2024届新高考I卷地区高三数学模拟题题型细分2-8——立体几何 单选填空1 体积，表面积

2024年全国一卷新高考题型细分2-8 ——立体几何 单选填空1 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《立体几何_——单选填空》主要分类有： 多面体体积、表面积，旋转体体积、表面积，线面关系判断，截面，线线角、线面角、二面角，点点距离、长度，点面距离，线线距离，外接球基础，外接球中下，外接球中档，内切球，球截面，球的体积，表面积，球缺，其他球相关，点线距离等，轨迹，最短路径，综合，拓展，其他，中档，中上等，大概226道题。 多面体体积、表面积： 1. （2024年粤J42江门一模）13. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有_____________个面；若被截正方体的棱长是60cm，那么该几何体的表面积是[endnoteRef:2]________cm2.（基础） [2: 【答案】 ①. 14 ②. 【解析】 【分析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；再根据面积公式即可求出表面积. 【详解】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形， 再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面； 如果被截正方体的棱长是，那么石凳的表面积是 . 故答案为：14，. ] 2. （2024年冀J10承德二模）3. 生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体，其中四边形与都为等腰梯形，为平行四边形，若面，且，记三棱锥的体积为，则该五面体的体积为（[endnoteRef:3] ） A. B. C. D. （基础） [3: 【答案】C 【解析】 【分析】将五面体分割成三个三棱锥，通过选择适当定点可得其体积关系，然后可得五面体体积. 【详解】因为为平行四边形，所以，所以. 记梯形的高为，因为，所以， 所以， 所以该五面体的体积. 故选：C ] 3. （2024年粤J125新会华侨二模）5．在四面体ABCD中，平面平面BCD，，且，则四面体ABCD的体积为（[endnoteRef:4]    ） A．2 B．6 C． D．（基础） [4: 5．C 【分析】根据面面垂直可得线面垂直，结合等腰三角形可知四面体的高，进而可得体积. 【详解】如图所示， 取的中点，连接， 因为，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面， 因为，，所以， 又， 所以四面体的体积， 故选：C. ] 4. （2024年粤J124广州天河三模）7．已知斜三棱柱中，O为四边形对角线的交点，设四棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则（  [endnoteRef:5]  ） A． B． C． D．（基础） [5: 7．B 【分析】先过O往上、下底面作高，然后把体积比通过割补法转化即可. 【详解】设点O到底面、的距离分别是, 三棱柱的高为,且, ∴, ∴， 故选:B. ] 5. （2024年鄂J22黄石二中三模）6．已知三棱锥的底面是边长为3的正三角形，且，，，则三棱锥的体积为（   [endnoteRef:6] ） A． B． C． D．（基础） [6: 6．D 【分析】取的中点，利用给定条件证明平面，再利用锥体的体积公式计算即得. 【详解】在三棱锥中，取的中点，连接，则， 正的边长为3，，，， 于是，显然，则，有， 而平面，则有平面，又平面， 则，而平面，因此平面， ，， 所以三棱锥的体积为. 故选：D ] 6. （2024年苏J02前黄一模）4. 如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为，每个四棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（[endnoteRef:7] ） A. B. C. D. （基础） [7: 【答案】C 【解析】 【分析】设每个直三棱柱高为，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为，设正四棱台的高为，可得出，求出的值，即可求得该正四棱台的体积. 【详解】设每个直三棱柱高为，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为， 设正四棱台的高为，因为每个直三棱柱的体积为，每个四棱锥的体积为， 则，可得，可得， 所以，该正四棱台的体积为. 故选：C. ] 7. （2024年浙J40台州二评）7．房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长方体的规格为，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到，，三种不同规格的长方体.按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得到体积为165cm³的不同规格长方体的个数为（  [endnoteRef:8]  ） A．8 B．10 C．12 D．16（基础） [8: 7．