小升初高频考点易错培优（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

高频考点梳理 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1．分数大小的比较 【知识点归纳】 分数比较大小的方法： （1）真、假分数或整数部分相同的带分数；分母相同，分子大则分数大；分子相同，则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进行比较大小． （2）整数部分不同的带分数，整数部分大的带分数就比较大． 2．倒数的认识 【知识点解释】若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 【解题思路点拨】 求倒数的方法：求一个分数的倒数，例如，我们只需把这个分数的分子和分母交换位置，即得的倒数为．求一个整数的倒数，只需把这个整数看成是分母为1的分数，然后再按求分数倒数的方法即可得到，如3的倒数为．求一个小数的倒数，可以先把小数化成分数，然后分子和分母调换位置． 【注意事项】0没有倒数。 3．百分数的意义、读写及应用 【知识点归纳】 （1）百分数（又叫做百分率或百分比）与分数的意义截然不同．百分数是“表示一个数是另一个数百分之几的数．”它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量．如：可以说1米是5米的20%，不可以说“一段绳子长为20%米．”因此，百分数后面不能带单位名称．分数可带具体名称． （2）百分数的读法：100%不读百分之百，要读百分之一百；32%：百分之三十二； 50%：百分之五十； 1%：百分之一． （3）百分号的写法注意的地方：%的0是左上右下，不能写在一起． 4．折扣 【知识点归纳】 1、折扣：用于商品，现价是原价的百分之几，叫做折扣。通称“打折”。 2、几折就是十分之几，也就是百分之几十。例如：八折＝8÷10＝80%，六折五＝6.5÷10＝65÷100＝65% 3、解决打折的问题，关键是先将打的折数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答。 4、商品现在打八折：现在的售价是原价的80%；商品现在打六折五：现在的售价是原价的65%。 【方法总结】 与折扣有关的实际问题的解题方法： 已知原价和折扣，求现价：现价＝原价×折扣； 已知原价和折扣，求便宜的钱数：便宜的钱数＝原价﹣原价×折扣； 已知现价和折扣，求原价：原价＝现价÷折扣； （4）已知原价和现价，求折扣：用现价除以原价，结果用百分数表示，同时在答语中要体现出来。 5．成数 【知识点归纳】 ①农业收成，经常用“成数”来表示。 例如，报纸上写道：“今年我省油菜籽比去年增产二成” ②成数表示一个数是另一个数的十分之几，通称“几成”。 例如，“一成”就是十分之一，改写成百分数是 10% “三成五”是十分之三点五，改写成百分数就是 35% ③“成数”已经广泛应用于表示各行各业的发展变化情况。 例如：出口汽车总量比去年增加三成，北京出游人数比去年增加两成。 6．负数的意义及其应用 【知识点归纳】 （1）任何正数前加上负号都等于负数．负数比零小，用负号（即相当于减号）“﹣”标记． （2）在数轴线上，负数都在0的左侧，没有最大与最小的数，所有的负数都比自然数小． 7．分数乘法 【知识点归纳】 分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算． 乘积是1的两个数叫做互为倒数． 分数乘法法则： （1）分数乘以整数或整数乘以分数：由于任何整数（0除外）都可以化成分母是1的假分数，分数乘以整数或整数乘以分数，都可以转化成分数乘以分数的形式．因此，在计算中，是用分数的分子和整数相乘的积作为分子，分母不变．在乘的过程中，如果有可以约分的数，可以先约分，这样，可以使计算的数字缩小，从而使计算变得简便． （2）分数乘以分数：用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母．为了使计算简便，在计算的过程中，能够约分的，要约分． （3）带分数乘法：先把带分数化成假分数，然后再乘．结果是假分数时，要把假分数化成带分数或整数． 分数乘法的运算定律： （1）交换律：两个分数相乘，交换分数的位置，它们的积不变． （2）结合律：三个分数相乘，先把前两个分数相乘，再乘以第三个分数，或者先把后两个分数相乘，再乘以第一个分数，它们的积不变． （3）乘法分配律：两个分数的和与一个分数相乘所得的积，等于每一个加数分别与这个分数相乘所得的积的和． 8．百分数方程求解 【知识点归纳】 把百分数转化成小数即可，其他步骤与小数方程求解相同 一般利用等式性质把小数转化为整数之后，其他步骤与整数方程求解相同。 解方程的步骤 （1）去分母。 当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。 （2）去括号。 在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。 （3）移项。 通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。 （4）合并同类项。 