湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

长郡中学2024年上学期高一期未考试 数 学 命题人：陈家烦李典芳 王守磊审题人：王扬 时量：120分钟 满分：150分 得分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的)》 1.若复数x的模为10，虚部为一8，则复数x的实部为 A.-6 B.6 如 C.±6 D.36 2.掷两枚质地均匀的骰子，记A=“第一枚出现奇数点”，B=“第二枚出现 偶数点”，则A与B的关系为 中 A.互为对立 B.相互独立 製 C.互斥 D.相等 3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形OA'B'C', 且OA'∥B'C',OA'=2BC'=2,A'B'=1,则该平面图形的高为 那 A.√2 B.1 C.22 D.2 船 4.已知一组样本数据：8,9,9,11,12,13,15,16,17,18,18,20，则这组样本 数据的第70百分位数与中位数之和是 A.29 B.30 C.31 D.32 5.已知M是四面体O-ABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P 在线段AN上，且MN=2ON,AP=AN,以Oi,Oi,OC为基底，则 OP可以表示为 数学试题（长郡版）第1页（共8页） A.O-OA+O成+Od B.OP-0A+0B+00 C.0°=oi+3o+}0d D.OP-10A+10B+100 6.已知非零向量a,b满足|a十b=a一2b,且b在a上的投影向量为 则8 A司 B号 C.2 D.3 7.如图所示，在三棱柱ABC-A,BC中，若点E,F分别满足A正=号A店， A庐=号AC,三棱柱高为3，△ABC面积为3V3,则几何体B,C-BCFE 的体积为 A.83 3 B.3√3 C.103 D.113 3 8.有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次接受面试，经 理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一 个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记该公司录用到能 力最强的人的概率为p,录用到能力中等的人的概率为g,则(p,9)= A(合 B(合) c合) n(合》 数学试题（长郡版）第2页（共8页） 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分) 9.下列说法正确的有 A.某班有40名学生，若采用简单随机抽样从中抽取4人代表本班参加 社区活动，那么学号为04的学生被抽到的可能性为10% B.已知一组数据1,2，m,6,7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C.将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍 D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入 一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 10.如图，在正方体ABCD-A1BCD1中，E,F分别为BC,CC的中点， 则下列结论正确的是 A.直线AB与EF所成的角的大小为60° B.直线AD1∥平面DEF C.平面DEF⊥平面BCC1B D.直线CD与平面DEF所成角的正弦值为} 11.点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有 A.若OA.OB=O.O心=O元.OA,则点O为△ABC的外心（外接圆 圆心) B.若AO=λ( AB AC ABIsin B ACI sin C 一)（入∈R),则动点O的轨迹一定 通过△ABC的重心 C.若2OA+OB+3OC=0,S△c,S△分别表示△AOC,△ABC的 面积，则S△wc:S△c=1:6 哥离)=6.则点O是△ABC的内心 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 数学试题（长郡版）第3页（共8页） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.复数=3千则十= 13.如图，一架无人机距离地面的高度PQ=200m,在Q处观测到岳麓山 山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若∠BAC=60°，则岳 麓山的高度BC为 m. 607 A 14.已知在三棱锥P-ABC中，PA=4,BC=26,PB=PC=3,PA⊥平面 PBC,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2a一c= 2bcos C. (1)求角B; (2)若D为AC的中点，且BD=号，6=3，求△ABC的面积 数学试题（长郡版）第4页（共8页） 16.(本小题满分15分) 对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计（满分：100分），将数据分成 五组，从左到右依次记为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)， 「90,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图. 