第04讲 全等三角形的判定与性质（8大知识点+18大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（人教版）

第04讲 全等三角形的判定与性质 （8大知识点+18大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 图形的全等 题型二 全等三角形的概念 题型三 全等三角形的性质 题型四 用SSS证明三角形全等(SSS) 题型五 用SSS间接证明三角形全等(SSS) 题型六 用SAS证明三角形全等(SAS) 题型七 用SAS间接证明三角形全等(SAS) 题型八 尺规作一个角等于已知角 题型九 尺规作图--作三角形 题型十 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 题型十一 用HL证全等(HL) 题型十二 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合) 题型十三 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 题型十四 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合) 题型十五 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 题型十六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 题型十七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 题型十八 全等三角形综合问题 知识点01 全等图形 （1）全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形； （2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形； （3）三角形全等的符号。 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 知识点02 全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等； ②全等三角形的周长相等，面积相等；③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 知识点03 全等三角形的判定1：边边边（SSS） 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 证明的书写步骤： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论. 注意：（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写. （2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. 用尺规作一个角等于已知角:已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB． 作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C、D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′； （3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB． 知识点04 全等三角形的判定2：边角边（SAS） 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， “SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用． 1.证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决. 2判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的． 知识点05 全等三角形的判定3：角边角（ASA） 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化． 2.全等三角形对应边上的高也相等. 知识点06 全等三角形的判定4：角角边（AAS） 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化． 2.全等三角形对应边上的高也相等. 知识点07 直角三角形全等的判定：HL 文字：在两个直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：HL） 图形： 符号：在Rt与Rt中， 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 在直角三角形中，只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等） 知识点08 等三角形的常见辅助线的作法 1）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 2)旋转法，将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等。旋转需要特定条件（两个图形的短边共线）。这种作法和截长补短类似，适合证明线段的和、差、倍、分等类的题目．常见于半角模型中。 3)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 4）过端点作另一边的平行线：其目的是构造出一组全等三角形；特点：中线倍长的反向应用 5）向中线作垂线法：过线段两端点向中点处的线段作垂线；目的是构造出一组全等三角形 【典型例题一 图形的全等】 1．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）下列几组图形中是全等形的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）下列各组图形中，是全等图形的是（    ） A．   B．     C．   D．   3．（22-23七年级下·四川达州·开学考试）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD=0.5，BC=1，则AF= ． 4．（2023九年级·全国·专题练习）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠B＝ ． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）下面各对图形是不是全等图形？为什么？ (1)边长都是的两个正方形． (2)如图所示的两件衣服． 6．（2023八年级上·全国·专题练习）将网格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种． 【典型例题二 全等三角形的概念】 1．（22-23八年级·全国·课堂例题）说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等 2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·新疆和田·阶段练习）和全等，记作 ． 4．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，与全等，可表示为 ，与是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是 ，其余的对应边是 ． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，若，与是对应角，与是对应边，写出其他的对应边及对应角． 6．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为（    ）；②的对应角为（    ）；③的对应角为（    ）；④的对应边为（    ）；⑤的对应边为（    ）． 【典型例题三 全等三角形的性质】 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，，若，则（    ） A． B． C． D．5° 3．（2023·湖南邵阳·三模）如图，若≌，且，则 ． 4．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，，若，，则 ； 5．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知．如果，，求的长． 6．（22-23八年级上·山西忻州·阶段练习）如图，已知，点C、F在上，，．求的长．    【典型例题四 用SSS证明三角形全等(SSS)】 1．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，中，，，直接使用“”可判定（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，，，这样可以证明．其依据是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知，，．则可推出 全等． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有 个．    5．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点在同一条直线上，，，．求证：．    6．（2023·吉林白城·模拟预测）如图，．求证：． 【典型例题五 用SSS间接证明三角形全等(SSS)】 1．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，AB，CD相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是 ． 4．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知一条线段作等边三角形，使其边长等于已知线段，则作图的依据是 ． 5．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AM=CN，BM=DN，AC=BD．求证：BM//DN. 6．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，C是的中点，，．求证：． 【典型例题六 用SAS证明三角形全等(SAS)】 1．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）下面不是全等三角形判定的基本事实的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江西上饶·期中）如图，已知，，那么判定的依据是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，．若要直接根据“SAS”说明，需添加的条件是 ． 4．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，小明要测量水池的宽，但没有足够长的绳子，聪明的他想了如下办法：先在地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接并测量出它的长度，则的长度就是的长，理由是根据 （用简写形式即可），可以得到，从而由全等三角形的对应边相等得出结论．    5．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，中，为的中点，连接并延长到，使．求证：． 6．（23-24七年级上·山东东营·期中）如图，在与中，，与全等吗？说明理由．    【典型例题七 用SAS间接证明三角形全等(SAS)】 1．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，ABDE，运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需补充的条件是（　　） A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．∠ACB＝∠DFE 2．（22-23八年级上·云南保山·期中）如图，AB∥DC，AB=DC，要使△ABD≌△CDB，直接利用三角形全等的判定方法是（　　） A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS 3．（2023·湖南长沙·中考真题）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF= 4．（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ．    5．（22-23七年级下·山东济南·期中）如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证：．    6．（23-24八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，小明想要测量池塘的长，池塘西边有一座水房，在的中点处有一棵百年古树，小明从出发，沿直线一直向前经过点走到点三点在同一条直线上），并使，然后他测得点与水房之间的距离是10米，求池塘的长． 【典型例题八 尺规作一个角等于已知角】 1．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，用直尺和圆规作，作图痕迹中，弧是（    ） A．以点C为圆心，为半径的弧 B．以点C为圆心，为半径的弧 C．以点G为圆心，为半径的弧 D．以点G为圆心，为半径的弧 2．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容，下列回答不正确的是（   ） 如图，已知，求作：，使． 作法：①以☆为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； ②作射线；并以点为圆心，○为半径画弧交于点； ③以点为圆心，□长为半径画弧交前弧于点； ④作△，则即为所求作的角． A．☆表示点 B．○表示任意长 C．□表示 D．△表示射线 3．（23-24八年级上·河南周口·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角时，依据判定三角形全等的基本事实是 ． 4．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，，，根据图中尺规作图的痕迹，可知的度数为 ． 5．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知：四边形，在上求作一点，使（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 6．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，用直尺和圆规在射线的右侧作，使得．（不写作法，只需保留作图痕迹）    【典型例题九 尺规作图--作三角形】 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件为（    ） A．已知两角及夹边 B．已知三边 C．已知两边及夹角 D．已知两边及一边夹角 2．（23-24八年级上·河北承德·期末）已知线段a，c，，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知线段a，b，c，求作，使． ①以点B为圆心，c的长为半径画弧； ②连接； ③作； ④以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A． 作法的合理顺序是 ． 4．（22-23七年级上·河南濮阳·期中）如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c，下面作法中：①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；②作线段BC＝a；③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形．正确顺序应为 ．（填序号） 5．（2023七年级下·上海·专题练习）画，，． 6．（23-24七年级上·山东烟台·期中）已知：，，线段，如图所示．求作：，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 【典型例题十 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)】 1．（22-23八年级上·河南商丘·期中）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）小轩用如图所示的方法测量小河的宽度．他利用适当的工具，使，点在同一直线上，就能保证，从而可通过测量的长度得知小河的宽度．在这个问题中，可作为证明的依据的是（    ） A．SAS或SSS B．AAS或SSS C．ASA或AAS D．ASA或SAS 3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知，若以“”为依据证明，还要添加的条件是 ． 4．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图，太阳光线和是平行的，在同一时刻，两根高度相等的木杆的影子是一样长的，这利用了全等图形的性质，其中判断的依据是 ． 5．（2024·云南昭通·一模）如图，，求证：． 6．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，如果，，，那么成立吗?请说明理由． 【典型例题十一 用HL证全等(HL)】 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，，垂足分别为，，要根据“”证明与全等，则还需要添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南郑州·期中）过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与，若垂线段，则可以得到一对全等三角形，为了证明，运用到的全等三角形判定定理是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是 ．（填或或） 4．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）将和如图所示放置，已知，若利用“”证明，则需要添加的条件是 ． 5．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．求证：Rt△BFD≌Rt△ACD． 6．（22-23八年级上·四川资阳·期中）如图，已知AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．求证：△ABC≌△ADC．    【典型例题十二 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合)】 1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，， 下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，已知， 那么添加下列一个条件后不能证明的是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，B是中点，，请添加一个条件，使得，可以添加的条件是 ．