1.5 全称量词与存在量词 讲义-2024-2025学年高一数学暑假预习（人教A版2019必修第一册）

1.5 全称量词与存在量词 知识点一 全称量词命题与存在量词命题的辨析 【解题思路】判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词．由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题． 【例1】（22-23高一·全国·单元测试）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)存在整数，，使得成立； (4)存在实数，使得与的倒数之和等于1． 【变式】 1．（2024新疆）判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题： （1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根； （2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立； （3）存在一个三角形没有外接圆； （4）实数的平方大于等于0. 2．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 3．（22-23·江苏·专题练习）用量词符号“”、“”表示下列命题，并判断下列命题的真假． （1）任意实数都有，； （2）存在实数，； （3）存在一对实数、，使成立； （4）有理数的平方仍为有理数； （5）实数的平方大于： （6）有一个实数乘以任意一个实数都等于． 知识点二 全称量词命题与存在量词命题的真假的判断 【解题思路】判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言 (1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假． (2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可． 【例2】（23-24湖北）用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假. （1）所有实数x都能使x2+x+1＞0成立； （2）对所有实数a，b，方程ax+b＝0恰有一个解； （3）一定有整数x，y，使得3x﹣2y＝10成立； （4）所有的有理数x都能使x2x+1是有理数. 【变式】 1．（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 2．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）（多选）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A． B． C．至少有一个无理数，使得是有理数 D．有的有理数没有倒数 3．（23-24高一上·吉林·阶段练习）（多选）下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．有一个无理数，它的立方是有理数 C．存在一个实数，它的倒数是它的相反数 D．每个三角形的内角和都是 知识点三 全称量词命题和存在量词命题的否定 【解题思路】1.全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M， (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定． 2.存在量词命题否定的关注点 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，． (2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定． 总结：前换字母，后面否定 【例3-1】（23-24高一上·四川乐山·期中）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【例3-2】（2024·全国·模拟预测）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）命题“”的否定为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·云南昆明·期末）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·云南曲靖·阶段练习）命题，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 重难点一 根据量词求参数 【解题思路】依据含量词命题的真假求参数取值范围 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 【例4-1】（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“”是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【变式】 1．（22-23高一下·湖南长沙·阶段练习）若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24湖北）已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 3．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 1． 单选题 1．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）下列命题中是全称量词命题且真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形 C．平行四边形的对角线互相平分 D．， 2．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·宁夏银川·期中）“，恒成立”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2023秋·广西柳州）已知命题的否定为“，”，则下列说法中正确的是（    ） A．命题为“，”且为真命题 B．命题为“，”且为假命题 C．命题为“，”且为假命题 D．命题为“，”且为真命题 6（2024福建龙岩）已知命题：，，若是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7（2023·山西晋城）已知命题，，若命题p是假命题，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8（2023·福建厦门）命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 2． 多选题 9．