B 【分析】根据原长方体体积与得到的体积为165cm³长方体的关系，分别对长宽高进行减半，利用分类加法计数原理求解即可. 【详解】由题意，，为得到体积为的长方体， 需将原来长方体体积缩小为原来的， 可分三类完成：第一类，长减半3次，宽减半3次、高减半3次，共3种； 第二类，长宽高各减半1次，共1种； 第三类，长宽高减半次的全排列种， 根据分类加法计数原理，共种. 故选：B ] 8. （2024年浙J41天域二模）3．在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为（[endnoteRef:9]    ） A． B． C． D．（中下） [9: 3．C 【分析】先计算出三棱台的上下底面的面积，再根据底面边长与侧棱长求解三棱台的高，进而计算出三棱台的体积． 【详解】正三棱台中，已知，， 所以的面积为，的面积为， 设，分别是，的中心， 设，分别是，的中点， ，，三点共线，，，三点共线， ，， ，， ， 过作，垂足为，则， ， 三棱台的高为， 三棱台的体积为． 故选：C． ] 9. （2024年粤J104名校一联考）7. 若在长方体中，．则四面体与四面体公共部分的体积为（ [endnoteRef:10] ） A. B. C. D. （中下） [10: 【答案】A 【解析】 【分析】设，平面，可知四面体与四面体公共部分为四面体，建系，利用空间向量分析可知为的重心，进而根据体积关系运算求解. 【详解】设，平面， 可知四面体与四面体公共部分为四面体， 以D为坐标原点，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设， 则， 因为，则，解得， 可得，即， 在中，结合为的中点，可知为的重心，则， 所以四面体的体积. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知公共部分，利用空间向量的相关知识确定点的位置，即可得结果. ] 10. （2024年湘J45长沙一中一模）6．如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（  [endnoteRef:11]  ） A． B． C． D．（中下） [11: 6．A 【分析】找到水最多和水最少的临界情况，如图分别为多面体和三棱锥，从而可得出答案. 【详解】将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形， 则如图，水最少的临界情况为，水面为面， 水最多的临界情况为多面体，水面为， 因为， ， 所以，即. 故选：A. ] 11. （2024年浙J24金华一中，末）8. 如图，已知多面体的底面与顶面平行且均为矩形.若，，则该多面体的体积为（[endnoteRef:12] ） A. B. 37 C. D. 47（中下） [12: 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合体的体积公式计算即可. 【详解】 如图所示，设在底面的投影分别为， 延长分别交底面矩形于两点，延长交于两点， 由条件易得， 所以几何体的高为， 该几何体的体积可分割为两个几何体的体积 加两个几何体的体积再加长方体的体积. 易得， 同理， ， 故该几何体体积为：. 故选：C ] 12. （2024年浙J20丽湖衢二模，末）14. 已知正四面体的棱长为1，若棱长为的正方体能整体放入正四面体中，则实数的最大值为[endnoteRef:13]__________.（中下） [13: 【答案】 【解析】 【分析】根据正四面体、正方体的结构特征，可得棱长最大的正方体一底面在正四面体的底面正三角形内，正方体中与这个底面相对的正方形为该正方形所在平面截正四面体所得正三角形的内接正方形，再利用正四面体的结构特征计算即得. 【详解】依题意，由正四面体及正方体的几何特征知，要使放入的正方体最大，则正方体的一个底面在正四面体的一个底面内， 令是正的中心，则底面，而，则， 不妨令放入的正方体的底面在正四面体在内，则正方体中与这个底面相对的 底面正方形所在平面截正四面体所得截面是正三角形， 且这个正方形是正的内接正方形，于是， 显然三棱锥是正四面体，与平面的交点是正的中心， 于是，显然，因此， 解得，所以实数的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：涉及几何体的内接几何体问题，熟悉相关联的两个几何体的结构特征是解决问题的关键. ] 13. （2024年粤J112广州综合）4. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（ [endnoteRef:14] ） A. B. C. D. （中下） [14: 【答案】B 【解析】 【分析】根据正棱台的几何特点，结合已知条件，求得棱台的高，再求棱台体积即可. 【详解】对正四棱台，连接，取中点分别为，连接，如下所示： 因为为正四棱台，则四边形均为正方形，且垂直于上下底面，， 易知//，，故四边形为平行四边形，则//，且， 因为，则，又，且， 由，即，解得； 由面，面，则； 则， 又正方形的面积为，正方形的面积为， 故正四棱台的体积. 故选：B ] 14. （2024年粤J133江门开平忠源）14．已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，则这个四棱台的表面积为 [endnoteRef:15] ．（中下） [15: 14． 【分析】利用正四棱台体积公式得到正四棱台的高，进而由勾股定理可得斜高，从而求得各面积，由此得解. 