对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。 （5）系数化为1. 合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。 9．比的意义 【知识点归纳】 两个数相除，也叫两个数的比． 10．比与分数、除法的关系 【知识点归纳】 1．联系：比的前项相当于分数的分子、除法中的被除数；比号相当于分数的分数线、除法中的除号；比的后项相当于分数的分母、除法中的除数；比值相当于分数的分数值、除法中的商． 2．区别：比是一种关系，分数是一种数，除法是一种运算． 11．比的应用 【知识点归纳】 1．按比例分配问题的解题方法： （1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤： a．求出总份数； b．求出每一份是多少； c．求出各部分相应的具体数量． （2）转化成份数乘法来解答．解题步骤： a．先根据比求出总份数； b．再求出各部分量占总量的几分之几； c．求出各部分的数量． 2．按比例分配问题常用解题方法的应用： （1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量； （2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量． 12．数列中的规律 【知识点归纳】 按一定的次序排列的一列数，叫做数列． （1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中． 例如：1，2，3，4，5，6…相邻的差都为1； 1，2，4，8，16，32…相邻的两数为2倍关系． （2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律． 例如：1，0，0，1，1，0，0，1…从左到右，每四项为一组； 1，2，3，5，8，13，21…规律为，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和． （3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律． 例如，12，15，17，30，22，45，27，60…在这里，第1，3，5…项依次相差5，第2，4，6…项依次相差15． （4）相邻两数的关系中隐含着规律． 例如，18，20，24，30，38，48，60…相邻两数依次差2，4，6，8，10，12… 13．数与形结合的规律 【知识点归纳】 在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题． 14．简单的工程问题 【知识点归纳】 探讨工作总量、工作效率、工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题． 解题关键：把工作总量看做单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后，根据题目的具体情况，灵活运用公式． 数量关系式： 工作总量＝工作效率×工作时间 工作效率＝工作总量÷工作时间 工作时间＝工作总量÷工作效率 合作时间＝工作总量÷工作效率和 15．长方形的周长 【知识点归】 周长：图形一周的长度，就是图形的周长；周长的长度等于图形所有边的和．一般用字母C来表示． 计算方法： ①周长＝长+宽+长+宽 ②周长＝长×2+宽×2 ③周长＝（长+宽）×2． 【解题思路点拨】 （1）常规题求长方形的周长，分别找出长和宽，代入公式即可求得． （2）周长概念和公式要理解牢记． 16．正方形的周长 【知识点归纳】 正方形周长是围成正方形的边长总和，由于正方形的特征是4条边都相等，所以正方形周长＝边长×4． 用字母表示为c＝4a． 【解题思路点拔】 （1）常规题求正方形周长，先求出边长，代入公式即可得． 17．圆、圆环的周长 【知识点归纳】 圆的周长＝πd＝2πr， 半圆的周长等于圆周长一半加上直径，即； 半圆周长＝πr+2r． 圆环的周长等于两个圆的周长，即： 圆环的周长＝πd1+πd2＝2πr1+2πr2． 【解题思路点拨】 （1）常规题求圆的周长，先求出关键量半径，代入公式即可求得． 18．长方形、正方形的面积 【知识点归纳】 长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab 正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2． 【解题思路点拨】 （1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢． （2）其他求法可通过分割补，灵活性高． 19．圆、圆环的面积 【知识点归纳】 圆的面积公式： S＝πr2 圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式： S＝πr22﹣πr12＝π（r22﹣r12） 20．用角度表示方向 【知识点归纳】 根据方向和距离确定物体位置的方法： ①确定观测点。 ②在观测点上建立方向标。 ③用量角器测量出被测物体方向的角度，标清楚小弧线和度数。 ④结合图例计算出图上距离。 ⑤补全整个图中的细节。 21．