频率 组距 0.040---- 0.030- 0.020- 0.015 0.010 0.005- 0Λ 5060708090100成绩/分 (1)根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数（求平 均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表)： (2)现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40 人.若分数在区间[70,90)的学生实际成绩的平均数与方差分别为 78分和27，第三组[70,80)的学生实际成绩的平均数与方差分别 为72分和1，求第四组[80,90)的学生实际成绩的平均数与方差 数学试题（长郡版）第5页（共8页） 17.(本小题满分15分) 如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，圆O的 半径为1，AF=√3，点G是线段BF的中点. (1)证明：EG∥平面DAF; (2)若直线DF与圆柱底面所成角为45°，求三棱锥C-ADF的体积. 数学试题（长郡版）第6页（共8页） 18.(本小题满分17分) 据人民网报道：“美国国家航空航天局(NASA)发文称，相比20年前世 界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿.” 据统计，中国新增绿化面积的42%来自植树造林，下表是中国十个地 区在2017年植树造林的相关数据.（造林总面积为人工造林、飞播造 林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和) 单位：hm 造林方式 造林总 地区 面积 人工 飞播 人工 新封山育林 退化林修复 造林 造林 更新 内蒙古 618484 311052 74094 136006 90382 6950 河北 583361 345625 33333 135107 65653 3643 河南 149002 97647 13429 22417 15376 133 重庆 226333 100600 62400 63333 陕西 297642 184108 33602 63865 16067 甘肃 325580 260144 57438 7998 新疆 263903 1181056264 126647 10796 2091 青海 178414 16051 159734 2629 宁夏 91531 58960 22938 8298 1335 北京 19064 10012 4000 3999 1053 (1)请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总 面积的比值最大和最小的地区； (2)在这十个地区中，任取一个地区，该地区人工造林面积占造林总面 积的比值不足50%的概率是多少？ (3)从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求 其中至少有一个地区的退化林修复面积超过五万公顷的概率. 数学试题（长郡版）第7页（共8页） 19.(本小题满分17分) 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性， 规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其 中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面 体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为 2x-3×胥=元如图，在直三棱柱ABC-ABC中，点A的曲率为。 N,M分别为AB,CC的中点，且AB=AC. (1)证明：CN⊥平面ABB1A1; (2)若AA=√2AB,求二面角B1-AM-C1的余弦值； (3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简 单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D,棱数为L, 面数为M,则有：D一L十M=2.利用此定理试证明：简单多面体的 总曲率（多面体所有顶点的曲率之和）是常数， 数学试题（长郡版）第8页（共8页）长郡中学2024年上学期高一期末考试 数学参考答案 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C C D B A D 3.C【解析】在直角梯形 O'A'B'C' 中， ，O'A'∥{'B'C'}{O'}'O'A'=2B'C'=2，A'B'=1， 则 $$O ' C ' = \sqrt { \left( 2 - 1 \right) ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt 2 ，$$ 直角梯形 O'A'B'C' 对应的原平面图形为图中直角梯形 OABC， B C $$\overrightarrow { O }$$ 则有 $$B C / / O A ， O C \bot O A ， O A = 2 B C = 2 ， O C = 2 O ' C ' = 2 \sqrt 2 ，$$ 所以该平面图形的高为 $$2 \sqrt 2 .$$ 故选C. 4.C【解析】中位数是 $$\frac { 1 3 + 1 5 } { 2 } = 1 4 ；$$ 因为 12×0.7=8.4， 所以第70百分位数是第9个数为17.