2024届新高考I卷地区高三数学模拟题题型细分2-8——立体几何 单选填空4 外接球基础

2024年全国一卷新高考题型细分2-8 ——立体几何 单选填空4 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《立体几何_——单选填空》主要分类有： 多面体体积、表面积，旋转体体积、表面积，线面关系判断，截面，线线角、线面角、二面角，点点距离、长度，点面距离，线线距离，外接球基础，外接球中下，外接球中档，内切球，球截面，球的体积，表面积，球缺，其他球相关，点线距离等，轨迹，最短路径，综合，拓展，其他，中档，中上等，大概226道题。 外接球——基础： 1. （2024年冀J01某市一模）6. 2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早是外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点，满足平面，若的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为（ [endnoteRef:2] ） A. B. C. D. （基础） [2: 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，确定三棱锥的外接球球心，用线段长表示出球半径，再借助均值不等式求解作答. 【详解】在三棱锥中，因为平面ABC，平面， 则， 而，平面，因此平面， 又平面，于是， 取中点，连接，从而， 则点是三棱锥的外接球球心，如图， 设该外接球半径为， 则， 当且仅当时取等号，因此三棱锥的外接球表面积， 所以制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再求出球的半径即可. ] 2. （2024年鄂J15十一校二联考）13. 在矩形中，，，分别是的中点，将四边形沿折起使得二面角的大小为90°，则三棱锥的外接球的表面积为[endnoteRef:3]______． （基础） [3: 【答案】 【解析】 【分析】将三棱锥补形成长方体，将问题转化成求长方体的外接球，再利用长方体外接球直径即长方体体对角线长，即可求出结果. 【详解】由题意，可将三棱锥补形成长方体，则长方体外接球也即三棱锥的外接球， 设长方体外接球半径为R，则，得到， 所以， 故答案为：. ] 3. （2024年湘J29邵阳二联考）6. 已知三棱锥中，平面，，则此三棱锥外接球的表面积为（ [endnoteRef:4] ） A. B. C. D. （基础） [4: 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理求得的外接圆的半径，再由球的截面的性质，求得外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】因为三棱锥中，平面，， 设底面的外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为， 由正弦定理得，可得 所以， 则外接球的表面为. 故选：B. ] 4. （2024年鲁J01滨州一模，末）8. 已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为（[endnoteRef:5] ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24（基础） [5: 【答案】C 【解析】 【分析】由已知求出多面体外接球的半径，设，把棱锥体积用含有的代数式表示，再由基本不等式求最值． 【详解】在直三棱柱中，所以为直角三角形， 则外接圆的圆心为斜边的中点，同理外接圆的圆心为斜边的中点，如图， 直三棱柱外接球的直径为，外接球的半径， 设上下底面的中心分别为，，连接，则外接球的球心为的中点， 连接，则， 设，所以，则， 在中，，则， 该棱柱的体积． 当且仅当，即时等号成立． 故选：C． ] 5. （2024年闽J05莆田二检）4. 柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（ [endnoteRef:6] ） A. B. C. D. （基础） [6: 【答案】D 【解析】 【分析】根据正八面体的几何特点求得该几何体的球心，再由球的体积计算公式求得球半径，结合球半径和棱的关系，以及三角形面积计算公式，即可求得结果. 【详解】根据题意，作正八面体如下所示，连接，设， 根据其对称性可知，过点， 又该八面体为正八面体，则面，又面，故； 显然正八面体的外接球球心为，设其半径为，， 则，在直角三角形中，； 由可得，则； 故该八面体的表面积. 故选：D. ] 6. （2024年鄂J12三校二模，末）14. 已知空间四面体满足，则该四面体外接球体积的最小值为[endnoteRef:7]______．（基础） [7: 【答案】 【解析】 【分析】设分别为的中点，连接，结合三角形全等可证是线段的垂直平分线，同理可证是线段的垂直平分线，故而判断球心在上，由三角形两边之和大于第三边可得的范围，结合图形判断球心的位置以及半径，从而求出结果. 