在平面图上标出物体的位置 【知识点归纳】 利用直角坐标系把平面上的点与数对应起来，以确定平面上物体的位置． 22．根据方向和距离确定物体的位置 【知识点归纳】 1．确定观察点，建立方向标； 2．用量角器确定物体方向； 3．用刻度尺根据物体方向距离确定其位置； 4．找出物体具体位置，标上名称． 23．扇形统计图 【知识点归纳】 1．扇形统计图的特点：扇形统计图是用整个圆的面积表示总数，用圆内的扇形面积表示各部分数量占总数的百分比． 2．读懂扇形统计图： （1）获取信息的方法：运用综合、对比等多种观察方法，可以从扇形统计图中获取信息，还可以利用这些信息提出相应的问题． （2）扇形统计图的优点：它可以清楚地表示出部分数量与总数、部分数量与部分数量之间的关系． 3．利用扇形统计图解决问题，就是解决有关不同类型的百分数应用题，按照百分数应用题的解题思路和解题方法进行解答． 第二部分 典型例题 例题1：在比例尺是1：5000000的地图上，量得甲乙两城的距离是12厘米。一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两城相对开出，4小时后相遇。已知货车的速度和客车速度的比是2：3，客车每小时行多少千米？ 【考点】比例尺应用题． 【答案】90千米。 【分析】先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出实际距离，再利用“速度和＝总路程÷相遇时间”求出货车与客车的速度和，客车速度占两车速度和的，最后根据比的应用求出客车的速度。 【解答】解：12÷＝60000000（厘米） 60000000厘米＝600千米 600÷4×＝150×＝90（千米） 答：客车每小时行90千米。 【点评】掌握图上距离与实际距离换算的方法和按比例分配问题的解题方法是解答题目的关键。 例题2：一个长15cm，宽12cm的长方体水箱中装有10cm深的水，把一个底面积90cm2、高10cm的圆柱形铁锤完全浸入水中（水未溢出），那么现在水箱中水深多少厘米？ 【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积． 【答案】15厘米。 【分析】因为圆柱形铁锤完全浸入水中，先求出圆柱形铁锤的体积，用圆柱形铁锤的体积除以水的底面积，得出上升水的高度，加上原来水的高度，得出现在水箱中水深，据此解答即可。 【解答】解：上升水的高度：（90×10）÷（15×12） ＝900÷180 ＝5（厘米） 5+10＝15（厘米） 答：现在水箱中水深15厘米。 【点评】解决此题的关键是明确铁锤完全浸入水中，铁锤的体积除以水的底面积得出上升水的高度。 例题3：随着生活水平的提高，进城务工人员陆续在城市买房定居，孩子们也随之进城就读，阳阳所在的班级原来有45名学生，男女生人数之比是5：4，新学期转来了几名女生后，女生人数占全班的一半，现在阳阳班共有多少名学生？ 【考点】比的应用． 【答案】50名。 【分析】又来了几名女生，则女生人数、全班人数都增加，且增加的人数相同，男生人数不变；原来男生占，原来的全班人数已知，用乘法计算男生人数；来了几名女生后，女生人数占全班人数的，此时男生人数占全班人数的（1﹣），结合上步分析用除法计算此时的全班人数。 【解答】解：45×＝25（名） 25 ＝25 ＝50（名） 答：现在阳阳班共有50名学生。 【点评】解决此题关键是理解男生的人数不变，是定量，先求出男生的人数，再求出现有的人数，进而问题得解。 第三部分 高频真题 1．“金山银山不如绿水青山”。3月12日植树节，育才中学有三个班组织了植树活动，具体安排如下：甲班要植总数的40%，乙、丙两个班植树的棵数比是4：5。当甲班植了40棵树时，正好完成总数的。三个班分别植树多少棵？ 2．学校图书馆购买了一批新书，借走本数与剩下本数的比是2：7，如果再借走64本，那么剩下的本数只有这批新书的。这批新书一共有多少本？ 3．芒种是一个耕种忙碌的节气。这个时节，南方地区的入们忙着插秧种稻，北方地区的人们则忙着收麦。张伯伯家的麦子熟了，第一天收了所有麦子的30%，第二天收了530kg，这时已收的麦子和未收麦子的质量比约是4：1。张伯伯家一共大约可以收多少千克麦子？ 4．随着国产榴莲的兴起，今年榴莲的价格比往年更为便宜。鲜果水果店进了一批广西榴莲，第一次运了总数的30%，如果再运150千克，这时已运的与剩下的质量之比是2：3，这批榴莲共有多少千克？ 5．小娅家今年开了一家点心店，主营产品是点心和饮料。为了了解近五个月经营状况，她做了以下两幅统计图。 （1）2月份饮料销售额比点心少百分之几？ （2）5月份点心销售额是多少万元？ 6．有一个圆柱形容器，它的底面直径是4分米，高是8分米，容器里装有的水，现将一个底面半径为2分米的圆锥放入其中（全部浸在水中），这时容器里的水位高度恰好为8分米，这个圆锥的高是多少分米？ 7．有两筐梨，甲筐梨的质量是32kg，从乙筐取出20%后，甲、乙两筐梨的质量比是4：3。原来甲、乙两筐梨共有多少千克？ 8．在比例尺是1：5000000的地图上，量得南京到北京两地相距18厘米，如果两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行55千米，乙车每小时行65千米，经过几小时相遇？ 9．新经济时代“直播带货”成为促进经济增长的有效途径。李叔叔将山里的水果通过直播的形式进行销售，直播销售量比线下销售量有了很大的提高。