第06讲：动量、冲量与动量守恒定律 (10大题型）-2024-2025学年新高二物理【赢在暑假】同步精讲精练系列

第06讲：动量、冲量与动量守恒定律 【考点归纳】 · 考点一：动量与冲量 · 考点二：动量定理解决蹦极类问题 · 考点三：动量定理解决流体问题 · 考点四：动量定理图像问题和生活应用问题 · 考点五：判断动量守恒问题 · 考点六：完全弹性碰撞问题 · 考点七：完全非弹性碰撞问题 · 考点八：爆炸问题 · 考点九：反冲问题 · 考点十：动量守恒综合问题 【知识归纳】 知识点一．动量 (1)定义：物体的质量和速度的乘积． (2)表达式：p＝mv. (3)方向：与速度的方向相同． 知识点二．动量的变化 (1)动量是矢量，动量的变化量Δp也是矢量，其方向与速度的改变量Δv的方向相同． (2)动量的变化量Δp，一般用末动量p′减去初动量p进行矢量运算，也称为动量的增量．即Δp＝p′－p. 知识点三．冲量 (1)定义：力与力的作用时间的乘积叫作力的冲量． (2)公式：I＝FΔt. (3)单位：N·s. (4)方向：冲量是矢量，其方向与力的方向相同． 知识点四:冲量定理 1．内容：物体在一个过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的动量变化量． 2．公式：Ft＝mv′－mv或I＝p′－p. 知识点五、动量守恒定律 1．动量守恒定律的内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这系统的总动量保持不变． 2．动量守恒定律成立的条件： (1)系统不受外力或者所受外力的合力为零． (2)系统外力远小于内力时，外力的作用可以忽略，系统的动量守恒． (3)系统在某个方向上的合外力为零时，系统在该方向上动量守恒． 3．动量守恒定律的表达式： (1)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′(作用前后动量相等)． (2)Δp＝0(系统动量的增量为零)． (3)Δp1＝－Δp2(相互作用的两个物体组成的系统，两物体动量的增量大小相等、方向相反)． 【题型归纳】 题型一：动量与冲量 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图为雀尾螳螂虾，它的“铁拳”可由静止状态下在0.02s内以接近72km/h的速度挥出，出拳冲击力度高达600N。若“铁拳”挥出过程中，不考虑其他力的作用，则下列估算正确的是（　　） A．“铁拳”的质量约为50g B．“铁拳”的加速度大约为 C．“铁拳”的动量约增大了 D．“铁拳”所受合力的冲量大约为 2．（23-24高一下·四川成都·期末）如图甲，一质量为2kg的物块静止在光滑水平面上，从t=0时刻开始受到一水平外力F作用，F随时间变化的图线如图乙所示。取t=0时刻力F的方向为正方向，重力加速度大小取。下列说法正确的是（　　） A．前4s时间内，物块做往返运动 B．t=4s时，物块的动量为2kg·m/s C．前4s时间内，物块所受重力的冲量为0 D．t=2s到t=4s时间内，物块的速度变化量为2m/s 3．（23-24高二下·安徽合肥·期中）下列关于物体动量和冲量的说法，不正确的是（　　） A．一个物体速度越大，动量越大 B．物体的动量方向与其速度方向相同 C．物体所受合外力的冲量越大，它的动量也越大 D．物体所受合外力的冲量不为零，它的动量一定会改变 题型二：动量定理解决蹦极类问题 4．（23-24高二下·山西太原·期中）男子蹦床比赛中，运动员某次下落从最高点到着网点用时0.8s，从着网点到最低点用时0.4s。运动员的质量为60kg，不计空气阻力，该过程中网对运动员的平均作用力约为（　　） A．600N B．1200N C．1800N D．2400N 5．（23-24高二上·江西吉安·期末）跳床运动可以提高身体的灵活性，也可以让大脑短时间内忘记压力和烦恼。如图所示，体重为m的运动员从跳床上方h处从静止开始下落，与跳床接触时间后以速度v竖直向上运动，重力加速度大小为g，所有物理量的单位都采用国际单位制，不计空气阻力，则运动员与跳床接触时受到跳床的平均作用力大小为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·山东潍坊·期末）2023年10月2日中国蹦床名将朱雪莹在杭州亚运会蹦床比赛中夺得女子个人冠军。在某次比赛中她从离水平网面3.2m高处自由下落，与网接触0.8s后，沿竖直方向弹回到离水平网面5.0m高处。已知朱雪莹的质量为45kg，g取，网对朱雪莹的平均作用力大小为（　　） A．112.5N B．562.5N C．1012.5N D．1462.5N 题型三：动量定理解决流体问题 7．（23-24高二下·河南濮阳·期末）台风的破坏作用巨大，超强的风力能够摧毁建筑、树木等。台风外围的风力相对较小，某人站在台风外围某处时垂直于风速方向的受力面积为S，风速沿水平方向、大小为v，空气密度为，若风吹到人身上后速度减为零，人站在风中不动，则地面对人的摩擦力大小为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·河北石家庄·期中）中国东海是超级台风（超过16级）的高发地，这种台风的中心风速可达到。某栋大楼高约、宽约，空气密度约为。若台风以的速度垂直吹到这栋大楼后，速度减为0，则大楼受到的风力大小约为（　　） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期中）2023年4月20日，今年第1号台风“珊瑚”在西北太平洋洋面上生成，登陆时中心附近最大风力有8级。某竖直面内的户外广告牌的迎风面积为，所能承受的最大风力为。若风吹到广告牌速度立刻减为零，空气密度为，则广告牌能承受的垂直迎风面方向的风速最大值为（　　） A．10m/s B．15m/s C．20m/s D．25m/s 题型四：动量定理图像问题和生活应用问题 10．（23-24高一下·河北保定·期末）各地交管部门要求驾驶电动车人员必须佩戴头盔，以便在交通事故中对骑行人员的头部进行很好的保护。某同学利用头盔做了两次小实验，第一次实验，将一定质量的物体从距离地面某高度处自由释放，物体与地面碰撞后会弹起一定高度，第二次实验，将该物体固定于头盔中从同一高度自由释放，头盔触地后物体几乎不反弹。已知第二次实验头盔减速到0的时间比第一次物体与地面接触的时间更长一些，忽略空气阻力。关于第二次实验，下列说法正确的是（　　） A．物体受到的冲力更小一些 B．物体受到的冲量更大一些 C．头盔触地瞬间物体的速度更大一些 D．头盔触地瞬间物体的速度更小一些 11．（23-24高二上·重庆涪陵·开学考试）冰壶比赛是冬奥会上一个备受关注的项目，运动员需要先给冰壶一个初速度，使冰壶沿着冰面达到指定区域，若某次比赛过程冰面可视为光滑，质量为5kg的冰壶（可视为质点）静止于光滑水平面上。从t=0时刻开始，冰壶受到运动员的水平外力F作用，外力F随时间变化的关系如图所示。下列说法正确的是（　　） A．冰壶第1s末的速度大小为 B．力F前1s内的冲量大小为 C．冰壶第2s末速度大小为 D．前2s内运动员对冰壶做的功为 12．（22-23高二上·福建泉州·期中）水平面上有质量相等的a、b两个物体，水平推力、分别作用在a、b上，一段时间后撤去推力，物体继续运动一段距离后停下，两物体的图像如图所示，图中，则整个过程中（    ）    A．a物体受到的摩擦力大于b物体受到的摩擦力 B．水平推力的冲量大于水平推力的冲量 C．摩擦力对a物体的冲量小于摩擦力对b物体的冲量 D．合外力对a物体的冲量小于合外力对b物体的冲量 题型五：判断动量守恒问题 13．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图所示，完全相同的A、B两物块随足够长的水平传送带按图中所示方向匀速运动，A、B间夹有少量炸药。现炸药发生爆炸，则在爆炸及随后的过程中，下列说法正确的是（　　） A．炸药爆炸过程，A、B两物块组成的系统动量不守恒 B．炸药爆炸过程，A、B两物块组成的系统机械能不能增加 C．在炸药爆炸后至A、B相对传送带静止过程，A、B组成的系统动量守恒 D．在炸药爆炸后至A、B相对传送带静止过程，A、B组成的系统机械能守恒 14．（23-24高一下·重庆沙坪坝·期中）对下列情景说法正确的是（　　） A．子弹打进木块后一起向左运动的过程，子弹和木块构成的系统动量守恒 B．两同学传接篮球的过程，两同学和篮球构成的系统动量守恒 C．绑有磁铁的两小车在光滑水平地面上相向运动的过程，两车构成的系统动量守恒 D．小球从静止在光滑水平面上的斜槽顶端释放，在离开斜槽前小球和斜槽构成的系统动量守恒 15．（23-24高二上·浙江杭州·期末）下列四幅图所反映的物理过程中，系统动量守恒的是（　　） A．