【详解】如图所示：设分别为底面的中心，分别为的中点，且有，    设正四棱台的上底面面积、下底面面积、侧面积分别为、、， 由，即得，，所以，， 又及， 所以有，解得. 由勾股定理可得斜高， 所以，从而. 故答案为：. ] 15. （2024年冀J29邢台二模）13．如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为 [endnoteRef:16] ． （涉后导数） （中下） [16: 13． 【分析】根据已知条件设、，由此可得，对函数求导，根据导数判断函数的单调性，求得最值即可. 【详解】由题意设，因为面积为，所以， 根据题意有：， 所以， 则长方体的体积为， ，令，有， 所以时，，函数在上单调递增， 时，，函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为. 故答案为： ] 16. （2024年粤J35中山一中二调）15. 若正四棱台的上、下底边长分别为2、4，侧面积为，则该棱台体积为_[endnoteRef:17]_________.（中下） [17: 【答案】## 【解析】 【分析】作出正棱台的图象，结合其侧面积求得正四棱台的斜高，再利用棱台体积公式即可得解. 【详解】由题意，正四棱台上、下底面的边长分别为， 可得上、下底面面积为， 如图所示，取上、下底面正方形的中心分别为，再取分别为的中点， 分别连接，过点作， 因为该正四棱台的侧面积为，易得为等腰梯形的高， 所以，解得， 在中，可得， 则该正四棱台的高为， 所以该棱台的体积为. 故答案为：. ] 17. （2024年粤J102韶关二测）14. 在三棱锥中，侧面所在平面与平面的夹角均为，若，且是直角三角形，则三棱锥的体积为_[endnoteRef:18]_____．（中档） [18: 【答案】或或或 【解析】 【分析】过作面于，过作，根据题设可得，，分为三角形的内心或旁心讨论，设，利用几何关系得到，再根据条件得到在以为焦点的椭圆上，再利用是直角三角形，即可求出结果. 【详解】如图，过作面于，过作， 因为面，面，所以，又，面， 所以面，又面，所以，故为二面角的平面角， 由题知，，同理可得， 当在三角形内部时，由，即为三角形的内心， 设，则，得到，所以， 三棱锥的体积为； 又因为，所以点在以为焦点的椭圆上， 如图，以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则， 由题知，椭圆中的，所以椭圆的标准方程为， 设，因为是直角三角形， 当时，易知，此时，所以，得到， 当时，易知，此时，所以，得到， 又因为，故以为圆心，为半径的圆与椭圆没有交点，即， 综上所述，； 同理，当在三角形外部时，由，即为三角形的旁心， 设，则，得到， 所以，三棱锥的体积为； 或，得到， 所以，三棱锥的体积为； 或，得到， 所以，三棱锥的体积为. 故答案为：或或或. 【点睛】关键点点晴：本题的关键点在于，设出后，得出，再将问题转化到以为焦点的椭圆上来求的面积，即可解决问题. ] 18. （2024年浙J31五校联考）14．已知正三角形ABC的边长为2，中心为O，将绕点O逆时针旋转角，然后沿垂直于平面ABC的方向向上平移至，使得两三角形所在平面的距离为，连接，，，，，，得到八面体，则该八面体体积的取值范围为[endnoteRef:19] ． （中档） [19: 14． 【分析】将八面体转换成四个三棱锥的体积之和，结合三角函数的值域即可得解. 【详解】先证明一个引理：如图所示，在三棱柱中，，三棱柱的高为，则三棱锥的体积为. 引理的证明如下： ，引理得证. 事实上上述引理等价于，若三棱锥满足，，异面直线所成夹角为，且异面直线之间的距离为，则三棱锥的体积为. 从而由上述引理有 ． 若，则，从而的取值范围是， 的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于对八面体的适当划分，结合体积公式以及引理即可顺利得解. ] 旋转体体积、表面积： 19. （2024年闽J12福州三检）13．某圆锥的体积为，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线长为[endnoteRef:20]______．（基础） [20: 2; 解析：设该圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，根据侧面展开图为半圆得， 即，又根据圆锥体积得，解得，，故应填2． ] 20. （2024年鄂J03武汉二联）3. 陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（ [endnoteRef:21] ） A. B. C. D. （基础） [21: 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆锥的底面半径，根据圆锥以及圆柱的体积公式，即可求得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为r，则，高为， 故圆锥的体积为， 圆柱的底面半径也为，母线长也即高为4， 则圆柱的体积为， 故几何体的体积为， 故选：C ] 21. （2024年冀J35部分中学评估）4．已知中，C为直角，若分别以边CA，CB，AB所在的直线为轴旋转一周，得到几何体的体积为，，，则（    [endnoteRef:22]） A． B． C． D．（基础） [22: 4．