原来销售量是2000千克，现在销售量增加了540%。销售的桔子、苹果和柿子的重量比是1：4：5，现在的销售量中苹果有多少千克？ 10．图书馆管理员张老师要为学校新购买的800本图书编号，周三已经完成编号任务的，剩下的任务要按2：3分在周四、周五两天完成，周五要为多少本图书编号？ 11．学校开展读书活动，小芳要在3天内看完一本120页的历史故事书。她第一天看了全书的40%，第二天与第三天看的页数比是5：4，她第二天看了多少页？ 12．一种稀释消毒液，用药液和水按1：200配制而成。要配制这种稀释消毒液603千克，需要药液多少千克？（用比例知识解答） 13．一家玩具厂要生产一批儿童玩具，已经生产了总个数的25%，如果再生产210个，已完成的个数与剩下的个数的比是3：2，这批儿童玩具共有多少个？ 14．一本科技书，小明第一天看了全书的，第二天看了36页，两天看的页数与剩下页数的比是5：3，这本书共多少页？ 15．少林寺，又名僧人寺，有“禅宗祖廷，天下第一名刹”之誉，是中国汉传佛教禅宗祖庭。一场场武术盛宴是对中国武术文化的宣传和弘扬，令人肃然起敬。五一假期，实验小学的学生去参观少林寺，三年级去了15个小队，平均每队30人；四年级去了20个小队，平均每队30人。这两个年级平均每个年级去了多少人？ 16．货车和客车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。已知货车与客车的速度比是2：3，两车在相遇后继续行驶，当客车行了全程的时，货车距离乙地还有126千米。甲、乙两地相距多少千米？ 17．把一个高5分米的圆柱体底面平均分成若干个小扇形，然后再把圆柱体切开，拼成一个与它等底等高的长方体，长方体的表面积比圆柱体增加了60平方分米，原来圆柱体的表面积是多少平方分米？ 18．学校篮球队女生人数是男生人数的，后来又增加了3名男生，这时女生与男生人数的比是3：4，学校篮球队原来有多少名学生？ 19．如图是我国古代的一种计量时间的仪器﹣﹣沙漏（又称沙钟）。上下是两个完全相同的圆锥形容器，其中一个完全装满细沙，单个圆锥形容器的高为9厘米，漏口每秒漏出细沙0.05立方厘米，漏完全部细沙用时30分钟，这个沙漏的底面积是多少平方厘米？ 20．高铁是中国的一张名片，我国自主研制的“和谐号”动车组、“复兴号”动车组的速度比是5：7，“复兴号”动车组比“和谐号”动车组每小时多行驶100km，“复兴号”动车组每小时行驶多少千米？ 21．如图，圆柱形容器甲是空的，正方体容器乙中水深6.28厘米，将容器乙中的水全部倒入容器甲中，这时水深多少厘米？ 22．中国春秋战国时期的《考工记》是世界上第一部关于手工艺的科技著作。聪聪在阅读时了解到：制作农具“锶（bó）”所需铜和锡的质量比是5：1。如果1件锶需要锡1640g，需要铜多少克？（用方程解答） 23．甲、乙两车同时相对而行，甲车行全长需8小时，乙车每小时56千米，相遇时，甲、乙两车所行的路程之比是3：4，这时乙车行了多少千米？ 24．一本科技书，小明第一天看了全书的，第二天又看了42页，这时已看的页数与剩下页数的比是2：3。小明第一天看了多少页？ 25．某校在庆六一活动中，六年级有41位同学分别参加小品、朗诵、合唱节目（每位同学只参加一个节目），其中参加小品的同学人数与参加朗诵的同学人数之比是2：3，参加合唱的同学人数是参加朗诵的同学人数的2倍少3人，求参加小品、朗诵、合唱节目的同学各有多少人？ 26．碧沙岗公园是郑州市区内三大著名公园之一，也是郑州市历史最悠久的公园。园内有一条健康彩色步道，在比例尺为1：20000的地图上，量得彩色步道长7.5cm。彩色步道的实际长度是多少米？ 27．将一个底面积为6.28dm2，高为6dm的长方体铁块熔铸成底面半径为3dm的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？ 参考答案与试题解析 1．“金山银山不如绿水青山”。3月12日植树节，育才中学有三个班组织了植树活动，具体安排如下：甲班要植总数的40%，乙、丙两个班植树的棵数比是4：5。当甲班植了40棵树时，正好完成总数的。三个班分别植树多少棵？ 【考点】比的应用． 【答案】甲班72棵，乙班48棵，丙班60棵。 【分析】首先用甲班植树的棵数除以它占总数的分率，求出三个班植树的总数是多少；然后用它乘40%，求出甲班要植树多少棵；最后用乙、丙两个班一共植树的棵数分别乘、，求出乙、丙两个班各植树多少棵即可。 【解答】解：40÷＝180（棵） 180×40%＝72（棵） （180﹣72）× ＝108× ＝48（棵） （180﹣72）× ＝108× ＝60（棵） 答：甲班植树72棵，乙班植树48棵，丙班植树60棵。 【点评】此题主要考查了比的应用，以及分数乘法、分数除法的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）求一个数的几分之几是多少，用乘法解答。（2）已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。 2．学校图书馆购买了一批新书，借走本数与剩下本数的比是2：7，如果再借走64本，那么剩下的本数只有这批新书的。这批新书一共有多少本？ 【考点】比的应用． 【答案】360。 