（写出一个即可） 4．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，点在同一条直线上，，要使，只需添加一个条件，这个条件可以是 ． 5．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）已知：如图，，请你添加一个条件，使得，并给予证明．    6．（2023·湖北黄石·一模）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连结AD，请你添加一个条件，使△ABD≌△ACD，并说明全等的理由． 你添加的条件是 【典型例题十三 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合)】 1．（23-24八年级上·山西临汾·期末）我们在探索两个三角形有三组对应相等的元素是否全等时，我们按照“三边对应相等，两边一角对应相等，两角一边对应相等，三角对应相等的两个三角形是否全等”进行，这种做法主要体现的数学思想是（    ） A．化归思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．建模思想 2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）根据图中四个三角形所给的条件，可以判定两个三角形全等的有（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在方格纸中，以为一边作（点P不与点A重合），使之与全等，则这样的点P有 个．    4．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，四边形中，对角线、相交于点，如果，，那么图中一共有 对全等的三角形． 5．（22-23八年级·全国·课后作业）如图，相交于点，你能找出两对全等的三角形吗？你能说明其中的道理吗？ 6．（2023·北京朝阳·三模）如图，在中，C，D是边上的两点，有下面四个关系式：（1），（2），（3），（4）请用其中两个作为已知条件，余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证（请写具体内容，不要写序号）并证明． 已知： 求证： 证明： 【典型例题十四 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合)】 1．（2023八年级·全国·专题练习）下列各条件中，画出的三角形不只有一个的是（   ） A．已知两边和夹角 B．已知两边和其中一边的对角 C．已知两角和夹边 D．已知三边 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·浙江·期末）如图，利用尺规作图：作的平分线的原理是 ． 4．（22-23八年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，△ABC中，点A的坐标为（0，-2），点C的坐标为（2，1），点B的坐标为（3，-1），要使△ACD与△ACB全等，那么符合条件的点D有 个． 5．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，小华想作出的平分线，但她没带圆规，手边只有刻度尺，请你帮她设计一个方法．（要求：作出图形，并写出简要的作图步骤，不需要证明）    6．（22-23八年级上·吉林长春·期末）图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形． 要求： (1)三角形的三个顶点都在格点上． (2)与全等，且位置不同． 【典型例题十五 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)】 1．（22-23八年级上·重庆·阶段练习）在中，，中线，则边的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，为中线，在延长线上取一点E，连接，使．过点C作于点F．下列结论中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期中）已知三角形的两边长分别为和8，则第三边上中线长m的取值范围是 ． 4（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，中，，，是的中点，的取值范围为 ． 5．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围． 6．（23-24八年级上·江西赣州·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： (1)和全等吗？请说明理由； (2)求出的取值范围. 【典型例题十六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题)】 1．（2023·天津东丽·一模）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，，且，则，两点之间的距离为（    ）    A． B． C．2 D． 2．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图所示，是线段上一点，分别以，为边在同侧作等边和等边，交于，交于，则图中可通过旋转而得到的全等三角形的对数为（    ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，按顺时针方向转动40°得，点D恰好在边BC上，则∠C＝ °． 4．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图所示，等腰直角三角形中，，，为的中点，．则四边形的面积为 ． 5．（22-23九年级上·云南玉溪·期中）如图，将的斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交延长线于点．求证：． 6．（22-23九年级上·广东东莞·期末）如图所示，∠DBC＝90°，∠C＝45°，AC＝2，△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，连接AE． （1）求证：△ABC≌△ABE； （2）连接AD，求AD的长． 【典型例题十七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题)】 1．（22-23八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 3．（22-23九年级上·福建宁德·期末）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是 ． 4．（22-23八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的顶点放在P（5,5）处，两直角边与坐标轴交点为A,B,则OA+OB的长是 . 5．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知：，，，，那么AC与CE有什么关系？写出你的猜想并说明理由． 6．（2023九年级·全国·专题练习）如图所示，，且，延长交于点，且．求证：． 【典型例题十八 全等三角形综合问题】 1．（23-24八年级上·广东广州·期中）下列说法正确的是(    ) A．全等三角形的边相等 B．全等三角形的角相等 C．全等三角形的面积相等 D．面积相等的两个三角形全等 2．（22-23八年级上·河南开封·期末）如图是小华作业的部分片段，则被污染的部分可能是（    ） 题干：……，求证：． 证明：在和中，， ∴．    A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，中，，点P与点Q分别在和上移动，且则当 时，和全等． 4．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）如图，已知线段米，射线于点A，射线于点B，M点从B点向A运动，每秒走1米，N点从B点向D点运动，每秒走4米，M、N同时从B出发，若射线上有一点P，使得和全等，则线段的长度为 米． 5．（23-24八年级上·贵州黔西·阶段练习）如图①，点A，E，F，C在同一直线上，，过点E，F分别作． (1)求证： (2)若与交于点G，试证明平分； 6．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，点是外部一点，连结，作，，垂足分别为点， (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【变式训练1 图形的全等】 1．（23-24七年级上·山东东营·阶段练习）在下列每组图形中，是全等形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，四边形四边形，则的大小是 ． 3．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）请用不同的方法在下面三个图中沿着虚线把它们分割成四个全等的图形. 【变式训练2全等三角形的概念】 1．（23-24八年级上·福建福州·开学考试）如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 2．（22-23八年级上·北京西城·阶段练习）如图，在中，，，，D是坐标平面上一点，若以A，B，D为顶点的三角形与全等，则点D的坐标是 ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．    【变式训练3 全等三角形的性质】 1．（2024九年级下·全国·专题练习）已知下图中的两个三角形全等，则等于（    ）    A． B． C． D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，其中的周长为，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 ． 3．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，，，，，．    (1)试说明：； (2)求的长度． 【变式训练4 用SSS证明三角形全等(SSS)】 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的结构图，是伞骨，是连接弹簧和伞骨的支架，已知点D，E分别是的中点，，．弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，，，则，应用的判定方法是 ． 3．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，，和全等吗？请说明理由． 【变式训练5 用SSS间接证明三角形全等(SSS)】 1．（22-23八年级上·天津宁河·期中）如图已知，，点B，D，E，C在同一条直线上，要利用“”，推理出还需要添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D．以上都对 2．（22-23八年级上·吉林白城·期中）已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有 对全等三角形． 3．（23-24八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，在和中，，且点在同一条直线上．求证：．    【变式训练6 用SAS证明三角形全等(SAS)】 1．（23-24八年级上·北京西城·期中）在生物实验课上，老师布置了“测量雉形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，利用全等三角形的性质，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定和是全等三角形的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图所示的5个三角形中： ， ． 3．（2024·云南丽江·二模）如图，点B，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． 【变式训练7 用SAS间接证明三角形全等(SAS)】 1．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（    ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到． 3．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，已知，，，求证：． 【变式训练8 尺规作一个角等于已知角】 1．（23-24七年级下·山东济南·期中）如下所示的尺规作图题，题中符号代表的内容正确的是（   ） 如图，已知，求作：，使 作法：（1）以①为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； （2）作射线，并以点为圆心，以②长为半径画弧交于点； （3）以点为圆心，以③长为半径画弧交（2）步中所画弧于点； （4）作④，即为所求作的角． A．①表示点 B．②表示 C．③表示 D．④表示射线 2．（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ．    3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，根据给出的，，求作，使．（保留作图痕迹，不写作法）       【变式训练9 尺规作图--作三角形】 1．（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图（1）所示，已知线段，，求作，使，，张蕾的作法如图（2）所示，则下列说法中一定正确的是（　　） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以点A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 2．（22-23七年级下·全国·课后作业）尺规作三角形的类型： 尺 规 作 图 类型 依据 已知两边及其夹角作三角形 已知两角一边作三角形 （或） 已知三边作三角形 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：已知线段a，b和 求作：使，， 【变式训练10 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)】 1．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，然后沿河岸直行到达树C，继续前行到达点D处，再从点D处沿河岸垂直的方向行走．当到达树A正好被树C遮挡住的点E处时，停止行走，此时的长度即为河岸的宽度．小开这样判断的依据是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，，，，，则等于 ． 3．（2024·陕西西安·一模）如图，点在上，，，．求证： 【变式训练11 用HL证全等(HL)】 1．（23-24八年级上·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定定理是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，，，垂足分别为D，E，，则 ，理由是 ．    3．（22-23八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 【变式训练12 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合)】 1．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，只添加一个条件，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，点E、F在上，，，相交于点G，请添加一个条件 使得．    3．（2024·陕西西安·三模）如图，在和中，与交于点O，，请你再添加—个条件：______，使得，并说明理由． 【变式训练13 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合)】 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 2．（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）（1）周长相等的两个三角形全等．（2）周长相等的两个等边三角形全等．（3）有三个角对应相等的两个三角形全等．（4）有三边对应相等的两个三角形全等．以上说法中，错误的有 个． 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【变式训练14 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合)】 1．（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画 个．    3．（22-23八年级上·吉林长春·期中）图①、图②均为边长为1的正方形网格．△ABC的顶点A、B、C均在小正方形的格点上，按要求在图①、图②中各画一个三角形． （1）在图①中画一个三角形与△ABC全等，且只有1个公共顶点． （2）在图②中画一个三角形与△ABC全等，且只有1条公共边． 【变式训练15 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)】 1．（23-24八年级上·广西河池·期中）如图，中，，，是边上的中线，若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 3．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）如图所示，是的边的中线．    (1)画出以点为对称中心且与成中心对称的三角形； (2)若，，求的长的取值范围． 【变式训练16 旋转模型(全等三角形的辅助线问题)】 1．（2023九年级·全国·专题练习）如图，菱形ABCD的形状和大小保持不变，将菱形ABCD绕点B旋转适当角度得到菱形A'BC'D'，边A'D'与AD，DC交于E，F（D，E，F不重合），连接EB，FB．在旋转过程中，下列判断错误的是（　　） A．EB平分∠AED' B．FB平分∠A'FC C．△DEF的周长是一个定值 D．S△DEF+2S△BEF＝S菱形ABCD 2．（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，将绕着直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则 度． 3．（22-23九年级上·福建福州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△BDE，点D的对应点为点A，连接AD，求∠ADE的度数． 