展植树活动，分两个组，甲组35人，乙组 28 人 . 若从甲组抽调一部分人到乙组，使甲组人数是乙组人数的一半，求应从甲组抽调多少人到乙组 . 解：设应从甲组抽调x人到乙组． 由题意得2(35－x)＝28＋x，解得x＝14. 答：应从甲组抽调14人到乙组． 应用一元一次方程——“希望工程”义演 建模 解一元一 次方程应 用 题 的 步骤 “希望工程”义演 工程问题 配套和调 配问题 课堂小结 解：根据题意，得3－4y＋2y－3＝－1. 移项、合并同类项，得－2y＝－1. 系数化为1，得y＝. 解：设甲工程队每天掘进x m，则乙工程队每天掘进(x－2)m， 由题意得2x＋(x＋x－2)＝26，解得x＝7. 所以乙工程队每天掘进7－2＝5(m)， ＝10(天)． 答：甲、乙两个工程队还需要联合工作10天． 解：设应增加x人． 由题意得×2×4＋×8(x＋2)＝1， 解得x＝2. 答：应增加2人． 解：设应用x m布料生产上衣，用(800－x)m布料生产裤子． 由题意得x＝800－x，解得 x＝480. 故800－x＝320. 答：应用480 m布料生产上衣，320 m布料生产裤子，才能恰好配套，共能生产320套． $$