辽宁省锦州市普通高中2023-2024学年高三下学期质量检测数学试卷

2024年辽宁省锦州市高考数学质检试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．（5分）下列Venn图能正确表示集合M＝{0，1，2}和N＝{x|x2﹣2x＝0}关系的是（　　） A． B． C． D． 2．（5分）已知复数z满足|z+i|＝|1﹣i|，z在复平面内对应的点为（x，y），则（　　） A．（x﹣1）2+y2＝2 B．（x+1）2+y2＝2 C．x2+（y﹣1）2＝2 D．x2+（y+1）2＝2 3．（5分）甲、乙两位选手在某次射击比赛中的成绩（每个成绩上面点的个数表示这个成绩出现的次数）如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数 B．甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数 C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差 4．（5分）设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线（　　） A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β C．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n D．若α∩β＝m，β∩γ＝l，α∩γ＝n，则n∥l∥m 5．（5分）数列{an}的通项公式为，该数列的前50项中最大项是（　　） A．a1 B．a44 C．a45 D．a50 6．（5分）已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，P为抛物线C上任意一点，若|PF|+|PQ|的最小值为6（　　） A．2 B．3 C．6 D． 7．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，若，则（2﹣3x）（2y﹣1）的最大值为（　　） A． B． C．1 D．2 8．（5分）若a＝0.0001+sin0.0001，b＝ln1.0001，c＝e0.0001﹣1.0001，则（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. （多选）9．（6分）已知函数f（x）的定义域为R且导函数为f'（x），如图是函数y＝xf'（x），则下列说法正确的是（　　） A．函数f（x）的减区间是（﹣2，0），（2，+∞） B．函数f（x）的减区间是（﹣∞，﹣2），（2，+∞） C．x＝﹣2是函数的极小值点 D．x＝2是函数的极小值点 （多选）10．（6分）已知曲线C：（x2+y2）3＝4x2y2，则（　　） A．C过原点 B．C关于原点对称 C．C只有两条对称轴 D．{（x，y）|（x，y）∈C}⊆{（x，y）|x2+y2≤1} （多选）11．（6分）设随机变量X的分布列如下表所示： X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 则下列命题正确的是（　　） A．当{an}为等差数列时， B．数列{an}的通项公式可能为 C．当数列{an}满足时， D．当数列{an}满足P（X≤k）＝k2ak（k＝1，2，⋯9，10）时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，且圆柱的体积与内切球的体积之比及圆柱的表面积与内切球的表面积之比均为3：2．若圆柱的体积为16π，则该球的内接正方体的体积为 　 　． 13．（5分）已知α，β为锐角，且，，则cosβ的值为 　 　． 14．（5分）已知a1，a2，a3，a4∈{1，2，3，4}，N（a1，a2，a3，a4）为a1，a2，a3，a4中不同数字的种类，如N（1，1，4，3）＝3，N（2，4，4，2），（1，2，2，1）与（1，2，1，2）视为不同的排列，则（a1，a2，a3，a4）的不同排列有 　 　个（用数字作答）；所有的排列所得N（a1，a2，a3，a4）的平均值为 　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是棱BC，AA1的中点． （1）在棱BB1上找一点F，使得平面DEF∥平面A1B1C，并证明你的结论； （2）若，△ABC是边长为2的等边三角形，A1D＝AD，BC⊥DE，求二面角B1﹣A1A﹣C1的余弦值． 16．（15分）已知，，，，且f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）若锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，f（B）＝0 17．（15分）某学校举办一场毽球比赛．