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（         ） A．矩形的对角线互相平分且相等 B．对任意非正数c，若，则 C．有些菱形不是平行四边形 D．对任意实数x，不等式恒成立 10．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）下列四个命题中是假命题的为（    ） A．使 B．使 C． D． 11．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 3． 填空题 12．（23-24高一下·四川泸州·期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 13．（23-24湖北）下列哪些命题是真命题？ （1）是的充要条件 （2） （3），使得 （4）若为无理数，则为无理数 14．（23-24高一上·重庆合川·阶段练习）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 4． 解答题 15．（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）已知集合，． (1)时，求 (2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围． 16．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 17．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 18．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知命题：，为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合． 19．（2024·内蒙古）已知命题“满足，使”， (1)命题“”，若命题中至少一个为真，求实数的范围. (2)命题，若是的充分不必要条件，求实数的范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5 全称量词与存在量词 知识点一 全称量词命题与存在量词命题的辨析 【解题思路】判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词．由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题． 【例1】（22-23高一·全国·单元测试）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)存在整数，，使得成立； (4)存在实数，使得与的倒数之和等于1． 【答案】(1)“所有”是全称量词；， (2)“所有”是全称量词；，，方程恰有一个解 (3)“存在”是存在量词；，， (4)“存在”是存在量词；， 【解析】（1）“所有”是全称量词；，； （2）“所有”是全称量词；，，方程恰有一个解； （3）“存在”是存在量词；，，； （4）“存在”是存在量词；，． 【变式】 1．（2024新疆）判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题： （1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根； （2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立； （3）存在一个三角形没有外接圆； （4）实数的平方大于等于0. 【答案】（1）全称命题；∀m＞1，方程x2﹣2x+m＝0无实数根；（2）特称命题；∃一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立；（3）特称命题；∃一个三角形没有外接圆；（4）全称命题；∀x∈R，x2≥0. 【解析】（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根，是一个全称命题，用符号表示为：∀m＞1，方程x2﹣2x+m＝0无实数根； （2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立，是一个特称命题，用符号表示为：∃一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立； （3）存在一个三角形没有外接圆，是一个特称命题，用符号表示为：∃一个三角形没有外接圆； （4）实数的平方大于等于0，是一个全称命题，用符号表示为：∀x∈R，x2≥0. 2．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)全称量词命题 (4)全称量词命题 【解析】（1）正方形的四条边相等可以理解为所有正方形的四条边都相等，所以是全称量词命题； （2）至少有一个正整数是偶数可以理解为至少存在一个正整数是偶数，所以是存在量词命题； （3）正数的平方根不等于0可以理解为所有正数的平方根都不等于0，所以是全称量词命题； （4）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形可以理解为所有的有两个角为45°的三角形都是等腰直角三角形，所以是全称量词命题. 3．（22-23·江苏·专题练习）用量词符号“”、“”表示下列命题，并判断下列命题的真假． （1）任意实数都有，； （2）存在实数，； （3）存在一对实数、，使成立； （4）有理数的平方仍为有理数； （5）实数的平方大于： （6）有一个实数乘以任意一个实数都等于． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析；（5）答案见解析；（6）答案见解析. 【解析】（1）命题为：，假命题，当时，结论不成立； （2）命题为：，假命题， 对任意的，； （3）命题为：、，，真命题，如，，则； （4）命题为：，，真命题； （5）命题为：，，假命题，当时，命题不成立； （6）命题为：，，有，真命题，即满足． 知识点二 全称量词命题与存在量词命题的真假的判断 【解题思路】判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言 (1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假． (2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可． 【例2】（23-24湖北）用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假. （1）所有实数x都能使x2+x+1＞0成立； （2）对所有实数a，b，方程ax+b＝0恰有一个解； （3）一定有整数x，y，使得3x﹣2y＝10成立； （4）所有的有理数x都能使x2x+1是有理数. 【答案】（1）∀x∈R，x2+x+1＞0；真命题；（2）∀a，b∈R，ax+b＝0恰有一个解；假命题；（3）∃x，y∈Z，3x﹣2y＝10；真命题；（4）∀x∈Q，x2x+1是有理数；真命题. 