《第11章 简单几何体》自主测试（2）（60分钟）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第三册）

【解析版】 《第11章 简单几何体》自主测试（2） 一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1、棱长为3的正方体的表面积为 【答案】54； 【解析】正方体共6个面，且每个面都是边长为3的正方形，表面积为6×32＝54； 2、若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为 cm3 【答案】60 ； 【解析】长方体即为四棱柱，体积为底面积×高，3×4×5＝60 cm3； 3、斜三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面两边所成角都是60°，那么这个斜三棱柱的侧面积是__________________ 【答案】20＋20； 【解析】由题意可知S侧＝2×5×4×sin 60°＋5×4＝20＋20； 4、一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________ 【答案】4； 【解析】∵l＝，∴S侧＝π(R＋r)l＝2πl2＝32π，∴l＝4； 5、若球的过球心的圆面圆周长是C，则这个球的表面积是 【答案】； 【解析】过球心的圆面圆的半径长就是球的半径长，设半径为r，则2πr＝C，r＝， 球的表面积为4πr2＝4π·＝； 6、如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1­ADC的体积是 【答案】 ； 【解析】三棱锥D1­ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝； 7、已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积S1与底面积之和S2的大小关系为__________． 【答案】S1>S2； 【解析】斜高h′ ＝＝， S1＝×(3×2＋3×4)×＝9，S2＝×22＋×42＝5， ∴S1>S2； 8、用一个平行于底面的平面去截一个几何体，如果截面是三角形，则这个几何体可能是________________ 【答案】三棱锥、三棱柱、三棱台等(答案不唯一)　； 【解析】用平行于底面的平面去截三棱柱，截面是三角形，用同样的方法去截三棱锥、三棱台，所得截面均为三角形； 9、如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点， 沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm. 【答案】； 【解析】由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，4 cm，故两点之间的距离是 cm； 故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm； 10、边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到点G的最短距离是________cm. 【答案】　； 【解析】如图所示，E′F＝×2π×＝π(cm)， ∴最短距离E′G＝＝(cm)．] 二、选择题（共4小题 每小题4分，满分16分） 11、如图所表示的几何体中，不是棱锥的为（ ） A　　　　B　　　　　C　　　　D 【答案】A； 【解析】结合棱锥的定义可知，A不符合其定义，故选A； 12、下列命题中正确的是（ ） A．圆柱上底面圆上任一点与下底面上任一点的连线都是圆柱的母线 B．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台 C．圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形 D．在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球 【答案】C； 【解析】A错，由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴；B错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的几何体；C正确；D错，点的集合应为球面； 13、以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是（ ） A．圆锥 B．两个圆锥组合体 C．圆台 D．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥 【答案】D； 【解析】如图， 以AB为轴旋转所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥； 14、某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图所示)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为（ ） A　　　　　　　B C　　　　　　　D 【答案】A； 【解析】两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定； 三、解答题（共4小题，满分44分） 15、（本题8分） 如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，如果AB＝AC＝，BB1＝BC＝6，E，F为侧棱AA1上的两点，且EF＝3，求多面体BB1C1CEF的体积． 【解析】在△ABC中，BC边上的高h＝＝2， V柱＝BC·h·BB1＝×6×2×6＝36， ∴VE­ABC＋VF­A1B1C1＝V柱＝6，故VBB1C1CEF＝36－6＝30. 16、（本题10分） 从一个底面半径和高都是R的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体，如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积． 【解析】轴截面如图所示，被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的 半径O1C＝R，设圆锥的截面圆的半径O1D为x.因为OA＝AB＝R， 所以△OAB是等腰直角三角形．又CD∥OA，则CD＝BC，所以x＝l， 故截面面积S＝πR2－πl2＝π(R2－l2)． 17、（本题满分12分） 如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. 问：（1）)折起后形成的几何体是什么几何体？ （2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ （3）每个面的三角形面积为多少？ 【解析】（1）如图，折起后的几何体是三棱锥． （2）这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形， △PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形； （3）S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2， S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2. 18、（本题满分14分） 如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求： （1）绳子的最短长度的平方f(x)； （2）绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； （3）f(x)的最大值． 【解析】 将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长， ∴L＝2πr＝2π. ∴∠ASM＝×360°＝×360°＝90°. （1）由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝(0≤x≤4)． f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)． （2）绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R， 则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，在△SAM中， ∵S△SAM＝SA·SM＝AM·SR， ∴SR＝＝(0≤x≤4)， 即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4)． （3）∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数， ∴f(x)的最大值为f(4)＝32； ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【原卷版】 《第11章 简单几何体》自主测试（2） 一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1、棱长为3的正方体的表面积为 2、若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为 cm3 3、斜三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面两边所成角都是60°，那么这个斜三棱柱的侧面积是__________________ 4、一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________ 5、若球的过球心的圆面圆周长是C，则这个球的表面积是 6、如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1­ADC的体积是 7、已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积S1与底面积之和S2的大小关系为__________． 8、用一个平行于底面的平面去截一个几何体，如果截面是三角形，则这个几何体可能是________________ 9、如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点， 沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm. 10、边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到点G的最短距离是________cm. 二、选择题（共4小题 每小题4分，满分16分） 11、如图所表示的几何体中，不是棱锥的为（ ） A　　　　B　　　　　C　　　　D 12、下列命题中正确的是（ ） A．圆柱上底面圆上任一点与下底面上任一点的连线都是圆柱的母线 B．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台 C．圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形 D．在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球 13、以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是（ ） A．圆锥 B．两个圆锥组合体 C．圆台 D．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥 14、某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图所示)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为（ ） A　　　　　　　B C　　　　　　　D 三、解答题（共4小题，满分44分） 15、（本题8分） 如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，如果AB＝AC＝，BB1＝BC＝6，E，F为侧棱AA1上的两点，且EF＝3，求多面体BB1C1CEF的体积． 16、（本题10分） 从一个底面半径和高都是R的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体，如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积． 17、（本题满分12分） 如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. 问：（1）)折起后形成的几何体是什么几何体？ （2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ （3）每个面的三角形面积为多少？ 18、（本题满分14分） 如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求： （1）绳子的最短长度的平方f(x)； （2）绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； （3）f(x)的最大值． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$