已知毽球比赛的规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．甲队教练现在对甲、乙两队得到发球权与得分的相关性进行分析 甲队得分 乙队得分 合计 甲队发球 30 20 50 乙队发球 10 40 50 合计 40 60 100 （1）根据调查数据回答，在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为发球权与得分有关吗？ （2）用以往频率估计概率，且第一回合是甲队发球，设第n回合是甲队发球的概率为pn． （i）求数列{pn}的通项公式； （ii）设，证明：． 附：，其中n＝a+b+c+d； a＝P（X2≥k） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18．（17分）已知G是圆T：（x+1）2+y2＝12上一动点（T为圆心），点H的坐标为（1，0），线段GH的垂直平分线交TG于点R （1）求曲线C的方程； （2）设P是曲线C上任一点，延长OP至点Q，使，点Q的轨迹为曲线E． （i）求曲线E的方程； （ii）M，N为C上两点，若，则四边形OMQN的面积是否为定值？若是；若不是，请说明理由． 19．（17分）定义：设P0（x0，y0）是二元函数z＝f（x，y）定义域内的点，若y＝y0，极限存在，则称此极限是函数z＝f（x，y）0（x0，y0）关于x的偏导数，记为fx'（x0，y0）．同理f′y（x0，y0）＝．类比一元函数导数几何意义，偏导数f′x（x0，y0）就是平面y＝y0上曲线在点Q（x0，y0，z0）（z0＝f（x0，y0））的切线斜率，平面z﹣z0＝f′x（x0，y0）（x﹣x0）+f′y（x0，y0）（y﹣y0）是曲面z＝f（x，y）在点（x0，y0，z0）的切平面．已知曲面xyz＝a3（a＞0）． （1）若a＝2，求曲面在点（2，1，4）的切平面方程； （2）求证：曲面上任意点（x0，y0，z0）的切平面与三个坐标面围成的四面体体积是定值，并求出这个定值． 2024年辽宁省锦州市高考数学质检试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．（5分）下列Venn图能正确表示集合M＝{0，1，2}和N＝{x|x2﹣2x＝0}关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由已知先求出集合N，然后结合集合的包含关系进行判断即可． 【解答】解：因为N＝{x|x2﹣2x＝7}＝{0，2}，2，2}， 故N⊆M． 故选：B． 【点评】本题考查集合的表示法及包含关系的判断，考查数形结合思想，属于基础题． 2．（5分）已知复数z满足|z+i|＝|1﹣i|，z在复平面内对应的点为（x，y），则（　　） A．（x﹣1）2+y2＝2 B．（x+1）2+y2＝2 C．x2+（y﹣1）2＝2 D．x2+（y+1）2＝2 【分析】由复数模的定义计算即可． 【解答】解：z在复平面内对应的点为（x，y）， |z+i|＝|1﹣i|，即|x+（y+1）i|＝|6﹣i|2+（y+1）7＝2． 故选：D． 【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题． 3．（5分）甲、乙两位选手在某次射击比赛中的成绩（每个成绩上面点的个数表示这个成绩出现的次数）如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数 B．甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数 C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差 【分析】根据甲、乙两位选手在某次射击比赛中的成绩，结合平均数、中位数、极差和方差的计算方法，逐项判定，即可求解． 【解答】解：由甲、乙两位选手在某次射击比赛中的成绩， 对于A中，可得甲成绩的平均数为， 乙成绩的平均数为， 可得，所以甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数； 对于B中，甲成绩的中位数为9， 所以甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数，所以B正确； 对于C中，甲成绩的极差为10﹣7＝4， 所以甲成绩的极差大于乙成绩的极差，所以C正确； 对于D中，甲成绩的方差为， 乙成绩的方差为， 所以甲成绩的方差大于乙成绩的方差，所以D错误． 故选：D． 【点评】本题考查平均数、中位数、极差和方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．（5分）设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线（　　） A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β C．