自测（1）《第10章空间直线与平面》章节测试（60分钟）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第三册）

【解析版】 自测（1）《第10章 空间直线与平面》章节测试（60分钟） 一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1、已知a，b为两条不同的直线，α为一平面，且a∥α，b⊂α，则直线a与b的位置关系是__________________ 【答案】平行或异面； 【解析】∵a∥α，∴a与α没有公共点， ∵b⊂α，∴a、b没有公共点，∴a、b平行或异面. 2、如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图， 斜边O′B′＝2， 则这个平面图形的面积是 【答案】2； 【解析】∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，∠A′O′B′＝45°， ∴Rt△O′A′B′的直角边长是， ∴Rt△O′A′B′的面积是××＝1， ∴原平面图形的面积是1×2＝2. 3、对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是____________ 【答案】矩形 【解析】如图所示. ∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点， ∴MN∥AC且MN＝AC， PQ∥AC且PQ＝AC， 即MN∥PQ且MN＝PQ， ∴四边形MNPQ是平行四边形. 又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ， ∴平行四边形MNPQ是矩形. 4、如图，空间四边形ABCD中， 平面ABD⊥平面BCD， ∠BAD＝90°，且AB＝AD， 则AD与平面BCD所成的角是________． 【答案】45°； 【解析】过A作AO⊥BD于O点， ∵平面ABD⊥平面BCD， ∴AO⊥平面BCD.则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角． ∵∠BAD＝90°，AB＝AD. ∴∠ADO＝45°. 答案：45° 5、如图所示，在矩形ABCD中，AD＝2， E为AB边上的点，现将△ADE沿DE翻折至△A′DE， 使得点A′在平面EBCD上的射影在CD上， 且直线A′D与平面EBCD所成的角为30°，则线段AE的长为________. 【答案】 【解析】如图所示，过A′作A′H⊥CD于H，连接EH，由题意，得A′H⊥平面EBCD. 因为直线A′D与平面EBCD所成的角为30°，所以∠A′DH＝30°. 又因为A′D＝2，所以A′H＝1，DH＝， 设A′E＝x，则EH＝. 在四边形DAEH中，可得AD2＋(AE－DH)2＝EH2， 所以22＋(x－)2＝x2－1，所以x＝. 6、已知α与β是两个不重合的平面，则下列推理正确的个数是________. ①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α； ②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB； ③l⊄α，A∈l⇒A∉α； ④A∈l，l⊂α⇒A∈α. 【答案】3 【解析】利用三个基本事实知①②④正确， 若l∩α＝A，显然有l⊄α，但是A∈α，③错误 7、空间四边形ABCD(每条边长、对角线长都相等)，已知E是棱BC的中点，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为 【答案】； 【解析】如图所示，取CD的中点F，连接EF，AF，则EF∥BD.于是∠AEF即为异面直线AE与BD所成的角．设正四面体的棱长为1，则AE＝AF＝，EF＝. 在△AEF中，cos∠AEF＝＝. 即AE与BD所成角的余弦值为. 8、下列三个说法： ①若直线a在平面α外，则a∥α； ②若直线a∥b，直线a在平面α外，bα，则a∥α； ③若a∥b，bα，则a与α内任意直线平行． 其中正确的有________． 【答案】②； 【解析】直线a在平面α外，包含直线a与α相交、直线a与α平行两种情况，①不正确；由直线和平面平行的判定定理知②正确；③中a与α内的直线可能平行，相交、异面，③不正确． 9、平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，直线AB，CD相交于P，已知AP＝8，BP＝9，CD＝34，则CP＝____________________ 【答案】16或272； 【解析】当AB与CD交点P位于α，β之间时，如图． 由题意知：AC∥BD，＝＝.又CP＋PD＝CD＝34， ∴CP＝16.当交点位于BA延长线上时，AC∥BD. 　 ∴＝＝，＝，CP＝272. 答案：16或272 10、已知E，F，G，H分别为 空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA的中点， 若对角线BD＝2，AC＝4， 则EG2＋HF2的值是________． 【答案】10； 【解析】△ABC中，由三角形中位线性质得EFAC，△ADC中，HGAC， ∴EFHG，四边形EFGH为平行四边形． ∴EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10. 答案：10 二、选择题（共4小题 每小题4分，满分16分） 11、已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是(　　) A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合 【答案】C 【解析】∵A∈α，A∈β，∴A∈(α∩β)；由公理3实可知α∩β为经过A的一条直线而不是A. 故α∩β＝A的写法错误； 12、如图，在正四面体D－ABC中， P∈平面DBA， 则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【解析】过点P分别作BD，AB的平行线，这两条直线都符合题意； 13、平面α与平面β平行的条件可以是(　　) A．α内有无数条直线都与β平行 B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内 C．α内的任何直线都与β平行 D．直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α 【答案】C； 【解析】对A，若α内的无数条直线都与β平行，平面α与平面β不一定平行，也可能相交，A错；对B，当直线平行于两平面交线时，符合命题叙述，但平面α与平面β相交，B错；对C，“α内的任何直线都与β平行”可等价转化为“α内的两条相交直线与β平行”，根据面面平行的判定定理，C正确；对D，当两平面相交，直线a，直线b都跟交线平行且符合命题叙述时，得不到平面α与平面β平行，D错. 14、α和β是两个不重合的平面，下列条件中可判定α与β平行的是(　　) A．l为直线，且l∥α，l∥β B．α内不共线的三点到β的距离相等 C．l，m是平面α内的直线，且l∥β，m∥β D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β 【答案】D； 【解析】A错，当α与β相交时，若l不在α内，也不在β内，但l与交线平行时，也有l∥α，l∥β；B错，若此三点位于平面β两侧时，α与β相交；C错，l与m相交时，α与β平行，不相交时，α与β不一定平行；D正确； 答案：D； 三、解答题（共4小题，满分44分） 15、（本题8分） 如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内. 【证明】方法1（纳入平面法）： ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α. ∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内. 方法2（辅助平面法）：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内， ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内； 【说明】证明点、线共面常用方法： 1、纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内； 2、辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合； 16、（本题10分） 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由. 【解析】当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD， 证明如下：如图，连接BD与AC交于点O，连接FO，则PF＝PB. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是BD的中点，∴OF∥PD. 又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD， ∴OF∥平面PMD. 又MA∥PB且MA＝PB， ∴PF∥MA且PF＝MA， ∴四边形AFPM是平行四边形， ∴AF∥PM. 又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD， ∴AF∥平面PMD. 又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC， ∴平面AFC∥平面PMD. 17、（本题满分12分） 如图所示，在空间四边形ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点. 求证： （1）直线EF∥平面ACD； （2）平面EFC⊥平面BCD. 【证明】（1）∵E，F分别是AB，BD的中点， ∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD. ∵EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD， ∴直线EF∥平面ACD. （2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD. ∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD. 又∵EF∩CF＝F，EF，CF⊂平面EFC， ∴BD⊥平面EFC. ∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD； 18、（本题满分14分） 如图，点P在四边形ABCD所在平面外， AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB， AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2； （1）求异面直线AP与BC所成角的余弦值； （2）求证：PD⊥平面PBC； （3）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 【解析】（1）由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角. ∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD. 在Rt△PDA中，由已知，得AP＝＝， 故cos∠DAP＝＝. ∴异面直线AP与BC所成角的余弦值为. （2）证明　∵AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD. 又∵BC∥AD，∴PD⊥BC， 又PD⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC， ∴PD⊥平面PBC. （3）解　过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF， 则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角. ∵PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影， ∴∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角. 由于AD∥BC，DF∥AB，可得BF＝AD＝1. 由已知，得CF＝BC－BF＝2. 又AD⊥DC，故BC⊥DC. 在Rt△DCF中，可得DF＝＝2. 在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝. ∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为； ( 7 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【原卷版】 自测（1）《第10章 空间直线与平面》章节测试（60分钟） 一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1、已知a，b为两条不同的直线，α为一平面，且a∥α，b⊂α，则直线a与b的位置关系是__________________ 2、如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图， 斜边O′B′＝2， 则这个平面图形的面积是 3、对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是____________ 4、如图，空间四边形ABCD中， 平面ABD⊥平面BCD， ∠BAD＝90°，且AB＝AD， 则AD与平面BCD所成的角是________． 5、如图所示，在矩形ABCD中，AD＝2， E为AB边上的点，现将△ADE沿DE翻折至△A′DE， 使得点A′在平面EBCD上的射影在CD上， 且直线A′D与平面EBCD所成的角为30°，则线段AE的长为________. 6、已知α与β是两个不重合的平面，则下列推理正确的个数是________. ①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α； ②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB； ③l⊄α，A∈l⇒A∉α； ④A∈l，l⊂α⇒A∈α. 7、空间四边形ABCD(每条边长、对角线长都相等)，已知E是棱BC的中点，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为 8、下列三个说法： ①若直线a在平面α外，则a∥α； ②若直线a∥b，直线a在平面α外，bα，则a∥α； ③若a∥b，bα，则a与α内任意直线平行． 其中正确的有________． 9、平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，直线AB，CD相交于P，已知AP＝8，BP＝9，CD＝34，则CP＝____________________ 10、已知E，F，G，H分别为 空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA的中点， 若对角线BD＝2，AC＝4， 则EG2＋HF2的值是________． 二、选择题（共4小题 每小题4分，满分16分） 11、已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是(　　) A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合 12、如图，在正四面体D－ABC中， P∈平面DBA， 则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 13、平面α与平面β平行的条件可以是(　　) A．α内有无数条直线都与β平行 B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内 C．α内的任何直线都与β平行 D．直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α 14、α和β是两个不重合的平面，下列条件中可判定α与β平行的是(　　) A．l为直线，且l∥α，l∥β B．α内不共线的三点到β的距离相等 C．l，m是平面α内的直线，且l∥β，m∥β D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β 三、解答题（共4小题，满分44分） 15、（本题8分） 如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内. 16、（本题10分） 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由. 17、（本题满分12分） 如图所示，在空间四边形ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点. 求证： （1）直线EF∥平面ACD； （2）平面EFC⊥平面BCD. 18、（本题满分14分） 如图，点P在四边形ABCD所在平面外， AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB， AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2； （1）求异面直线AP与BC所成角的余弦值； （2）求证：PD⊥平面PBC； （3）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$