A 【分析】借助锥体体积公式计算即可得. 【详解】设，，则由题意得，， ， 所以，，. 故选：A． ] 22. （2024年粤J129佛山二模）3．某圆锥高为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为（ [endnoteRef:23]   ） A． B． C． D．（基础） [23: 3．A 【分析】求出该圆锥底面圆的半径为r，再利用勾股定理求出母线长，代入表面积公式求解即可. 【详解】由圆锥高为，母线与底面所成的角为，得圆锥底面圆半径， 母线，所以圆锥的表面积. 故选：A ] 23. （2024年粤J120大湾区二模）3．某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为，则该圆台的体积为（ [endnoteRef:24]   ） A． B． C． D．（基础） [24: 3．A 【分析】先求出圆台的高，再由圆台的体积公式求出即可. 【详解】设圆台的母线长为l，高为h， 因为圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，母线， 因此圆台的高为， 所以圆台的体积为. 故选：A ] 24. （2024年冀J02某市二模）4. 已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为（ [endnoteRef:25] ） A. B. C. D. （基础） [25: 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台侧面积的计算公式，结合已知条件，直接求解即可. 【详解】设上下底面圆半径分别为，母线长为， 则圆台侧面积. 故选：C. ] 25. （2024年浙J07金丽衢二联）12. 己知圆柱的轴截面面积为4，则该圆柱侧面展开图的周长最小值为_[endnoteRef:26]_________.（基础） [26: 【答案】 【解析】 【分析】将圆柱的母线长和底面圆半径分别设为，根据已知和基本不等式求出侧面展开图面积的最小值. 【详解】设圆柱的母线长和底面圆半径分别设为，根据已知得， 由题意可得圆柱侧面展开图的周长可以表示为， 当且仅当时，即，时等号成立. 故答案： ] 26. （2024年浙J06金丽衢一联）13. 已知圆台的上下底面半径分别是1，4，且侧面积为，则该圆台的母线长为[endnoteRef:27]__________．（基础） [27: 【答案】2 【解析】 【分析】利用圆台侧面积公式求解即可. 【详解】设母线长度为，由圆台侧面积公式得， 解得，故圆台母线长度为2. 故答案为：2 ] 27. （2024年湘J34长郡二适）4. 蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐､毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米， 则该蒙古包（含底面）的表面积为（ [endnoteRef:28] ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米（基础） [28: 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可求出底面圆的半径，即可求出圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式以及圆柱的侧面积公式结合圆的面积公式，即可求得答案. 【详解】由题意知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米， 设底面圆的半径为r，则， 则圆锥的母线长为（米）， 故该蒙古包（含底面）的表面积为（平方米）， 故选：A ] 28. （2024年J01全国一卷）5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ [endnoteRef:29] ） A. B. C. D. （基础） [29: 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. ] 29. （2024年闽J18福师附模拟）12．已知圆台的上､下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台的高为 [endnoteRef:30] .（基础） [30: 12． 【分析】根据圆台的性质和有关公式进行计算可得结果. 【详解】做圆台的轴截面，如图：    由题意得：圆台的上､下底面的半径分别为2，6，设圆台的母线长为，高为， 则该圆台的侧面积，解得， 所以. 故答案为：. ] 30. （2024年闽J22厦门三检）13．已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为[endnoteRef:31] ．（基础） [31: 13．2 【分析】由侧面展开图是一个半圆可得，再根据体积建立关系即可求出. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为它的侧面展开图是一个半圆，则，即， 又圆锥的体积为， 则可解得，故母线长为2. 故答案为：2. ] 31. （2024年粤J47湛江一模）4. 中国是瓷器的故乡，中国瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献．