广东省汕头市2023-2024学年高二下学期普通高中教学质量监测数学试题

试卷类型：A 汕头市2023~2024学年度普通高中教学质量监测 高二数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷选择题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知是关于的实系数方程的一个根，则的值为（ ） A.26 B.-26 C.13 D.-13 2.若空间中四条不同的直线，，，满足，，，则下面结论正确的是（ ） A. B. C.，既不垂直也不平行 D.，的位置关系不确定 3.已知，则（ ） A. B. C. D. 4.已知为等差数列，，，则（ ） A.1 B.33 C.65 D.-1 5.对于变量和变量的成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如图所示，则模型误差（ ） A.满足一元线性回归模型的所有假设 B.不满足一元线性回归模型的的假设 C.不满足一元线性回归模型的的假设 D.不满足一元线性回归模型的和的假设 6.通过随机询问某中学110名学生是否爱好跳绳，得到如下列联表.已知，，根据小概率值的独立性检验，以下结论正确的是（ ） 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 A.爱好跳绳与性别有关 B.爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C.爱好跳绳与性别无关 D.爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 7.在中，，边上的高等于，则（ ） A. B. C. D. 8.某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到.在该海湾某一固定点，大海水深（单位：）与午夜24：00后的时间（单位：）的关系由函数表示，则上午9：00潮水的涨落速度为（精确到，参考数据：）（ ） A.3.00 B.-1.64 C.1.12 D.-2.15 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知点､､在所在平面内，则（ ） A.若，则点是的外心 B.若，则点是的重心 C.若，则点是的内心 D.若，则是等腰三角形 10.已知函数的最大值为1，则（ ） A. B.的最小正周期为 C.在上单调递减 D.的图象按向量平移，所得图象过原点 11.已知点和以点为圆心的圆，以为直径，点为圆心的圆与圆相交于､两点，则（ ） A.圆的方程为 B.与两条直线中，有一条直线的斜率不存在 C.直线的方程为 D.线段的长为 第II卷非选择题 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.写出的展开式中系数最大的项：__________. 13.已知一正四面体状木块的棱长为3，点为侧面的重心，过点将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面周长为__________. 14.设椭圆的离心率为，双曲线的渐近线斜率小于，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知等比数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项､､（其中､､成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 16.（本小题满分15分） 在长方体中，点､分别在棱､上，且，. （1）求证：平面； （2）当，，时，求平面与平面的夹角的余弦值. 17.（本小题满分15分） 已知函数. （1）作出的大致图象，并说明理由； （2）讨论函数的零点个数. 18.（本小题满分17分） 甲公司现有资金200万元，考虑一项投资计划，假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势：若投资期间经济形势好，投资有25%的收益率；若投资期间经济形势不好，投资有10%的损益率.如果不执行该投资计划，损失为1万元.现有如下两个方案， 方案一执行投资计划； 方案二聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势，聘请费用为5000元，若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好，则执行投资计划；若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好，则不执行该计划.以往的资料表明，投资咨询公司乙预测不一定正确.投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8；投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7. 假设根据权威资料可以确定，投资期间经济形势好的概率是0.4，经济形势不好的概率是0.6. （1）求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率； （2）根据获得利润的数学期望的大小，甲公司应该执行哪个方案？说明理由. 19.（本小题满分17分） 抛物线具有光学性质：由其焦点发出的光线经抛物线上的点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴. 由光路可逆知，反之也成立. （1）已知平行于轴的光线从点发出，经抛物线上的点反射后，再经该抛物线上另一点，最后沿方向射出，若射线平分，求实数的值； （2）光线被抛物线上某点反射，其实是被抛物线在该点处的切线反射.对于一般的抛物线，请证明上述抛物线的光学性质. 汕头市2023~2024学年度期末调研测试 高二数学科参考答案与评分标准 第I卷 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D B A C C D B ABD AB ABD 1.【解析】实系数一元二次方程的两根互为共轭复数，由韦达定理得； 2.【解析】利用长方体易得； 3.【解析】； 4.【解析】，同理，故公差，所以； 5.【解析】由残差图的点没有均匀分布在水平带状区域内可知：不满足的假设； 6.【解析】计算得，说明没有充分证据作此推断； 7.【解析】作于，设，则，故由余弦定理可求得； 8.【解析】由导数的意义知，上午潮水的涨落速度为 9.【解析】由外心定义，A正确；设是中点，由得，B正确；由得，即，同理，，故点是的垂心，错误； 设，则为的平分线，又，故D正确； 10.【解析】化简得，故，A正确；显然，B正确； 在上递增，且，而在上没有单调性，故C错误； 设的图象按向量平移，得到函数的图象，则，D错误； 11.【解析】设点为圆上任一点，由知，正确； 显然，与为圆的切线，若有一条的斜率不存在，则其方程必为，它到圆心的距离为3，与圆半径相等，符合题意，故B正确； 圆与圆的方程相减得直线的方程为，故C错误； 圆心到直线的距离为，所以，故D正确； 第II卷 题号 12 13 14 答案 6 12.【解析】的展开式中系数最大的项也即是二项式系数最大的项，即； 13.【解析】由线面平行的性质定理知，截面的两组对边分别与和平行，与平行的边长为 2，与平行的边长为1，故周长为6； 14.【解析】依题意，，故； 15.【答案】 （1）设等比数列的公比为，则 当时：，① 当时：，② 由①②解得：， 所以数列的通项公式； （2）设数列中存在3项成等比数列，则， 因为， 所以，即； 又因为成等差数列，所以， 所以， 化简得，所以， 又各不相等，所以，矛盾. 从而假设不成立，故在数列中不存在3项成等比数列. 16.【答案】 （1）证明：因为， 所以， 因为， 所以， 又，故平面； （2）以点为原点，分别以直线为轴，建立空间直角坐标系， 则 设平面的法向量为， 则，取， 由（1）知：是平面的一个法向量 所以，， 设平面和平面的夹角为，则. 17.【答案】 （1）的定义域为，且， 由得：或， 列表得： 0 + 0 - - 0 + 极大值 极小值 所以，的递增区间为与，递减区间为与， 的极大值为，极小值为， 当时，，且时，， 当从1的左侧无限趋近1时，，当从1的右侧无限趋近1时， 又 所以函数的大致图象如图所示： （2）令得：， 由（1）知， 当时，恰有1个零点； 当时，恰有2个零点； 当时，没有零点. 18.【答案】 （1）记“投资期间经济形势好”，“投资咨询公司预测投资期间经济形势好”， 则， ， 由全概率公式得： （2）设采取方案一获得利润万元，则的分布列是 50 -20 0.4 0.6 设采取方案二获得利润万元，则的所有可能取值为， ， ， ， 的分布列为： -20.5 -1.5 49.5 0.18 0.5 0.32 ， 甲公司应该选择方案二. 19.【答案】 （1）依题意可知，直线的方程为， 由得：， 又，所以， 故直线的方程为， 由得：， 则， 设直线的倾斜角为，由得或-2（舍去） 所以，故； （2）设直线与拋物线相切于点， 由得：， 故，整理得， 从而， 进而， 取直线的一个方向向量， 直线的一个方向向量为， 焦点发出的光线经点反射，设反射光线斜率为，取其一个方向向量为， 故， 即： 整理得：， 因为与不共线，所以， 从而， 所以由抛物线焦点发出的光线经拋物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴. 学科网（北京）股份有限公司 $$