预习09讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（精讲+精练）-2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 预习09讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（精讲+精练） ①直线与圆的位置关系 ②圆的切线问题 ③直线与圆相交的弦长问题 ④圆与圆的位置关系 ⑤圆的公共弦问题 ⑥圆的公切线问题 一、直线与圆的位置关系 1.直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2.判断直线与圆的位置关系的两种方法 （1）几何法（优先使用） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 （2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 二、直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1.几何法（优先使用） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2.代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 三、直线与圆相切 1.圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2.过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3.切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 四、圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 五、圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 2.圆与圆的位置关系的判定 （1）几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. （2）代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 六、圆与圆的公共弦 1.圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2.公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3.公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 七、圆与圆的公切线 1.公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． ①直线与圆的位置关系 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）直线与圆的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 2．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 3．（23-24高二上·福建南平·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 4．（23-24高三上·贵州黔东南·开学考试）若直线与圆只有一个公共点，则（    ） A． B．1 C．0 D．2 5．（23-24高二上·湖北十堰·期末）直线与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 6．（23-24高二上·四川成都·期末）若直线平分圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 7．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知直线与圆相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·安徽·期末）若直线把单位圆分成长度为的两段圆弧，则（    ） A． B． C． D． ②圆的切线问题 策略方法 直线与圆相切的问题 （1）圆的切线方程的求法 ①点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． （2）常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论． 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二下·北京·期中）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（22-23高二上·重庆北碚·阶段练习）过点作圆的一条切线，切点为B，则（    ） A．3 B． C． D． 5．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·河南南阳·期末）过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 7．（23-24高二上·福建南平·期中）过点作圆的两条切线，圆心坐标为C，设切点分别为A，B，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·安徽淮北·期末）从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ③直线与圆相交的弦长问题 策略方法 直线与圆的相交问题 （1）研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长、弦心距和半径之间形成的数量关系． （2）弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·江西上饶·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 2．（23-24高二上·山西·期中）直线与圆交于A，B两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 4．（23-24高二下·云南·开学考试）两平行直线与直线分别与圆M:相交于点，和，，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 6．（23-24高二下·河南驻马店·阶段练习）已知直线与圆相交于A，B两点，则|的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二上·新疆·期末）已知直线与圆交于两点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，圆内有一点，AB为过点的弦，若弦AB被点平分时，则直线AB的方程是（    ）    A． B． C． D． ④圆与圆的位置关系 策略方法 几何法判断圆与圆的位置的步骤 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长． (2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值． (3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论． 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南通·期末）圆和圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 2．（23-24高二上·海南·期末）圆与圆（    ） A．相切 B．相交 C．外离 D．内含 3．（23-24高二上·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 4．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆，圆，则与的位置关系是（   ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 5．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）若圆：与圆：内切，则（ ） A．29 B．9 C． D．19 6．（23-24高二上·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·浙江·开学考试）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．1 D．2 8．（23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． ⑤圆的公共弦问题 策略方法 两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得． 