【变式训练17 垂线模型(全等三角形的辅助线问题)】 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为    3．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 【变式训练18 全等三角形综合问题】 1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走4米，同时从出发，若射线上有一点P，使得和全等，则线段的长度为（    ）米 A．6或60 B．60 C．24或60 D．6 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点在P线段上以3厘米/秒的速度由B点C向点运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等． 3．（23-24八年级上·辽宁营口·阶段练习）在三角形中，度，， 直线经过点，且于，于点． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②． (2)直线绕点旋转到图2的位置时，（1） 中的结论还成立吗?若成立，请给予证明；若不成立，说明理由． (3)直线绕点旋转到图3的位置时，试问：，，有怎样的关系?请写出这个等量关系，并加以证明． 1．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）下列四组图形中，不是全等形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24八年级上·重庆南川·期末）如图，，若，，则线段的长是（    ） A．8 B．10 C．15 D．20 3．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如右图，则要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·安徽合肥·期末）如图，一个三角形钢板插在水泥台面中，某同学说：“不用拔出钢板，就能画出一个与该三角形钢板完全重合的三角形”，那么他所用到的数学知识是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·河南南阳·期中）如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．图中是格点三角形，请你找出方格中所有与全等，且以为顶点的格点三角形，这样的三角形共有（    ）个（除外）． A．2 B．3 C．4 D．5 6．（22-23七年级·全国·课后作业）如图，图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形是全等形的有 对． 7．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若和全等，则a的值为 ． 8．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，，，M，N分别是，的中点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为 ．    9．（22-23八年级上·山东菏泽·期中）如图，四边形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝4cm，BD＝BC＝7cm，CE⊥BD于点E，则DE的长 cm． 10．（22-23八年级上·河北秦皇岛·期末）学了全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，，，，求证：”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是： （写出所有符合条件的结果）． 11．（23-24八年级上·云南红河·期中）已知：如图，，，与全等吗？并说明理由？ 12．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）已知：如图，，，，试说明的道理. 13．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，与为对应角，与为对应边． (1)写出其他对应边及对应角； (2)若，，求的长． 14．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在与中，于点E，于点D，，．证明：． 15．（23-24八年级下·四川眉山·期中）如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 全等三角形的判定与性质 （8大知识点+18大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 图形的全等 题型二 全等三角形的概念 题型三 全等三角形的性质 题型四 用SSS证明三角形全等(SSS) 题型五 用SSS间接证明三角形全等(SSS) 题型六 用SAS证明三角形全等(SAS) 题型七 用SAS间接证明三角形全等(SAS) 题型八 尺规作一个角等于已知角 题型九 尺规作图--作三角形 题型十 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 题型十一 用HL证全等(HL) 题型十二 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合) 题型十三 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 题型十四 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合) 题型十五 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 题型十六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 题型十七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 题型十八 全等三角形综合问题 知识点01 全等图形 （1）全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形； （2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形； （3）三角形全等的符号。 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 知识点02 全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等； ②全等三角形的周长相等，面积相等；③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 知识点03 全等三角形的判定1：边边边（SSS） 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 证明的书写步骤： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论. 注意：（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写. （2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. 用尺规作一个角等于已知角:已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB． 作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C、D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′； （3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB． 知识点04 全等三角形的判定2：边角边（SAS） 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， “SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用． 1.证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决. 2判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的． 知识点05 全等三角形的判定3：角边角（ASA） 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化． 2.全等三角形对应边上的高也相等. 知识点06 全等三角形的判定4：角角边（AAS） 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化． 2.全等三角形对应边上的高也相等. 知识点07 直角三角形全等的判定：HL 文字：在两个直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：HL） 图形： 符号：在Rt与Rt中， 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 在直角三角形中，只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等） 知识点08 等三角形的常见辅助线的作法 1）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 2)旋转法，将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等。旋转需要特定条件（两个图形的短边共线）。这种作法和截长补短类似，适合证明线段的和、差、倍、分等类的题目．常见于半角模型中。 3)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 4）过端点作另一边的平行线：其目的是构造出一组全等三角形；特点：中线倍长的反向应用 5）向中线作垂线法：过线段两端点向中点处的线段作垂线；目的是构造出一组全等三角形 【典型例题一 图形的全等】 1．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）下列几组图形中是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等形，根据全等形的定义即可求解，熟练掌握“能够完全重合的图形叫作全等图形”是解题的关键． 【详解】解：根据全等形的定义得：C选项是全等形， 故选C． 2．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）下列各组图形中，是全等图形的是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查全等图形，熟记全等图形的定义：大小和形状完全相同的两个图形是全等图形是解题的关键． 根据全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A. 大小不同，不是全等图形，不符合题意； B. 大小不同，不是全等图形，不符合题意； C. 是全等图形，符合题意；     D. 大小不同，不是全等图形，不符合题意； 故选：C． 3．（22-23七年级下·四川达州·开学考试）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD=0.5，BC=1，则AF= ． 【答案】6 【分析】由图形知，所示的图案是由梯形ABCD和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等则重合的性质求解即可． 【详解】解：由题可知，图中有8个全等的梯形， 所以AF=4AD+4BC=4×0.5+4×1=6． 故答案为：6． 【点睛】考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，做题的关键是找准相互重合的对应边． 4．（2023九年级·全国·专题练习）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠B＝ ． 【答案】 【分析】根据全等图形的性质，，再根据四边形的内角和为360º得到． 【详解】解：根据题意得： 所以, 故答案为： 【点睛】本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的有关知识是解题的关键． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）下面各对图形是不是全等图形？为什么？ (1)边长都是的两个正方形． (2)如图所示的两件衣服． 【答案】(1)是全等图形； (2)不是全等图形 【分析】（1）根据全等图形的定义，即可判断； （2）根据全等图形的定义，即可判断． 【详解】（1）解：边长都是的两个正方形能完全重合，是全等图形； （2）解：如图的两件衣服，大小不一样，不能完全重合，不是全等图形． 【点睛】本题主要考查全等图形的定义，掌握“能够完全重合的图形叫做全等图形”是关键． 6．（2023八年级上·全国·专题练习）将网格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种． 【答案】见解析 【分析】根据全等的性质可进行求解． 【详解】如图所示，（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形叫全等形． 【典型例题二 全等三角形的概念】 1．（22-23八年级·全国·课堂例题）说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：形状相同的两个三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故选项A错误； 面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等三角形，故选项B错误； 两个等边三角形，形状相同，边长不一定相等，不一定能完全重合，不一定是全等三角形，故选项C错误． 长相等的两个三角形不一定全等，故选项D正确； 故选D． 2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】∵， ∴∠的对应角是， 故选：． 3．（23-24八年级上·新疆和田·阶段练习）和全等，记作 ． 【答案】 【分析】根据全等符号：，进行作答即可． 【详解】解：和全等，记作， 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是对全等三角形概念的认识，解答的关键是知道全等符号的写法：，本题属于基础题型，要求学生能够熟练掌握各数学符号． 4．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，与全等，可表示为 ，与是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是 ，其余的对应边是 ． 【答案】 与，与 AB与BA，BC与AD 【分析】由，结合图形可得其余的对应角与对应边． 【详解】解：，与是对应角，AC与BD是对应边， 其余的对应角是与，与； 其余的对应边是AB与BA，BC与AD． 故答案为：，与，与，AB与BA，BC与AD 【点睛】本题考查的是三角形全等的表示，全等三角形的对应边与对应角的理解，掌握以上知识是解题的关键． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，若，与是对应角，与是对应边，写出其他的对应边及对应角． 【答案】与是对应边，与是对应边，与是对应角，与是对应角． 【分析】根据全等三角形对应边和对应角的定义即可判断． 【详解】解：因为， 所以与是对应边， 与是对应边， 与是对应角， 与是对应角． 【点睛】本题主要考查全等三角形的对应边和对应角，比较基础，熟练掌握全等三角形对应边和对应角的定义是解题关键． 6．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为（    ）；②的对应角为（    ）；③的对应角为（    ）；④的对应边为（    ）；⑤的对应边为（    ）． 【答案】，，，， 【分析】根据全等三角形的定义可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴①的对应角为； ②的对应角为； ③的对应角为； ④的对应边为； ⑤的对应边为； 故答案为：，，，，． 【点睛】本题考查了全等三角形，找准对应边、对应角是解题的关键． 【典型例题三 全等三角形的性质】 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 2．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，，若，则（    ） A． B． C． D．5° 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ 故选：D 3．（2023·湖南邵阳·三模）如图，若≌，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，，若，，则 ； 【答案】7 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：7． 5．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知．如果，，求的长． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，可得，再由已知条件，利用，即可求得的长，解题关键是掌握全等三角形的性质． 【详解】解：， ， 又， ， ． 6．（22-23八年级上·山西忻州·阶段练习）如图，已知，点C、F在上，，．求的长．    【答案】 【分析】根据全等三角形的对应边相等解题即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，观察图形，要找出已知与未知线段之间的关系是解题的关键． 【典型例题四 用SSS证明三角形全等(SSS)】 1．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，中，，，直接使用“”可判定（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据现有条件无法直接利用判定，，， 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，，，这样可以证明．其依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 3．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知，，．则可推出 全等． 【答案】和(答案不唯一) 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握利用“”判定三角形全等即可作答． 【详解】证明：在和中 ∵， ∴， 故答案为：和． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有 个．    【答案】3/三 【分析】利用判定两三角形全等，认真观察图形可得答案．本题考查作图应用与设计作图、全等三角形的判定，注意观察图形，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 【详解】解：如图，    图中与全等的格点三角形是，共3个， 故答案为：3 5．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点在同一条直线上，，，．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由推导出，即可由全等三角形判定定理证明，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】 证：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 6．（2023·吉林白城·模拟预测）如图，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 直接利用“”证明全等即可． 【详解】证明： 和中， ，   ，               ． 【典型例题五 用SSS间接证明三角形全等(SSS)】 1．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法SSS，即可解答． 【详解】解：由“”可以判定两个三角形全等， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 2．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定，得到是解题的关键．由推出，再根据，，三边对应相等，即可求解． 【详解】，, ， ，， ． 故选：A． 3．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，AB，CD相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】在与中，已经有条件： 所以补充可以利用证明两个三角形全等. 【详解】解：在与中， 所以补充： 故答案为： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明两个三角形全等”是解本题的关键. 4．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知一条线段作等边三角形，使其边长等于已知线段，则作图的依据是 ． 【答案】SSS 【分析】等边三角形三边相等，按全等三角形的判定定理（SSS）即可作图． 【详解】解：：等边三角形三边相等，依题意得使其边长等于已知线段，则按全等三角形的判定定理（SSS）可得作图． 【点睛】此题考查作图和等边三角形全等的判定，解题关键在于利用全等三角形的判定定理作图 5．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AM=CN，BM=DN，AC=BD．求证：BM//DN. 【答案】见解析． 【分析】根据AC＝BD，可得到AB＝CD，结合AM＝CN，BM＝DN，证明出△ABM≌△CDN，得到∠MBA＝∠D，进而证明出BM∥DN． 【详解】证明：∵AC＝BD， ∴AC＋BC＝BD＋BC， 即AB＝CD， ∵在△ABM和△CDN中， ∴△ABM≌△CDN（SSS）， ∴∠MBA＝∠D， ∴BM∥DN． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质的应用，解答本题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理，此题难度一般． 6．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，C是的中点，，．求证：． 【答案】证明详见解析． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用证明两个三角形全等即可，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】证明：∵C是的中点， ∴ 在和中， ， ∴． 【典型例题六 用SAS证明三角形全等(SAS)】 1．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）下面不是全等三角形判定的基本事实的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的判定方法的掌握，熟练两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等是解本题的关键． 【详解】解：∵不能判定两个三角形全等， 而，，可以判定两个三角形全等； 故选A 2．（23-24八年级上·江西上饶·期中）如图，已知，，那么判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据，证明三角形全等即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴； 故选C． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，．若要直接根据“SAS”说明，需添加的条件是 ． 【答案】 【解析】略 4．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，小明要测量水池的宽，但没有足够长的绳子，聪明的他想了如下办法：先在地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接并测量出它的长度，则的长度就是的长，理由是根据 （用简写形式即可），可以得到，从而由全等三角形的对应边相等得出结论．    【答案】（或边角边） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知，，，可用证明两三角形全等． 【详解】由题意知，， 在和中， ， ． 故答案为：． 5．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，中，为的中点，连接并延长到，使．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握知识点是解决问题的关键 本题直接使用证明即可． 【详解】证明：∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．（23-24七年级上·山东东营·期中）如图，在与中，，与全等吗？说明理由．    【答案】与全等，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，两边及夹角对应相等的两个三角形全等． 【详解】解：与全等，理由如下： 在和中， ， ∴． 【典型例题七 用SAS间接证明三角形全等(SAS)】 1．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，ABDE，运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需补充的条件是（　　） A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．∠ACB＝∠DFE 【答案】C 【分析】证出∠ABC＝∠DEF，由SAS即可得出结论． 【详解】解：补充BE＝CF，理由如下： ∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DEF， 若要利用SAS判定，B、D选项不符合要求， 若A：AC=DF，构成的是SSA，不能证明三角形全等，A选项不符合要求， C选项：BE=CF， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知“SAS”的判定的特点． 2．（22-23八年级上·云南保山·期中）如图，AB∥DC，AB=DC，要使△ABD≌△CDB，直接利用三角形全等的判定方法是（　　） A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS 【答案】B 【分析】根据两直线平行，内错角相等得出∠ABD=∠CDB，再加上AB=DC，BD=BD，根据全等三角形的判定定理SAS即可推出△ABD≌△CDB． 【详解】∵AB∥DC，∴∠ABD=∠CDB． 在△ABD和△CDB中，∵，∴△ABD≌△CDB（SAS）． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 3．（2023·湖南长沙·中考真题）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF= 【答案】6. 【分析】根据题中条件由SAS可得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得AC=DF=6． 【详解】∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEF ∵BE=CF， ∴BC=EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴AC=DF=6． 考点：全等三角形的判定与性质． 4．（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ．    【答案】/边角边 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据即可证明是解题的关键． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 5．（22-23七年级下·山东济南·期中）如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】由得到，根据可得，又由，根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，根据题意找到证明全等需要的条件是解题的关键． 6．（23-24八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，小明想要测量池塘的长，池塘西边有一座水房，在的中点处有一棵百年古树，小明从出发，沿直线一直向前经过点走到点三点在同一条直线上），并使，然后他测得点与水房之间的距离是10米，求池塘的长． 【答案】米 【分析】可以利用定理证明 ，根据全等三角形的性质可得解题即可． 【详解】∵为中点, ∴, 在和中, ， ∴, ∴ 米, 答：池塘的长为米． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解决此题的关键是巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系. 【典型例题八 尺规作一个角等于已知角】 1．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，用直尺和圆规作，作图痕迹中，弧是（    ） A．以点C为圆心，为半径的弧 B．以点C为圆心，为半径的弧 C．以点G为圆心，为半径的弧 D．以点G为圆心，为半径的弧 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，根据利用边边边判定原理作等角判断即可得到答案； 【详解】解：由图可得， ∵用尺规作出了， ∴弧是以点G为圆心，为半径的弧， 故选：D． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容，下列回答不正确的是（   ） 如图，已知，求作：，使． 作法：①以☆为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； ②作射线；并以点为圆心，○为半径画弧交于点； ③以点为圆心，□长为半径画弧交前弧于点； ④作△，则即为所求作的角． A．☆表示点 B．○表示任意长 C．□表示 D．△表示射线 【答案】B 【分析】根据作一个角等于已知角的步骤进行解答即可.此题考查了作一个角等于已知角，熟练掌握作图步骤是解题的关键. 【详解】解：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； ②作射线；并以点为圆心，长为半径画弧交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧交前弧于点； ④作射线，则即为所求作的角． 由作图可知，☆表示点，○表示长，□表示，△表示射线， 故选项B不正确， 故选：B 3．（23-24八年级上·河南周口·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角时，依据判定三角形全等的基本事实是 ． 【答案】边边边或 【分析】本题主要考查了尺规作图和三角形全等的判定，根据尺规作图的过程判断三角形全等即可得出答案，解答本题的关键在于熟练掌握三角形全等的判定条件． 【详解】解：如图，以点为圆心，任意长为半径画弧与已知角两边分别交于与； 以点为圆心，以长为半径画弧，交于点； 以点为圆心，以长为半径交于点，连接． 由作图可知， ∴． 故答案为：边边边或． 4．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，，，根据图中尺规作图的痕迹，可知的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，利用作图得到，利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：由作图可知：， ∵，， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知：四边形，在上求作一点，使（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图． 【详解】如图，点即为所作． 6．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，用直尺和圆规在射线的右侧作，使得．（不写作法，只需保留作图痕迹）    【答案】见解析 【分析】本题考查画一个角等于已知角．根据题意利用画已知角的方法即可作出图形． 【详解】解：以点为圆心，任意长为半径作弧，交于两点， 再以点为圆心，同样的长为半径作弧，交于，再以点为圆心长为半径作弧，两弧相交点即为，连接，即，画图如下：   ． 【典型例题九 尺规作图--作三角形】 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件为（    ） A．已知两角及夹边 B．已知三边 C．已知两边及夹角 D．已知两边及一边夹角 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形作图及三角形全等的相关知识，观察的作图痕迹，可得此作图的条件． 【详解】解：观察的作图痕迹，可得此作图的已知条件为：，，及线段， 故已知条件为：两角及夹边，故A正确． 故选：A． 2．（23-24八年级上·河北承德·期末）已知线段a，c，，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．根据基本作图，先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接即可． 【详解】解：由作图步骤：先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接， 则正确作图步骤的顺序是①③②④， 故选：B． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知线段a，b，c，求作，使． ①以点B为圆心，c的长为半径画弧； ②连接； ③作； ④以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A． 作法的合理顺序是 ． 【答案】③①④② 【分析】根据作三角形的步骤：第一步先作一条线段等于三角形的一边，第二步以已作的线段的两个端点为圆心，以对应的长为半径画弧确定交点位置，最后顺次连接即可，由此进行判断即可． 【详解】解：先作，再以点B为圆心，c的长为半径画弧；接着以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A，然后连接，则即为所求． 故答案为：③①④②． 【点睛】本题主要考查了用尺规作图—作三角形的步骤，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 4．（22-23七年级上·河南濮阳·期中）如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c，下面作法中：①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；②作线段BC＝a；③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形．正确顺序应为 ．（填序号） 【答案】②①③ 【分析】根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答． 【详解】解：先作线段BC＝a，再分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A，然后连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形． 故答案为：②①③． 【点睛】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，以及用简练、准确地运用几何语言表达作图方法与步骤的能力． 5．（2023七年级下·上海·专题练习）画，，． 【答案】见解析 【分析】根据尺规作三角形的方法求解即可． 【详解】如图所示， 解：作， 作射线，使， 以为圆心，为半径作弧交射线于点，连接， 所以即为所求． 【点睛】本题考查了作三角形，掌握全等三角形的性质与判定以及基本作图是解题的关键． 6．（23-24七年级上·山东烟台·期中）已知：，，线段，如图所示．求作：，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【分析】考查考查尺规作三角形．根据尺规作线段和作角的方法，作图即可．掌握尺规基本作图是解题的关键． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【典型例题十 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)】 1．（22-23八年级上·河南商丘·期中）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用证明三角形全等的理解，观察图形可得三角形的两角及其夹边，选择答案即可，理解利用证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：∵由图可得三角形的两角及其夹边， ∴依据可画出全等的三角形， 故选：D． 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）小轩用如图所示的方法测量小河的宽度．他利用适当的工具，使，点在同一直线上，就能保证，从而可通过测量的长度得知小河的宽度．在这个问题中，可作为证明的依据的是（    ） A．SAS或SSS B．AAS或SSS C．ASA或AAS D．ASA或SAS 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】根据题意可知． ∵， ∴，． 方法一： 在和中 ∴． 方法二： 在和中 ∴． 故选：C 3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知，若以“”为依据证明，还要添加的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理可直接得出答案． 【详解】解：添加的条件， 在与中， ， ． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图，太阳光线和是平行的，在同一时刻，两根高度相等的木杆的影子是一样长的，这利用了全等图形的性质，其中判断的依据是 ． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的应用，解题关键是掌握全等三角形的判定方法． 根据平行线的性质可得，根据题意可得，，然后利用判定． 【详解】解： ， ， 两根高度相同的木杆竖直插在地面上， ∴，， 在和中， ， ∴． 故答案为：． 5．（2024·云南昭通·一模）如图，，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用即可证明． 【详解】证明：， ，即． 在和中， ， ∴． 6．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，如果，，，那么成立吗?请说明理由． 【答案】详见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，由可得，然后利用证明是解题的关键． 【详解】解：成立，理由如下： ， ，即 在和中， 【典型例题十一 用HL证全等(HL)】 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，，垂足分别为，，要根据“”证明与全等，则还需要添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理；根据已知公共边为，根据只要找到对应的直角边或，即可求解． 【详解】在与中， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级下·河南郑州·期中）过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与，若垂线段，则可以得到一对全等三角形，为了证明，运用到的全等三角形判定定理是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，利用证明直角三角形全等是解题的关键． 【详解】解：∵过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与， ∴， 又∵（公共边），（已知）， ∴， ∴为了证明，运用到的全等三角形判定定理是， 故选：D． 3．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是 ．（填或或） 【答案】 【分析】利用判定方法“”证明 和 全等，进而得出答案； 【详解】解：∵， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∴ 是 的平分线； 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键 4．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）将和如图所示放置，已知，若利用“”证明，则需要添加的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．用“”判定，只需要满足一条直角边对应线段，斜边对应相等即可． 【详解】解：添加的条件是：． ∵， ∴在和中， ， ∴． 故答案为：． 5．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．求证：Rt△BFD≌Rt△ACD． 【答案】证明见解析 【分析】由题意可知和都为直角三角形，即可直接利用“HL”证明． 【详解】证明：∵AD是的高， ∴，即和都为直角三角形． ∴在和中 ， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定；掌握判定三角形全等的方法是解答本题的关键． 6．（22-23八年级上·四川资阳·期中）如图，已知AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．求证：△ABC≌△ADC．    【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的判定定理：在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等直接证明结论即可． 【详解】证明：∵∠B＝∠D＝90°， ∴在Rt△ABC 和Rt△ADC中 ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理，熟记判定两个直角三角形全等的判定定理是解此题的关键． 【典型例题十二 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合)】 1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，， 下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：添加条件，结合，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合，不可以利用证明，故B符合题意； 添加条件，结合，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合，可以利用证明，故D不符合题意； 故选：B． 2．（22-23八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，已知， 那么添加下列一个条件后不能证明的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：，，，，．由全等三角形的判定，即可判断． 【详解】解：A、，又，，由判定，故此选项不符合题意； B、，又，，由判定，故此选项不符合题意； C、，又，，由判定，故此选项不符合题意； D、，又，，两组对应边及其中一组对应边的对角对应相等不能判定三角形全等，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，B是中点，，请添加一个条件，使得，可以添加的条件是 ．（写出一个即可） 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意可知已有一组对应角和一组对应边相等，再确定一组对应角相等即可判定． 【详解】解：∵B是中点， ∴， ∵， ∴当时，依据可得，， 故答案为：（答案不唯一） 4．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，点在同一条直线上，，要使，只需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判断，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，已知两组边相等，再添加一个角相等，或者一条边相等即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 添加， ∵，，， ∴． 添加， ∵，，， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 5．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）已知：如图，，请你添加一个条件，使得，并给予证明．    【答案】添加一个条件：；证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，判定三角形全等的方法有：、、、、． 【详解】添加一个条件：； 证明：， ， ，， ≌()， ． 6．（2023·湖北黄石·一模）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连结AD，请你添加一个条件，使△ABD≌△ACD，并说明全等的理由． 你添加的条件是 【答案】AB＝AC或BD＝DC等，详见解析 【分析】因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=∠ADC=90°，即AD是BC边上的高，可添加AB=AC，当AB=AC时，△ABC是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知，∠ABD=∠ACD及底边上的高与底边上的中线重合，即BD=CD，可根据“SSS”，“H.L”，“SAS”，“AAS”，“ASA”证明△ABD≌△ACD. 【详解】解：本题答案不唯一，添加的条件可以是 ①AB＝AC，②∠B＝∠C，③BD＝DC（或D是BC中点）， ④∠BAD＝∠CAD（或AD平分∠BAC）等． 添加的条件是AB＝AC 理由如下： ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(H.L) 即△ABD≌△ACD. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定. 答案不唯一，利用了直径所对的圆周角是直角和全等三角形的判定求解. 【典型例题十三 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合)】 1．（23-24八年级上·山西临汾·期末）我们在探索两个三角形有三组对应相等的元素是否全等时，我们按照“三边对应相等，两边一角对应相等，两角一边对应相等，三角对应相等的两个三角形是否全等”进行，这种做法主要体现的数学思想是（    ） A．化归思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．建模思想 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 根据“分类讨论思想”回答即可． 【详解】解：在探索满足三个条件分别相等的两个三角形是否全等时，我们按照“三边分别相等，两边一角分别相等，两角一边分别相等，或三角分别相等的两个三角形是否全等”进行，这种做法主要体现的数学思想是“分类思想”， 故选：B． 2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）根据图中四个三角形所给的条件，可以判定两个三角形全等的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查两个三角形全等的判定方法，熟练掌握两个三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据两个三角形全等的判定方法判断即可． 【详解】解：由三角形内角和定理可得图的三角形的第三个角为， 图和图的三角形有一条边和两个角相等， 根据即可判定图和图的两个三角形全等． 故选C． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在方格纸中，以为一边作（点P不与点A重合），使之与全等，则这样的点P有 个．    【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据全等三角形的判定定理找出各个点即可． 【详解】解：如图所示，使与全等的点共3个．    故答案为：3． 4．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，四边形中，对角线、相交于点，如果，，那么图中一共有 对全等的三角形． 【答案】4 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，根据已知条件得到图中全等的三角形即可． 【详解】解：①， ∵，，， ∴； ②， ∵，，， ∴； ③， ∵，， ∴， ， ∵， ∴； ④ ∵，， ∵， ∴， 因此，图中一共有4对全等的三角形， 故答案为：4． 5．（22-23八年级·全国·课后作业）如图，相交于点，你能找出两对全等的三角形吗？你能说明其中的道理吗？ 【答案】四对全等的三角形,分别为 【分析】有四对全等的三角形：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABC≌△CDA，△ADB≌△CBD．可以利用AAS，SAS，SAS，SAS分别证明其全等．做题时要从已知条件开始结合全等的判定方法逐一验证． 【详解】四对全等的三角形,分别为 理由分别是： 的理由： ∴（ASA）; 的理由: ∵， ∴，DO＝BO 即, ∴(SAS); 的理由： 即, ∴(SAS) 的理由: 即, ∴(SAS). 【点睛】考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 6．（2023·北京朝阳·三模）如图，在中，C，D是边上的两点，有下面四个关系式：（1），（2），（3），（4）请用其中两个作为已知条件，余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证（请写具体内容，不要写序号）并证明． 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】已知：，求证：；由“”可证，即可证明结论成立．也可以（1）（3）⇒（2）（4）或（2）（3）⇒（1）（4）或（1）（4）⇒（2）（3）或（3）（4）⇒（1）（2）．证明方法类似． 【详解】①已知：， 求证：， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②已知：，， 求证：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，； ③已知：，， 求证：，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，； ④已知：，， 求证：，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，； ⑤已知：，， 求证：，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查证明的概念，根据题意写出已知、求证、证明过程，在证明时需要用到全等三角形的性质与判定，答案不唯一． 【典型例题十四 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合)】 1．（2023八年级·全国·专题练习）下列各条件中，画出的三角形不只有一个的是（   ） A．已知两边和夹角 B．已知两边和其中一边的对角 C．已知两角和夹边 D．已知三边 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．看是否符合所学的全等的公理或定理即可． 【详解】解：A、符合全等三角形的判定，能作出唯一三角形，故本选项不符合题意； B、已知两边和其中一边的对角，不能作出唯一三角形，故本选项符合题意； C、符合的判定条件，画出的三角形是唯一的，故本选项不符合题意； D、符合的判定条件，画出的三角形是唯一的．故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选C． 3．（22-23八年级下·浙江·期末）如图，利用尺规作图：作的平分线的原理是 ． 【答案】SSS 【分析】根据SSS判断三角形全等即可． 【详解】解：如图，连接PM，MQ．由作图可得： ∵OP=OQ，PM=QM，OM=OM， ∴△POM≌△QOM（SSS）， ∴∠POM=∠QOM，即OM是∠AOB的角平分线． 故答案为SSS． 【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 4．（22-23八年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，△ABC中，点A的坐标为（0，-2），点C的坐标为（2，1），点B的坐标为（3，-1），要使△ACD与△ACB全等，那么符合条件的点D有 个． 【答案】3 【分析】根据全等三角形的判定方法结合坐标系得出符合题意的图形． 【详解】解：如图所示：要使△ACD与△ACB全等，那么符合条件的点D有 3个． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了全等三角形判定以及坐标与图形的性质，熟练利用全等三角形的判定得出是解题关键． 5．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，小华想作出的平分线，但她没带圆规，手边只有刻度尺，请你帮她设计一个方法．（要求：作出图形，并写出简要的作图步骤，不需要证明）    【答案】见解析 【分析】利用证明，可得结论． 【详解】解：①利用刻度尺在、上分别截取， ②连接，利用刻度尺作出的中点F， ③作射线， 由作图可知： ，，， ∴， ∴， 则为的平分线．    【点睛】本题考查了全等三角形的应用及基本作图的知识，同学们注意仔细审题，理解这些作角平分线的方法，按照题目意思解答． 6．（22-23八年级上·吉林长春·期末）图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形． 要求： (1)三角形的三个顶点都在格点上． (2)与全等，且位置不同． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可； （2）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可． 【详解】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 【点睛】本题考查作图，全等三角形的判定的知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【典型例题十五 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)】 1．（22-23八年级上·重庆·阶段练习）在中，，中线，则边的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长AD至E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围． 【详解】解：如图，延长AD至E，使DE=AD， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB=CE， ∵AD=7， ∴AE=7+7=14， ∵14+5=19，14-5=9， ∴9＜CE＜19， 即9＜AB＜19． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，为中线，在延长线上取一点E，连接，使．过点C作于点F．下列结论中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】作，证、即可求解． 【详解】解：作，如图：    ∵ ∵， ①无法推出，故①错误； ②正确； ③∵ 且 ∴ 故③正确； ④∵为中线 ∴ 故④正确； ⑤ 故⑤正确； 故选：D 【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，作出辅助线进行几何推理是解题关键． 3．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期中）已知三角形的两边长分别为和8，则第三边上中线长m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题重点考查三角形的中线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，作，使，，中线，延长到点E，使，连接，证明，得，由，得，解不等式求出它的解集即可．正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【详解】解：作，使，，中线，延长到点E，使，连接，如图， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴第三边上中线长x的取值范围是， 故答案为：． 4（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，中，，，是的中点，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， 是的中点， ， 在与中，， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，理解倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键． 5．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．延长到，使，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， ∵是的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ，即， ． 6．（23-24八年级上·江西赣州·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： (1)和全等吗？请说明理由； (2)求出的取值范围. 【答案】(1)全等，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系； （1）根据中线的性质可得，延长到，使，根据证明 ，即可； （2）根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， 延长到，使， 又， ∴ （2）由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴. 【典型例题十六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题)】 1．（2023·天津东丽·一模）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，，且，则，两点之间的距离为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用三角形内角和定理求出∠A′CB′=30°，然后利用旋转的性质得到BC=B′C，再利用全等三角形的判定和性质得到A′B=A′B′进而求出此题的答案． 【详解】解：如图，连接A′BA′B．    ∵∠A=45°，∠B'=105°， ∴∠A′CB′=180°−45°−105°=30°， ∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转60°后得到△A'B'C， ∴∠B′CB=60°，AB=A′B′=， ∴∠A′CB=60°−30°=30°， ∴∠A′CB′=∠A′CB， 在△A′B′C和△A′BC中 , ∴△A′B′C≌△A′BC， ∴A′B′=A′B=， 故选A． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的有关知识，熟练掌握旋转的性质是本题的关键． 2．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图所示，是线段上一点，分别以，为边在同侧作等边和等边，交于，交于，则图中可通过旋转而得到的全等三角形的对数为（    ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质、三角形的全等证明，得到三角形的全等，即可选出答案； 【详解】解：△EBC≌△DAC，△GCE≌△FCD，△BCG≌△ACF．理由如下： BC=AC，EC=CD，∠ACB=∠ECD，∠ACE是共同角⇒△EBC≌△DAC． CD=EC，∠FCD=∠ECG，∠GEC=∠CDF⇒△GCE≌△FCD． BC=AC，∠GBC=∠FAC，∠FCA=∠GCB⇒△BCG≌△ACF． 故选C． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及旋转的性质的综合运用．解题的关键在于熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定方法． 3．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，按顺时针方向转动40°得，点D恰好在边BC上，则∠C＝ °． 【答案】70 【分析】由于△ABC按顺时针方向转动一个角后成为△AED，可求出AD＝AC，∠EAB＝∠CAD＝40°，再由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】∵△ABC按顺时针方向转动一个角后成为△AED， ∴△ABC≌△AED， ∴AD＝AC，∠EAB＝∠CAD＝40°， ∴∠C＝＝＝70°． 故答案为：70． 【点睛】本题考查的是图形旋转的性质及三角形内角和定理，比较简单． 4．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图所示，等腰直角三角形中，，，为的中点，．则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】连接BO，根据的等腰直角三角形的性质证明△BEO≌△CFO，即可推出，推出，即可求得答案． 【详解】（1）连接BO． ∵是等腰三角形，，， ∴， 又∵O是AC中点， ∴BO⊥AC，∠ABO=∠CBO=∠A=∠C=45°，BO=AO=CO=， ∵∠EOB+∠FOB=90°，∠FOB+∠COF=90°， ∴∠EOB=∠COF， 在△BEO和△CFO中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了勾股定理的运用，本题中连接BO是解题的关键． 5．（22-23九年级上·云南玉溪·期中）如图，将的斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据旋转的性质，可得，，进而根据同角的余角相等可得，根据AAS证明，进而即可证明． 【详解】证明：绕点顺时针旋转得线段， ，， ，， ， ， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题考查了性质的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 6．（22-23九年级上·广东东莞·期末）如图所示，∠DBC＝90°，∠C＝45°，AC＝2，△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，连接AE． （1）求证：△ABC≌△ABE； （2）连接AD，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）. 【分析】（1）根据旋转的性质得到∠DBE＝∠ABC，∠EBC＝60°，BE＝BC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）连接AD，根据旋转的性质得到DE＝AC，∠BED＝∠C，DE＝AC＝2，根据全等三角形的性质得到∠BEA＝∠C，AE＝AC＝2，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE， ∴∠DBE＝∠ABC，∠EBC＝60°，BE＝BC， ∵∠DBC＝90°， ∴∠DBE＝∠ABC＝30°， ∴∠ABE＝30°， 在△ABC与△ABE中，， ∴△ABC≌△ABE（SAS）； （2）解：连接AD， ∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE， ∴DE＝AC，∠BED＝∠C，DE＝AC＝2， ∵△ABC≌△ABE， ∴∠BEA＝∠C，AE＝AC＝2， ∵∠C＝45°， ∴∠BED＝∠BEA＝∠C＝45°， ∴∠AED＝90°，DE＝AE， ∴AD＝AE＝2． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【典型例题十七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题)】 1．（22-23八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠CAD=90°∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠CAD=∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴DC=BE，AD=CE， ∵点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3）， ∴OC=2，AD=CE=3，OD=6， ∴CD=OD-OC=4，OE=CE-OC=3-2=1， ∴BE=4， ∴则B点的坐标是（1，4）． 故选：D. 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、坐标与图形特点，本题能根据AAS证明两三角形全等是关键，利用坐标与图形特点根据坐标写出线段的长，反之，能根据线段的长写出B的坐标，注意象限的符号问题． 2．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】通过SAS证明全等，进而证明AB=BC，∠ABC=90°，进而得到答案． 【详解】如图， 由题意知：AE=BF=3，CF=BE=1，∠AEB=∠BFC=90°， 在和中： ∴， ∴∠ABE=∠BCF，AB=BC， 又∵∠BCF+∠CBF=90°， ∴∠ABE+∠CBF=90°， ∴为等腰直角三角形， 故选：D 3．（22-23九年级上·福建宁德·期末）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是 ． 【答案】（﹣2，3） 【分析】作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，先证明△AOD≌△COE，因为C（3，2），所以OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，再根据点A在第二象限求出点A的坐标． 【详解】解：如图， 作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，则∠ADO＝∠CEO＝90°， ∵四边形OABC是正方形， ∴∠AOC＝∠DOE＝90°，OA＝OC， ∴∠AOD＝∠COE＝90°﹣∠COD， 在△AOD和△COE中， ， △AOD≌△COE（AAS）， ∵C（3，2）， ∴OD＝OE＝3，AD＝CE＝2， ∵点A在第二象限， ∴A（﹣2，3）， 故答案为：（﹣2，3）． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判断和性质、图形与坐标等，正确做出辅助线是解题的关键． 4．（22-23八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的顶点放在P（5,5）处，两直角边与坐标轴交点为A,B,则OA+OB的长是 . 【答案】10 【分析】作轴于，轴于，求出∠∠，证，推出，即可． 【详解】 作轴于，轴于， ，则四边形是正方形， ∴，∠∠°， ∴∠∠ 在和中， ， ∴， 则，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质的应用，关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 5．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知：，，，，那么AC与CE有什么关系？写出你的猜想并说明理由． 【答案】见解析 【详解】通过证明两个三角形全等，可以证明两条对应线段相等． 6．（2023九年级·全国·专题练习）如图所示，，且，延长交于点，且．求证：． 【答案】详见解析 【分析】延长BF至G，使，连结EG，得，，BF=GF，再证，得. 【详解】证明：延长BF至G，使，连结EG， 在△BDF和△GEF中， ， ∴ ， ∴，BF=GF， ∴BG=2BF， ∵BE⊥BA， ∴∠C=∠G=90°，∠A=∠EBG， 在△ABC和△BEG中， ， ∴， ∴AC=BG=2BF. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键． 【典型例题十八 全等三角形综合问题】 1．（23-24八年级上·广东广州·期中）下列说法正确的是(    ) A．全等三角形的边相等 B．全等三角形的角相等 C．全等三角形的面积相等 D．面积相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定与性质的判断即可． 【详解】A、全等三角形的对应边相等，缺少“对应”两字，故此选项错误，不符合题意； B、全等三角形的对应角相等，缺少“对应”两字，故此选项错误，不符合题意； C、全等三角形的能重合，面积相等，故此选项正确，符合题意； D、面积相等的两个三角形不一定全等，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．（22-23八年级上·河南开封·期末）如图是小华作业的部分片段，则被污染的部分可能是（    ） 题干：……，求证：． 证明：在和中，， ∴．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：∵，即运用的是“角边角”的证明方法，且，， ∴当时，即可运用“角边角”证明， 故选：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握判定三角形全等的方法是解题的关键． 3．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，中，，点P与点Q分别在和上移动，且则当 时，和全等． 【答案】4或8 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，根据全等三角形对应边相等解答即可． 【详解】解：要使和全等， ∵， ∴，或， 所以，的长为4或8． 故答案为：4或8． 4．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）如图，已知线段米，射线于点A，射线于点B，M点从B点向A运动，每秒走1米，N点从B点向D点运动，每秒走4米，M、N同时从B出发，若射线上有一点P，使得和全等，则线段的长度为 米． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当；当；根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，设运动时间为， ∴，， ①点是中点，时，，， ∵， ∴， ∴； ②时，时，，， ∴，即， 解得，； ③时， ∵点运动的速度大于点的速度，即， ∴此情况不存在， 综上所述，线段的长度为或， 故答案为：或． 5．（23-24八年级上·贵州黔西·阶段练习）如图①，点A，E，F，C在同一直线上，，过点E，F分别作． (1)求证： (2)若与交于点G，试证明平分； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键． （1）求出，然后利用“”证明和全等； （2）利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得证． 【详解】（1）证明：， ， 即， ，， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， 在和中， ， ， ， 平分． 6．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，点是外部一点，连结，作，，垂足分别为点， (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的长为 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据垂直的关系可得，，由“角角边”即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴，， 在中，， ∵,， ∴的长为． 【变式训练1 图形的全等】 1．（23-24七年级上·山东东营·阶段练习）在下列每组图形中，是全等形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【详解】解：观察发现，A、B、D选项中的两个图形不可能完全重合， ∴不是全等图形， C选项的两个图形都可以完全重合， ∴是全等形． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是全等图形，解题的关键是熟练的掌握全等图形． 2．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，四边形四边形，则的大小是 ． 【答案】/95度 【分析】本题考查了全等形的性质及四边形的内角和定理，熟练掌握全等形的性质是解题的关键． 利用全等图形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）请用不同的方法在下面三个图中沿着虚线把它们分割成四个全等的图形. 【答案】见解析 【分析】本题考查全等图形，利用对称性作图是解题的关键． 【详解】如图所示，沿虚线即可得到四个全等的图形． 【变式训练2全等三角形的概念】 1．（23-24八年级上·福建福州·开学考试）如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【答案】C 【分析】全等三角形中，能够重合的边是对应边，能够重合的角是对应角，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴和是对应角，和是对应角，和是对应边； 故A，B，D不符合题意； 而与是对应边，故C符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是全等三角形的对应边与对应角的含义，理解对应边与对应角的概念是解本题的关键． 2．（22-23八年级上·北京西城·阶段练习）如图，在中，，，，D是坐标平面上一点，若以A，B，D为顶点的三角形与全等，则点D的坐标是 ． 【答案】D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1） 【分析】若要，则D点可在AB的上方或下方，分别讨论即可． 【详解】如图，要和全等，且有一边为AB的三角形， D点可为：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1） 故答案为：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）． 【点睛】本题考查判定全等三角形的概念，注意不要遗漏可能的情况是解题关键． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．    【答案】对应边：与，与，与；对应角：与，与，与 【分析】根据全等三角形中能够互相重合的边是对应边，能够互相重合的角是对应角，再解答即可． 【详解】解：∵， ∴对应边：与，与，与；对应角：与，与，与． 【点睛】本题考查的是全等三角形的概念，掌握全等三角形的对应边与对应角的含义是解本题的关键． 【变式训练3 全等三角形的性质】 1．（2024九年级下·全国·专题练习）已知下图中的两个三角形全等，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应角相等解答即可． 【详解】解：两个三角形全等， ，两边的夹角相等， ， 故选：D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，其中的周长为，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 ． 【答案】45 【分析】此题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键． 根据，可得与的周长相等，从而得整个金属框架所需这种材料的长度即的周长的2倍减去长度即得答案． 【详解】解：， ∴与的周长相等， 又∵的周长为，， ∴整个金属框架所需这种材料的长度， 故答案为：45． 3．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，，，，，．    (1)试说明：； (2)求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，属于基础题型： （1）根据，得到，再根据线段的和差关系即可得出结论； （2）根据（1）中的结论，求出的长，进而求出的长度即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． 【变式训练4 用SSS证明三角形全等(SSS)】 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的结构图，是伞骨，是连接弹簧和伞骨的支架，已知点D，E分别是的中点，，．弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 根据全等三角形判定的“”定理即可证得． 【详解】解：，点D，E分别是的中点， ， 在和中， ． ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，，，则，应用的判定方法是 ． 【答案】SSS 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，本题要用，直接根据三角形全等的判定定理判断即可． 【详解】解：在和中， ， ． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，，和全等吗？请说明理由． 【答案】全等，理由见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定．先证明，然后利用证明即可． 【详解】解：全等． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴． 【变式训练5 用SSS间接证明三角形全等(SSS)】 1．（22-23八年级上·天津宁河·期中）如图已知，，点B，D，E，C在同一条直线上，要利用“”，推理出还需要添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D．以上都对 【答案】B 【分析】根据已知条件，，要利用“”推理得，只需再得到一组边相等即可，再结合选项中所给的条件，运用线段之间的关系进一步分析即可得出答案． 【详解】解：当时，， 理由：∵， 又，， ∴（） 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 2．（22-23八年级上·吉林白城·期中）已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有 对全等三角形． 【答案】3 【分析】由已知条件，结合图形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3对．找寻时要由易到难，逐个验证． 【详解】解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB， ∴△ADB≌△ACB； ∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO， ∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB ∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO． ∴图中共有3对全等三角形． 故答案为3． 3．（23-24八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，在和中，，且点在同一条直线上．求证：．    【答案】见解析 【分析】由可得，然后利用证明即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【变式训练6 用SAS证明三角形全等(SAS)】 1．（23-24八年级上·北京西城·期中）在生物实验课上，老师布置了“测量雉形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，利用全等三角形的性质，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定和是全等三角形的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意确定全等三角形的判定条件是解题的关键． 由题意可证，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图所示的5个三角形中： ， ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定；根据证明，，即可求解． 【详解】解：在中， ∴ 在中 ∴， 故答案为：；． 3．（2024·云南丽江·二模）如图，点B，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用平行线的性质求得，利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式训练7 用SAS间接证明三角形全等(SAS)】 1．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（    ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】A 【详解】试题分析：∵∠1=∠2，∴∠ACD+∠2=∠ACD+∠1，即∠ACB=∠ECD．又∵BC=DC，AC=EC，∴△ABC≌△EDC（SAS）．故选A． 考点：全等三角形的判定． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到． 【答案】 【分析】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，根据两直线平行内错角相等推出，结合已知条件，若根据“”得到，则应添加的条件为． 【详解】解：∵， ∴， 若，则 在和中 ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴． 【变式训练8 尺规作一个角等于已知角】 1．（23-24七年级下·山东济南·期中）如下所示的尺规作图题，题中符号代表的内容正确的是（   ） 如图，已知，求作：，使 作法：（1）以①为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； （2）作射线，并以点为圆心，以②长为半径画弧交于点； （3）以点为圆心，以③长为半径画弧交（2）步中所画弧于点； （4）作④，即为所求作的角． A．①表示点 B．②表示 C．③表示 D．④表示射线 【答案】D 【分析】本题考查了作图—基本作图，根据尺规作图作一个角等于已知角的方法即可判断． 【详解】解：作法：（1）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； （2）作射线，并以点为圆心，以长为半径画弧交于点； （3）以点为圆心，以长为半径画弧交（2）步中所画弧于点； （4）作射线，即为所求作的角． 故选：D． 2．（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ．    【答案】/62度 【分析】本题考查了作图-基本作图．根据作图得到，于是得到结论． 【详解】解：由作图知，， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，根据给出的，，求作，使．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见详解 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角度的和差计算，熟练掌握基本作图是解题的关键． 根据题意，先作出，在的外部作，则即为所求作的角． 【详解】解：如图，即为所求作的角．    【变式训练9 尺规作图--作三角形】 1．（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图（1）所示，已知线段，，求作，使，，张蕾的作法如图（2）所示，则下列说法中一定正确的是（　　） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以点A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 【答案】A 【分析】根据作图痕迹可得，先在射线上截取，再分别以B,C为顶点，在线段的两端作，从而可得出所要求的三角形，熟悉掌握尺规作图原理是解决本题的关键． 【详解】A、根据作图知，作的依据为，故选项正确； B、弧是以长为半径画的，故选项错误； C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误； D、弧是以长为半径画的，故选项错误． 故选：A 2．（22-23七年级下·全国·课后作业）尺规作三角形的类型： 尺 规 作 图 类型 依据 已知两边及其夹角作三角形 已知两角一边作三角形 （或） 已知三边作三角形 【答案】 SAS ASA SSS 【详解】试题解析：已知两边及其夹角作三角形,其依据是：SAS. 已知两角一边作三角形,其依据是：ASA（或）. 已知三边作三角形, 其依据是： 故答案为 点睛：判定三角形全等的方法有： 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：已知线段a，b和 求作：使，， 【答案】见解析 【分析】本题考查作三角形，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 作，在射线上截取线段，使得，以B为圆心，a为半径作弧，交于点B，，连接，，或即为所求． 【详解】解：如图，或即为所求． 【变式训练10 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)】 1．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，然后沿河岸直行到达树C，继续前行到达点D处，再从点D处沿河岸垂直的方向行走．当到达树A正好被树C遮挡住的点E处时，停止行走，此时的长度即为河岸的宽度．小开这样判断的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据，，再根据对顶角相等，利用证明即可． 【详解】解：由题意，得，， 在与中， ∴， ∴， ∴小开这样判断的依据是． 故选：D． 2．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，，，，，则等于 ． 【答案】3； 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据得到，结合角边角判定即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 3．（2024·陕西西安·一模）如图，点在上，，，．求证： 【答案】见详解 【分析】先根据平行线的性质得到，然后根据“”可判断．本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 【详解】解：， ， 在和中， ， ． 【变式训练11 用HL证全等(HL)】 1．（23-24八年级上·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定定理是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判断和性质是解题的关键．根据已知条件得出得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 2．（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，，，垂足分别为D，E，，则 ，理由是 ．    【答案】 直角三角形全等的判定定理 【分析】根据已知条件，，可得和都是直角三角形，然后根据全等三角形的判定即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， 故答案为：，，直角三角形全等的判定定理． 【点睛】本题考查直角三角形全等的判定定理，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解题的关键． 3．（22-23八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由推出，利用进行判定． 【详解】证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ． 【变式训练12 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合)】 1．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，只添加一个条件，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，根据全等三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， 当时，可以证明；故选项A不符合题意； 当时，不能判定；故选项B符合题意； 当时，可以证明；故选项C不符合题意； 当时，可以证明；故选项D不符合题意； 故选B． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，点E、F在上，，，相交于点G，请添加一个条件 使得．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用即可求解，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2024·陕西西安·三模）如图，在和中，与交于点O，，请你再添加—个条件：______，使得，并说明理由． 【答案】（答案不唯一），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定结合已知条件添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴若添加，利用“”可证明； 若添加，利用“”可证明； 若添加或，利用“”可证明， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练13 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合)】 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，掌握三角形判定方法是解题的关键． 根据三角形判定方法判断即可解答． 【详解】解：甲与不符合两边对应相等，且夹角相等， ∴甲和已知三角形不全等； 乙与符合两边对应相等，且夹角相等， ∴根据可判定乙和与全等； 丙与符合两角对应相等，且其中一角的对边相等， ∴根据可判定丙和与全等． 故选：B． 2．（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）（1）周长相等的两个三角形全等．（2）周长相等的两个等边三角形全等．（3）有三个角对应相等的两个三角形全等．（4）有三边对应相等的两个三角形全等．以上说法中，错误的有 个． 【答案】2 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定的基本知识．根据题意利用全等三角形的判定，依次进行分析判断即可． 【详解】（1）周长相等的两个三角形不一定全等，原说法错误； （2）周长相等的两个等边三角形全等，说法正确； （3）有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，原说法错误； （4）有三边对应相等的两个三角形全等，说法正确． 综上所述，错误的有2个． 故答案为：2． 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【详解】（1）解：①根据题意可得已知：，，，求证； ②根据题意可得已知：，，，求证； （2）解：选择①②③，证明④ ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 选择①②④，证明③ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即。 【变式训练14 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合)】 1．（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可． 【详解】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定， 所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画 个．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：如图所示：    使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 3．（22-23八年级上·吉林长春·期中）图①、图②均为边长为1的正方形网格．△ABC的顶点A、B、C均在小正方形的格点上，按要求在图①、图②中各画一个三角形． （1）在图①中画一个三角形与△ABC全等，且只有1个公共顶点． （2）在图②中画一个三角形与△ABC全等，且只有1条公共边． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据三角形全等的判定条件，以点C为公共顶点，分别作出CE＝CA，CF＝CB，EF＝AB，作出△CEF即可． （2）根据三角形全等的判定条件，以AB为公共边，分别作出AM＝AC，BM＝BC，作出作出△ABM即可． 【详解】解：（1）如图①中，△EFC即为所求． 