只有甲、乙 B．只有甲、丙 C．只有甲、丁 D．只有丙、丁 题型六：完全弹性碰撞问题 16．（23-24高一下·重庆·期末）如图甲所示，在光滑水平面上的两个小球发生正碰。小球的质量分别为m1和m2。图乙为它们碰撞前后的图像。已知m1=0.1 kg。由此可以判断（　　） A．碰后m2和m1都向右运动 B．碰撞过程中m2对m1的冲量大小为0.2N·s C．m2=0.1kg D．碰撞过程是弹性碰撞 17．（23-24高二上·北京顺义·期末）质量为1kg的小球A以速率8m/s沿光滑水平面运动，与质量为2kg的静止小球B发生正碰后，A、B两小球的速率vA和vB可能为（　　） A．vA=5m/s B．vA=4m/s C．vB=1m/s D．vB=3m/s 18．（22-23高二上·山东菏泽·期末）如图所示，在光滑的水平面上有两个滑块P、Q，滑块Q的左端固定连着一轻质弹簧．两个滑块分别以一定大小的速度沿着同一直线相向运动，滑块P的质量为2m，速度方向向右，滑块Q的质量为m．速度方向向左，则下列说法正确的是（    ） A．P、Q两个滑块包括弹簧组成的系统动能始终保持不变 B．当两个滑块的速度相等时，弹簧的弹性势能最大 C．两个滑块最终能以共同的速度一起向右运动 D．从P滑块和弹簧接触到弹簧压缩至最短的过程中，滑块Q的速度一直减少 题型七：完全非弹性碰撞问题 19．（23-24高二上·广东潮州·期末）如图所示，在光滑水平面上，质量分别为，速度的大小分别为的A、B两小球沿同一直线相向运动并发生碰撞，则（　　） A．它们碰撞后的总动量是，方向水平向右 B．它们碰撞前的总动量是，方向水平向左 C．它们碰撞后如果A球以的速度被反向弹回，则B球的速度大小为 D．它们碰撞后如果A球、B球粘在一起，则两球共同运动的速度大小为 20．（20-21高三上·天津南开·期中）在光滑水平面上，A、B两球沿同一直线同向运动，碰撞后粘在一起，若碰撞前A、B球的动量分别为、，碰撞中B球动量减少，则A、B两球的质量之比为（　　） A．3：2 B．3：7 C．2：7 D．7：4 21．（19-20高二下·山东东营·阶段练习）如图所示，质量为0.5kg的小球在距离车底面高20m处以一定的初速度向左平抛，落在以7.5m/s速度沿光滑水平面向右匀速行驶的敞篷小车中，车底涂有一层油泥，车与油泥的总质量为4kg，设小球在落到车底前瞬时速度是25m/s，g取10m/s2，则当小球与小车相对静止时，小车的速度是（　　） A．4m/s B．5m/s C．8.5m/s D．m/s 题型八：爆炸问题 22．（23-24高二下·山西长治）如图所示，光滑水平面上A、B、C三个质量均为2kg的物体紧贴着静止放在一起，A、B之间有微量炸药。炸药爆炸后三个物体均沿水平方向运动且B对C做的功为16J，若炸药爆炸过程释放的能量全部转化为三个物体的动能，则炸药爆炸过程中释放出的能量为（　　） A．48J B．64J C．96J D．108J 23．（23-24高三上·山东淄博·期中）一弹丸在飞行到距离地面高时仅有水平速度，爆炸成为甲、乙两块水平飞出，甲、乙的质量比为1:4。不计质量损失，取重力加速度，则下列图中两块弹片飞行的轨迹可能正确的是（    ） A．B．C．D． 24．（23-24高二上·江苏连云港·期中）2023年10月10日，据黎巴嫩媒体报道，以色列军队在黎巴嫩南部领土使用国际法禁止的白磷弹。假设一质量为m的白磷弹竖直向上运动到最高点时，爆炸成两部分，爆炸后瞬时质量为部分的动能为，爆炸时间极短可不计，不计爆炸过程中的质量损失，则该白磷弹爆炸后瞬时的总动能为（　　） A． B． C． D． 题型九：反冲问题 25．（23-24高二下·浙江湖州·期末）用火箭发射人造卫星，发射过程中最后一节火箭的燃料用完后，火箭壳体和卫星一起以的速度绕地球做匀速圆周运动。已知卫星的质量为，最后一节火箭壳体的质量为。某时刻火箭壳体与卫星分离，分离时卫星与火箭壳体沿轨道切线方向的相对速度为。下列说法正确的是（　　） A．分离后火箭壳体的速度大小为 B．分离后火箭壳体的速度大小为 C．分离过程中火箭壳体对卫星的冲量大小为 D．分离前后卫星与火箭壳体的总动量变化量大小为 26．（23-24高三下·辽宁·期中）航天梦由来已久，明朝万户，他把多个自制的火箭绑在椅子上，自己坐在椅子上，双手举着大风筝，设想利用火箭的推力，翱翔天际，然后利用风筝平稳着陆。假设万户及所携设备（火箭（含燃料）、椅子、风筝等）总质量为M，点燃火箭后在极短的时间内，质量为m的炽热燃气相对地面以的速度竖直向下喷出。忽略此过程中空气阻力的影响，重力加速度为g，下列说法中正确的是（    ） A．在燃气喷出后的瞬间，火箭的速度大小为 B．火箭在向下喷气上升的过程中，火箭机械能守恒 C．喷出燃气后万户及所携设备能上升的最大高度为 D．在燃气喷出后上升过程中，万户及所携设备动量守恒 27．（23-24高二下·广东佛山·期中）喷气背包曾经是宇航员舱外活动的主要动力装置。假定宇航员与空间站保持相对静止。启动喷气背包后，横截面积为S的喷口以速度v（以空间站为参考系）持续向后喷出密度为ρ的气体。已知宇航员连同整套舱外太空服的质量为M（含背包及其内气体），则启动喷气时间t后宇航员相对空间站的速度大小为（    ） A． B． C． D． 题型十：动量守恒综合问题 28．（23-24高一下·河南南阳·期末）公园内一猴子通过漂浮在水中的竹竿渡河。它先以水平分量为的速度跳上静止在水面的竹竿，共速后立即以相同水平分量的速度反向跳回河岸，并再次以水平分量为的速度跳上竹竿。若猴子每次起跳时的速度都是相对于地面，忽略竹竿和猴子所受水和空气的阻力，猴子和竹竿的质量均为，求： （1）猴子第一次跳离竿后，竿的速度大小； （2）猴子和竿最终的总动能。 29．（2024·山西·模拟预测）如图甲所示，质量分别是2m、m的两物块A、B用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙壁相接触。t＝0时，物块C以速度向右运动，时刻与物块A相碰并立即（作用时间极短、可忽略）与物块A粘在一起不再分离。在时间内，物块C的图像如图乙所示，求： （1）物块C的质量； （2）离开墙壁后，物块B的最大速度。 30．（23-24高一下·安徽六安·期末）如图所示，木板C固定在水平面上，长木板DE静止在水平面上且与C等高，DE的长度，长木板DE的右端为半径的光滑圆弧，质量为的滑块B静止在长木板的左端。开始时，将质量的滑块A向左推，压缩弹簧至P点，使弹簧获得20J的弹性势能，然后释放滑块A，一段时间后滑块A与滑块B发生弹性碰撞，碰撞后立即将A锁死，滑块B运动中恰好不能从长木板右端的圆弧槽滑离长木板。已知滑块A与木板C、滑块B与长木板DE间的动摩擦因数均为，点P与滑块B距离为2m，长木板DE的下表面光滑，滑块A、B均可视为质点，重力加速度。求： （1）滑块A、B碰前瞬间滑块A的速度大小； （2）求长木板DE的最大速度； （3）滑块B最终距O点的水平距离。 【专题强化】 一、单选题 31．（23-24高一下·重庆·期末）人们对手机的依赖性越来越强，有些人喜欢躺着看手机，经常出现手机砸伤眼睛的情况。若手机质量为150g，从离人眼约20cm的高度无初速掉落，砸到眼睛后手机未反弹，眼睛受到手机的冲击时间约为0.2s，取重力加速度。下列分析正确的是（　　） A．手机砸到眼睛前瞬间动量大小约为 B．手机对眼睛的冲量大小约为 C．手机对眼睛的冲量方向竖直向上 D．手机对眼睛的作用力大小约为 32．（23-24高一下·河北·期末）质量为的玩具小车，速度由向左的变为向右的，取向左为正方向，则小车的动能变化量和动量变化量分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 33．（23-24高一下·湖北武汉·期末）光滑水平面上有A、B两球，质量分别为m1、m2、A球以初速度v0与静止的B球发生正碰。下列说法不正确的是（　　） A．若碰撞是弹性碰撞且碰后A球速度反向，则一定有m1<m2 B．若碰撞是弹性碰撞且有m1<m2，则碰后A球速度一定反向 C．若碰撞是非弹性碰撞且碰后A球速度反向，则一定有m1<m2 D．若碰撞是非弹性碰撞且有m1<m2，则碰后A球速度一定反向 34．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在运动会中，一同学参加立定跳远比赛，如图所示。已知该同学质量为m，从静止下蹲状态发力起跳，获得斜向上的速度v，方向与水平方向成角。则在起跳过程中（　　） A．摩擦力对人的冲量大小为 B．支持力对人的冲量大小为 C．摩擦力对人做功为 D．支持力对人做功为 35．（23-24高一下·上海黄浦·期末）行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内的安全气囊会被弹出并瞬间充满气体。