【分析】根据题意，可以知道借走本数与剩下本数的比是2：7，借走的本数占2份，剩下的本数占7份，把原来新书的本数看作是单位“1”，那么借走的占总本数的，剩下的就是1﹣＝，单位“1”是未知的，用除法计算，数量64对应的分率的（﹣），由此即可求出这批新书一共有多少本。 【解答】解：64÷（﹣） ＝64÷（﹣） ＝64÷ ＝360（本） 答：这批新书一共有360本。 【点评】此题考查分数四则复合应用题以及比的应用，找准单位“1”重点理解“借走本数与剩下本数的比是2：7，”，得出剩下的占总本数的，先求单位“1”的量，数量除以对应分率。 3．芒种是一个耕种忙碌的节气。这个时节，南方地区的入们忙着插秧种稻，北方地区的人们则忙着收麦。张伯伯家的麦子熟了，第一天收了所有麦子的30%，第二天收了530kg，这时已收的麦子和未收麦子的质量比约是4：1。张伯伯家一共大约可以收多少千克麦子？ 【考点】比的应用． 【答案】1060千克。 【分析】第二天收割530千克后已收的麦子和未收麦子的质量比约是4：1，即第二天收割完麦子后已收麦子质量占应收麦子质量的，用已收麦子质量占应收麦子质量的分率减去第一天收了所有麦子的百分数即是第二天收了所有麦子的分率，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，用第二天收割麦子的质量除以第二天收了全部麦子质量的分率即可求出张伯伯家一共可以收的麦子质量。 【解答】解：530÷（﹣30%） ＝530÷0.5 ＝1060（千克） 答：张伯伯家一共大约可以收1060千克麦子。 【点评】本题考查了比的应用。 4．随着国产榴莲的兴起，今年榴莲的价格比往年更为便宜。鲜果水果店进了一批广西榴莲，第一次运了总数的30%，如果再运150千克，这时已运的与剩下的质量之比是2：3，这批榴莲共有多少千克？ 【考点】比的应用． 【答案】1500千克。 【分析】根据题意，设这批榴莲共有x千克，已经运的榴莲数减去第一次运的质量就等于150千克，据此解答。 【解答】解：2+3＝5（份） x﹣30%x＝150 0.4x﹣0.3x＝150 0.1x＝150 x＝1500 答：这批榴莲共有1500千克。 【点评】此题考查了比的应用，要求学生能够掌握。 5．小娅家今年开了一家点心店，主营产品是点心和饮料。为了了解近五个月经营状况，她做了以下两幅统计图。 （1）2月份饮料销售额比点心少百分之几？ （2）5月份点心销售额是多少万元？ 【考点】扇形统计图；从统计图表中获取信息． 【答案】（1）30%；（2）2.6万元。 【分析】（1）用2月份点心的销售额减去饮料的销售额后除以点心的销售额即可求解； （2）通过左侧销售统计图计算可知，右侧扇形统计图从左到右，从上到下依次为1月、2月、3月、4月、5月的销售统计扇形图，根据5月的扇形统计图可知5月饮料销售额占点心和饮料销售额之和的75%，已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算，用5月饮料销售额7.8除以75%即可求出5月点心和饮料的销售额之和，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，用5月份点心和饮料的销售额之和乘点心销售额占5月点心和饮料的销售额之和的百分数即可求出5月饮料的销售额，据此计算。 【解答】解：（1）（5﹣3.5）÷5 ＝1.5÷5 ＝30% 答：2月份饮料销售额比点心少30%。 （2）7.8÷75%×25% ＝10.4×25% ＝2.6（万元） 答：5月份点心销售额是2.6万元。 【点评】本题考查了学生能读懂统计图并根据统计图解决问题的能力。 6．有一个圆柱形容器，它的底面直径是4分米，高是8分米，容器里装有的水，现将一个底面半径为2分米的圆锥放入其中（全部浸在水中），这时容器里的水位高度恰好为8分米，这个圆锥的高是多少分米？ 【考点】圆锥的体积；圆柱的体积． 【答案】6分米。 【分析】圆柱形容器内原来水面的高度是（8×）分米，放入圆锥后水面高度是8分米，水面上升了（8﹣8×）分米，上升的水的体积就是圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出上升的水的体积，再根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出圆锥的高。 【解答】解：3.14×（4÷2）2×（8﹣8×） ＝3.14×4×2 ＝25.12（立方分米） 25.12×3÷3.14÷22 ＝75.36÷3.14÷4 ＝6（分米） 答：这个圆锥的高是6分米。 【点评】灵活运用圆柱和圆锥的体积公式是解答本题的关键。 7．有两筐梨，甲筐梨的质量是32kg，从乙筐取出20%后，甲、乙两筐梨的质量比是4：3。原来甲、乙两筐梨共有多少千克？ 【考点】比的应用． 【答案】62千克。 【分析】先求出从乙筐取出20%后乙筐梨占甲筐梨的分率，然后将甲筐梨的质量看作单位“1”，用32千克乘所得的分率，求出乙筐梨取出20%后的质量；再除以（1﹣20%），可求出乙筐梨原有的质量，最后与甲筐梨的质量相加即可。 【解答】解：3÷4＝ 32×÷（1﹣20%） ＝24÷80% ＝30（千克） 32+30＝62（千克） 答：原来甲、乙两筐梨共有62千克。 【点评】本题考查了利用比的知识、分数及百分数乘除混合运算解决问题，需准确分析题目中的数量关系。 8．