故样本数据的中位数与 第70百分位数之和为 14+17=31. .故选C. 5.D【解析】依题意， $$\overrightarrow { O P } = \overrightarrow { O A } + \overrightarrow { A P } = \overrightarrow { O A } + \frac { 3 } { 4 } \overrightarrow { A N } = \overrightarrow { O A } + \frac { 3 } { 4 } \left( \overrightarrow { O N } - \overrightarrow { O A } \right) = \frac { 1 } { 4 } \overrightarrow { O A } + \frac { 3 } { 4 } \overrightarrow { O N }$$ $$= \frac { 1 } { 4 } \overrightarrow { O A } + \frac { 3 } { 4 } \times \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { O M } = \frac { 1 } { 4 } \overrightarrow { O A } + \frac { 1 } { 2 } \overrightarrow { O M } = \frac { 1 } { 4 } \overrightarrow { O A } + \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 2 } \overrightarrow { O B } + \overrightarrow { O C }$$ 故选D. 6.B【解析】由 |a+b|=|a-2b|， ，可得 $$| a + b | ^ { 2 } = | a - 2 b | ^ { 2 } ， a ^ { 2 } + 2 a \cdot b + b ^ { 2 } = a ^ { 2 } - 4 a \cdot b + 4 b ^ { 2 } ，$$ 所以 $$a \cdot b = \frac { 1 } { 2 } | b | ^ { 2 } ， \textcircled 1$$ 且b在a方向上的投影向量为 $$\frac { a \cdot b } { | a | } \cdot \frac { a } { | a | } = \frac { 2 } { 3 } a . \textcircled 2$$ 由①②得 $$\frac { | a | ^ { 2 } } { | b | ^ { 2 } } = \frac { 3 } { 4 } ，$$ $$\frac { | a | } { | b | } = \frac { \sqrt 3 } { 2 } ，$$ ，故选B 7.A【解析 $$Y ： \overrightarrow { A E } = \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { A B } ， \overrightarrow { A F } = \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { A C } ， \therefore E F / / B C ， E F = \frac { 2 } { 3 } B C ， \therefore S _ { \triangle A E F } = \frac { 4 } { 9 } S _ { \triangle M x }$$ $$\because \frac { E F } { B _ { 1 } C _ { 1 } } = \frac { A F } { A _ { 1 } C _ { 1 } } = \frac { A E } { A _ { 1 } B _ { 1 } } = \frac { 2 } { 3 } ， \therefore$$ 几何体 $$A E F - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$$ C 为三棱台， ， 设三棱台 $$A E F - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$$ 体积为 $$V _ { 1 } ，$$ ，几何体 $$B _ { 1 } C _ { 1 } - B C F E$$ 体积 $$V _ { 2 } ，$$ $$\therefore V _ { 1 } = \frac { 1 } { 3 } \left( S _ { \triangle A B F } + \sqrt { S _ { \triangle A E F } } ， S _ { \triangle A B C _ { 1 } } { S _ { \triangle A B C } } { C _ { \triangle A B C } } \right) \cdot h$$ $$= \frac { 1 } { 3 } \left( \frac { 4 } { 9 } S _ { \triangle M C C } + \frac { 2 } { 3 } S _ { \triangle M C E } + S _ { \triangle M x } \right) \cdot h = \frac { 1 9 } { 2 7 } S _ { \triangle N x } \cdot h = \frac { 1 9 } { 2 7 } V _ { N x } A _ { 1 } M C ，$$ $$\therefore V _ { 2 } = V _ { A K } + A _ { 1 } B _ { 2 } C _ { 1 } - V _ { 1 } = \frac { 8 } { 2 7 } V _ { M x - A _ { 1 } } _ { 1 } c = \frac { 8 } { 2 7 } \times 3 \sqrt 3 \times 3 = \frac { 8 \sqrt 3 } { 3 } ，$$ ，故选A. 8.D 【解析】设三人能力分别为强，中，弱，则三人参加面试的次序为： (强，中，弱)，(强，弱，中)，(中，强，弱)，(中，弱，强)，(弱，中，强)，(弱，强，中)，总数 n=6， 按“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人” 的规定， 该公司录用到能力最强的人包含的结果有：(中，强，弱)，(中，弱，强)，(弱，强，中)，共3种情况， ∴ 该公司录用到能力最强的人的概率 $$p = \frac { 3 } { 6 } = \frac { 1 } { 2 } .$$ 该公司录用到能力中等的人包含的结果有：(强，弱，中)，(弱，中，强)，共2种情况， 数学参考答案(长郡版)一1 该公司录用到能力中等的人的概率4=6=3 21 故选D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 AD ABD BCD 9.AD【解析】对于A,简单随机抽样每个个体被抽到的可能性相同，均为4÷40一10%，故A正确：对于B,因为数据 1,2,m.6,7的平均数是4，则m=4×5-1-2-6-7=4, 这组数据的方差是=吉1-0+(2-40+(4-40+(6-)+(7-40门-故B错误： 对于C:将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差变为原来的9倍，C错误： 对于D,,某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为x,方差为，x= 8×5+5=5,5=8X2+65-5》=16<2,D正确. 9 9 9 10.ABD【解析】对于A:连接BC,C1A,如图，由正方体的结构特征知，|BC|=|A1B引=|AC1|,即△ABC为正 三角形.又因为E,F分别为BC,CC的中，点，则EF∥BC,因此直线AB与EF所成的角即为直线AB与BC,所 成的角，即∠ABC或其补角， 又∠ABC=60°，所以直线AB与EF所成的角的大小为60°，A正确： 对于B:因为EF∥BC,所以AD∥EF,又AD寸平面DEF,EFC平面DEF,故直线AD∥平面DEF,B正确： 对于C:取EF的中点为M,连接DM,显然|DE=|DF,EF的中点为M,则DM⊥EF,假设平面DEF⊥平面 BCCB,而平面DEF∩平面BCCB,=EF, 于是DM⊥平面BCC,B,又DCL平面BCCB,则DM∥DC, 与DM∩DC-D矛盾，C错误： 对于D:不坊设正方体的棱长为2a,点C到手面DBF距高为d,则V=日Sm·CD=号×0X2a=号d,三 角形DEF中，DE=DF-5a,EF=2a,DM=320 21 2 Vm=言×号×2a×3号2×d=Vm=名0，故d-号设直线CD与西DEF所成角为8，剩mg=- 2a3 故D正确，故选ABD. 11.CD【解析】对于A,由Oi.O=O.C,得O·(O心-OA)=Oi·AC=0,即0，点在AC边上的高上， OA·OB=O万·OC=OC·OA,同理可得O,点在BC、AB边上的高上，所以点O为△ABC的垂心，故A错误， 对于B,令△ABC边BC上的高为h,则有|ABlsin B=|ACl sin C-=h,令边BC的中，点为D,则AB+AC=2AD, 国此A0-+9)=会a+a0-,申a0/动.。 所以动点O的轨迹一定通过△ABC的重心，故B正确： 对于C,若2OA+OB+3OC=0,设OA=2OA,OC=3OC. 数学参考答案（长郡版）一2 则OA+Oi+OC-0,可得O为△A'BC'的重心，如图： 设S△，Yg=x,S△Hc=y,S△Yx=之，则S△A8=2.x,S△ax=3y,SAx=6z 由于O为△A'BC‘的重心，延长BO交A'C与E,则E为AC的中点： 则SA△E=S△E,S△AE=S△E∴.S△《m=SAc《雅，同理可得S△AMm=S么AC, 故2x=3y=62,不妨取=1，∴.x=3,y=2, 可得S△xe:S△=x:(x十y十)=1：6，故C正确： 对于D,如图： 国为离+高是∠D手珍成住方有上的的，C·(高+哥高)-o, BC 所以OC⊥CE,因此OC是∠ACB平分线. 取ai(高+哥)-（离+离 =0得OA,OB分别是∠CAB和∠ABC的平分线， 因此O是△ABC三内角平分线的交点，所以O是△ABC的内心，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.