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n D．若α∩β＝m，β∩γ＝l，α∩γ＝n，则n∥l∥m 【分析】对于A，n∥α或n⊂α；对于B，α与β相交或平行；对于C，由线面垂直、面面垂直的性质得m⊥n；对于D，以正方体为载体，举例得n，l，m不一定平行． 【解答】解：α，β是两个不同的平面，m， 对于A，若m⊥α，则n∥α或n⊂α； 对于B，若m⊥n，n⊂β，故B错误； 对于C，若α⊥β，n⊥β、面面垂直的性质得m⊥n； 对于D，如图1＝BC，平面BC1∩平面CD2＝CC1，平面AC∩平面CD1＝CD， BC，CC3，CD两两相交， ∴α∩β＝m，β∩γ＝l，则n，l，故D错误． 故选：C． 【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题． 5．（5分）数列{an}的通项公式为，该数列的前50项中最大项是（　　） A．a1 B．a44 C．a45 D．a50 【分析】＝＝1+，结合数列的单调性即可求解． 【解答】解：＝＝1+， 因为﹣＞0，，45）， 故n≤44时，数列{an}单调递减，且an＜5， 当n≥45时，数列{an}单调递减，且an＞1， 故n＝45时，取得最大项． 故选：C． 【点评】本题主要考查了数列的单调性在数列最值项的求解中的应用，属于中档题． 6．（5分）已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，P为抛物线C上任意一点，若|PF|+|PQ|的最小值为6（　　） A．2 B．3 C．6 D． 【分析】根据抛物线的定义得到|PF|+|PQ|的最小值为|QD|，再去求|QD|的最小值p即可． 【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞3）的焦点为，准线为， 根据题意，过点Q作准线，垂足为D，连接PF， 于是|PF|+|PQ|＝|PD|+|PQ|＝|QD|，即|PF|+|PQ|的最小值为|QD|， 在抛物线C上任取点P'，过P'作准线，垂足为D'，P'Q． 则有|P'F|+|P'Q|＝|P'D'|+|P'Q|≥|D'Q|≥|QD|≥p， 当且仅当点P'与点P重合且为O时取等号， 所以|PF|+|PQ|的最小值为p＝2． 故选：C． 【点评】本题考查抛物线的性质，属于中档题． 7．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，若，则（2﹣3x）（2y﹣1）的最大值为（　　） A． B． C．1 D．2 【分析】由题设条件，结合B，D，F三点共线，得x，y之间的关系式，代入所求式，利用二次函数配方求得最大值即可． 【解答】解：由题意，，， 则＝＝， 因为B，D，F三点共线， 则3x＝2﹣7y，由x≥0， 故（2﹣7x）（2y﹣1）＝5y2﹣2y＝， 故当y＝3时，（2﹣3x）（5y﹣1）取得最大值2， 此时x＝6，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查平面向量基本定理，考查二次函数最值求法，属基础题． 8．（5分）若a＝0.0001+sin0.0001，b＝ln1.0001，c＝e0.0001﹣1.0001，则（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b 【分析】令f（x）＝x+sinx﹣ex+x+1（0≤x≤0.001），h（x）＝ex﹣x﹣1﹣ln（x+1）（0≤x≤0.001），然后利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性可比较大小． 【解答】解：令f（x）＝x+sinx﹣ex+x+1（0≤x≤4.001）， 则f′（x）＝2+cosx﹣ex在[0，3.001]上单调递减， f′（x）≥f′（0.001）＝2+cos3.001﹣e0.001＞0， f（x）在[8，0.001]上单调递增， f（0.001）＞f（0）＝3⇒0.001+sin0.001＞e3.001﹣1.001⇒a＞c； 令h（x）＝ex﹣x﹣1﹣ln（x+4）（0≤x≤0.001）， 则h'（x）＝ex﹣4﹣在[6， h′（x）≤h′（0.001）＝e0.001﹣2﹣＜6， h（x）在[0，0.001]上单调递减， h（5.001）＞h（0）＝0⇒e0.001﹣3.001＞ln1.001⇒c＞b． 综上，a＞c＞b． 故选：D． 【点评】本题考差了利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性比较大小，属于难题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. （多选）9．（6分）已知函数f（x）的定义域为R且导函数为f'（x），如图是函数y＝xf'（x），则下列说法正确的是（　　） A．