精品解析：吉林省辽源市田家炳高级中学校2023-2024学年高二下学期5月第二次质量检测数学试题

田家炳高中高二下学期第二次质量检测 高 二 数 学 试 卷 本试卷共20题，满分150分，共4页.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内. 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意要求.） 1. 已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为 (　　)． A. 4 B. 16 C. 8 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，由切点坐标，令，即可得到切线的斜率. 【详解】由可得， 根据导数的几何意义可得， 在点处的切线斜率为，故选C. 【点睛】本题主要考查幂函数的求导公式以及利用导数的几何意义求切线斜率，属于简单题. 2. 函数的单调递减区间为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对函数求导，得（）,令，解得， 因此函数的单调减区间为，故选B 考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域 3. 从0，1，2，3，4这5个数中任选3个数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ） A. 24 B. 36 C. 42 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】分别考虑百位十位和个位的情况，根据分步乘法原理计算即可. 【详解】由题意，百位可从1，2，3，4共4个数字中选择，共4种选择； 十位可从百位外剩下的4个数字中选择，共4种选择； 个位可从百、十位外剩下的3个数字中选择，共3种选择. 故共有种情况. 故选：D 4. 从4名男生和2名女生中选2人参加会议，至少有一名男生，不同的安排方法有（ ）种． A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，用间接法分析：先计算全部的选法，排除其中“没有女生，即全部为男生”的选法，分析可得答案． 【详解】根据题意，从4名男生和2名女生中选2人参加会议，有种选法， 其中没有男生，即全部为女生的选法有种， 则至少有一名男生的选法有． 故选：B． 5. 从甲､乙､丙､丁､戊5个人中选1名组长1名副组长，但甲不能当副组长，不同的选法种数是（ ） A. 6 B. 10 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】先选副组长，利用组合知识计算即可. 【详解】先选副组长再选组长，有． 故选：C 6. 若，则的值可以是（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合数的性质即可求解. 【详解】由可得或，解得或， 故选：A 7. 第二届消博会暨中国国际消费品博览会于2022年5月在海南举办.某展馆将5件相同的纪念品分别赠送给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】因为纪念品的相同的，而游客不同，所以以游客为对象分两种情况抽取即可. 【详解】因为纪念品的相同的，而游客不同，所以以游客为对象分类： 第一种情况，一位游客得一个纪念品，其余两位游客每人二个纪念品，共有种. 第二种情况，一位游客得三个纪念品，其余两位游客各一个纪念品，共有种.共计6种赠送方案. 故选：A. 8. 已知是定义在上的函数，的导函数，且总有，则不等式的解集为 A. B. C. D. （1，+∞） 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设，，函数是单调递减函数，那么定义在上的函数，不等式等价于，解集为，故选B. 考点：1.导数与不等式；2.导数与函数的单调性. 【方法点睛】当题设给出与导数有关的不等式，求不等式解集的问题时，需造函数，判断函数的单调性，然后利用函数零点求不等式的解集，一般常见函数的导数形式（1），（2），（3），（4），本题，可想到构造（2）的形式，根据函数单调性，零点求不等式的解集. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.） 9. 已知函数．则下列说法正确的是（ ） A. 的极小值为 B. 的极大值为 C. 的在区间上递减 D. 在区间上递增 【答案】ABCD 【解析】 【分析】对求导，分别令导数大于0和小于0，求出相应的单调递增区间和单调递减区间，同时得到函数极大值和极小值. 【详解】因为，所以， 令，得，或， 令，得 所以在，单调递增，在单调递减 在处有极大值，为，在处有极小值，为 故选：ABCD. 【点睛】本题主要考查函数的单调性和极值，属于基础题. 10. 如图所示，的导函数的图象，给出下列四个说法，其中正确的是（ ） A. 有三个单调区间 B. C. D. 在上单调递增，在上单调递减 【答案】CD 【解析】 【分析】根据导数值与0的关系结合原函数的单调性判断各个选项即可． 【详解】对于A，由图象可以看出，的符号是先负后正，再负再正， 所以函数有四个单调区间，故A错误； 对于B，当时，，函数单调递减， 所以，故B错误； 对于C，当时， ，函数单调递增， 所以，故C正确； 对于D，当时，，函数单调递减，显然D正确． 故选：CD． 11. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种 B. 若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种 C. 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种 D. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，定序问题采用倍缩法进行求解；B选项，采用插空法进行求解；C选项，分两种情况，若最左端排乙，最左端不排乙，分别求出两种情况下的排法，相加即可；D选项，使用捆绑法进行求解； 【详解】对于A，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，故A错误； 对于B，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，则有种情况，故甲乙不相邻的排法种数为种情况，故B正确； 对于C，若最左端排乙，此时其余四人可进行全排列，故有种；若最左端不排乙，则最左端只能从丙，丁，戊选出1人，又乙不能在最右端，则有种情况，则共有种站法，故C错误； 对于D，将甲与乙捆绑，看做一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，故有种，故D正确； 故选：BD 12. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 二项式系数最大项为第五项 B. 各项系数和为0 C. 含项的系数为4 D. 所有项二项式系数和为16 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质判断AD；利用赋值法判断B；利用二项式定理得到的展开通项，从而求得含项的系数判断C. 【详解】对于A，因为展开式一共五项，所以二项式系数最大项为第三项，故A错误； 对于B，令时，，所以各系数的和为0，故B正确； 对于C，因为的展开通项公式为， 令，得，故含项的系数为，故C错误； 对于D，所有项的二项式的系数和为，故D正确. 故选：BD. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 若，其导数满足，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出后可得关于的方程，可从该方程解出即可. 【详解】，则，故，填. 【点睛】本题考查导数的计算，属于基础题. 14. 6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有__________种（用数字作答）. 【答案】90 【解析】 【分析】由平均分组模型的公式直接计算即可求解. 【详解】6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观， 每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则有种. 故答案为：90. 15. 设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为，则甲正点到达目的地的概率为__________. 【答案】0.82## 【解析】 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件“甲乘汽车前往某目的地”， 事件“甲乘动车前往某目的地”， 事件“甲正点到达目的地”. . 