暑 13.300【解析】因为∠QAP=45°，所以AQ=200V2m, 在△ACQ中，∠AQC=45°+15°=60°，∠QAC=180°-45°-60°=75， 所以∠QCA=180”-∠AQC∠QAC=45,由正孩定理，得架=60，AC-200月m:所以BC=30m 14.48r【解折]在等腰△PBC中，os∠PBC-号，所以sn∠PBC-号 3 △PBC的外接周的丰径为r=合 3 3v3 sin∠PBC 21 所以三校维P一-ABC的外接球的丰径为R-√PF+(合PA-√厚+4= 所以共表面教为4R=4(空)=48玩 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)因为2a-c=2 beos C,由正弦定理可知，2sinA-sinC=2 sin Bcos C, 又sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,得到sinC=2 cos Bsin C, 数学参考答案（长郡版）一3 又sinC>0且B∈(0，π)，所以B= 3· (2)由BD=号，得1D=号，则由平行四边形法则可得Bi+BC=5, 则BA+BC+2BA.BC=25,即a+2+ac=25,① 又F=a+2-2 accos B,即a2+c2-ac=9,② 由D@可得ac=8则5ar=ecsin B=4×受-2v5, 2 …13分 16.【解析】(1)这800名学生成绩的众数用频率分布直方图最高矩形中点的横坐标来估计，所以估计众数为65（分）… ……3分 平均数x=55×0.30十65X0.40十75×0.15十85×0.10十95×0.05=67（分）：…7分 (2)由分层随机抽样可知，第三组和第四组分别抽取6人和4人， 设分数在区间[70,90)的学生实际成绩分别为u(i=1,2,3,…,10),其平均数与方差分别为u,2,则u=78, -277 51 设第三组学生实际成绩分别为x,(i=1,2,3,4,5,6),其平均数与方差分别为x,是，则x=72,=1. 设第四组学生实际成绩分别为y(i=1,2,3,4),其平均数与方差分别为y,, 法一：由5X72+4=78,得y=87, 10 公-100 含x+2￥-10口 10 2所以 277 10 2-6 因为 6 =1,所以2x2=6+6×72=31110, 所以2=554+10×78-3110=30284.所以2 2-4了30284-4X7-2, 4 4 第四组学生实际成绩的平均数为87，方差为2.…15分 法二：由6X72+4y=78,得y=87, ee eeeeeeeeeeee e s ee 10 …9分 代入公式-+G-m门++(-m门，得到3=2。 所以第四组学生实际成绩的平均数为87，方差为2.… …15分 17.【解析】(1)取AF中点M,连接DM,GM,如图所示： G为BF中点，则GM∥AB,又AB∥DE,得GM∥DE, 由GM=2ABDE-2AB,得GM=DE, 所以四边形DEGM为平行四边形，DM∥EG, 又DMC平面DAF,EG平而DAF,所以EG∥平面DAF…7分 (2)因为OB=1,AF=√3，∠AFB=90°，所以BF=√AB-AF=√4-3=1. 因为DA⊥平面ABF,且直线DF与圆柱底面所成角为45°， 所以∠AFD=45°，则有AD=√5.… .…10分 因为BC∥AD,又ADC平面DAF,BC过平面DAF, 所以BC∥平而DAF,点B和，点C到面DAF距离相等.…I2分 故ew=Vw=Vom=5m·AD-=子X2×1X5X,g=2 2· ………15分 18.【解析】(1)人工造林面积与造林总面积的比值最大的地区为甘肃省，人工造林面积与造林总面积的比值最小的地区 为青海省… …4分 数学参考答案（长郡版）一4 (2)设在这十个地区中，任取一个地区，该地区人工造林面积占造林总面积的比值不足50%为事件A,在十个地区 中，有三个地区（重庆，新疆、青海）人工造林面积占造林总面积的比位不足50%，则P(A)=: 3 …10分 (3)设其中至少有一个地区的退化林修复面积超过五万公顷为事件B,新封山育林面积超过十万公顷的有四个地 区：内蒙古、河北、新疆、青海，分别设为，a2,a,a4,其中退化林修复面积超过五万公顷的有两个地区：内蒙古、河 北，即a,a.从四个地区中任取两个地区共有6种情况：(a1,ae),(a1,au),(a1,a),(ae,a),(a2,a),(aa,a),其中 至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况：(a,a),(a1a),(a,a4),(a,a),(ag,a4), 19.【解析】(1)在直三枚柱ABC-A,B,C,中，AA,⊥平面ABC,AC,ABC平面ABC, 则AA⊥AC,AA⊥AB,所以点A的曲率为2x一2X受-∠BAC-, 31 所以∠BAC=于.因为AB=AC,所以△ABC为正三角形. 因为N为AB的中点，所以CN⊥AB. 又AA⊥平面ABC,CNC平面ABC,所以AA1⊥CN, 因为AA∩AB=A,AA1、ABC平面ABB,A1,所以CN⊥平面ABBA1.…5分 (2)取AC的中点F,连接B,F、MF,则BF⊥AC, 因为ABC-AB,C为直三棱柱，故平面AACCL平面AB,C,交线为AC, 故BF⊥平面AACC,又AM,MFC平面AACC,故B,F⊥AM,B,F⊥FM, 设AB=2,则AA=2,AM=BM=√3，AB=√6， AF+BM=AB=6,故AMBM,又B,F∩B,M=B,, 所以AM⊥平面B,FM,而MFC平面BFM,故AM⊥MF, 所以∠FMB,为二面角B-AM-C1的平面角， 在R△BFAM中，o∠PB=觉-号，t二面角片-AM-C的会孩值为 …11分 (3)设多面体有M个面，给组成多面体的多边形编号，分别为1,2，·，M号. 设第i号(1≤iMD多边形有L,条边. 则多面体共有L=山十L十…十L条棱 2 由题意，多面体共有D=2-M十L=2一M什十L+L山个顶点. 2 i号多边形的内角之和为πL,一2π，故所有多边形的内角之和为π(L1十L2十…十L)一2πM, 故多面体的总曲率为2πD一[π(L1十L十十IM)一2πM门 =2x(2-MH+L…+Ly）-[x(L+L++Lw)-2xM0=4x 2 所以简单多面体的总曲率为4元。… 17分 数学参考答案（长郡版）一5