下图是明清时期的一件圆台形青花缠枝纹大花盆，其上口直径为20cm，下底直径为18cm，高为24cm，则其容积约为（[endnoteRef:32] ） A. B. C. D. （基础） [32: 【答案】C 【解析】 【分析】根据上下底面直径分别计算出上、下底面面积，代入公式计算即可得出结果. 【详解】依题意可得该圆台形大花盆的上底面面积为， 下底面面积为，又高为， 代入圆台体积公式可得. 故选：C ] 32. （2024年粤J105湛江二模）2. 如图，这是一件西周晚期的青铜器，其盛酒的部分可近似视为一个圆台（设上、下底面的半径分别为厘米，厘米，高为厘米），则该青铜器的容积约为（取）（ [endnoteRef:33] ） A. 立方厘米 B. 立方厘米 C. 立方厘米 D. 立方厘米（基础） [33: 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式计算可得. 【详解】依题意可得该青铜器的容积约为（立方厘米）. 故选：D ] 33. （2024年湘J22一起考二模）4. 经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（ [endnoteRef:34] ） A. B. C. D. （基础） [34: 【答案】C 【解析】 【分析】 由轴截面是面积为2的等腰直角三角形，得到底面半径及母线长即可得到该圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则， 由题可知， ∴， 侧面积为， 故选：C. ] 34. （2024年鲁J07淄博一模）2. 某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（[endnoteRef:35] ） A. 2 B. 4 C. D. （基础） [35: 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为，由题意得到求解. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，即侧面展开图的半径为，侧面展开图的弧长为. 又圆锥的底面周长为，所以，即圆锥的母线长. 所以圆锥的侧面积为， 解得. 故选：C. ] 35. （2024年湘J26衡阳八中）3. 已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为（ [endnoteRef:36]） A. B. C. D. （基础） [36: 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台侧面积的计算公式，结合已知条件，直接求解即可. 【详解】设上下底面圆半径分别为，母线长为， 则圆台侧面积. 故选：C. ] 36. （2024年鲁J24枣庄三月考）5. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为（ [endnoteRef:37] ） A. B. C. D. （基础） [37: 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件求出圆台的母线长，再利用圆台侧面积公式计算得解. 【详解】圆台的上底面圆半径，下底面圆半径， 设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为，依题意有：，解 得, 所以圆台的侧面积. 故选：B ] 37. （2024年苏J34航附二模）4．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ [endnoteRef:38] ） A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸（基础） [38: 4．C 【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上底面面积即可得到答案. 【详解】 如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸， 因为积水深9寸，所以水面半径为寸， 则盆中水的体积为立方寸， 所以平地降雨量等于寸. 故选：C. ] 38. （2024年湘J21一起考一模）4. 夏日炎炎，某奶茶店推出了新款奶茶——“冰桶”系列，受到了年轻消费者的喜爱，已知该系列奶茶的容器可以看作是一个圆台与一个圆柱拼接而成，其轴截面如图所示，其中，，则该容器的容积为（ [endnoteRef:39] ）（不考虑材料厚度） A. B. C. D. （基础） [39: 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆台部分的高，根据圆台以及圆柱的体积公式，即可求得答案. 【详解】由题意得，圆台的高， 故该容器容积， 故选：D. ] 39. （2024年浙J36名校联盟三联考）12．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为[endnoteRef:40] .（基础） [40: 12．3 【分析】根据圆台的侧面积求圆台的母线，再根据圆台轴截面求出高即可. 【详解】因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为 ， 设母线长为，高为. 则，解得. 如图所示圆台的轴截面， 在中，， 由勾股定理得：圆台的高. 