若碰撞后汽车的速度在很短时间内减小为零，关于安全气囊在此过程中的作用，下列说法正确的是（　　） A．增加了司机单位面积的受力大小 B．减少了碰撞前后司机动量的变化量 C．延长了司机的受力时间并增大了司机的受力面积 D．将司机的动能全部转换成汽车的动能 36．（23-24高一下·天津和平·期末）如图，水平光滑地面上停放着一辆质量为M的小车，其左侧有半径为R的四分之一光滑圆弧轨道AB，轨道最低点B与水平轨道BC相切，整个轨道处于同一竖直平面内。将质量为m的物块（可视为质点）从A点无初速释放，物块沿轨道滑行至轨道末端C处恰好没有滑出。设重力加速度为g，物块与轨道BC之间的滑动摩擦因数为，空气阻力可忽略不计。关于物块从A位置运动至C位置的过程，下列说法中正确的是（　　） A．小车和物块构成的系统机械能守恒 B．物块在BC上运动时，摩擦力对物块和小车做功的代数和为零 C．水平轨道BC的长度为 D．如果小车被锁定在地面上，物块仍从A点静止释放，则也能恰到达C点 37．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，一带有四分之一光滑圆弧轨道的小车静止在光滑水平面上，一可视为质点、质量为m的小球以速度从小车的左端水平滑上小车，与小车作用后从小车左端竖直掉下。已知圆弧轨道的半径足够大，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．小球和小车组成的系统动量守恒、机械能守恒 B．小车的最终速度大小为 C．小车对小球做的功为 D．小球在小车上能上升的最大高度为 38．（23-24高一下·辽宁·期末）一质量为的烟花弹获得初动能后从水平地面无动力竖直升空，到达离水平地面高8m的最高点时速度为0，此时弹中火药爆炸（爆炸时间极短），将烟花弹炸为大、小两块，爆炸后瞬间大、小两块烟花弹分别获得竖直向上、竖直向下的速度，大块烟花弹的速度大小为，大块烟花弹质量为小块烟花弹质量的2倍。不计空气阻力和火药的质量，取重力加速度大小，下列说法正确的是（　　） A．烟花弹的初动能为9.6J B．爆炸后瞬间小块烟花弹的速度大小为 C．小块烟花弹落地时的速度大小为 D．大、小两块烟花弹从爆炸到落地的时间之比为 二、多选题 39．（23-24高一下·安徽六安·期末）质量为m的钢球自高处落下，以速率到水平地面后，竖直向上弹回，碰撞时间为，离地的速率为。不计空气阻力，在碰撞过程中（    ） A．钢球的动量变化量方向向上，大小为 B．钢球的动量变化量方向向上，大小为 C．钢球所受平均合力方向向上，大小为 D．钢球受地面的平均弹力大小为 40．（23-24高一下·河北保定·期末）如图所示，静置于光滑水平面上的三辆小车A、B、C处在同一直线上，A、B质量均为m，C质量为2m，小车C固定一水平轻质弹簧，初始时弹簧处于自然长度。现给小车A一个水平向左的初速度v，A与B碰撞后粘合在一起，运动一段距离后，开始压缩弹簧，若弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　） A．整个相互作用的过程中，系统动量守恒、机械能守恒 B．A、B碰撞后的速度为 C．弹簧的最大弹性势能 D．当弹簧再次恢复到原长时，C车的速度为 41．（23-24高一下·重庆·期末）如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q都可视为质点，质量相等。Q与水平轻弹簧相连，设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞（　　） A．在整个碰撞过程中，最大弹性势能等于P的初动能 B．在整个碰撞过程中，最大弹性势能等于P的初动能的 C．从P接触弹簧到弹性势能最大的过程，弹簧对P、Q做功大小之比为1∶1 D．从P接触弹簧到弹性势能最大的过程，弹簧对P、Q做功大小之比为3∶1 42．（23-24高二下·河南郑州·期末）质量为和的两个物体在光滑的水平面上正碰，碰撞时间不计，其位移—时间图像如图所示，由图像可判断以下说法正确的是（    ） A．碰后两物体的运动方向相同 B．碰后的速度大小为 C．两物体的质量之比 D．两物体的碰撞是弹性碰撞 43．（23-24高一下·四川·期末）2024年5月9日至21日全国冰壶冠军赛，在武汉光谷枫叶国际冰上运动中心举办。某次冰壶传击中，质量为m的红壶以速度，与静止在光滑冰面上等质量的蓝壶发生对心正碰，碰后红壶仍沿原方向运动，则（　　） A．碰撞过程中，红壶动量变化的大小小于蓝壶动量变化的大小 B．该碰撞一定为非弹性碰撞 C．若两冰壶发生完全非弹性碰撞，碰撞过程中损失的机械能为 D．若蓝壶的质量变为0.5m，蓝壶的速度可能为 三、解答题 44．（23-24高二下·湖北·期末）如图所示，上表面粗糙的木板B静止于光滑水平面上，底部涂有颜料的物块A放在B的左端，另一质量的小球用长的轻绳悬挂在固定点O。将小球向左拉至轻绳与竖直方向成60°并由静止释放，小球在最低点与A发生（碰撞时间极短的）弹性正碰，碰后A在B上滑动，且未从B的右端滑出，测得划痕长度为0.2m。已知物块A的质量，木板B的质量，物块A与小球均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取，求： （1）小球与物块A碰撞前瞬时速度的大小； （2）小球与物块A碰撞后瞬间绳上所受拉力F的大小； （3）物块A与木板B之间的动摩擦因数。 45．（23-24高二下·广东江门·期末）长l=0.8m的轻绳处于水平拉直状态，将摆球A由静止释放，下摆至最低点时，与静止在水平面上的小球B发生弹性碰撞（碰撞时间极短），小球B向左冲上放置在水平面上的四分之一圆弧轨道，轨道与水平地面相切，忽略一切摩擦。已知球A质量m1=2kg，球B质量m2=6kg，圆弧轨道质量m3=6kg，重力加速度g=10m/s2。求： （1）球A下摆至最低点时速度多大？ （2）球B碰后的速度多大？ （3）要让球B从轨道左端离开，轨道半径R多大？ 46．（23-24高一下·上海黄浦·期末）如图做单摆运动的小球A质量为m，小球B质量为3m。球A用细绳系住，绳子的另一端固定，球B置于光滑水平面上．当球A从离光滑水平面高h处由静止摆下，到达最低点时恰好与球B发生弹性正碰。求：（不计空气阻力） （1）两个小球发生弹性碰撞前小球A的速度大小； （2）碰后小球A的速度大小； （3）碰后小球A能上升的最大高度。 47．（23-24高二下·江苏盐城·期末）质量均为m的木块A和B，并排放在光滑水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的O点系着一长为l的细线，细线另一端系一质量为m的球C。现将C拉起使细线水平伸直，并由静止释放C球。取O所在水平面为零势能面，重力加速度为g。求C球： （1）运动到最低点时重力势能大小； （2）在AB两木块分离时的水平位移大小x； （3）第一次运动到杆左侧最高点与O点的高度差h。 48．（23-24高一下·河北石家庄·期末）如图所示，光滑桌面上木板C静止并被锁定，质量为1kg，在木板的中央处放置两个小滑块A和B，质量分别为2kg和1kg，两滑块间有小型炸药，某时刻炸药爆炸释放能量为12J，两滑块开始运动，当一个滑块速度减为零时，木板锁定被解除，两滑块与木板间动摩擦因数均为0.2，最终一个滑块恰好滑到木板的边缘，g取10m/s2，不计炸药的质量。试求： （1）木板锁定被解除时小滑块A和B速度大小； （2）木板C的最终速度的大小； （3）木板C的最小长度以及整个过程中两滑块与木板间因摩擦产生的内能。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲：动量、冲量与动量守恒定律 【考点归纳】 · 考点一：动量与冲量 · 考点二：动量定理解决蹦极类问题 · 考点三：动量定理解决流体问题 · 考点四：动量定理图像问题和生活应用问题 · 考点五：判断动量守恒问题 · 考点六：完全弹性碰撞问题 · 考点七：完全非弹性碰撞问题 · 考点八：爆炸问题 · 考点九：反冲问题 · 考点十：动量守恒综合问题 【知识归纳】 知识点一．动量 (1)定义：物体的质量和速度的乘积． (2)表达式：p＝mv. (3)方向：与速度的方向相同． 知识点二．动量的变化 (1)动量是矢量，动量的变化量Δp也是矢量，其方向与速度的改变量Δv的方向相同． (2)动量的变化量Δp，一般用末动量p′减去初动量p进行矢量运算，也称为动量的增量．即Δp＝p′－p. 知识点三．冲量 (1)定义：力与力的作用时间的乘积叫作力的冲量． (2)公式：I＝FΔt. (3)单位：N·s. (4)方向：冲量是矢量，其方向与力的方向相同． 知识点四:冲量定理 1．内容：物体在一个过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的动量变化量． 