自测（2）《第10章空间直线与平面》章节测试（60分钟）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第三册）

【解析版】 自测（2）《第10章 空间直线与平面》章节测试（60分钟） 一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1、空间不共线的四点可以确定平面的个数是_______________ 【答案】1或4 【解析】若有三点共线，则这四点可以确定一个平面； 若任意三点均不共线，则空间四点可以确定4个平面. 2、如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点， 平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P， 则点P与直线DE的位置关系是_________________ 【答案】P∈直线DE 【解析】因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α， 平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE； 3、已知在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是_____________________________ 【答案】平行 【解析】如图所示，MN∥AC. 又因为AC∥A′C′，所以MN∥A′C′. 4、在空间四边形P－ABC的边与对角线六条边所在的直线中，异面直线共有 (对) 【答案】3对 【解析】PA与BC，PB与AC，PC与AB. 5、点P在三角形ABC外，点D在PA上，且PD＝DA，过点D作平行于底面ABC的平面，交PB，PC于点E，F，若△ABC的面积为9，则△DEF的面积为 【答案】1； 【解析】 如图，易知△DEF∽△ABC，由PD＝DA，知PD＝PA. ∴＝＝. ∴＝2＝. 又S△ABC＝9，∴S△DEF＝1. 6、如图，平面ABC⊥平面BCD， ∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a， 则AD＝________. 【答案】a 【解析】作AE⊥BC于E，连接DE. 由条件知，E为BC的中点，且AE⊥DE. AE＝DE＝BC＝a， ∴AD＝＝a. 答案：a 7、如图，空间四边形P－ABC中， PA＝PB＝， 平面PAB⊥平面ABC， ∠ABC＝90°， AC＝8，BC＝6，则PC＝________. 【答案】7 【解析】取AB的中点E，连接PE. ∵PA＝PB，∴PE⊥AB. ∵平面PAB∩平面ABC＝AB， 又平面PAB⊥平面ABC， ∴PE⊥平面ABC，连接CE，则PE⊥CE. ∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝2，PE＝＝， CE＝＝， PC＝＝7. 答案：7 8、在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β，BC⊥平面α 于C，AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为______________________ 【答案】60°或120° 【解析】当二面角α－l－β是锐二面角时，因为AB⊥β且lβ，所以AB⊥l.因为BC⊥α，lα，所以BC⊥l，所以l⊥平面ABC，所以l⊥AC.设垂足为H.所以BH平面ABC，所以l⊥BH，所以∠AHB为二面角α－l－β的平面角．Rt△BCA中，AB＝6，BC＝3，所以∠BAC＝30°.Rt△ABH中，因为∠BAH＝30°，所以∠AHB＝60°.同理，当二面角α－l－β为钝二面角时，可得所求二面角的平面角为120°.综上，所求角大小为60°或120°. 答案：60°或120°； 9、如图，在空间四边形ABCD中， 若截面PQMN是正方形， 则下列结论中正确的是________． ①AC⊥BD　②AC∥平面PQMN　 ③AC＝BD　④异面直线PM与BD所成的角为45° 【答案】①②④； 【解析】由MN∥PQ，得PQ∥平面ACD.又平面ABC∩平面ADC＝AC，得PQ∥AC，从而AC∥平面PQMN，故②正确；同理可得MQ∥BD，又MQ⊥PQ，得AC⊥BD，故①正确；又∠PMQ＝45°，所以异面直线PM与BD所成的角为45°，故④正确；因为P，Q，M，N四点在相应边上的位置不知，AC＝BD不一定成立，故③错误． 答案：①②④ 10、如图所示，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α， 垂足分别为B、D.若增加一个条件， 就能推出BD⊥EF；现有： ①AC⊥β；②AC与α、β的夹角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF. 那么上述几个条件中能成为增加条件的是________．(填上你认为正确的所有答案序号) 【答案】①③； 【解析】当AC⊥β时，可推出EF⊥平面ABCD，从而有EF⊥BD，故①正确；由③可知，平面ACD⊥β，易证EF⊥平面ABCD，从而证得EF⊥BD；②④不正确． 答案：①③； 二、选择题（共4小题 每小题4分，满分16分） 11、如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是(　　) A．A，B，C，D四点中必有三点共线 B．A，B，C，D四点中不存在三点共线 C．直线AB与CD相交 D．直线AB与CD平行 【答案】B 【解析】两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面； 12、空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为(　　) A．60° B．120° C．30° D．60°或120° 【答案】D 【解析】如图，∵空间两个角α，β的两边对应平行， ∴这两个角相等或互补， ∵α＝60°， ∴β＝60°或120°.故选D. 13、若直线l不垂直于平面α，那么平面α内(　　) A．不存在与l垂直的直线 B．只存在一条与l垂直的直线 C．存在无数条直线与l垂直 D．以上都不对 【答案】 C； 【解析】可在正方体中考虑问题． 设平面A1B1C1D1为平面α，直线B1C为直线l，且l与α不垂直． 但在底面内，所有与A1B1平行的直线都与l垂直． 答案：C 14、如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线有如下情况： ①三角形的两条边；②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． 不能保证直线与平面垂直的是(　　) A．①③　　　　　　　　 B．② C．②④ D．①②④ 【答案】C； 【解析】①三角形任意两边为相交直线．②若与两底所在直线垂直，则不能判断线面垂直．③直径必相交．④若垂直于正六边形互相平行的边，则不能保证线面垂直． 答案：C； 三、解答题（共4小题，满分44分） 15、（本题8分） 如图，已知a⊂α，b⊂α， a∩b＝A， P∈b， PQ∥a，求证：PQ⊂α. 【证明】因为PQ∥a， 所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β. 因为P∈b，b⊂α，所以P∈α. 又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，所以PQ⊂α； 16、（本题10分） 如图，若α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且AB与l不平行，试画出平面ABC与平面α，β的交线. 【解析】∵若α∩β＝l，A，B∈α， ∴AB是平面ABC与α的交线. 延长BA交l于D，则D∈平面ABC， ∵C∈β，∴CD是平面ABC与β的交线， 则对应的图示如图. 17、（本题满分12分） 如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形， ∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4. （1）求证：AC⊥平面BCE； （2）求证：AD⊥AE. 【证明】（1）在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4， 所以AC＝BC＝2， 所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC. 因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE， 所以BE⊥平面ABCD， 所以BE⊥AC. 又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B， 所以AC⊥平面BCE. （2）因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以AF⊥AD. 又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD. 又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A， 所以AD⊥平面ABEF. 又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE. 18、（本题满分14分） 如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O， 求： （1）AO与A′C′所成角的大小； （2）AO与平面ABCD所成角的正切值； （3）平面AOB与平面AOC所成角的大小. 【解析】（1）∵A′C′∥AC， ∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC. ∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′， ∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B， AB，BO⊂平面ABO， ∴OC⊥平面ABO. 又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA. 在Rt△AOC中，OC＝，AC＝， sin∠OAC＝＝， ∴∠OAC＝30°. 即AO与A′C′所成角为30°. （2）如图，作OE⊥BC于E，连接AE. ∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE⊂平面BC′， ∴OE⊥平面ABCD， ∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角. 在Rt△OAE中，OE＝，AE＝＝， ∴tan∠OAE＝＝. 即AO与平面ABCD所成角的正切值为. （3）由（1）可知OC⊥平面AOB. 又∵OC⊂平面AOC， ∴平面AOB⊥平面AOC. 故平面AOB与平面AOC所成的角为90°. 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