【解析】对于（1），所有实数x都能使x2+x+1＞0成立，改写为：∀x∈R，x2+x+1＞0， 因为判别式＝1﹣4＝﹣3＜0，所以x2+x+1＞0，（1）是真命题； 对于（2），对所有实数a，b，方程ax+b＝0恰有一个解，改写为：∀a，b∈R，ax+b＝0恰有一个解，因为a＝0，b≠0时，方程ax+b＝0无解，所以（2）是假命题； 对于（3），一定有整数x，y，使得3x﹣2y＝10成立，改写为：∃x，y∈Z，3x﹣2y＝10， 因为x＝4，y＝1时，3×4﹣2×1＝10，所以（3）是真命题； 对于（4），所有的有理数x都能使x2x+1是有理数，改写为：∀x∈Q，x2x+1是有理数，因为、、1和x都是有理数，所以x2x+1是有理数，（4）是真命题. 【变式】 1．（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【答案】B 【解析】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题， 例如2是素数，但2是偶数，所以A错误； 对于B，易知“，”是全称量词命题， 且由可得，所以是真命题，即B正确； 对于C，“有一个实数，使”是存在量词命题，不合题意； 对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意； 故选：B 2．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）（多选）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A． B． C．至少有一个无理数，使得是有理数 D．有的有理数没有倒数 【答案】CD 【解析】对于A，命题是全称量词命题，故A错误； 对于B，由方程，，方程无解，所以B是假命题，故B错误； 对于C，命题是存在量词命题，且，使得是有理数，所以C是真命题，故C正确； 对于D，有理数0没有倒数 ，所以D是真命题，故D正确． 故选：CD． 3．（23-24高一上·吉林·阶段练习）（多选）下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．有一个无理数，它的立方是有理数 C．存在一个实数，它的倒数是它的相反数 D．每个三角形的内角和都是 【答案】AB 【解析】A中，命题：存在实数，使为存在量词命题，且为真命题，所以A正确； B中，命题：有一个无理数，它的立方是有理数为存在量词命题，且为真命题，所以B正确； C中，命题：存在一个实数，它的倒数是它的相反数为存在量词命题，但为假命题，所以C不正确； D中，命题：每个三角形的内角和都是为全称量词命题，所以D不正确. 故选：AB. 知识点三 全称量词命题和存在量词命题的否定 【解题思路】1.全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M， (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定． 2.存在量词命题否定的关注点 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，． (2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定． 总结：前换字母，后面否定 【例3-1】（23-24高一上·四川乐山·期中）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由全称量词命题的否定是存在量词命题，可知命题，的否定为，． 故选：D 【例3-2】（2024·全国·模拟预测）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，全称命题的否定是特称命题，可得：命题的否定为：为．故选：C． 【变式】 1．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）命题“”的否定为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“”的否定为“”. 故选：B. 2．（23-24高一上·云南昆明·期末）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】命题的否定是“”.故选：D. 3．（22-23高一上·云南曲靖·阶段练习）命题，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】全称存在命题的否定是存在量词命题，并且否定结论， 所以命题，的否定是，. 故选：A 重难点一 根据量词求参数 【解题思路】依据含量词命题的真假求参数取值范围 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 【例4-1】（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“”是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若命题“”是真命题， 则当时，不等式为对恒成立； 当时，要使得不等式恒成立，则，解得 综上，的取值范围为.故选：D. 【例4-2】（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 【变式】 1．（22-23高一下·湖南长沙·阶段练习）若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知：是上述原命题的否定形式，故其为真命题， 则方程有实数根，即． 故选：A． 2．（23-24湖北）已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由命题p：“，”是真命题，可知， 又，所以 ，解得． （2）因为，所以，得． 因为命题q：“，”是真命题，所以， 所以，或，得． 综上，． 3．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）若，满足，此时，即， 当时，要使，则，即，即， 综上实数的取值范围为. （2）命题：“，使得”是真命题，等价于， 若时， 当，满足，此时，即， 当时，， 若，则满足或， 即或， 综上若，得或， 则当时，即实数的取值范围是. 1． 单选题 1．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）下列命题中是全称量词命题且真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形 C．平行四边形的对角线互相平分 D．， 【答案】C 【解析】A中，因为是素数，不是奇数，命题所有的素数都是奇数是全称量词命题且是假命题； B中，该命题是存在量词命题且是真命题； C中，根据平行四边形的性质，可得该命题是全称量词命题且是真命题； D中，该命题是存在量词命题且是假命题. 故选：C. 2．