故答案为：0.82 16. 已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】设事件A：第1次抽到代数题，事件B：第2次抽到几何题，求得，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】从5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出不再放回， 设事件A：第1次抽到代数题，事件B：第2次抽到几何题， 则，， 所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为. 故答案为：. 三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值． 【答案】（1）单调增区间为和，单调减区间为 （2）极大值16，极小值 【解析】 【分析】（1）对求导，利用导数与单调性的关系即可求解； （2）根据函数的单调性，求出函数的极值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，导函数， 令，解得， 则，随的变化情况如下表： 2 0 0 取极大值 取极小值 故函数的单调增区间为和，单调减区间为; 【小问2详解】 由小问1知，当时，函数取得极大值16; 当时，函数取得极小值． 18. 已知函数 （1）若，求函数在区间上的最大值； （2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）8； （2）. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，根据求出，则，在区间上单调递增，即可得到答案. （2）根据题意知，分参得，即可得到答案. 【小问1详解】 ，因为，所以，所以 在上恒成立，所以函数在区间上单调递增 所以 【小问2详解】 因为函数在区间上为增函数， 所以在上恒成立 所以在上恒成立，所以 19. （1）求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； （2）求的展开式中的系数. 【答案】（1）第6项的二项式系数为6，第6项的系数为；（2） 【解析】 【分析】（1）写出二项展开式的通项，根据二项式系数与项的系数的定义计算可得结果； （2）由二项展开式的通项可知第4项含，其系数为. 【详解】（1）由已知得二项展开式的通项为 可得， 可得第6项的二项式系数为，第6项的系数为. （2）展开式的通项为， 令，得， 则展开式中第4项含，其系数为. 20. （1）若，求的值； （2）在的展开式中，求二项式系数最大的项 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，即可求得答案； （2）确定二项式系数最大的项为第几项，利用二项展开式的通项公式，即可求得答案. 【详解】（1）由于, 令，得 ; 令，得 ， 所以; （2）在的展开式中，二项式系数最大的项是第5项， 则 21. 已知函数，讨论函数的单调性. 【答案】 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减. 【解析】 【分析】求出，定义域为R，求导，分和两种情况，解不等式，求出单调性. 【详解】由题设知，定义域为R， ， 令，得，. 当时，令，解得或，此时单调递增， 令，解得，此时单调递减， 当时，令，解得，此时单调递增， 令，解得或，此时单调递减， 综上：当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减. 22. 已知函数，是的一个极值点． （Ⅰ）求的单调递增区间； （Ⅱ）当时，求方程的解的个数． 【答案】解：（Ⅰ），. （Ⅱ），方程有一个解 当时，方程有两个解，时，方程有三个解 【解析】 【详解】详解：（Ⅰ）. ∵是的一个极值点， ∴是方程的一个根，解得. 令，则，解得或. ∴函数的单调递增区间为，. （Ⅱ）求方程的根，即求：的解的个数， 令，， 故g（x）在递增，在（1,2）递减，， 故，方程有一个解 当时，方程有两个解 时，方程有三个解 点睛：解本题关键首先要知道极值点的定义和求法，然后对于函数零点问题可以结合函数图像进行分析会比较容易，求出函数单调区间和极值，根据草图即可得出根的分布情况. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 田家炳高中高二下学期第二次质量检测 高 二 数 学 试 卷 本试卷共20题，满分150分，共4页.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内. 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意要求.） 1. 已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为 (　　)． A. 4 B. 16 C. 8 D. 2 2. 函数的单调递减区间为 A. B. C. D. 3. 从0，1，2，3，4这5个数中任选3个数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ） A. 24 B. 36 C. 42 D. 48 4. 从4名男生和2名女生中选2人参加会议，至少有一名男生，不同的安排方法有（ ）种． A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 5. 从甲､乙､丙､丁､戊5个人中选1名组长1名副组长，但甲不能当副组长，不同的选法种数是（ ） A. 6 B. 10 C. 16 D. 20 6. 若，则的值可以是（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 7. 第二届消博会暨中国国际消费品博览会于2022年5月在海南举办.某展馆将5件相同的纪念品分别赠送给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 24 8. 已知是定义在上的函数，的导函数，且总有，则不等式的解集为 A. B. C. D. （1，+∞） 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.） 9. 已知函数．则下列说法正确的是（ ） A. 的极小值为 B. 的极大值为 C. 的在区间上递减 D. 在区间上递增 10. 如图所示，的导函数的图象，给出下列四个说法，其中正确的是（ ） A. 有三个单调区间 B. C. D. 在上单调递增，在上单调递减 11. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种 B. 若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种 C. 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种 D. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种 12. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 二项式系数最大项为第五项 B. 各项系数和为0 C. 含项的系数为4 D. 所有项二项式系数和为16 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 若，其导数满足，则的值为______. 14. 6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有__________种（用数字作答）. 15. 设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为，则甲正点到达目的地的概率为__________. 16. 已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为______． 三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值． 18. 已知函数 （1）若，求函数在区间上的最大值； （2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围． 19. （1）求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； （2）求的展开式中的系数. 20. （1）若，求的值； （2）在的展开式中，求二项式系数最大的项 21. 已知函数，讨论函数的单调性. 22. 已知函数，是的一个极值点． （Ⅰ）求的单调递增区间； （Ⅱ）当时，求方程的解的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $