专题4.1 成比例线段（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.1 成比例线段（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】两条线段的比 如果选用同一长度单位的两条线段a、b长分别是m和n，就说这两条线段的比是a:b=m:na或写成和数的比一样，两条线段的比 a:b中a叫比的前项，b叫比的后项. 【要点说明】 1. 若a:b=k，则说明a是b的k倍，由于线段a、b的长度都是正数，所以k是正数； 2. 求经时两条线段的长度单位要一致； 3. 经例尺就是图上长度与实际长度的比. 【知识点二】比例线段 1. 比例线段：四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 即：已知四条线段a、b、c、d，如果那么a、b、c、d叫做组成比例线段的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项. 2.比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即a：b=b：c或那么线段b叫做线段a、c的比例中项. 【要点说明】 已知四条线段a、b、c、d成比例，要注意位置不能随意颠倒. 【知识点三】比例的基本性质 1.比例的基本性质：如果；如果ad=bc，那么 2.推论 （1）, （2）; （3）合比性质：; （4）等比性质：; 【知识点四】黄金分割 黄金分割：如图，将一条线段AB分割成长短两条线段AP、BP(AP>BP),若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比,即,（此时线段AP是线段PB，AB的比例中项)，经计算，这一比值等于则称这种分割叫黄金分割，点P 点P叫做线段AB的黄金分割点，称为黄金分割比，特别注意一条线段的黄金分割点有两个. 【要点说明】 1黄金三角形：在等腰三角形中，底和腰（或腰和底）之比为的等腰三角形称为黄金三角形； 2.黄金矩形：在矩形中，宽和长之比为 的矩形称为黄金矩形。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】线段之比 【例1】（21-22九年级上·全国·课后作业）在中，；在中，，求与之比，与之比． 【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长厘米，这张图纸的比例尺是（   ） A． B．500:1 C．1:50 D．50:1 【变式2】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）点在线段上，若  ，则 ． 【题型2】成比例线段 【例2】（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，线段、、、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线段吗？为什么？ 【变式1】（23-24九年级上·上海·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 【变式2】（23-24八年级下·福建福州·期末）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 . 【题型3】比例中项 【例3】（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）已知线段a，b满足，且． （1）求a，b的值； （2）若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值． 【变式1】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）已知线段， 当时，则的比例中项等于（     ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·上海奉贤·期中）已知线段厘米，厘米，则它们的比例中项b为 . 【题型4】黄金分割 【例4】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知点是线段的黄金分割点，且分成的两部分之差为2，求线段的长． 【变式1】（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如果点是线段的黄金分割点且，那么下列结论错误的为（   ） A． B．是和的比例中项 C． D． 【变式2】（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年—前355年）发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长比，即（此时线段叫做线段、的比例中项），这种分割称为黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．如图，若设线段，点是的黄金分割点，则的长为 （用含根号的式子表示）． 【题型5】比例基本性质 【例5】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）已知、、是的三边长，且． （1）求的值． （2）若的周长为，求各边的长． 【变式1】（23-24九年级下·甘肃定西·阶段练习）已知，那么下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·安徽滁州·模拟预测）若，则 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2022·湖南衡阳·中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（结果精确到．参考数据：，，） A． B． C． D． 【例2】（2023·浙江·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：      2、拓展延伸 【例】（（2022九年级上·浙江·专题练习）如图1，点在线段上的黄金分割点，且. （1）设， ①求的长； 填空：设，则 点在线段上的黄金分割点，且， 　　，可列方程为　　， 解得方程的根为　　，于是，的长为　　. ②在线段（如图上利用三角板和圆规画出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若、为正实数，是关于的方程的一正实数根， ①求证：； ②若两条线段的长分别为、（如图，请画出一条长为的线段（保留作图痕迹，不写作法）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 成比例线段（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】两条线段的比 如果选用同一长度单位的两条线段a、b长分别是m和n，就说这两条线段的比是a:b=m:na或写成和数的比一样，两条线段的比 a:b中a叫比的前项，b叫比的后项. 【要点说明】 1. 若a:b=k，则说明a是b的k倍，由于线段a、b的长度都是正数，所以k是正数； 2. 求经时两条线段的长度单位要一致； 3. 经例尺就是图上长度与实际长度的比. 【知识点二】比例线段 1. 比例线段：四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 即：已知四条线段a、b、c、d，如果那么a、b、c、d叫做组成比例线段的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项. 2.比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即a：b=b：c或那么线段b叫做线段a、c的比例中项. 【要点说明】 已知四条线段a、b、c、d成比例，要注意位置不能随意颠倒. 【知识点三】比例的基本性质 1.比例的基本性质：如果；如果ad=bc，那么 2.推论 （1）, （2）; （3）合比性质：; （4）等比性质：; 【知识点四】黄金分割 黄金分割：如图，将一条线段AB分割成长短两条线段AP、BP(AP>BP),若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比,即,（此时线段AP是线段PB，AB的比例中项)，经计算，这一比值等于则称这种分割叫黄金分割，点P 点P叫做线段AB的黄金分割点，称为黄金分割比，特别注意一条线段的黄金分割点有两个. 【要点说明】 1黄金三角形：在等腰三角形中，底和腰（或腰和底）之比为的等腰三角形称为黄金三角形； 2.黄金矩形：在矩形中，宽和长之比为 的矩形称为黄金矩形。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】线段之比 【例1】（21-22九年级上·全国·课后作业）在中，；在中，，求与之比，与之比． 【答案】，， 【分析】在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的值，然后根据在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比求解即可． 解：如图，在Rt△ABC中， 根据勾股定理知，AC10cm， 则， 【点拨】本题考查了勾股定理的应用．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了两条线段的比的求法． 【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长厘米，这张图纸的比例尺是（   ） A． B．