在比例尺是1：5000000的地图上，量得南京到北京两地相距18厘米，如果两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行55千米，乙车每小时行65千米，经过几小时相遇？ 【考点】比例尺应用题． 【答案】7.5小时。 【分析】先求两地的实际距离是多少千米，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”代入数值求出实际距离，然后根据相遇时间＝总路程÷（甲车的速度+乙车的速度），解答即可。 【解答】解：18÷＝90000000 （厘米） 90000000 厘米＝900米 900÷（55+65） ＝900÷120 ＝7.5（小时） 答：经过7.5小时相遇。 【点评】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者的关系式：比例尺＝图上距离÷实际距离，灵活变形列式解决问题。 9．新经济时代“直播带货”成为促进经济增长的有效途径。李叔叔将山里的水果通过直播的形式进行销售，直播销售量比线下销售量有了很大的提高。原来销售量是2000千克，现在销售量增加了540%。销售的桔子、苹果和柿子的重量比是1：4：5，现在的销售量中苹果有多少千克？ 【考点】比的应用． 【答案】5120千克。 【分析】根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，用原来的销售量乘（1+540%）计算出现在的销售量，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算表，用现在的销售量乘苹果销售量占桔子、苹果和柿子销售量的分率即可求解苹果销售量。 【解答】解：2000×（1+540%）× ＝2000×6.4× ＝5120（千克） 答：现在的销售量中苹果有5120千克。 【点评】本题考查了比的应用。 10．图书馆管理员张老师要为学校新购买的800本图书编号，周三已经完成编号任务的，剩下的任务要按2：3分在周四、周五两天完成，周五要为多少本图书编号？ 【考点】比的应用． 【答案】360本。 【分析】剩下的数量＝总数量×（1﹣），周五要编号数量＝剩下数量÷（2+3）×3，由此列式计算即可。 【解答】解：800×（1﹣） ＝800× ＝600（本） 600÷（2+3）×3 ＝600÷5×3 ＝360（本） 答：周五要为360本图书编号。 【点评】解决本题的关键是找出题中数量关系。 11．学校开展读书活动，小芳要在3天内看完一本120页的历史故事书。她第一天看了全书的40%，第二天与第三天看的页数比是5：4，她第二天看了多少页？ 【考点】比的应用． 【答案】40页。 【分析】把这本书的页数看作单位“1”，根据百分数乘法的意义，用这本书的页数乘（1﹣40%）就是剩下的页数。再把剩下的页数看作单位“1”，第二天看的页数占，根据分数乘法的意义，用剩下的页数乘，就是第二天看的页数。 【解答】解：120×（1﹣40%）× ＝120×60%× ＝72× ＝40（页） 答：第二天看了40页。 【点评】根据百分数乘法的意义求出看完第一天剩下的页数后，再把第二天看的页数与第三天看的页数的比化成分数，再根据分数乘法的意义解答。 12．一种稀释消毒液，用药液和水按1：200配制而成。要配制这种稀释消毒液603千克，需要药液多少千克？（用比例知识解答） 【考点】比例的应用． 【答案】3千克。 【分析】由“用药液和水按照1：200配制而成”可以看出，农药的浓度一定，那么药液和农药的质量的比值一定，所以药液和农药的质量成正比例，设需要药液x千克，利用药液和农药的比，列出比例解答即可。 【解答】解：设需要药液x千克， x：（603﹣x）＝1：200 200x＝603﹣x 201x＝603 x＝3 答：需要药液3千克。 【点评】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。 13．一家玩具厂要生产一批儿童玩具，已经生产了总个数的25%，如果再生产210个，已完成的个数与剩下的个数的比是3：2，这批儿童玩具共有多少个？ 【考点】比的应用． 【答案】600个。 【分析】设这批儿童玩具共有x个，根据已完成的个数与剩下的个数的比是3：2，据此列出比例式：（25%x+210）：（x﹣25%x﹣210）＝3：2，据此解比例即可解答。 【解答】解：设这批儿童玩具共有x个。 （25%x+210）：（x﹣25%x﹣210）＝3：2 （0.25x+210）：（0.75x﹣210）＝3：2 2（0.25x+210）＝3（0.75x﹣210） 0.5x+420＝2.25x﹣630 1.75x＝1050 x＝600 答：这批儿童玩具共有600个。 【点评】此题考查比的应用。解答的步骤是根据题意，理清数量关系，再设出未知数，根据比例关系列式，再解比例即可。 14．一本科技书，小明第一天看了全书的，第二天看了36页，两天看的页数与剩下页数的比是5：3，这本书共多少页？ 【考点】比的应用． 【答案】96页。 【分析】把全书的页数看作单位“1”，可知两天看的页数占它的，那么第二天看的页数占它的（﹣）；题目已知第二天看了36页，用第二天看的页数除以对应的分率，就能求出单位“1”的量。 【解答】解：第二天看的页数除以对应的分率； 36÷（﹣） ＝36÷（﹣） ＝36÷ ＝96（页） 答：这本书共96页。 【点评】这是一道有关分数的题目，解题的关键是找准单位“1”的量以及题目中的数量关系。 