2．公式：Ft＝mv′－mv或I＝p′－p. 知识点五、动量守恒定律 1．动量守恒定律的内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这系统的总动量保持不变． 2．动量守恒定律成立的条件： (1)系统不受外力或者所受外力的合力为零． (2)系统外力远小于内力时，外力的作用可以忽略，系统的动量守恒． (3)系统在某个方向上的合外力为零时，系统在该方向上动量守恒． 3．动量守恒定律的表达式： (1)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′(作用前后动量相等)． (2)Δp＝0(系统动量的增量为零)． (3)Δp1＝－Δp2(相互作用的两个物体组成的系统，两物体动量的增量大小相等、方向相反)． 【题型归纳】 题型一：动量与冲量 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图为雀尾螳螂虾，它的“铁拳”可由静止状态下在0.02s内以接近72km/h的速度挥出，出拳冲击力度高达600N。若“铁拳”挥出过程中，不考虑其他力的作用，则下列估算正确的是（　　） A．“铁拳”的质量约为50g B．“铁拳”的加速度大约为 C．“铁拳”的动量约增大了 D．“铁拳”所受合力的冲量大约为 【答案】C 【详解】D．“铁拳”在挥出过程中所受合力的冲量 故D错误； C．由动量定理得挥出过程中“铁拳”的动量增加量 故C正确； A．“铁拳”的质量约为 故A错误； B．“铁拳”的加速度约为 故B错误。 故选C。 2．（23-24高一下·四川成都·期末）如图甲，一质量为2kg的物块静止在光滑水平面上，从t=0时刻开始受到一水平外力F作用，F随时间变化的图线如图乙所示。取t=0时刻力F的方向为正方向，重力加速度大小取。下列说法正确的是（　　） A．前4s时间内，物块做往返运动 B．t=4s时，物块的动量为2kg·m/s C．前4s时间内，物块所受重力的冲量为0 D．t=2s到t=4s时间内，物块的速度变化量为2m/s 【答案】B 【详解】A．图像中，图像与时间轴所围几何图形的面积表示冲量，前4s时间内的冲量为 可知，前4s时间内，物块始终沿正方向运动，没有做往返运动，故A错误； B．根据动量定理有 结合上述有 解得 即t=4s时，物块的动量为2kg·m/s，故B正确； C．前4s时间内，物块所受重力的冲量为 故C错误； D．t=2s到t=4s时间内，合力的冲量为 图像中，图像与时间轴所围几何图形的面积表示冲量，t=2s到t=4s时间内冲量为 解得物块的速度变化量为-1kg·m/s，故D错误。 故选B。 3．（23-24高二下·安徽合肥·期中）下列关于物体动量和冲量的说法，不正确的是（　　） A．一个物体速度越大，动量越大 B．物体的动量方向与其速度方向相同 C．物体所受合外力的冲量越大，它的动量也越大 D．物体所受合外力的冲量不为零，它的动量一定会改变 【答案】C 【详解】A．根据 可知一个物体速度越大，动量越大，物体的动量方向与其速度方向相同。故AB正确，与题意不符； C．根据 可知物体所受合外力的冲量越大，它的动量变化量越大，与动量无关。故C错误，与题意相符； D．由选项C可知，物体所受合外力的冲量不为零，它的动量一定会改变。故D正确，与题意不符。 本题选不正确的故选C。 题型二：动量定理解决蹦极类问题 4．（23-24高二下·山西太原·期中）男子蹦床比赛中，运动员某次下落从最高点到着网点用时0.8s，从着网点到最低点用时0.4s。运动员的质量为60kg，不计空气阻力，该过程中网对运动员的平均作用力约为（　　） A．600N B．1200N C．1800N D．2400N 【答案】C 【详解】最高点到着网点过程，根据动能定理有 选择向上为正方向，对运动员进行分析，根据动量定理有 解得 故选C。 5．（23-24高二上·江西吉安·期末）跳床运动可以提高身体的灵活性，也可以让大脑短时间内忘记压力和烦恼。如图所示，体重为m的运动员从跳床上方h处从静止开始下落，与跳床接触时间后以速度v竖直向上运动，重力加速度大小为g，所有物理量的单位都采用国际单位制，不计空气阻力，则运动员与跳床接触时受到跳床的平均作用力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以竖直向上为正方向，李华与跳床接触时的速度为v0，根据 解得李华与跳床接触时的速度大小为 与跳床接触过程由动量定理得 得 故选C。 6．（23-24高三上·山东潍坊·期末）2023年10月2日中国蹦床名将朱雪莹在杭州亚运会蹦床比赛中夺得女子个人冠军。在某次比赛中她从离水平网面3.2m高处自由下落，与网接触0.8s后，沿竖直方向弹回到离水平网面5.0m高处。已知朱雪莹的质量为45kg，g取，网对朱雪莹的平均作用力大小为（　　） A．112.5N B．562.5N C．1012.5N D．1462.5N 【答案】D 【详解】朱雪莹自由下落刚触网时的速度大小满足 解得 离开网时的速度大小满足 解得 取竖直向上为正方向，由动量定理可得 解得 故选D。 题型三：动量定理解决流体问题 7．（23-24高二下·河南濮阳·期末）台风的破坏作用巨大，超强的风力能够摧毁建筑、树木等。台风外围的风力相对较小，某人站在台风外围某处时垂直于风速方向的受力面积为S，风速沿水平方向、大小为v，空气密度为，若风吹到人身上后速度减为零，人站在风中不动，则地面对人的摩擦力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设t时间内吹到人上的空气质量为m，则有 根据以风吹来的速度方向为正方向，由动量定理有 得 由平衡条件得地面对人的摩擦力大小为 故选A。 8．（23-24高一下·河北石家庄·期中）中国东海是超级台风（超过16级）的高发地，这种台风的中心风速可达到。某栋大楼高约、宽约，空气密度约为。若台风以的速度垂直吹到这栋大楼后，速度减为0，则大楼受到的风力大小约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】单位时间吹到这栋大楼的气体质量为 根据动量定理 联立解得大楼受到的风力大小约为 故选C。 9．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期中）2023年4月20日，今年第1号台风“珊瑚”在西北太平洋洋面上生成，登陆时中心附近最大风力有8级。某竖直面内的户外广告牌的迎风面积为，所能承受的最大风力为。若风吹到广告牌速度立刻减为零，空气密度为，则广告牌能承受的垂直迎风面方向的风速最大值为（　　） A．10m/s B．15m/s C．20m/s D．25m/s 【答案】C 【详解】设t时间内吹到广告牌上的空气质量为m，则有 取风的方向为正方向，对风根据动量定理有 解得广告牌能承受的最大风力为 则广告牌能承受的垂直迎风面方向的风速最大值为 故选C。 题型四：动量定理图像问题和生活应用问题 10．（23-24高一下·河北保定·期末）各地交管部门要求驾驶电动车人员必须佩戴头盔，以便在交通事故中对骑行人员的头部进行很好的保护。某同学利用头盔做了两次小实验，第一次实验，将一定质量的物体从距离地面某高度处自由释放，物体与地面碰撞后会弹起一定高度，第二次实验，将该物体固定于头盔中从同一高度自由释放，头盔触地后物体几乎不反弹。已知第二次实验头盔减速到0的时间比第一次物体与地面接触的时间更长一些，忽略空气阻力。关于第二次实验，下列说法正确的是（　　） A．物体受到的冲力更小一些 B．物体受到的冲量更大一些 C．头盔触地瞬间物体的速度更大一些 D．头盔触地瞬间物体的速度更小一些 【答案】A 【详解】CD．因两次均将该物体从同一高度自由释放，根据 可知两次落地时物体的速度相等，选项CD错误； AB．设落地速度为v，取向上为正方向，由动量定理，则第一次 第二次 可知第二次物体受到的冲量更小一些，第二次物体与地面接触的时间更长一些，可知物体受到的冲力更小一些，选项A正确，B错误。 故选A。 11．（23-24高二上·重庆涪陵·开学考试）冰壶比赛是冬奥会上一个备受关注的项目，运动员需要先给冰壶一个初速度，使冰壶沿着冰面达到指定区域，若某次比赛过程冰面可视为光滑，质量为5kg的冰壶（可视为质点）静止于光滑水平面上。从t=0时刻开始，冰壶受到运动员的水平外力F作用，外力F随时间变化的关系如图所示。下列说法正确的是（　　） A．冰壶第1s末的速度大小为 B．力F前1s内的冲量大小为 C．冰壶第2s末速度大小为 D．前2s内运动员对冰壶做的功为 【答案】A 【详解】A．冰壶在第1s内由动量定理 解得冰壶第1s末的速度大小为 选项A正确； B．力F前1s内的冲量大小为 选项B错误； C．冰壶在前2s内由动量定理 解得第2s末速度大小为 选项C错误； D．