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 2．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知是圆与圆的公共点，则的面积为（    ） A．3 B． C． D． 3．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）圆与圆相交于两点，则线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（    ） A．20 B．－20 C．10 D．－10 ⑥圆的公切线问题 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏盐城·期末）两圆与的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（23-24高二上·安徽滁州·期末）圆与圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广西玉林·期中）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．是圆与圆的一条公切线 D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2 5．（2023高二上·全国·专题练习）已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2023高三·全国·专题练习）已知圆与圆恰有两条公切线，则满足题意的一个的取值为 ；此时公切线的方程为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 预习09讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（精讲+精练） ①直线与圆的位置关系 ②圆的切线问题 ③直线与圆相交的弦长问题 ④圆与圆的位置关系 ⑤圆的公共弦问题 ⑥圆的公切线问题 一、直线与圆的位置关系 1.直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2.判断直线与圆的位置关系的两种方法 （1）几何法（优先使用） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 （2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 二、直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1.几何法（优先使用） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2.代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 三、直线与圆相切 1.圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2.过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3.切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 四、圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 五、圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 2.圆与圆的位置关系的判定 （1）几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. （2）代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 六、圆与圆的公共弦 1.圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2.公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3.公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 七、圆与圆的公切线 1.公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． ①直线与圆的位置关系 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）直线与圆的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，与半径比较大小，即可得到结论. 【详解】圆，即， 其圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离， 直线与圆的位置关系为相切. 故选：C 2．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】求出点到直线的距离即可求解. 【详解】因为圆，所以， 半径，因为点到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系是相离. 故选：C. 3．（23-24高二上·福建南平·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 【答案】D 【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，所以直线与圆相交但不过圆心， 故选：D. 4．（23-24高三上·贵州黔东南·开学考试）若直线与圆只有一个公共点，则（    ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】 根据给定条件，可得直线与圆相切，再借助点到直线距离公式计算即得. 【详解】依题意，直线与圆相切，而圆的圆心，半径为1， 因此，解得， 所以. 故选：C 5．（23-24高二上·湖北十堰·期末）直线与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【答案】C 【分析】求得直线所过定点，再判断该定点在圆的内部，从而得解. 【详解】因为直线可化为， 所以直线过定点， 而，所以该定点在圆的内部，故直线与圆有2个公共点. 故选：C. 6．（23-24高二上·四川成都·期末）若直线平分圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】列出所满足的条件，由直线过圆心求得的值. 【详解】可化为，则， 又直线平分圆， 则直线经过圆心. 代入直线得，解得或. 因为不满足，故 故选：C. 7．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知直线与圆相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得圆心到直线的距离，再结合点到直线的距离公式计算即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为直线与圆相交， 所以圆心到直线的距离， 即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 8．（23-24高二上·安徽·期末）若直线把单位圆分成长度为的两段圆弧，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线和圆相交于，则根据较短弧长与较长弧长之比为得到，利用点与直线的距离建立条件关系即可． 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径， 设直线和圆相交于，    若较短弧长与较长弧长之比为，则， 则圆心到直线的距离， 即，解得. 故选：B. ②圆的切线问题 策略方法 直线与圆相切的问题 （1）圆的切线方程的求法 ①点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． （2）常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论． 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二下·北京·期中）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点斜式设出方程，利用相切可求答案. 【详解】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为， 圆心到直线的距离为，因为与圆相切，所以， 即，解得，即的方程为. 故选：A 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先判断与圆的位置关系，然后可判断出切线条数. 【详解】因为圆心为，半径， 所以到的距离为， 所以在圆外， 过圆外一点作圆的切线有条， 故选：B. 3．