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若“”为真命题，则A错误， 又“”为假命题，则“”为真命题，则B,D错误， 则集合可以是. 故选：C 3．（23-24高三上·宁夏银川·期中）“，恒成立”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若，恒成立， 当时恒成立， 当时，解得， 综上可得， 所以“，恒成立”是“”的充要条件. 故选：C 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知=“，使得”成立，即方程有实数解， 所以. 故选：D 5．（2023秋·广西柳州）已知命题的否定为“，”，则下列说法中正确的是（    ） A．命题为“，”且为真命题 B．命题为“，”且为假命题 C．命题为“，”且为假命题 D．命题为“，”且为真命题 【答案】C 【解析】命题的否定为特称命题，：，， 当时，，为假命题，ABD错误，C正确.故选：C. 6（2024福建龙岩）已知命题：，，若是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若命题为真命题则，，，即. 又是真命题，即命题为假命题，即.故选：D. 7（2023·山西晋城）已知命题，，若命题p是假命题，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】命题，是假命题， ，恒成立是真命题； 当时，恒成立， 当时，需，，解得， 当时，，不可能满足恒成立， 综上可得a的取值范围为. 8（2023·福建厦门）命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题“，”为假命题， 即命题“，”为真命题， 则，解得， 对于A：是命题“”为假命题的充要条件，即选项A错误； 对于B：是的真子集，所以是“”为假命题的一个充分不必要条件，故选项B错误； 对于C：是的真子集，所以是 “”为假命题的一个必要不充分条件，故选项C正确； 对于D：与无包含关系，所以是“”为假命题的一个既不充分也不必要条件，故选项D错误. 故选：C. 2． 多选题 9．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（         ） A．矩形的对角线互相平分且相等 B．对任意非正数c，若，则 C．有些菱形不是平行四边形 D．对任意实数x，不等式恒成立 【答案】ABD 【解析】A选项，矩形的对角线互相平分且相等，为全称量词命题，且是真命题，A正确； B选项，对任意非正数c，若，则，为全称命题，且是真命题，B正确； C选项，有些菱形不是平行四边形为存在量词命题，C错误； D选项，对任意实数x，不等式恒成立，为全称量词命题， 因为，故不等式恒成立，为真命题，D正确. 故选：ABD 10．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）下列四个命题中是假命题的为（    ） A．使 B．使 C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A. 由可得，故不存在，使，A错误， 对于B，由得，故不存在，使，B错误， 对于C，当时，，故C错误， 对于D,由于，故，D正确， 故选：ABC 11．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【解析】命题，为假命题，则，. 当时满足题意；当时，有，解得. 综上有 故选：ABC 3． 填空题 12．（23-24高一下·四川泸州·期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】，，为真命题，故，解得，故实数的取值范围是. 故答案为： 13．（23-24湖北）下列哪些命题是真命题？ （1）是的充要条件 （2） （3），使得 （4）若为无理数，则为无理数 【答案】（1）（2）（3） 【解析】对（1）显然是成立的，故（1）是真命题； 对（2）当时，，，故（2）是真命题； 对（3）取，其中是不大于的最大整数，即的整数部分，则， 令，则，故（3）为真命题； 对（4）取，，可以验证（4）是假命题. 故答案为：（1）（2）（3） 14．（23-24高一上·重庆合川·阶段练习）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】当命题为真命题时，， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得， 故与不同时为真命题时，的取值范围是． 故答案为： 4． 解答题 15．（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）已知集合，． (1)时，求 (2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1） 时，=， 故=； （2）若命题：“，”是真命题，则， 若， 若，解得， 综上得. 16．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【解析】（1）由题意，方程在上有解， 令，只需在值域内， 当时，，当时，， 所以值域为， 的取值集合为； （2）由题意，，显然不为空集. ①当，即时，， ， ； ②当，即时，，不合题意舍去； ③当，即时，. ， ； 综上可得或. 17．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）当时，， 若，满足，则，解得； 若，因为，所以，所以， 所以时，的取值范围是， 所以时，的取值范围是. （2）因为“，使得”是真命题，所以， 当时， 若，成立，此时，解得； 若，则有或，解得， 所以时，的取值范围是或， 所以命题为真命题时的取值范围是. 18．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知命题：，为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为命题：，为假命题， 所以命题的否定为：，，为真命题， 且，解得． ∴． （2）由解得，即， 若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集， 又，所以，解得， 所以实数的取值集合为． 19．（2024·内蒙古）已知命题“满足，使”， (1)命题“”，若命题中至少一个为真，求实数的范围. (2)命题，若是的充分不必要条件，求实数的范围. 【答案】(1)或； (2) 【解析】（1）命题“满足，使”，为真命题时， ，令，则， 所以， 所以命题为假时，则或， 命题“”，为真命题时， ，解得或， 所以命题为假时，则， 又因为命题都为假命题时，， 即， 所以命题中至少一个为真时，实数的范围是或； （2）由（1）可知：命题为真命题时，， 记 因为是的充分不必要条件， 所以， 当即，也即时，满足条件； 当时， ，解得； 综上可知：实数的范围是 1 学科网（北京）股份有限公司 $$