前2s内运动员对冰壶做的功为 选项D错误。 故选A。 12．（22-23高二上·福建泉州·期中）水平面上有质量相等的a、b两个物体，水平推力、分别作用在a、b上，一段时间后撤去推力，物体继续运动一段距离后停下，两物体的图像如图所示，图中，则整个过程中（    ）    A．a物体受到的摩擦力大于b物体受到的摩擦力 B．水平推力的冲量大于水平推力的冲量 C．摩擦力对a物体的冲量小于摩擦力对b物体的冲量 D．合外力对a物体的冲量小于合外力对b物体的冲量 【答案】C 【详解】A．由题图可知 由图像斜率表示加速度可知，说明推力撤去后两物体的加速度相等，推力撤去后物体的合力等于摩擦力，由牛顿第二定律可知，两物体受摩擦力大小相等，故A错误； B．在没有撤去推力前，由动量定理得 解得 由图可知，两物体的最大速度相等，因为推力的作用时间 所以的冲量小于的冲量，故B错误； C．摩擦力的冲量为 由题可知，整个过程中a的运动时间小于b运动的时间，而两物体所受摩擦力相等，所以摩擦力对a物体的冲量小于摩擦力对b物体的冲量，故C正确； D．全程动量变化为0，所以合外力的冲量为0，合外力对a物体的冲量等于合外力对b物体的冲量，故D错误。 故选C。 题型五：判断动量守恒问题 13．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图所示，完全相同的A、B两物块随足够长的水平传送带按图中所示方向匀速运动，A、B间夹有少量炸药。现炸药发生爆炸，则在爆炸及随后的过程中，下列说法正确的是（　　） A．炸药爆炸过程，A、B两物块组成的系统动量不守恒 B．炸药爆炸过程，A、B两物块组成的系统机械能不能增加 C．在炸药爆炸后至A、B相对传送带静止过程，A、B组成的系统动量守恒 D．在炸药爆炸后至A、B相对传送带静止过程，A、B组成的系统机械能守恒 【答案】C 【详解】A．A、B在炸药爆炸过程中，内力远远大于外力，A、B两物块组成的系统动量守恒，故A错误； B．A、B在炸药爆炸过程中，将炸药的化学能转化为A、B两物块的机械能，所以A、B两物块的机械能增加，故B错误； CD．以传送带为参考系，A、B两物块爆炸后，由动量守恒定律可知，两物块的速度大小相等，方向相反，两物块在传送带上的加速度大小相等，且都与各自的运动方向相反，都做匀减速运动，两物块同时相对传送带静止，所以总冲量是0，动量是守恒的；但需克服摩擦力做功，机械能不守恒，故C正确，D错误。 故选C。 14．（23-24高一下·重庆沙坪坝·期中）对下列情景说法正确的是（　　） A．子弹打进木块后一起向左运动的过程，子弹和木块构成的系统动量守恒 B．两同学传接篮球的过程，两同学和篮球构成的系统动量守恒 C．绑有磁铁的两小车在光滑水平地面上相向运动的过程，两车构成的系统动量守恒 D．小球从静止在光滑水平面上的斜槽顶端释放，在离开斜槽前小球和斜槽构成的系统动量守恒 【答案】C 【详解】A．子弹打进木块的瞬间子弹和木块组成的系统内力远大于外力，系统动量守恒，但在一起向左运动的过程，由于弹簧的弹力（或弹簧弹力和地面的摩擦力）作用，子弹和木块所受合外力不为零，系统动量不守恒，故A错误； B．两同学传接篮球的过程，由于地面摩擦力的作用，两同学和篮球构成的系统动量不守恒，故B错误； C．相向运动的过程中合外力为零，系统动量守恒，故C正确； D．小球从静止在光滑水平面上的斜槽顶端释放，在离开斜槽前小球和斜槽构成的系统水平方向动量守恒，故D错误。 故选C。 15．（23-24高二上·浙江杭州·期末）下列四幅图所反映的物理过程中，系统动量守恒的是（　　） A．只有甲、乙 B．只有甲、丙 C．只有甲、丁 D．只有丙、丁 【答案】B 【详解】甲图中子弹与木块组成的系统所受合外力为0，系统动量守恒；乙图中M与N组成的系统所受合外力不为0，系统动量不守恒；丙图中木球与铁球组成的系统所受合外力为0，系统动量守恒；丁图中斜面与木块组成的系统所受合外力不为0，系统动量不守恒，所以系统动量守恒的只有甲、丙。 故选B。 题型六：完全弹性碰撞问题 16．（23-24高一下·重庆·期末）如图甲所示，在光滑水平面上的两个小球发生正碰。小球的质量分别为m1和m2。图乙为它们碰撞前后的图像。已知m1=0.1 kg。由此可以判断（　　） A．碰后m2和m1都向右运动 B．碰撞过程中m2对m1的冲量大小为0.2N·s C．m2=0.1kg D．碰撞过程是弹性碰撞 【答案】D 【详解】A．根据图像的斜率表示速度，可知碰后向右运动，向左运动，故A错误； BC．根据图像的斜率表示速度，可知碰前和的速度分别为 ， 碰后和的速度分别为 ， 根据动量守恒可得 联立解得 对，根据动量定理可得 可知碰撞过程中对的冲量大小为，故BC错误； D．碰撞前系统的机械能为 碰撞后系统的机械能为 可知碰撞过程是弹性碰撞，故D正确。 故选D。 17．（23-24高二上·北京顺义·期末）质量为1kg的小球A以速率8m/s沿光滑水平面运动，与质量为2kg的静止小球B发生正碰后，A、B两小球的速率vA和vB可能为（　　） A．vA=5m/s B．vA=4m/s C．vB=1m/s D．vB=3m/s 【答案】D 【详解】取碰撞前A球的速度方向为正方向，由动量守恒定律得 mAv0=mAvA+mBvB ① 碰前机械能 A．若vA=5m/s，代入①得 vB=1.5m/s 由于碰撞后A、B同向运动，A的速度大于B的速度不可能；若vA=-5m/s，则vB=6.5m/s  碰后机械能 大于碰前机械能；故A错误。 B．若vA=4m/s，代入①得 vB= 2m/s，由于碰撞后A、B同向运动，A的速度大于B的速度不可能，若vA=-4m/s，则vB=6m/s  碰后机械能 大于碰前机械能；故B错误。 C．若vB=1m/s，代入①得 vA=6m/s，由于碰撞后A、B同向运动，A的速度大于B的速度不可能，故C错误。 D．若vB=3m/s，代入①得 vA=2m/s碰撞后系统的总动能为 符合能量守恒定律，故D正确。 故选D。 18．（22-23高二上·山东菏泽·期末）如图所示，在光滑的水平面上有两个滑块P、Q，滑块Q的左端固定连着一轻质弹簧．两个滑块分别以一定大小的速度沿着同一直线相向运动，滑块P的质量为2m，速度方向向右，滑块Q的质量为m．速度方向向左，则下列说法正确的是（    ） A．P、Q两个滑块包括弹簧组成的系统动能始终保持不变 B．当两个滑块的速度相等时，弹簧的弹性势能最大 C．两个滑块最终能以共同的速度一起向右运动 D．从P滑块和弹簧接触到弹簧压缩至最短的过程中，滑块Q的速度一直减少 【答案】B 【详解】A．对于P、Q两个滑块(包括弹簧)组成的系统，由于只有弹簧的弹力做功，所以系统的机械能守恒，即系统动能和弹簧弹性势能之和不变，动能与弹性势能相互转化，故A错误； B．P以某一初速度压缩弹簧，在弹簧弹力作用下P做减速运动，Q先做减速运动后加速运动，当与Q速度相等时，弹簧最短，弹性势能最大，故B正确； C．设最终P、Q两个滑块的速度分别为和，规定向右为正方向，根据动量守恒定律得 根据系统的机械能守恒得 解得 ， 故C错误； D．从P滑块和弹簧接触到弹簧压缩至最短的过程中，滑块Q一直受到向右的弹力，速度先向左减小至零，再向右增大，故D错误。 故选B。 题型七：完全非弹性碰撞问题 19．（23-24高二上·广东潮州·期末）如图所示，在光滑水平面上，质量分别为，速度的大小分别为的A、B两小球沿同一直线相向运动并发生碰撞，则（　　） A．它们碰撞后的总动量是，方向水平向右 B．它们碰撞前的总动量是，方向水平向左 C．它们碰撞后如果A球以的速度被反向弹回，则B球的速度大小为 D．它们碰撞后如果A球、B球粘在一起，则两球共同运动的速度大小为 【答案】A 【详解】AB．以右为正方向，它们碰撞前的总动量是 方向水平向右，碰撞过程动量守恒，碰撞后的总动量是2kg·m/s，方向水平向右，故A正确，B错误； C．如果球以的速度被反向弹回，由动量守恒得 解得 故C错误； D．碰撞后如A球B球粘在一起，则由动量守恒得 解得 故D错误。 故选A。 20．（20-21高三上·天津南开·期中）在光滑水平面上，A、B两球沿同一直线同向运动，碰撞后粘在一起，若碰撞前A、B球的动量分别为、，碰撞中B球动量减少，则A、B两球的质量之比为（　　） A．3：2 B．3：7 C．2：7 D．7：4 【答案】A 【详解】甲、乙两球在碰撞过程中系统的动量守恒，以两球的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得 P甲+P乙=P甲′+P乙′ 因为 P乙′=8kgm/s 所以 P甲′=12kgm/s 碰撞后速度相等，设此速度为v，则 P甲′=m甲v=12kgm/s P乙′=m乙v=8kgm/s 解得 m甲：m乙=3：2 故A正确，BCD错误。 故选A。 21．