故答案为：3. ] 40. （2024年粤J26深圳华侨城一模）13. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆.若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为[endnoteRef:41]______.（基础） [41: 【答案】##1:7 【解析】 【分析】由题意，根据圆锥侧面积计算公式，求的圆锥底面半径、母线，结合三角形相似即可求出小圆锥和圆台的体积之比. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 由题意，，，故， 作圆锥轴截面如下图： 所以，，，所以圆锥体积为， 因为用与底面的距离为的平面截圆锥，故，且， 所以小圆锥体积， 所以圆台的体积， 故小圆锥和圆台的体积之比为. 故答案： ] 41. （2024年闽J04漳州三检）5. 一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为，则它的表面积为（ [endnoteRef:42] ） A. B. C. D. （基础） [42: 【答案】B 【解析】 【分析】先利用圆台的体积公式求得高，再利用圆台的表面积公式即可得解. 【详解】依题意，设圆台的高为，则，解得， 所以圆台的母线长为， 则圆台的表面积为. 故选：B． ] 42. （2024年鲁J33潍坊三模）4．某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（   [endnoteRef:43] ） A． B． C． D．（基础） [43: 4．A 【分析】由圆锥的体积公式及圆锥高、半径与母线的关系计算即可． 【详解】设上、下两圆锥的底面半径为，高分别为，体积分别为， 因为上圆锥的高与底面半径相等，所以， 则得，， 上圆锥的母线为，下圆锥的母线为， 所以上、下两圆锥的母线长之比为， 故选：A． ] 43. （2024年鲁J45泰安三模）3．已知圆台的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为（    [endnoteRef:44]） A． B． C． D．（基础） [44: 3．C 【分析】作出圆台的轴截面，利用其周长和两底面圆半径的关系列方程，求出，代入公式，即可求得圆台的表面积. 【详解】    如图，作出圆台的轴截面,设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径是， 故轴截面周长为，解得， 所以上、下底面圆的面积分别为，，圆台侧面积， 所以圆台的表面积为. 故选:C. ] 44. （2024年粤J132华师附五月适）13．已知矩形中，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为 [endnoteRef:45] ．（中下） [45: 13． 【分析】以所在直线为旋转轴，旋转一周形成两个共底面的圆锥，旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为，这两个几何体重叠部分是以圆为底面，为顶点的两个小圆锥，其体积记为，计算可求矩形旋转一周形成的面所围成的几何体的体积. 【详解】如图，以所在直线为旋转轴，旋转一周形成两个共底面的圆锥， 旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为， 这两个几何体重叠部分是以圆为底面，为顶点的两个小圆锥，其体积记为， 则所求几何体体积. 故答案为：. ] 45. （2024年湘J27长沙一中适应）5. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（ [endnoteRef:46] ） A. B. C. D. （中下） [46: 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出圆台上下底面半径，圆台的高，代入圆台的体积计算公式即可求解. 【详解】设圆台上下底面的半径分别为，由题意可知，解得， ，解得：，作出圆台的轴截面，如图所示： 图中，， 过点向作垂线，垂足为，则， 所以圆台的高， 则上底面面积，，由圆台的体积计算公式可得： ， 故选：. ] 46. （2024年闽J20莆田三模）5．若制作一个容积为的圆锥形无盖容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，则该圆锥的高是（[endnoteRef:47]    ） A． B．2 C． D．4 （涉后导数） （中下） [47: 5．B 【分析】设圆锥的高与半径，利用体积公式得出高与半径的关系，再消元转化得出侧面积，法一、利用三元均值不等式计算即可；法二、利用导数计算单调性与最值即可. 【详解】设该圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则，从而，即， 该圆锥的侧面积. 法一、因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以要使所用材料最省，则该圆锥的高是2. 法二、令， 易知时单调递减，时单调递增，即， 所以要使所用材料最省，则该圆锥的高是2. 故选：B ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$