函数f（x）的减区间是（﹣2，0），（2，+∞） B．函数f（x）的减区间是（﹣∞，﹣2），（2，+∞） C．x＝﹣2是函数的极小值点 D．x＝2是函数的极小值点 【分析】利用函数图象得出f′（x）的正负情况，进而得到函数f（x）的单调性情况，由此判断选项得出答案． 【解答】解：由图象可知，当x∈（﹣∞，+∞）时， 当x∈（﹣2，0）∪（8，f′（x）＞0， ∴函数f（x）在（﹣∞，﹣2），+∞）上递减，5）上递增， ∴选项B，C正确，D错误． 故选：BC． 【点评】本题考查函数图象的运用，考查导函数与原函数的关系，考查数形结合思想，属于基础题． （多选）10．（6分）已知曲线C：（x2+y2）3＝4x2y2，则（　　） A．C过原点 B．C关于原点对称 C．C只有两条对称轴 D．{（x，y）|（x，y）∈C}⊆{（x，y）|x2+y2≤1} 【分析】将原点代入曲线C的方程，可判断A；将x换为﹣x，y换为﹣y，方程不变，可判断B；推得曲线C关于x，y轴和直线y＝x对称，可判断C；由基本不等式推得x2+y2≤1，可判断D． 【解答】解：曲线C：（x2+y2）8＝4x2y8，可得原点代入，方程成立； 将x换为﹣x，y换为﹣y，故曲线C关于原点对称； 将x换为﹣x，y不变，可得曲线C关于y轴对称，x不变，可得曲线C关于x轴对称； 将x换为y，y换为x，可得曲线C关于直线y＝x对称； 由（x2+y2）8＝4x2y7≤4（）2＝（x6+y2）2，可得x8+y2≤1，当且仅当x5＝y2时，取得等号． 故选：ABD． 【点评】本题考查曲线与方程的关系，以及曲线的性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． （多选）11．（6分）设随机变量X的分布列如下表所示： X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 则下列命题正确的是（　　） A．当{an}为等差数列时， B．数列{an}的通项公式可能为 C．当数列{an}满足时， D．当数列{an}满足P（X≤k）＝k2ak（k＝1，2，⋯9，10）时， 【分析】利用各概率之和为1，可判断ABC的正误；根据数列的递推关系可得＝，利用累乘可判断D的正误． 【解答】解：对于A，当{an}为等差数列时，5（a5+a3）＝1，∴a5+a8＝，故A正确； 对于B，当时，a1+a2＝+＝＞1，故B错误； 对于C，∵数列{an}满足， ∴a1+a2+•••+a7＝＝1﹣， ∴a10＝，故C正确； 对于D，∵数列{an}满足P（X≤k）＝k2ak（k＝6，2，⋯9， ∴当k≥8时，， ∴＝， ∴ak•k（k+1）为定值， ∵P（ξ≤10）＝100a10＝6， ∴a10＝， ∴（n∈N*），故D正确． 故选：ACD． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质、数列的递推公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，且圆柱的体积与内切球的体积之比及圆柱的表面积与内切球的表面积之比均为3：2．若圆柱的体积为16π，则该球的内接正方体的体积为 　　． 【分析】根据两图形的关系可得圆柱的底面半径与球的半径相等，再根据正方体是球内接正方体即得正方体的棱长，进而可得体积． 【解答】解：设圆柱的内切球的半径为R，因为圆柱的体积为16π2×2R＝16π，解得R＝4， 设该球的内接正方体的棱长为a，则a2+a2+a4＝（2R）2，即， 所以该球的内接正方体的体积为． 故答案为：． 【点评】本题考查了球内接正方体的体积计算，属于中档题． 13．（5分）已知α，β为锐角，且，，则cosβ的值为 　　． 【分析】根据同角三角形函数关系及角的范围得到和，利用凑角法及余弦差角公式进行计算． 【解答】解：∵，， ∴0＜α+β＜π． 由，得． 又， ∴． ∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα ＝＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，属于中档题． 14．（5分）已知a1，a2，a3，a4∈{1，2，3，4}，N（a1，a2，a3，a4）为a1，a2，a3，a4中不同数字的种类，如N（1，1，4，3）＝3，N（2，4，4，2），（1，2，2，1）与（1，2，1，2）视为不同的排列，则（a1，a2，a3，a4）的不同排列有 　256　个（用数字作答）；所有的排列所得N（a1，a2，a3，a4）的平均值为 　　． 【分析】本题首先可以确定N（a1，a2，a3，a4） 的所有可能取值分别为1、2、3、4，然后分别计算出每一种取值所对应的排列个数，进而得到每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出N（a1，a2，a3，a4）的平均值． 