（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】分2种情况讨论：①直线l的斜率不存在，则其方程为，易得其与圆相切；②直线l的斜率存在，设其方程为，根据直线l与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k的值即可． 【详解】圆化为标准方程为，得圆心，半径为2， 当直线l的斜率不存在时，直线， 此时直线l与圆相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 由相切得， 所以，平方化简得，求得直线方程为， 综上，直线l的方程为或 故选：B 4．（22-23高二上·重庆北碚·阶段练习）过点作圆的一条切线，切点为B，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得圆的圆心坐标和半径，再利用切线长定理即可求得的值. 【详解】因为圆， 所以圆的圆心为，半径为， 因为与圆相切，切点为B， 所以，则， 因为， 所以. 故选：B. 5．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题意，求得圆心的轨迹方程为圆，得到圆上到点的最大距离为，结合圆的切线长公式，即可求解. 【详解】设圆的圆心坐标为， 因为圆的半径为，且过点，可得， 即，即圆心的轨迹表示以为圆心，半径为1的圆， 可得，则圆上的点到点的最大距离为， 又由切线长公式，可得切线长的最大值为. 故选：A. 6．（22-23高二下·河南南阳·期末）过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】 根据题意可得为等边三角形，可得结果. 【详解】圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为1，    由题意知，,,,, 所以,所以. 所以,且, 所以为等边三角形， 所以. 故选:C． 7．（23-24高二上·福建南平·期中）过点作圆的两条切线，圆心坐标为C，设切点分别为A，B，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由，得,则圆心， 则，则， 则四边形的面积为. 故选：A    8．（23-24高二上·安徽淮北·期末）从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆相切求得直线的斜率，得到切线的倾斜角，结合图形求得两条切线间圆的劣弧所对的圆心角，用弧长公式即得. 【详解】   由配方得：，即圆心为,半径为. 如图，设过原点的圆的两条切线与圆切于点,连接. 设切线的方程为：，由圆心到切线的距离为，解得：， 设其中一条切线的倾斜角为，满足，解得：，故, 则两条切线间圆的劣弧长为. 故选：B. 9．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】曲线表示的是一个以原点为圆心，3为半径的左半圆，直线的斜率为1，作出图形，由图形确定直线与曲线有两个公共点时的条件. 【详解】方程，即，表示的是一个以原点为圆心，3为半径的左半圆， 直线的斜率为1，连接和，    要使直线与该半圆有两个交点，直线必在以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切（不含相切），则可求出直线的两个临界位置对应的的值. 当直线与重合时，， 当直线与半圆相切时，圆心到的距离3，即， 解得或（舍去）. 所以的取值范围是）. 故选：D ③直线与圆相交的弦长问题 策略方法 直线与圆的相交问题 （1）研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长、弦心距和半径之间形成的数量关系． （2）弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·江西上饶·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 【答案】C 【分析】判断出圆心在直线上即可求解. 【详解】圆即，故圆心为， 显然圆心在直线上， 故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为. 故选：C． 2．（23-24高二上·山西·期中）直线与圆交于A，B两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式，以及弦长公式即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为4， 由题意得圆心M到直线的距离， 则， 所以的面积为． 故选：A    3．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先计算直线到圆心的距离，然后根据勾股定理得到，从而代入条件即可解出，从而得到. 【详解】如图所示：    设坐标原点到直线的距离为，则. 设线段的中点为，则，根据勾股定理，有. 由，得，故，解得，故. 故选：B. 4．（23-24高二下·云南·开学考试）两平行直线与直线分别与圆M:相交于点，和，，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆转化为一般方程，根据知直线过圆心，进而求出，然后求出，最后求出面积. 【详解】可化为， 故圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，所以直线过圆心，即， 所以，. 圆心到的距离， 所以， 所以的面积为. 故选：B. 5．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先判断直线经过定点，且定点在圆内，要使弦长最短，只需使，计算即得. 【详解】由得，圆心坐标是，半径是 直线：过定点，且在圆内， 当时，直线被圆截得的弦长最短， 由解得. 故选:B. 6．（23-24高二下·河南驻马店·阶段练习）已知直线与圆相交于A，B两点，则|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线恒过的定点，由几何法可知当时，最小，用勾股定理求出。 【详解】将l的方程转化为， 令解得，即过定点， 当时，圆心到直线的距离最大值为， 此时取得最小值,根据勾股定理：. 故选：A 7．（22-23高二上·新疆·期末）已知直线与圆交于两点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由圆的方程可确定半径，利用垂径定理可表示出，代入三角形面积公式，利用基本不等式可求得最大值. 【详解】 由圆的方程知：圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，则， （当且仅当时取等号）， 则面积的最大值为. 故选：D. 8．（23-24高二上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，圆内有一点，AB为过点的弦，若弦AB被点平分时，则直线AB的方程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，，则，点斜式求直线AB的方程，化为一般式即可. 【详解】圆，圆心坐标，， 弦AB被点平分时，，则， 直线AB过点，方程为，即. 故选：C ④圆与圆的位置关系 策略方法 几何法判断圆与圆的位置的步骤 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长． (2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值． (3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论． 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南通·期末）圆和圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【分析】利用圆心距与半径和差关系判定两圆位置关系即可. 【详解】易知圆和圆的圆心与半径分别为：和，所以圆心距为，显然，即两圆相外切. 故选：C 2．（23-24高二上·海南·期末）圆与圆（    ） A．相切 B．相交 C．外离 D．内含 【答案】B 【分析】由两圆圆心距与半径和差的关系即可求解. 【详解】圆的圆心，半径； 圆即的圆心，半径； 则，则， 故两圆相交. 故选：B. 3．（23-24高二上·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】D 【分析】由题可得两圆半径与圆心，后由圆心距与两圆半径间关系可得答案. 【详解】由题可得圆C： ，则其圆心，半径为； 圆，则其圆心为，半径为. 则两圆圆心距为， 故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离. 故选：D 4．