（19-20高二下·山东东营·阶段练习）如图所示，质量为0.5kg的小球在距离车底面高20m处以一定的初速度向左平抛，落在以7.5m/s速度沿光滑水平面向右匀速行驶的敞篷小车中，车底涂有一层油泥，车与油泥的总质量为4kg，设小球在落到车底前瞬时速度是25m/s，g取10m/s2，则当小球与小车相对静止时，小车的速度是（　　） A．4m/s B．5m/s C．8.5m/s D．m/s 【答案】B 【详解】由题意知，小球在落到小车前做平抛运动，且小球在落到车底前瞬时速度是 此时小球的竖直分速度为 则此时的水平速度为 方向水平向左，规定水平向右为正方向，则小车的速度为 则根据动量守恒定律可得 即当小球与小车相对静止时，小车的速度是5m/s，所以B正确，ACD错误。 故选B。 题型八：爆炸问题 22．（23-24高二下·山西长治）如图所示，光滑水平面上A、B、C三个质量均为2kg的物体紧贴着静止放在一起，A、B之间有微量炸药。炸药爆炸后三个物体均沿水平方向运动且B对C做的功为16J，若炸药爆炸过程释放的能量全部转化为三个物体的动能，则炸药爆炸过程中释放出的能量为（　　） A．48J B．64J C．96J D．108J 【答案】C 【详解】对C由动能定理得 爆炸后B和C共速，对A、B、C整体动量守恒得 爆炸释放的能量为三者动能之和，故 故选C。 23．（23-24高三上·山东淄博·期中）一弹丸在飞行到距离地面高时仅有水平速度，爆炸成为甲、乙两块水平飞出，甲、乙的质量比为1:4。不计质量损失，取重力加速度，则下列图中两块弹片飞行的轨迹可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取原来的速度v的方向为正方向，弹丸质量为5m，根据动量守恒有 可得 爆炸后下落的时间为 由于时间相同，等式两边同乘以时间t，可得水平位移的关系为 由题可知，只有B选项满足上述水平位移关系。 故选B。 24．（23-24高二上·江苏连云港·期中）2023年10月10日，据黎巴嫩媒体报道，以色列军队在黎巴嫩南部领土使用国际法禁止的白磷弹。假设一质量为m的白磷弹竖直向上运动到最高点时，爆炸成两部分，爆炸后瞬时质量为部分的动能为，爆炸时间极短可不计，不计爆炸过程中的质量损失，则该白磷弹爆炸后瞬时的总动能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】爆炸后瞬时质量为部分的速度大小为，另一部分的质量为，速度大小为，根据动量守恒可得 又 ， 该白磷弹爆炸后瞬时的总动能为 联立解得 故选C。 题型九：反冲问题 25．（23-24高二下·浙江湖州·期末）用火箭发射人造卫星，发射过程中最后一节火箭的燃料用完后，火箭壳体和卫星一起以的速度绕地球做匀速圆周运动。已知卫星的质量为，最后一节火箭壳体的质量为。某时刻火箭壳体与卫星分离，分离时卫星与火箭壳体沿轨道切线方向的相对速度为。下列说法正确的是（　　） A．分离后火箭壳体的速度大小为 B．分离后火箭壳体的速度大小为 C．分离过程中火箭壳体对卫星的冲量大小为 D．分离前后卫星与火箭壳体的总动量变化量大小为 【答案】C 【详解】ABD．设火箭壳体和卫星分离前一起绕地球做匀速圆周运动的速度为，卫星的质量为，火箭壳体的质量为，分离时卫星与火箭壳体沿轨道切线方向的相对速度为，分离后火箭壳体的速度大小为，根据题意可知，分离前后卫星与火箭壳体组成的系统动量守恒，则分离前后卫星与火箭壳体的总动量变化量大小为0，取分离前火箭壳体和卫星的速度方向为正方向，根据动量守恒定律得 解得 则分离后卫星的速度为 故ABD错误。 C．分离过程中，设火箭壳体对卫星的冲量大小为，对卫星由动量定理有 故C正确。 故选C。 26．（23-24高三下·辽宁·期中）航天梦由来已久，明朝万户，他把多个自制的火箭绑在椅子上，自己坐在椅子上，双手举着大风筝，设想利用火箭的推力，翱翔天际，然后利用风筝平稳着陆。假设万户及所携设备（火箭（含燃料）、椅子、风筝等）总质量为M，点燃火箭后在极短的时间内，质量为m的炽热燃气相对地面以的速度竖直向下喷出。忽略此过程中空气阻力的影响，重力加速度为g，下列说法中正确的是（    ） A．在燃气喷出后的瞬间，火箭的速度大小为 B．火箭在向下喷气上升的过程中，火箭机械能守恒 C．喷出燃气后万户及所携设备能上升的最大高度为 D．在燃气喷出后上升过程中，万户及所携设备动量守恒 【答案】A 【详解】A．在燃气喷出后的瞬间，万户及所携设备组成的系统动量守恒，设火箭的速度大小为v，规定火箭运动方向为正方向，则有 解得火箭的速度大小为 故A正确； B．在火箭喷气过程中，燃料燃烧时产生的向后喷出的高温高压气体对万户及所携设备做正功，所以火箭机械能不守恒，故B错误； C．喷出燃气后，万户及所携设备做竖直上抛运动，根据运动学公式可得，最大上升高度为 故C错误； D．在燃气喷出后上升过程中，万户及所携设备因为受重力，系统动量不守恒，故D错误。 故选A。 27．（23-24高二下·广东佛山·期中）喷气背包曾经是宇航员舱外活动的主要动力装置。假定宇航员与空间站保持相对静止。启动喷气背包后，横截面积为S的喷口以速度v（以空间站为参考系）持续向后喷出密度为ρ的气体。已知宇航员连同整套舱外太空服的质量为M（含背包及其内气体），则启动喷气时间t后宇航员相对空间站的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】启动喷气时间t后宇航员相对空间站的速度大小为，规定宇航员相对空间站的速度方向为正方向，由动量守恒定律得 解得 故选D。 题型十：动量守恒综合问题 28．（23-24高一下·河南南阳·期末）公园内一猴子通过漂浮在水中的竹竿渡河。它先以水平分量为的速度跳上静止在水面的竹竿，共速后立即以相同水平分量的速度反向跳回河岸，并再次以水平分量为的速度跳上竹竿。若猴子每次起跳时的速度都是相对于地面，忽略竹竿和猴子所受水和空气的阻力，猴子和竹竿的质量均为，求： （1）猴子第一次跳离竿后，竿的速度大小； （2）猴子和竿最终的总动能。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）猴子第一次跳上竹竿后，根据动量守恒可得 解得 猴子第一次跳离竿后，根据动量守恒可得 解得竿的速度大小为 （2）猴子再次以水平分量为的速度跳上竹竿后，根据动量守恒可得 解得 则子和竿最终的总动能为 29．（2024·山西·模拟预测）如图甲所示，质量分别是2m、m的两物块A、B用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙壁相接触。t＝0时，物块C以速度向右运动，时刻与物块A相碰并立即（作用时间极短、可忽略）与物块A粘在一起不再分离。在时间内，物块C的图像如图乙所示，求： （1）物块C的质量； （2）离开墙壁后，物块B的最大速度。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）物块C与物块A相碰并立即粘在一起，速度为 解得 （2）时刻，弹簧第一次恢复到原长，此时物块AC速度的大小为，物块B的速度为0，从开始，系统动量、机械能均守恒。系统的总动量、总机械能分别为 弹簧第二次恢复到原长时，物块B的速度最大。设此时物块AC、物块B的速度大小分别为、，则 解得 ， 30．（23-24高一下·安徽六安·期末）如图所示，木板C固定在水平面上，长木板DE静止在水平面上且与C等高，DE的长度，长木板DE的右端为半径的光滑圆弧，质量为的滑块B静止在长木板的左端。开始时，将质量的滑块A向左推，压缩弹簧至P点，使弹簧获得20J的弹性势能，然后释放滑块A，一段时间后滑块A与滑块B发生弹性碰撞，碰撞后立即将A锁死，滑块B运动中恰好不能从长木板右端的圆弧槽滑离长木板。已知滑块A与木板C、滑块B与长木板DE间的动摩擦因数均为，点P与滑块B距离为2m，长木板DE的下表面光滑，滑块A、B均可视为质点，重力加速度。求： （1）滑块A、B碰前瞬间滑块A的速度大小； （2）求长木板DE的最大速度； （3）滑块B最终距O点的水平距离。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）根据能量守恒可得 解得滑块A、B碰前瞬间滑块A的速度大小为 （2）滑块A、B发生弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可得 联立解得碰后瞬间B的速度为 滑块B在长木板滑行时，滑块B与长木板组成的系统满足水平方向动量守恒，由题意可知滑块B运动到长木板右端圆弧槽的顶端刚好两者共速，设长木板的质量为，则有 根据能量守恒可得 联立解得 ， 当滑块B从圆弧槽顶端返回底端时，长木板DE的速度最大，则有 联立解得长木板DE的最大速度为 （3）设滑块最终与长木板相对静止一起运动运动，根据动量守恒可得 根据能量守恒可得 联立解得滑块相对于长木板的路程为 假设成立，则滑块B最终距O点的水平距离为 【专题强化】 一、单选题 31．