在△EFC和△ABC中： ∵CE＝CA，CF＝CB，EF＝AB， ∴△EFC≌△ABC（SSS）． （2）如图②中，△ABM即为所求． 在△ABM和△ABC中： ∵AM＝AC，BM＝BC，AB＝AB， ∴△ABM≌△ABC（SSS）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，理解题意并准确作图． 【变式训练15 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)】 1．（23-24八年级上·广西河池·期中）如图，中，，，是边上的中线，若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系；先延长到，使，连接，根据，，，可证，于是，再利用三角形三边之间的关系可得，即． 【详解】解：如图所示，延长到，连接，    在与中， ， ∴， ∴， 在中，有， 即， 即， ∴． 故选：D． 2．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】延长到E，使得，连接，易证得，然后由三角形三边关系即可求出答案． 【详解】延长到E，使得，连接 ∵是边上的中线 ∴ 在与中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的三边关系及全等三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解题关键． 3．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）如图所示，是的边的中线．    (1)画出以点为对称中心且与成中心对称的三角形； (2)若，，求的长的取值范围． 【答案】(1)作图见详解 (2)的长的取值范围 【分析】（1）中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，对称中心在旋转图形对应点连线的垂直平分线的交点处； （2）由（1）可得，可知，，在中，根据三角形三边数量关系，可求出的取值范围，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图所述，以点为对称中心旋转，得，    ∴与关于点成对称中心图形． （2）解：由（1）可知，与关于点成对称中心图形， ∴， ∴，， 在中，，即， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴的长的取值范围． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的作图及性质，三角形三边关系的运用，掌握以上知识的运用是解题的关键． 【变式训练16 旋转模型(全等三角形的辅助线问题)】 1．（2023九年级·全国·专题练习）如图，菱形ABCD的形状和大小保持不变，将菱形ABCD绕点B旋转适当角度得到菱形A'BC'D'，边A'D'与AD，DC交于E，F（D，E，F不重合），连接EB，FB．在旋转过程中，下列判断错误的是（　　） A．EB平分∠AED' B．FB平分∠A'FC C．△DEF的周长是一个定值 D．S△DEF+2S△BEF＝S菱形ABCD 【答案】D 【分析】过点作于，于，于，利用角平分线的判定定理证明选项A、B是否正确，再利用全等三角形的性质证明的周长为定值，利用排除法解题． 【详解】解：过点作于，于，于， 菱形是由菱形旋转得到，菱形的每条边上的高都相等， 于，于，于， 平分，平分，故选项A、B正确，不符合题意； 同法可证， 的周长为：， 的周长为定值， 故选项C正确，不符合题意， 故选：D． 【点睛】旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2．（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，将绕着直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则 度． 【答案】70 【分析】首先由旋转的性质，得△ABC≌△A′B′C，然后利用等腰直角三角形的性质等角转换，即可得解. 【详解】解：由旋转的性质，得△ABC≌△A′B′C， ∴AC=A′C，∠BAC=∠B′A′C，∠ACA′=90°， ∴∠CAA′=∠CA′A=45° ∵ ∴∠BAC=25° ∴∠BAA′=∠BAC+∠CAA′=25°+45°=70° 故答案为：70. 【点睛】此题主要考查利用全等三角形，旋转求解角度，熟练掌握，即可解题. 3．（22-23九年级上·福建福州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△BDE，点D的对应点为点A，连接AD，求∠ADE的度数． 【答案】22.5° 【分析】根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△BDE， ∴∠CBA＝∠EBD，∠CAB＝∠EDB，BA＝BD， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠CBA＝45°， ∴∠EDB＝∠EBD＝45°， ∴∠ADB＝∠DAB＝（180°﹣∠ABD）＝67.5°， ∴∠ADE＝∠ADB﹣∠EDB＝67.5﹣45°＝22.5°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式训练17 垂线模型(全等三角形的辅助线问题)】 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 2．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为    【答案】 【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，由△ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC＝90°、AB＝BC，通过角的计算即可得出∠ABO＝∠BCD，再结合∠CDB＝∠BOA＝90°即可利用AAS证出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示． ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC． ∵CD⊥BD，BO⊥AO， ∴∠CDB＝∠BOA＝90°． ∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°， ∴∠ABO＝∠BCD． 在△ABO和△BCD中， ， ∴△ABO≌△BCD（AAS）， ∴BD＝AO，CD＝BO， ∵A（4，0），B（0，6）， ∴BD＝4，CD＝6， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题结合等腰直角三角形和坐标点综合考查，关键在于辅助线的作法，过C点作垂直于x轴的垂线还是垂直于y轴的垂线是解题关键． 3．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可． （2）利用（1）中的全等及互余关系证明直角即可． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质的运用，能够熟练运用判定定理及性质是解题关键． 【变式训练18 全等三角形综合问题】 1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走4米，同时从出发，若射线上有一点P，使得和全等，则线段的长度为（    ）米 A．6或60 B．60 C．24或60 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当；当；根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，设运动时间为， ∴，， ①点是中点，时，，， ∵， ∴， ∴； ②时，时，，， ∴，即， 解得，； ③时， ∵点运动的速度大于点的速度，即， ∴此情况不存在， 综上所述，线段的长度为或， 故选：A ． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点在P线段上以3厘米/秒的速度由B点C向点运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等． 【答案】3或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练的建立方程求解，清晰的分类讨论思想解决问题是本题的关键．分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动度； 【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，， ∵， ∵点E为线段的中点． ∴， ∴当时，与全等． 此时，， 解得 ∴， 此时，点Q的运动速度为（厘米/秒） 当，时，与全等． 此时 解得 ∴点Q的运动速度为（厘米/秒）． 故答案为3或． 3．（23-24八年级上·辽宁营口·阶段练习）在三角形中，度，， 直线经过点，且于，于点． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②． (2)直线绕点旋转到图2的位置时，（1） 中的结论还成立吗?若成立，请给予证明；若不成立，说明理由． (3)直线绕点旋转到图3的位置时，试问：，，有怎样的关系?请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)①证明见解析．②证明见解析． (2)结论①成立，证明见解析，结论②不成立，理由见解析． (3)，证明见解析． 【分析】（1）本题考查全等三角形的性质和判定，利用等角的余角相等结合题干的条件，即可解题． （2）本题与（1）的证明方法相同． （3）本题与（1）的证明方法相同． 【详解】（1）①证明：，， ， ， ， ， ， ， ． ②证明：， ，， ， ． （2）解：结论①成立，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ． 结论②不成立，理由如下： ， ，， ， ． （3）解：当直线绕点旋转到图3的位置时，， 理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ． ，， ， ． 1．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）下列四组图形中，不是全等形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 【详解】观察发现，A、B、C选项的两个图形都可以完全重合， ∴是全等图形， D选项中两个图形大小不一样，不可能完全重合， ∴不是全等形． 故答案选D. 【点睛】本题考查的知识点是全等图形，解题的关键是熟练的掌握全等图形. 2．（23-24八年级上·重庆南川·期末）如图，，若，，则线段的长是（    ） A．8 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质：对应边相等，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B 3．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如右图，则要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据作图，利用证明三角形全等，即可． 【详解】解：由作图可知：，， ∴； 故选D． 4．（22-23八年级上·安徽合肥·期末）如图，一个三角形钢板插在水泥台面中，某同学说：“不用拔出钢板，就能画出一个与该三角形钢板完全重合的三角形”，那么他所用到的数学知识是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定即可得到答案． 【详解】解：由图形可知，已知三角形的两角及其夹边，根据就能画出一个与该三角形钢板完全重合的三角形, 故选：D 【点睛】此题考查了全等三角形判定的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 5．（22-23八年级上·河南南阳·期中）如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．图中是格点三角形，请你找出方格中所有与全等，且以为顶点的格点三角形，这样的三角形共有（    ）个（除外）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】的一边是小正方形的边长，另一边是小正方形的对角线，第三边是两个小正方形的对角线，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，画图如下，    ∴与全等的有，，，，， 故选：D． 【点睛】本题主要考查网格中与已知三角形全等的格点三角形，掌握三角形全等的条件是解题的关键． 6．（22-23七年级·全国·课后作业）如图，图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形是全等形的有 对． 【答案】 【分析】设每个小方格的边长为1，分别表示出每个图形的各边长，再根据三角形全等的判定方法，对应边相等，对应角相等的多边形是全等多边形可得答案． 【详解】解：如图，设每个小方格的边长为1， 则（1）的各边分别是 （6）的各边分别是 由边边边公理可得两个三角形全等；所以（1）（6）全等． （2）的各边长分别是：且 （3）的各边长分别是：且，    由四边形全等的定义可得：图形（2）与（3）全等， 同理：（2）（5）全等，（3）（5）全等． 故全等形有四对， 故答案为： 【点睛】此题主要考查学生对全等形的概念与判定的理解及运用，同时考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等形的判定方法． 7．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若和全等，则a的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握分类讨论思想的应用是解决本题的关键． 分两种情况分别计算：当时；当时；分别根据全等三角形对应边相等的性质列方程求解即可． 【详解】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时，，即， 解得； 当时，，， 即，， 解得， 则， 解得， 综上，的值为3或． 故答案为：3或． 8．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，，，M，N分别是，的中点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】3 【分析】连接，利用证明，根据全等三角形的性质及三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，    在和中， ∴， ∴， ∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴阴影部分的面积， ∵的面积为 ∴阴影部分的面积， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 9．（22-23八年级上·山东菏泽·期中）如图，四边形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝4cm，BD＝BC＝7cm，CE⊥BD于点E，则DE的长 cm． 【答案】3 【分析】根据全等三角形的判定证明△ABD≌△BCE，故可求解． 【详解】证明：∵ADBC， ∴∠ADB＝∠DBC． ∵CE⊥BD， ∴∠BEC＝90°． ∵∠A＝90°， ∴∠A＝∠BEC． ∵BD＝BC， 在△ABD与△BCE中， ∴△ABD≌△BCE（AAS）． ∴AD＝BE=4cm． ∴DE=BD-BE=3cm． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等． 10．（22-23八年级上·河北秦皇岛·期末）学了全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，，，，求证：”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是： （写出所有符合条件的结果）． 【答案】或或 【分析】根据定理和定理即可得． 【详解】解：去掉已知条件，根据定理可以证出， 去掉已知条件，根据定理可以证出， 去掉已知条件，根据定理可以证出， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握定理和定理是解题关键． 11．（23-24八年级上·云南红河·期中）已知：如图，，，与全等吗？并说明理由？ 【答案】与全等，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据三边相等即可证明． 【详解】解：与全等 理由如下：在和中 ∵（公共边），， ∴ 12．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）已知：如图，，，，试说明的道理. 【答案】见解析 【分析】因为，得，即可通过证明，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 13．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，与为对应角，与为对应边． (1)写出其他对应边及对应角； (2)若，，求的长． 【答案】(1)其他对应边：和，和；对应角：和，和； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的对应边和对应角的概念即可求解； （2）根据全等三角形的性质可得：，结合等量代换即可求解 【详解】（1）解：其他对应边：和，和；对应角：和，和； （2）∵， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的对应边相等，对应角相等，掌握全等三角形的概念是关键． 14．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在与中，于点E，于点D，，．证明：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查全等三角形判定．根据题意利用判定即可得到本题答案． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 15．（23-24八年级下·四川眉山·期中）如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及性质. （1）易证，即可证明，即可解题； （2）过点作交于点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，根据可证，根据，，即可解题； （3）过作的延长线交于点，易证，由（1）（2）可知，，可得，，即可求得的值，即可解题． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作交于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为中点； （3）解：过作的延长线交于点，如图， ，，， ， 由（1）（2）知：，， ，， ， ， ， ． 故答案为． 学科网（北京）股份有限公司 $$