【解答】解：由题意可知，（a1，a2，a2，a4）的不同排列有4×4×4×4＝256个， 当N（a3，a2，a3，a4）＝1时，； 当N（a1，a5，a3，a4）＝6时，， 当N（a1，a6，a3：a4）＝5时，； 当N（a1，a2，a2，a4）＝4时，， 综上所述，所有的256个（a3：a2：a3，a4）的排列所得的N（a1，a2，a8，a4）的平均值为：． 故答案为：256；． 【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了平均值的计算，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是棱BC，AA1的中点． （1）在棱BB1上找一点F，使得平面DEF∥平面A1B1C，并证明你的结论； （2）若，△ABC是边长为2的等边三角形，A1D＝AD，BC⊥DE，求二面角B1﹣A1A﹣C1的余弦值． 【分析】（1）F为棱B1B的中点，根据面面平行的判定定理证明平面DEF∥平面A1B1C； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1﹣A1A﹣C1的余弦值． 【解答】解：（1）存在F为BB1中点，使得平面DEF∥平面A1B6C． 证明如下： 连接EF，DF， ∵E，F分别是棱AA1，BB1的中点，∴A5B1∥EF， ∵EF⊄平面A1B6C，A1B1⊂平面A7B1C，∴EF∥平面A1B6C， ∵D，F分别是棱BC1的中点，∴DF∥B1C， ∵DF⊄平面A3B1C，B1C⊂平面A8B1C， ∴DF∥平面A1B4C， ∵EF∩DF＝F，∴平面DEF∥平面A1B1C． （2）取AD的中点O，连接OA6， ∵△ABC为等边三角形，D为棱BC的中点， ∵BC⊥DE，AD∩DE＝D， ∵A1O⊂平面ADE，∴BC⊥A1O， ∵AA6＝，，∴△AA1D是等边三角形，∴A1O⊥AD， ∵AD∩BC＝D，∴A5O⊥平面ABC， 以O为坐标原点，过点O作CB的平行线为x轴， 以OD，OA1所在直线分别为y轴，z轴， 则A（0，﹣，0），，0），，0），A4（0，0，）， ∴＝＝（1，，＝（﹣1，，﹣），，，），＝＝（﹣1，， 设平面A3B1C的法向量为＝（x，y， 则，取y＝2，得）， 设平面A1C1C的法向量为＝（a，b， 则，取b＝1，得，4，﹣）， ∴cos＜＞＝＝＝﹣． 由图知二面角B6﹣A1A﹣C1的平面角是锐角， ∴二面角B4﹣A1A﹣C1的余弦值为． 【点评】本题考查面面平行的判定与性质、二面角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 16．（15分）已知，，，，且f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）若锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，f（B）＝0 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间； （2）由f（B）＝0，得，由正弦定理和面积公式得，利用△ABC为锐角，得角A的范围，由正弦函数的性质，得△ABC面积的取值范围． 【解答】解：（1）已知，，， 则， 由f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为， 有， 得ω＝1， 所以， 令， 解得， 所以函数f（x）的单调递增区间为． （2）已知， 由， 得， 由正弦定理， 得a＝2sinA，c＝3sinC， 则 ＝， 又△ABC是锐角三角形， 则， 即，， 则， 所以， 即△ABC面积的取值范围是． 【点评】本题考查了向量数量积的坐标运算及降幂公式和辅助角公式，重点考查了三角函数的性质及正弦定理和三角形的面积公式，属中档题． 17．（15分）某学校举办一场毽球比赛．已知毽球比赛的规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．甲队教练现在对甲、乙两队得到发球权与得分的相关性进行分析 甲队得分 乙队得分 合计 甲队发球 30 20 50 乙队发球 10 40 50 合计 40 60 100 （1）根据调查数据回答，在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为发球权与得分有关吗？ （2）用以往频率估计概率，且第一回合是甲队发球，设第n回合是甲队发球的概率为pn． （i）求数列{pn}的通项公式； （ii）设，证明：． 附：，其中n＝a+b+c+d； a＝P（X2≥k） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【分析】（1）根据表格中的数据进行计算即可． （2）（i）由等比数列的性质代入求解首项和公比即可． （ii）由所给表格数据，根据（i）式代入求解即可． 