【详解】设分别为的中点，连接， 由已知，，故，因为是的中点，所以， 因为为的中点，故，即是线段的垂直平分线； 同理可得，是线段的垂直平分线，故球心在上， 设球的半径为，球心为，则，即，故， 此时为线段的中点，且，故所求外接球体积的最小值为． 故答案为： ] 7. （2024年粤J126广东三模）8．在半径为的半球内放入一个正四棱柱，使得正四棱柱上底面的四个顶点位于半球面上，下底面与半球的大圆面重合，则正四棱柱体积的最大值为（   [endnoteRef:8] ） A． B． C． D． （涉后导数）（外接球，基础） [8: 8．D 【分析】设出正四棱柱的高，结合球面的性质求出正四棱柱的体积的函数式，再利用导数求出最大值即可. 【详解】显然正四棱柱上底面正方形为与半球底面平行的截面圆的内接正方形， 设正四棱柱的高为，则正四棱柱上底面外接圆半径，上底面边长为， 因此正四棱柱体积，显然， 求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，所以正四棱柱体积的最大值为. 故选： 【点睛】关键点点睛：设出正四棱柱的高，把正四棱柱的体积表示成高的函数关系是解决问题的关键. ] 8. （2024年湘J48长沙长郡四适）14．“迪拜世博会”上，中国馆取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．某人制作了一个中国馆的实心模型，模型可视为内外两个同轴圆柱组成．已知内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上，此模型的体积 为[endnoteRef:9] ． （外接球，基础） [9: 14．912 【分析】由题意，实心模型由两个圆柱构成，实心模型的体积内层圆柱的体积外层几何体的体积，利用圆柱与球的几何性质，求出内层圆柱的体积和外层圆柱的体积，从而求出外层几何体的体积，求出模型的体积． 【详解】解：由题意可知，实心模型由两个圆柱构成， 实心模型的体积内层圆柱的体积外层几何体的体积， 因为内层圆柱的底面直径，所以， 所以内层圆柱的底面积为， 外层底面直径为，所以， 所以外层的底面面积为， 又内外层的底面圆周都在一个直径为的球上，即， 如图，以内层圆柱为例， 因为内层圆柱的底面圆周在球面上， 所以球心与内层圆柱的底面圆心的连线垂直于底面圆，即， 所以， 根据球的对称性可得，内层圆柱的高为， 所以内层圆柱的体积为， 同理可得，外层圆柱的高为， 所以外层圆柱的体积为， 由题意可得，外侧几何体的体积等于外层圆柱体的体积减去高为12的内层圆柱体的体积， 故， 所以该几何体的体积为． 故答案为：． ] 9. （2024年浙J02嘉兴一中一模）15. 半径为R的球的内接正三棱柱的侧面积（各侧面面积之和）的最大值为[endnoteRef:10]______．（外接球，基础） [10: 【答案】 【解析】 【分析】画出图象，设出底面边长和高，求得底面正三角形的外接圆半径，利用球的半径列方程，求得底面边长和高的关系式，求得正三棱柱的侧面积的表达式，利用基本不等式求得其最大值. 【详解】如图所示， 设正三棱柱上下底面的中心分别为. 底面边长与高分别为，则， 在中，，化为， 因为，， 当且仅当时取等号，此时正三棱柱的侧面积的最大值为. 故答案为：. ] 10. （2024年粤J27深圳一调）6. 小明将与等边摆成如图所示的四面体，其中，，若平面，则四面体外接球的表面积为（ [endnoteRef:11] ） A. B. C. D. （基础） [11: 【答案】C 【解析】 【分析】过，的外心作所在平面的垂线，所得交点即为球心，结合勾股定理即可求出半径. 【详解】中，取中点，则为的外心， 在等边中取重心， 也为的外心， 取中点，连接， 过，的外心作所在平面的垂线， 所得交点即为外接球的球心， 则，平面，则平面， 则， ，平面，平面， ，，平面， 则平面，所以， 故为矩形， 则， ， 则 则外接球的表面积为. 故选：C ] 11. （2024年鲁J06潍坊一模，末）8. 已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为（ [endnoteRef:12] ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24（基础） [12: 【答案】C 【解析】 【分析】由已知求出多面体外接球的半径，设，把棱锥体积用含有的代数式表示，再由基本不等式求最值． 【详解】在直三棱柱中，所以为直角三角形， 则外接圆的圆心为斜边的中点，同理外接圆的圆心为斜边的中点，如图， 直三棱柱外接球的直径为，外接球的半径， 设上下底面的中心分别为，，连接，则外接球的球心为的中点， 连接，则， 设，所以，则， 在中，，则， 该棱柱的体积． 当且仅当，即时等号成立． 故选：C． ] 12. （2024年苏J35南京二模）6．