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆，圆，则与的位置关系是（   ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【分析】由圆的方程得出两圆圆心坐标和半径大小，再由圆心距和半径之间的关系可得结论. 【详解】易知圆的标准方程为， 可得圆心，半径； 圆的标准方程为， 可得圆心，半径； 显然圆心距，且，即，可得两圆内切. 故选：D 5．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）若圆：与圆：内切，则（ ） A．29 B．9 C． D．19 【答案】C 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解. 【详解】由圆：，可得圆心，半径； 圆：可化为， 可得圆心，半径， 所以， 由圆圆内切，所以，即， 解得：. 故选：C. 6．（23-24高二上·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆心距离与半径和与差的关系列不等式求解. 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 若圆与圆有公共点， 则，又，所以. 故选：D 7．（23-24高二下·浙江·开学考试）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用圆和圆的位置关系求解参数即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 由题意得圆与圆只有一个交点， 可得两圆内切或外切，易得圆心距，半径差与和分别为或， 当两圆内切时，解得或， 当两圆外切时，无解，结合选项 故选：D 8．（23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化圆方程为标准形式，方程表示圆以及圆心距满足的关系式即可列不等式求解. 【详解】由题意：即：，它的圆心半径分别为， ：即：，它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以. 故选：D. ⑤圆的公共弦问题 策略方法 两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得． 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】求出两圆的公共弦所在直线方程，再求出弦长即可. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，两圆方程相减得直线：， 显然点在直线上，因此线段是圆的直径， 所以. 故选：C 2．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知是圆与圆的公共点，则的面积为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程相减得公共弦所在直线方程，求出圆圆心坐标和半径，求出点到直线的距离，求得弦长，从而可得三角形面积． 【详解】由题意可知，联立，两方程相减可得直线的方程为， 圆标准方程为，得，半径为， 所以到直线的距离为，线段的长度为， 所以的面积为． 故选：B. 3．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得以PQ为直径的圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由弦长公式可得答案. 【详解】由题可得，则以PQ为直径的圆的圆心坐标为，半径为4， 则PQ为直径的圆的方程为： .将两圆方程相减可得公共弦方程为：. 则圆Q圆心到公共弦方程距离为2，又圆Q半径为4，则公共弦长为：. 故选：D 4．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出以为直径的圆的方程，再与已知圆的方程相减即得公共弦所在直线的方程. 【详解】过点向圆作两条切线，切点分别为、，则， 于是点、在以为直径的圆上，而，则的中点为，， 因此以为直径的圆方程为， 圆与圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为， 所以直线AB的方程为. 故选：A 5．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）圆与圆相交于两点，则线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆与圆的位置关系可知，所求直线为两圆的圆心所在直线. 【详解】线段的垂直平分线为圆心连线， 由圆的方程可知，，，, 所以直线的方程为，化简为. 故选：B 6．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（    ） A．20 B．－20 C．10 D．－10 【答案】B 【分析】求出两圆的相交弦所在直线的方程，将圆的圆心坐标代入相交弦所在直线的方程，即可判断结果. 【详解】圆：， 所以圆心为，半径为， 若圆平分圆的周长，则圆的圆心在圆与圆的公共弦上， 将圆：与圆：作差， 得两圆公共弦所在直线方程， 代入得. 故选：B ⑥圆的公切线问题 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏盐城·期末）两圆与的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】通过判断两圆位置关系确定公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为4， ∴圆心距． 由，可得两圆相交， ∴两圆公切线有2条． 故选：B. 2．（23-24高二上·安徽滁州·期末）圆与圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据两圆的一般方程求出两圆圆心、半径，求出圆心距.根据圆心距与两半径之间的关系可得两圆外离，即可得出答案. 【详解】根据题意： 圆，， 其圆心为，半径； 圆，， 其圆心为，半径； 两圆的圆心距，所以两圆外离， 所以公切线条数有4条. 故选：D. 3．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 4．（23-24高二上·广西玉林·期中）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．是圆与圆的一条公切线 D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2 【答案】C 【分析】根据两圆圆心距离等于半径和即可得两圆外切判断AB，根据直线与两圆都相切判断C，根据圆心到直线距离等于半径判断D. 【详解】由条件可得：圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 因为，所以圆与圆外切，选项A，B错误； 对于选项C，圆心到直线的距离； 圆心为到直线的距离， 所以是圆与圆的一条公切线，选项C正确； 对于选项D，圆心到直线的距离， 所以圆：上有且仅有一点到直线的距离为2，选项D错误.    故选：C 5．（2023高二上·全国·专题练习）已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算两圆的圆心和半径，可得两圆相离，有四条公切线，两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点，另两条切线与直线平行且相距为1，数形结合可计算四条切线方程，结合选项，即得解 【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为 圆的圆心坐标为，半径为 如图所示，两圆相离，有四条公切线.    两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点， 设切线，则圆心到直线的距离，解得或， 当时，切线方程为，A正确； 当时，切线方程为，即，B正确； 另两条切线与直线平行且相距为1，又由， 设切线，则，解得， 即切线方程分别为，； 整理可得两切线方程为和， 所以C正确，D不正确. 故选：D. 二、填空题 6．（2023高三·全国·专题练习）已知圆与圆恰有两条公切线，则满足题意的一个的取值为 ；此时公切线的方程为 . 【答案】 5（答案不唯一） 和（答案与前空的答案有关联） 【分析】根据两圆相交，求出圆半径的取值范围；再根据圆心到直线切线的距离等于半径求出切线方程. 【详解】圆的圆心为，半径为5. 因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交.即. 又，所以， 所以可取(答案不唯一.满即可). 此时. 因为的圆心为，半径为5，的圆心为，半径为5， 所以可设公切线的方程为，且与两圆圆心所在的直线平行，解得， 又因为是公切线，所以圆心到直线距离等于半径，即，解得. 所以当时，公切线的方程为和. 故答案为: 5；和. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$