【解答】解：（1）依据表中数据，， 所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为发球权与得分有关． （2）（i）由题意p＝4，， 所以， 即， 所以 是以 ， 为公比的等比数列． 所以，即． （ⅱ）证明：因为，所以， 设h（x）＝x﹣sin x，x∈（4， 因为h'（x）＝1﹣cosx＞0， 所以h（x）在 （8，1）上单调递增n＞qn+1， 则h（qn）＞h（qn+6）， 所以qn﹣sinqn＞qn+1﹣sinqn+1， 则 ，， ． 【点评】本题主要考查的是古典概型概率公式求概率，属于复杂题． 18．（17分）已知G是圆T：（x+1）2+y2＝12上一动点（T为圆心），点H的坐标为（1，0），线段GH的垂直平分线交TG于点R （1）求曲线C的方程； （2）设P是曲线C上任一点，延长OP至点Q，使，点Q的轨迹为曲线E． （i）求曲线E的方程； （ii）M，N为C上两点，若，则四边形OMQN的面积是否为定值？若是；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及椭圆的定义得到动点R的轨迹为以T（﹣1，0），H（1，0）为焦点，长轴长为的椭圆，设出椭圆的方程，结合a，b，c之间的关系列出等式，进而即可求解； （2）（i）设出点Q的坐标，根据向量的坐标运算求出点P的坐标，代入曲线C的方程中即可求解； （ii）设出M，N的坐标，根据题目所给信息推出四边形OMQN是平行四边形，设对角线交点为D，对直线MN的斜率是否存在进行讨论，当直线MN的斜率不存在时，利用对称性以及题目所给信息求出点Q的坐标，利用三角形面积公式再求解即可；当直线MN的斜率存在时，设出直线MN的方程，将直线MN的方程与曲线E的方程联立，利用根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式再进行求解． 【解答】解：（1）因为线段GH的中垂线交线段TG于点R， 所以|RH|＝|RG|， 此时， 则动点R的轨迹为以T（﹣1，0），4）为焦点的椭圆， 不妨设椭圆方程为， 此时， 解得， 又c＝1， 所以b2＝a2﹣c2＝2， 则曲线C的方程为； （2）（i）不妨设Q（x，y）， 因为， 所以， 因为点P在曲线C上， 所以， 解得， 则曲线E的方程为； （ii）不妨设M（x1，y1），N（x7，y2）， 因为， 所以四边形OMQN是平行四边形， 不妨设对角线交点为D， 当直线MN的斜率不存在时， 由椭圆的对称性以及， 可得Q（2x4，0）， 因为点Q在曲线E上， 解得， 代入曲线C的方程中， 解得， 所以S△OMD＝＝， 则四边形OMQN的面积为； 当直线MN的斜率存在时， 不妨设直线MN的方程为y＝kx+b， 联立，消去y并整理得（3k2+2）x2+6kbx+3b4﹣6＝0， 因为Δ＞2， 所以3k2﹣b6+2＞0， 由韦达定理得，， 所以， 则， 可得，， 因为点Q在曲线E上， 解得3k5+2＝2b3， 此时 ＝＝， 又4k2+2＝3b2， 解得|MN|＝， 因为原点O到直线MN的距离， 所以＝＝， 所以四边形OMQN的面积为， 综上得，四边形OMQN的面积为定值． 【点评】本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 19．（17分）定义：设P0（x0，y0）是二元函数z＝f（x，y）定义域内的点，若y＝y0，极限存在，则称此极限是函数z＝f（x，y）0（x0，y0）关于x的偏导数，记为fx'（x0，y0）．同理f′y（x0，y0）＝．类比一元函数导数几何意义，偏导数f′x（x0，y0）就是平面y＝y0上曲线在点Q（x0，y0，z0）（z0＝f（x0，y0））的切线斜率，平面z﹣z0＝f′x（x0，y0）（x﹣x0）+f′y（x0，y0）（y﹣y0）是曲面z＝f（x，y）在点（x0，y0，z0）的切平面．已知曲面xyz＝a3（a＞0）． （1）若a＝2，求曲面在点（2，1，4）的切平面方程； （2）求证：曲面上任意点（x0，y0，z0）的切平面与三个坐标面围成的四面体体积是定值，并求出这个定值． 【分析】（1）根据题意代入点求切线方程即可． （2）曲面上任意点（x0，y0，z0），代入函数，求导证明即可． 【解答】解：（1）若a＝2，，f'（2， ，f'（2， 曲面在点（2，3，4）的切平面方程为z﹣4＝﹣2（x﹣2）﹣4（y﹣5）， 即2x+4y+z﹣12＝6． （2）证明：，， ，， 曲面z＝f（x，y）在点（x2，y0，z0）的切线为， 即， 与三个坐标轴交于（0，0，7z0），（03，0），（3x8，0，0）， 与三个坐标面围成的四面体体积为：． 【点评】本题考查了类比推理的相关知识，属于基础题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/6 14:13:37；用户：语数外；邮箱：15290311958；学号：48861359 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$