在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（ [endnoteRef:13]   ） A． B． C． D．（基础） [13: 6．C 【分析】令外接球的半径为，作出图象，求出圆台的母线，即可求出圆台的侧面积，再求出球的表面积，即可得解. 【详解】令外接球的半径为，依题意，，， 过点作，则，所以， 又，所以， 所以圆台的侧面积， 球的表面积， 所以圆台的侧面积与球的表面积之比为. 故选：C ] 13. （2024年粤J127汕头二模）7．已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，且，，则球的表面积为（  [endnoteRef:14]  ） A． B． C． D．（基础） [14: 7．D 【分析】把三棱锥补成一个长方体，得到长方体的外接球即是三棱锥的外接球，结合长方体的对角线长，求得外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，， 且，， 把三棱锥补成一个长方体，如图所示： 所以长方体的外接球即是三棱锥的外接球， 因为，，可得长方体的外接球的半径为， 所以球的表面积为， 故选：D． ] 14. （2024年湘J49长沙长郡三模）6．已知三棱锥的外接球的体积为，平面，，，则三棱锥的体积为（ [endnoteRef:15]   ） A． B． C． D．（基础） [15: 6．A 【分析】由题意设三棱锥外接球的半径为，由解出，再由余弦定理解出 ，设外接圆半径，解出并求出，进而解出三棱锥体积即可. 【详解】设三棱锥外接球的半径为，则，解得； 因为，， 所以， 设外接圆的半径为，则，所以， 故，所以， 所以三棱锥的体积为. 故选：A. ] 15. （2024年鲁J42青岛二适）6．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（  [endnoteRef:16]  ） A． B． C． D．（基础） [16: 6．C 【分析】利用圆柱及球的特征计算即可. 【详解】由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为， 则，故该球的表面积为. 故选：C ] 16. （2024年鲁J30泰安二模）8．已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（[endnoteRef:17]    ） A． B． C． D．（基础） [17: 8．B 【分析】记球心为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，的中点为，证明为矩形，然后求出，，由勾股定理可得外接球半径，再由球的表面积公式可得. 【详解】记球心为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，的中点为. 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 由球的性质可知，平面， 所以，同理，所以四边形为矩形， 因为，所以，， 所以， 所以外接球的表面积为. 故选：B ] 17. （2024年冀J27名校联盟三模）7．已知三棱锥，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（[endnoteRef:18]    ） A．1 B．2 C．3 D．4（基础） [18: 7．B 【分析】利用正弦定理求出外接圆的半径，根据球的表面积求出球的半径，再由平面，则求出，最后根据锥体的体积公式计算可得. 【详解】因为，，所以， ， 设外接圆的半径为，则，即， 设三棱锥外接球的半径为，，解得（负值已舍去）； 因为平面，所以，即，解得（负值已舍去）； 所以. 故选：B ] 18. （2024年冀J47唐山二模）5．已知长方体的一条棱长为2，体积为16，则其外接球表面积的最小值为（ [endnoteRef:19]   ） A． B． C． D．（基础） [19: 5．C 【分析】由长方体的体积求出，再由基本不等式可求出，再由球的表面积公式计算得到答案. 【详解】设长方体的长、宽、高分别为， 所以长方体的体积为，解得：， 设长方体的外接球的半径为， 所以，即， 即，当且仅当时取等， 所以， 所以其外接球表面积的最小值为. 故选：C. ] 19. （2024年粤J04顺德二检）14. 已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则___[endnoteRef:20]___．（基础） [20: 【答案】 【解析】 【分析】由几何关系求出外接球和棱切球半径，再由球的表面积公式求出表面积，最后求出比值. 【详解】 设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心， 则外接球的半径，， 所以， 因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径， 所以. 