（23-24高一下·重庆·期末）人们对手机的依赖性越来越强，有些人喜欢躺着看手机，经常出现手机砸伤眼睛的情况。若手机质量为150g，从离人眼约20cm的高度无初速掉落，砸到眼睛后手机未反弹，眼睛受到手机的冲击时间约为0.2s，取重力加速度。下列分析正确的是（　　） A．手机砸到眼睛前瞬间动量大小约为 B．手机对眼睛的冲量大小约为 C．手机对眼睛的冲量方向竖直向上 D．手机对眼睛的作用力大小约为 【答案】D 【详解】A．选竖直向下为正方向，手机做自由落体运动，到达眼睛时的速度为 则手机砸到眼睛前瞬间动量大小约为 故A错误； BC．手机与眼睛作用后手机的速度变成0，所以手机与眼睛作用过程中动量变化为 手机与眼接触的过程中受到重力与眼睛的作用力，根据动量定理有 解得 即眼睛对手机的冲量大小约为，方向竖直向上，因为手机对眼睛的作用力与眼睛对手机的作用力大小相等，方向相反，且作用的时间相等，所以手机对眼睛的冲量大小约为， 方向竖直向下，故BC错误； D．由冲量的定义 解得 则手机对眼睛的作用力大小约为，故D正确。 故选D。 32．（23-24高一下·河北·期末）质量为的玩具小车，速度由向左的变为向右的，取向左为正方向，则小车的动能变化量和动量变化量分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】小车的初速度为，末速度为，小车的动能变化量 动量变化量 故选C。 33．（23-24高一下·湖北武汉·期末）光滑水平面上有A、B两球，质量分别为m1、m2、A球以初速度v0与静止的B球发生正碰。下列说法不正确的是（　　） A．若碰撞是弹性碰撞且碰后A球速度反向，则一定有m1<m2 B．若碰撞是弹性碰撞且有m1<m2，则碰后A球速度一定反向 C．若碰撞是非弹性碰撞且碰后A球速度反向，则一定有m1<m2 D．若碰撞是非弹性碰撞且有m1<m2，则碰后A球速度一定反向 【答案】D 【详解】AB．取方向为正方向，若碰撞是弹性碰撞，则 所以 ， 故AB正确，不符合题意； CD．若碰撞是非弹性碰撞，则 解得 所以，若，可知碰后A球速度不一定反向；若碰后A球速度反向即此时为负值，则一定有，故C正确，不符合题意，D错误，符合题意。 故选D。 34．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在运动会中，一同学参加立定跳远比赛，如图所示。已知该同学质量为m，从静止下蹲状态发力起跳，获得斜向上的速度v，方向与水平方向成角。则在起跳过程中（　　） A．摩擦力对人的冲量大小为 B．支持力对人的冲量大小为 C．摩擦力对人做功为 D．支持力对人做功为 【答案】A 【详解】AB．起跳过程中，人受支持力、重力、摩擦力作用，根据动量定理可知，在竖直方向有 解得 水平方向有 故A正确，B错误； CD．起跳过程中，力的位移为0，支持力和摩擦力做功为0，故CD错误； 故选A。 35．（23-24高一下·上海黄浦·期末）行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内的安全气囊会被弹出并瞬间充满气体。若碰撞后汽车的速度在很短时间内减小为零，关于安全气囊在此过程中的作用，下列说法正确的是（　　） A．增加了司机单位面积的受力大小 B．减少了碰撞前后司机动量的变化量 C．延长了司机的受力时间并增大了司机的受力面积 D．将司机的动能全部转换成汽车的动能 【答案】C 【详解】ABC．根据动量定理可得 此过程中，司机动量的变化量一定，由于安全气囊使得作用时间变长，并增大了司机的受力面积，从而减小司机受到的冲击力，减小了司机单位面积的受力大小，故AB错误，C正确； D．因有安全气囊的存在，司机和安全气囊接触后会有一部分动能转化为气体的内能，不会全部转化成汽车的动能，故D错误。 故选C。 36．（23-24高一下·天津和平·期末）如图，水平光滑地面上停放着一辆质量为M的小车，其左侧有半径为R的四分之一光滑圆弧轨道AB，轨道最低点B与水平轨道BC相切，整个轨道处于同一竖直平面内。将质量为m的物块（可视为质点）从A点无初速释放，物块沿轨道滑行至轨道末端C处恰好没有滑出。设重力加速度为g，物块与轨道BC之间的滑动摩擦因数为，空气阻力可忽略不计。关于物块从A位置运动至C位置的过程，下列说法中正确的是（　　） A．小车和物块构成的系统机械能守恒 B．物块在BC上运动时，摩擦力对物块和小车做功的代数和为零 C．水平轨道BC的长度为 D．如果小车被锁定在地面上，物块仍从A点静止释放，则也能恰到达C点 【答案】D 【详解】A．由于物块在轨道BC之间滑行时，因摩擦会产生内能，所以小车和物块构成的系统机械能不守恒，故A错误； B．物块在BC上运动时，根据功能关系可在，摩擦力对物块和小车做功的代数和的绝对值等于系统产生的内能，所以摩擦力对物块和小车做功的代数和不为零，故B错误； C．物块从A位置运动至C位置的过程，小车和物块构成的系统满足水平方向动量守恒，由于初动量为0，则物块到达C处时，刚好小车和物块共同的速度为0；根据能量守恒可得 解得水平轨道BC的长度为 故C错误； D．如果小车被锁定在地面上，物块仍从A点静止释放，根据能量守恒可得 解得 可知物块也能恰到达C点，故D正确。 故选D。 37．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，一带有四分之一光滑圆弧轨道的小车静止在光滑水平面上，一可视为质点、质量为m的小球以速度从小车的左端水平滑上小车，与小车作用后从小车左端竖直掉下。已知圆弧轨道的半径足够大，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．小球和小车组成的系统动量守恒、机械能守恒 B．小车的最终速度大小为 C．小车对小球做的功为 D．小球在小车上能上升的最大高度为 【答案】D 【详解】A．小球和小车组成的系统机械能守恒，由于小球在运动过程中存在超重与失重过程，则系统的动量不守恒，但系统水平方向的动量守恒，故A错误； B．由于小球与小车作用后从小车左端竖直掉下，表明小球落下时速度恰好为0，根据动量守恒定律有 根据机械能守恒定律有 解得 ， 故B错误； C．对小球进行分析，根据动能定理有 表明小车对小球做的功为，故C错误； D．小球上升到小车上的最高点时，两者速度相等，根据动量守恒定律有 根据系统机械能守恒有 结合上述解得 故D正确。 故选D。 38．（23-24高一下·辽宁·期末）一质量为的烟花弹获得初动能后从水平地面无动力竖直升空，到达离水平地面高8m的最高点时速度为0，此时弹中火药爆炸（爆炸时间极短），将烟花弹炸为大、小两块，爆炸后瞬间大、小两块烟花弹分别获得竖直向上、竖直向下的速度，大块烟花弹的速度大小为，大块烟花弹质量为小块烟花弹质量的2倍。不计空气阻力和火药的质量，取重力加速度大小，下列说法正确的是（　　） A．烟花弹的初动能为9.6J B．爆炸后瞬间小块烟花弹的速度大小为 C．小块烟花弹落地时的速度大小为 D．大、小两块烟花弹从爆炸到落地的时间之比为 【答案】D 【详解】A．根据机械能守恒，烟花弹的初动能 故A错误； B．设大块烟花弹质量为，小块烟花弹质量m，则 M=2m 根据动量守恒 爆炸后瞬间小块烟花弹的速度大小为 故B错误； C．根据 小块烟花弹落地时的速度大小为 故C错误； D．小块烟花弹落地时间 对大块烟花弹，根据 得 即大、小两块烟花弹从爆炸到落地的时间之比为，故D正确。 故选D。 二、多选题 39．（23-24高一下·安徽六安·期末）质量为m的钢球自高处落下，以速率到水平地面后，竖直向上弹回，碰撞时间为，离地的速率为。不计空气阻力，在碰撞过程中（    ） A．钢球的动量变化量方向向上，大小为 B．钢球的动量变化量方向向上，大小为 C．钢球所受平均合力方向向上，大小为 D．钢球受地面的平均弹力大小为 【答案】BC 【详解】AB．以向上为正方向，则碰撞过程，钢球的动量变化量为 可知钢球的动量变化量方向向上，大小为，故A错误，B正确； C．根据动量定理可得 可得 可知钢球所受平均合力方向向上，大小为，故C正确； D．根据动量定理可得 解得钢球受地面的平均弹力大小为 故D错误。 故选BC。 40．（23-24高一下·河北保定·期末）如图所示，静置于光滑水平面上的三辆小车A、B、C处在同一直线上，A、B质量均为m，C质量为2m，小车C固定一水平轻质弹簧，初始时弹簧处于自然长度。现给小车A一个水平向左的初速度v，A与B碰撞后粘合在一起，运动一段距离后，开始压缩弹簧，若弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　） A．整个相互作用的过程中，系统动量守恒、机械能守恒 B．A、B碰撞后的速度为 C．弹簧的最大弹性势能 D．当弹簧再次恢复到原长时，C车的速度为 【答案】BCD 【详解】A．