500:1 C．1:50 D．50:1 【答案】D 【分析】本题考查比例尺，关键是掌握比例尺的定义．比例尺图上距离与实际距离的比，由此即可计算． 解：厘米毫米， ：：， 这张图纸的比例尺是：． 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）点在线段上，若  ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的比；根据题意，设，根据题意可得，进而即可求解． 解：∵ 设 ∴ ∴ 故答案为：． 【题型2】成比例线段 【例2】（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，线段、、、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线段吗？为什么？ 【答案】成比例，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，运用勾股定理求出各边的长，判断即可解答． 解：成比例．理由如下： ， ， ， ， ∴， ∴， ∴线段、、、成比例． 【变式1】（23-24九年级上·上海·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 【答案】B 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·福建福州·期末）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 . 【答案】 【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的定义得到，即可得到答案． 解：由于线段，，，是成比例线段， 故， 即 解得 故答案为：． 【题型3】比例中项 【例3】（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）已知线段a，b满足，且． （1）求a，b的值； （2）若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）根据可得，再代入计算即可得；（2）根据比例中项的定义求解即可得． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 则． （2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 则x的值为． 【点拨】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键． 【变式1】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）已知线段， 当时，则的比例中项等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例中项的概念，解题的关键是利用比例的基本性质求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去． 解：∵， ∴或（舍去） 故选B． 【变式2】（23-24九年级上·上海奉贤·期中）已知线段厘米，厘米，则它们的比例中项b为 . 【答案】厘米/12cm 【分析】根据比例中项的性质：比例中项平方等于两外项的积直接求解即可得到答案； 解：∵线段厘米，厘米，它们的比例中项为b， ∴， 解得：（厘米），（厘米）（不符合题意舍去）， 故答案为：厘米； 【题型4】黄金分割 【例4】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知点是线段的黄金分割点，且分成的两部分之差为2，求线段的长． 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割比，分母有理化，解题关键是掌握黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．分两种情况讨论：①当时；②当时，利用黄金比分别列式求解，即可求出线段的长． 解：分两种情况讨论： ①当时，则， ， ； ②当时，则， ， ； 综上可知，线段的长为或 【变式1】（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如果点是线段的黄金分割点且，那么下列结论错误的为（   ） A． B．是和的比例中项 C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割的概念进行判断即可． 解：点是线段的黄金分割点且， 是和的比例中项，， ， 故选项A、、不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 【点拨】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年—前355年）发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长比，即（此时线段叫做线段、的比例中项），这种分割称为黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．如图，若设线段，点是的黄金分割点，则的长为 （用含根号的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系与已知条件，设，代入转化一元二次方程求解即可． 解：设， 依题意，， ∴ ∴ 即 解得：或（舍去） 故答案为： 【题型5】比例基本性质 【例5】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）已知、、是的三边长，且． （1）求的值． （2）若的周长为，求各边的长． 【答案】(1)；(2)，， 【分析】本题考查比例的性质，比例的应用等知识，设，从而用表示出是解题的关键． （1）设，从而用表示出，再代入化简即可得解； （2）根据的周长为，即，从而将（1）中的结论代入求出t即可得解． （1）解：设， ，，， 代入，得； （2）由题意知，， 则， 解得， ，，． 【变式1】（23-24九年级下·甘肃定西·阶段练习）已知，那么下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是比例的基本性质，掌握比例的基本性质进行变形是解题的关键．由，可得，再利用比例的基本性质逐一分析各选项，即可得到答案． 解：∵， ∴， 由可得：，与不符，故A不符合题意， 由可得：，故B符合题意； 由可得：，故C不符合题意， 由可得：，与不符，故D不符合题意， 故选：B 【变式2】（2024·安徽滁州·模拟预测）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查比例性质及解一元一次方程，根据题意，得到，转化成一元一次方程求解即可得到答案，熟记比例性质及解一元一次方程的方法步骤是解决问题的关键． 解：， ，即，则，解得， 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2022·湖南衡阳·中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（结果精确到．参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得求解即可． 解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m， ∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， 雷锋雕像为2m， ∴   ∴， 即该雕像的下部设计高度约是1.24m， 故选：B． 【点拨】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键． 【例2】（2023·浙江·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：      【答案】 【分析】根据题意得出，进而即可求解． 解：∵ ∴ ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 2、拓展延伸 【例】（（2022九年级上·浙江·专题练习）如图1，点在线段上的黄金分割点，且. （1）设， ①求的长； 填空：设，则 点在线段上的黄金分割点，且， 　　，可列方程为　　， 解得方程的根为　　，于是，的长为　　. ②在线段（如图上利用三角板和圆规画出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若、为正实数，是关于的方程的一正实数根， ①求证：； ②若两条线段的长分别为、（如图，请画出一条长为的线段（保留作图痕迹，不写作法）. 【答案】(1)，，，，；(2)①证明见解析；②画图见解析 【分析】（1）若点B在线段上的黄金分割点，且，则，设，则代入求值即可． （2）①利用勾股定理画出，再在长为的线段上截取长为1的线段，剩余部分就是． ②根据配方法解该方程的根即可，作图与①雷同． （1）解：①设，则 点在线段上的黄金分割点，且， ， 可列方程为：， 解得：，， 的长为：； 故答案为：，，，，； ②作图见下图 （2）①证明：解关于的方程 ， 是关于的方程的一正实数根， ； ②作图见下图 【点拨】本题考查了黄金分割、解一元一次方程、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点的内涵及其应用方法． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$