故答案为： ] 20. （2024年鲁J02荷泽一模）12. 如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为_[endnoteRef:21]_________．（基础） [21: 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，找到球心的位置，求出外接球半径，得到外接球表面积. 【详解】连接，取的中点，连接， 则外接球球心在直线上，设球心为，如图所示，则， 则⊥平面， 因为正四棱台中，，， 故，所以， 设四棱台的高为， 故，解得， 故， 设，则， ， 故，解得， 故半径， 故该棱台外接球的表面积为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ] 21. （2024年浙J09温州中学一模）15. 直三棱柱的底面是直角三角形，，，，．若平面将该直三棱柱截成两部分，将两部分几何体组成一个平行六面体，且该平行六面体内接于球，则此外接球表面积的最大值为[endnoteRef:22]______．（基础） [22: 【答案】 【解析】 【分析】可能是的中垂面，的中垂面，的中垂面.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体,用公式求出外接球直径进而求解. 【详解】平行六面体内接于球，则平行六面体为直四棱柱，如图有如下三种可能. 截下的部分与剩余的部分组合成为长方体，则 或 或， 所以． 故答案为： ] 22. （2024年浙J09温州中学一模）4. 三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（[endnoteRef:23] ） A. B. C. D. （基础） [23: 【答案】B 【解析】 【分析】首先作图构造外接球的球心，再根据几何关系求外接球的半径，最后代入三棱锥外接球的表面积公式. 【详解】如图，点为外接圆的圆心，过点作平面的垂线， 点为的中点，过点作线段的垂线，所作两条垂线交于点， 则点为三棱锥外接球的球心， 因为平面，且为等边三角形，， 所以四边形为矩形，，， 所以，即三棱锥外接球的半径， 则该三棱锥外接球的表面积为. 故选：B ] 23. （2024年冀J05唐山一模）7. 已知球与圆台的底面、侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为，则球表面积与圆台侧面积之比为（ [endnoteRef:24] ） A. 2：3 B. 3：4 C. 7：8 D. 6：13（基础） [24: 【答案】B 【解析】 【分析】作出圆台的轴截面，利用切线长定理可得母线与半径的关系；结合60°可得圆台的上下半径以及球的半径的关系，即可利用面积公式求解. 【详解】设圆台上下底面圆的半径为，母线为球的半径为 取圆台的轴截面，则四边形为等腰梯形， 圆台的外接球球心为，则球心在截面内， 在截面内，设圆切梯形的边、、、分别于点、、、， 由切线长定理可得，，故，即； 由于,所以，解得 ； 故选：B． ] 24. （2024年闽J24漳州四检）14．在矩形中，为的中点，将沿折起，把折成，使平面平面，则三棱锥的外接球表面积为[endnoteRef:25] . （基础） [25: 14． 【分析】利用勾股定理逆定理证明，由面面垂直的性质得到平面，求出外接圆的半径，设三棱锥的外接球的半径为，则，最后由球的表面积公式计算可得. 【详解】因为，，为的中点， 则有，， 所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面. 所以平面， 又为等腰直角三角形，所以其外接圆的半径， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是证明平面，再由直棱锥的外接球的模型计算外接球的半径. ] 25. （2024年浙J30嘉兴二模）14．在四面体中，，且与所成的角为.若四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为[endnoteRef:26] .（基础） [26: 14．3 【分析】根据题意，将四面体补形为直三棱柱，设，由求得，在中，勾股定理得，由余弦定理可得，结合基本不等式求解. 【详解】依题意，可将四面体补形为如图所示的直三棱柱，因为与所成的角为， 所以或，设，外接球半径记为， 外接球的球心如图点. 易知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， ，得， 在中，， 在中，由余弦定理得， 所以当时，外接球的半径会更小. 所以， 所以， 所以. 故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：本题关键是将求四面体补形为直三棱柱，转化为求直三棱柱外接球半径的最小值. ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$