15．少林寺，又名僧人寺，有“禅宗祖廷，天下第一名刹”之誉，是中国汉传佛教禅宗祖庭。一场场武术盛宴是对中国武术文化的宣传和弘扬，令人肃然起敬。五一假期，实验小学的学生去参观少林寺，三年级去了15个小队，平均每队30人；四年级去了20个小队，平均每队30人。这两个年级平均每个年级去了多少人？ 【考点】平均数的含义及求平均数的方法． 【答案】525人。 【分析】总数量＝平均数×份数，据此分别求出三年级和四年级去的总人数，再将求得的总人数相加求和，用求得的和除以年级数量即可解答。 【解答】解：15×30+20×30 ＝450+600 ＝1050（人） 1050÷2＝525（人） 答：这两个年级平均每个年级去了525人。 【点评】解答此题的关键是掌握平均数的求法并能灵活运用平均数求法计算。 16．货车和客车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。已知货车与客车的速度比是2：3，两车在相遇后继续行驶，当客车行了全程的时，货车距离乙地还有126千米。甲、乙两地相距多少千米？ 【考点】比的应用． 【答案】270。 【分析】首先根据速度×时间＝路程，可得时间一定时，两车行驶的路程的比等于它们的速度的比；已知货车与客车的速度比是2：3，客车行了全程的，则货车行驶全程的路程为÷3×2＝；货车距离乙地还有126千米，货车未行驶的路程占全部路程的1﹣＝，则甲乙两地的距离即可求出。 【解答】解：货车行驶全程的路程：÷3×2＝ 甲乙两地的路程： 126÷（1﹣） ＝126÷ ＝126× ＝270（千米） 答：甲、乙两地相距270千米。 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系，根据速度×时间＝路程，可得时间一定时，两车行驶的路程的比等于它们的速度的比。 17．把一个高5分米的圆柱体底面平均分成若干个小扇形，然后再把圆柱体切开，拼成一个与它等底等高的长方体，长方体的表面积比圆柱体增加了60平方分米，原来圆柱体的表面积是多少平方分米？ 【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积． 【答案】414.48平方分米。 【分析】圆柱体底面平均分成若干扇形，切开后拼成一个与它等底等高的近似长方体，则比原来圆柱的表面积增加了2个以底面半径和高为长和宽的长方形的面的面积，因为圆柱的高是5分米，由此可以求出圆柱的底面半径是60÷2÷5＝6分米，再利用圆柱的表面积公式：圆柱的表面积＝2个底面积+侧面积，即可计算解答。 【解答】解：圆柱的底面半径是：60÷2÷5＝6（分米）， 圆柱的表面积是： 3.14×62×2+2×3.14×6×5 ＝3.14×72+3.14×60 ＝414.48（平方分米）； 答：这个圆柱的体积是414.48平方分米。 【点评】本题考查了圆柱的表面积，解决本题的关键是求出圆柱的底面半径。 18．学校篮球队女生人数是男生人数的，后来又增加了3名男生，这时女生与男生人数的比是3：4，学校篮球队原来有多少名学生？ 【考点】比的应用． 【答案】81名。 【分析】女生人数没变，看作单位“1”，男生人数原来是女生人数的，又增加了3名男生后，男生人数是女生人数的，则3名男生占女生人数的（﹣）。根据分数除法的意义，用3名除以（﹣）就是女生人数。再把原来总人数看作单位“1”，女生占总人数的，根据分数除法的意义，用女生人数除以就是学校篮球队原来的人数。 【解答】解：3÷（﹣）÷ ＝3÷÷ ＝36÷ ＝81（名） 答：学校篮球队原来有81名学生。 【点评】关键抓住女生人数不变，看作单位“1”，求出3名男生占女生人数的几分之几，用分数除法求出女生人数。 19．如图是我国古代的一种计量时间的仪器﹣﹣沙漏（又称沙钟）。上下是两个完全相同的圆锥形容器，其中一个完全装满细沙，单个圆锥形容器的高为9厘米，漏口每秒漏出细沙0.05立方厘米，漏完全部细沙用时30分钟，这个沙漏的底面积是多少平方厘米？ 【考点】圆锥的体积． 【答案】30。 【分析】已知漏完全部细沙用时30分钟（1800秒），漏口每秒漏出细沙0.05立方厘米，据此可以求出单个沙漏的体积，再根据圆锥的体积公式：V＝Sh，那么S＝V÷÷h，把数据代入公式解答。 【解答】解：30分钟＝1800秒 0.05×1800＝90（立方厘米） 90÷9 ＝90×3÷9 ＝270÷9 ＝30（平方厘米） 答：这个沙漏的底面积是30平方厘米。 【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 20．高铁是中国的一张名片，我国自主研制的“和谐号”动车组、“复兴号”动车组的速度比是5：7，“复兴号”动车组比“和谐号”动车组每小时多行驶100km，“复兴号”动车组每小时行驶多少千米？ 【考点】比的应用． 【答案】350千米。 【分析】“和谐号”动车组、“复兴号”高铁动车组的速度比是5：7，可以把“和谐号”动车组的速度看作5份，“复兴号”高铁动车组的速度看作7份，则“复兴号”高铁比“和谐号”动车速度多7﹣5＝2份。已知“复兴号”高铁比“和谐号”动车每小时多行100千米，用100除以2即可求出1份是多少千米，再乘7即可求出复兴号高铁每小时行多少千米。 【解答】解：7﹣5＝2 100÷2×7 ＝50×7 ＝350（千米） 答：复兴号高铁每小时行350千米。 【点评】本题考查比的应用。