整个相互作用的过程中，系统受合外力为零，则系统的动量守恒；A与B碰撞后粘合在一起，则损失机械能，则系统的机械能不守恒，选项A错误； B．A、B碰撞由动量守恒，则 则碰后的速度为 选项B正确； C．当A、B、C三者共速时弹簧弹性势能最大，则 弹簧的最大弹性势能 选项C正确； D．当弹簧再次恢复到原长时，由动量守恒和能量关系 解得 v3=0 即C车的速度为，选项D正确。 故选BCD。 41．（23-24高一下·重庆·期末）如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q都可视为质点，质量相等。Q与水平轻弹簧相连，设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞（　　） A．在整个碰撞过程中，最大弹性势能等于P的初动能 B．在整个碰撞过程中，最大弹性势能等于P的初动能的 C．从P接触弹簧到弹性势能最大的过程，弹簧对P、Q做功大小之比为1∶1 D．从P接触弹簧到弹性势能最大的过程，弹簧对P、Q做功大小之比为3∶1 【答案】BD 【详解】AB．设小滑块P的初速度为，当P、Q速度相同时，弹簧的压缩量最大，弹簧的弹性势能最大，根据动量守恒可得 解得 根据系统机械能守恒可得弹簧的最大弹性势能为 可知最大弹性势能等于P的初动能的，故A错误，B正确； CD．从P接触弹簧到弹性势能最大的过程，对P，根据动能定理可得 对Q，根据动能定理可得 可知从P接触弹簧到弹性势能最大的过程，弹簧对P、Q做功大小之比为3∶1，故C错误，D正确。 故选BD。 42．（23-24高二下·河南郑州·期末）质量为和的两个物体在光滑的水平面上正碰，碰撞时间不计，其位移—时间图像如图所示，由图像可判断以下说法正确的是（    ） A．碰后两物体的运动方向相同 B．碰后的速度大小为 C．两物体的质量之比 D．两物体的碰撞是弹性碰撞 【答案】BC 【详解】A．根据图像斜率表示速度可知碰后两物体的运动方向相反，故A错误； B．碰后的速度大小为 故B正确； C．碰撞后的速度为 碰撞前的速度为 碰撞前的速度为0，根据动量守恒定律得 可得两物体的质量之比为 故C正确； D．碰撞前系统的总动能为 碰撞后系统的总动能为 则有 可知两物体的碰撞不是弹性碰撞，故D错误。 故选BC。 43．（23-24高一下·四川·期末）2024年5月9日至21日全国冰壶冠军赛，在武汉光谷枫叶国际冰上运动中心举办。某次冰壶传击中，质量为m的红壶以速度，与静止在光滑冰面上等质量的蓝壶发生对心正碰，碰后红壶仍沿原方向运动，则（　　） A．碰撞过程中，红壶动量变化的大小小于蓝壶动量变化的大小 B．该碰撞一定为非弹性碰撞 C．若两冰壶发生完全非弹性碰撞，碰撞过程中损失的机械能为 D．若蓝壶的质量变为0.5m，蓝壶的速度可能为 【答案】BD 【详解】A．碰撞过程中，相互作用力的冲量大小相等，根据动量定理可知，，红壶动量变化的大小等于蓝壶动量变化的大小，故A错误； B．若该碰撞为弹性碰撞，则有 解得 ， 因为碰后红壶仍沿原方向继续运动，所以该碰撞一定为非弹性碰撞，故B正确； C．若两冰壶发生完全非弹性碰撞，根据动量守恒可得 解得 碰撞过程中损失的机械能为 故C错误； D．若蓝壶的质量变为0.5m，若两冰壶发生完全非弹性碰撞，根据动量守恒可得 解得 若两冰壶发生弹性碰撞，则有 解得 ， 则碰后蓝壶的速度范围为 所以蓝壶的速度可能为，故D正确。 故选BD。 三、解答题 44．（23-24高二下·湖北·期末）如图所示，上表面粗糙的木板B静止于光滑水平面上，底部涂有颜料的物块A放在B的左端，另一质量的小球用长的轻绳悬挂在固定点O。将小球向左拉至轻绳与竖直方向成60°并由静止释放，小球在最低点与A发生（碰撞时间极短的）弹性正碰，碰后A在B上滑动，且未从B的右端滑出，测得划痕长度为0.2m。已知物块A的质量，木板B的质量，物块A与小球均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取，求： （1）小球与物块A碰撞前瞬时速度的大小； （2）小球与物块A碰撞后瞬间绳上所受拉力F的大小； （3）物块A与木板B之间的动摩擦因数。 【答案】（1）2m/s；（2）12.5N；（3） 【详解】（1）小球下摆过程中，受到重力和绳子拉力作用，由动能定理得 解得 （2）小球摆到最低点时与物块A发生弹性正碰，取向右为正方向，由动量守恒和能量守恒定律得 小球与物块A碰后以在竖直平面内从最低点向左做圆周运动，由牛顿第二定律得 解得 N （3）以物块A和木板B组成系统，由动量守恒定律和能量守恒定律得 解得 45．（23-24高二下·广东江门·期末）长l=0.8m的轻绳处于水平拉直状态，将摆球A由静止释放，下摆至最低点时，与静止在水平面上的小球B发生弹性碰撞（碰撞时间极短），小球B向左冲上放置在水平面上的四分之一圆弧轨道，轨道与水平地面相切，忽略一切摩擦。已知球A质量m1=2kg，球B质量m2=6kg，圆弧轨道质量m3=6kg，重力加速度g=10m/s2。求： （1）球A下摆至最低点时速度多大？ （2）球B碰后的速度多大？ （3）要让球B从轨道左端离开，轨道半径R多大？ 【答案】（1）4m/s；（2）2m/s；（3） 【详解】（1）球A下摆过程，由动能定理得 解得 （2）A、B碰撞过程动量和机械能均守恒 联立解得球B碰后的速度 （3）若球B刚能冲上轨道左端最高处，系统水平方向动量守恒 由机械能守恒定律得 联立解得 R=0.1m 即轨道半径 46．（23-24高一下·上海黄浦·期末）如图做单摆运动的小球A质量为m，小球B质量为3m。球A用细绳系住，绳子的另一端固定，球B置于光滑水平面上．当球A从离光滑水平面高h处由静止摆下，到达最低点时恰好与球B发生弹性正碰。求：（不计空气阻力） （1）两个小球发生弹性碰撞前小球A的速度大小； （2）碰后小球A的速度大小； （3）碰后小球A能上升的最大高度。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）A球下摆过程，根据机械能守恒可得 解得两个小球发生弹性碰撞前小球A的速度大小为 （2）A、B两球发生弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可得 联立解得碰后小球A的速度为 则碰后小球A的速度大小为。 （3）设碰撞后A上升的最大高度为，根据机械能守恒可得 解得 47．（23-24高二下·江苏盐城·期末）质量均为m的木块A和B，并排放在光滑水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的O点系着一长为l的细线，细线另一端系一质量为m的球C。现将C拉起使细线水平伸直，并由静止释放C球。取O所在水平面为零势能面，重力加速度为g。求C球： （1）运动到最低点时重力势能大小； （2）在AB两木块分离时的水平位移大小x； （3）第一次运动到杆左侧最高点与O点的高度差h。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）根据功能关系可知 （2）对A、B、C组成的系统，由人船模型可得 且 解得 （3）由题意可知，小球C摆至最低点时，A、B两木块开始分离，设此时C球速度大小为，A、B共速的大小为；对ABC系统，水平方向动量守恒得 由系统能量守恒得 解得 此后C球向左摆至最高点时，A、C共速，设此时速度大小为，由水平方向动量守恒得 设C球上升的高度为H，由AC系统能量守恒得 联立解得 第一次运动到杆左侧最高点与O点的高度差h为 48．（23-24高一下·河北石家庄·期末）如图所示，光滑桌面上木板C静止并被锁定，质量为1kg，在木板的中央处放置两个小滑块A和B，质量分别为2kg和1kg，两滑块间有小型炸药，某时刻炸药爆炸释放能量为12J，两滑块开始运动，当一个滑块速度减为零时，木板锁定被解除，两滑块与木板间动摩擦因数均为0.2，最终一个滑块恰好滑到木板的边缘，g取10m/s2，不计炸药的质量。试求： （1）木板锁定被解除时小滑块A和B速度大小； （2）木板C的最终速度的大小； （3）木板C的最小长度以及整个过程中两滑块与木板间因摩擦产生的内能。 【答案】（1）0；2m/s；（2）0.5m/s；（3）7.5m；11.5J 【详解】（1）爆炸过程两滑块组成的系统动量守恒，炸药爆炸释放的能量转化为两滑块的动能，有 ， 解得 滑块速度减为零所用时间 此时的速度 此时B的速度 （2）木板锁定被解除后，滑块A与木板C相对静止，整体与滑块B发生相对运动，设最终三者达到共同速度为，根据动量守恒定律有 得 （3）A速度减为零时与间的相对位移 整个过程中两滑块与木板间因摩擦产生的内能 设整体与B相对运动过程B与C间的相对位移为，由功能关系可得 得 木板的最小长度为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$