根据两种车的速度比，求出份数差，继而求出1份代表多少千米是解题的关键。 21．如图，圆柱形容器甲是空的，正方体容器乙中水深6.28厘米，将容器乙中的水全部倒入容器甲中，这时水深多少厘米？ 【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积． 【答案】8厘米。 【分析】分析题目，首先根据长方体的体积＝长×宽×高，列式计算可求出水的体积；接下来用水的体积除以圆柱的底面积，问题即可解答。 【解答】解：10÷2＝5（厘米） 10×10×6.28÷（3.14×52） ＝628÷78.5 ＝8（厘米） 答：这时水深是8厘米。 【点评】本题是一道关于体积计算方面的题目，解答本题的关键是掌握长方体与圆柱体积的计算公式。 22．中国春秋战国时期的《考工记》是世界上第一部关于手工艺的科技著作。聪聪在阅读时了解到：制作农具“锶（bó）”所需铜和锡的质量比是5：1。如果1件锶需要锡1640g，需要铜多少克？（用方程解答） 【考点】比的应用． 【答案】8200克。 【分析】根据题意，设需要铜是x克，根据铜和锡的质量比是5：1可得x：1640＝5：1，然后根据比例的基本性质求出x的值。 【解答】解：设需要铜x克。 x：1640＝5：1 x＝1640×5 x＝8200 答：需要铜8200克。 【点评】解答此题的关键是找到数量之间的等量关系。 23．甲、乙两车同时相对而行，甲车行全长需8小时，乙车每小时56千米，相遇时，甲、乙两车所行的路程之比是3：4，这时乙车行了多少千米？ 【考点】比的应用． 【答案】192千米。 【分析】两车相遇时，所行的距离之比就是速度之比。把乙车的速度看作单位“1”，则甲车的速度是乙画的，根据分数乘法的意义，用乙画的速度乘就是甲车的速度。根据“路程＝速度×时间”即可求出两地的距离。再把两地的距离看作单位“1”，相遇时乙车行的距离占，根据分数乘法的意义，用两地的距离乘就是乙车行的路程。 【解答】解：56××8× ＝42×8× ＝336× ＝192（千米） 答：这时乙车行了192千米。 【点评】关键之一是明白：两车相遇时，所行的距离之比就是速度之比。关键之二是：把比转化成分数，根据分数乘法的意义求出甲车的速度，进而求出两地的距离。 24．一本科技书，小明第一天看了全书的，第二天又看了42页，这时已看的页数与剩下页数的比是2：3。小明第一天看了多少页？ 【考点】比的应用． 【答案】70页。 【分析】把这本书的页数看作单位“1”，小明第一天看了全书的，第二天又看了42页，这时看了总页数的，则42页占总页数的（﹣）。根据分数除法的意义，用42页除以（﹣）就是这本书的页数。再根据分数乘法的意义，用总页数乘就是第一天看的页数。 【解答】解：42÷（﹣）× ＝42÷（﹣）× ＝42÷× ＝280× ＝70（页） 答小明第一天看了70页。 【点评】关键是把比转化成分数，进而求出42页占总页数的几分之几，根据分数除法的意义求出总页数，再根据分数乘法的意义，求出第一天看的页数。 25．某校在庆六一活动中，六年级有41位同学分别参加小品、朗诵、合唱节目（每位同学只参加一个节目），其中参加小品的同学人数与参加朗诵的同学人数之比是2：3，参加合唱的同学人数是参加朗诵的同学人数的2倍少3人，求参加小品、朗诵、合唱节目的同学各有多少人？ 【考点】比的应用． 【答案】8人，12人，21人。 【分析】设参加朗诵的同学有x人，则参加小品的同学有x人，参加合唱的同学有（2x﹣3）人，参加三种节目的人数共41人，据此列方程解答。 【解答】解：设参加朗诵的同学有x人. 2：3＝ x+x+（2x﹣3）＝41 x﹣3＝41 x﹣3+3＝41+3 x÷＝44÷ x＝12 当x＝12时，x＝×12＝8，2x﹣3＝2×12﹣3＝21。 答：参加小品节目的同学有8人，参加朗诵节目的同学有12人，参加合唱节目的同学有21人。 【点评】解答本题需准确分析题目中的数量关系和等量关系，灵活利用比的知识和方程解决问题。 26．碧沙岗公园是郑州市区内三大著名公园之一，也是郑州市历史最悠久的公园。园内有一条健康彩色步道，在比例尺为1：20000的地图上，量得彩色步道长7.5cm。彩色步道的实际长度是多少米？ 【考点】比例尺应用题． 【答案】1500米。 【分析】根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算即可。 【解答】解：7.5÷＝150000（厘米） 150000厘米＝1500米 答：彩色步道的实际长度是1500米。 【点评】此题有计算公式可用，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论。 27．将一个底面积为6.28dm2，高为6dm的长方体铁块熔铸成底面半径为3dm的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？ 【考点】圆锥的体积． 【答案】4分米。 【分析】先依据长方体的体积的计算方法，求出这块铁块的体积，再据铁块的体积不变，得到圆锥体铁块的体积，从而利用圆锥体体积公式，即可求出圆锥的高。 【解答】解：6.28×6×3÷[3.14×32] ＝113.04÷28.26 ＝4（分米） 答：圆锥的高是4分米。 【点评】此题主要考查长方体和圆锥体体积计算公式的灵活应用，关键是明白：这块铁的体积不变。 学科网（北京）股份有限公司 $$