6.2.1 向量基本定理-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修2同步课件 (人教B版)

数学 必修第二册 RJB 1 6.2 6.2 向量基本定理与向量的坐标 2 6.2 6.2.1 向量基本定理 刷基础 3 1.[甘肃兰州一中2024期中] 设为所在平面内一点， .若 ，则 ____. 解析 因为,所以，即 ，又 ,所以 ，解得 . 题型1 共线向量基本定理的应用 4 2.[河北石家庄2024高一月考] 设,是不共线向量，与共线，则实数 的值为 ____. 解析 与共线,则存在实数 ,使得 ， 又, 是不共线向量， 所以得 ． 题型1 共线向量基本定理的应用 5 3.设｛， ｝是平面向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为基底的是( ) D A.和 B.和 C.和 D.和 题型2 平面向量基本定理的理解 6 解析 因为， 是平面向量的一组基底， 所以， 不共线. 由，可得 . 故和 不能作为基底，故选D. 题型2 平面向量基本定理的理解 7 4.（多选）[河南新乡2024高一月考] 下列结论正确的是( ) CD A.一个平面内只有一对不共线的向量可组成表示该平面内所有向量的一组基底 B.若（,,,，,是单位向量），则, C.向量与共线 存在不全为零的实数,,使 D.已知，，三点共线，为该直线外任意一点，若,则 题型2 平面向量基本定理的理解 8 解析 对于A，由平面向量基底的概念可知，只要不共线的任何两个向量都可以组成平面的一组 基底，故A错误； 对于B，不妨设，,，此时有，但 , 不成立，故B错误； 对于C，由平面向量基本定理可知C正确； 对于D，由平面向量基本定理可知 ，其中, ，若 ,则，故D正确.故选 . 题型2 平面向量基本定理的理解 9 二级结论已知是平面内不与直线,,共线的任一点，若，， 三点共线，则有 ，两者互为充要条件.此结论称为三点共线定理. 题型2 平面向量基本定理的理解 10 5.如图所示，向量 ( ) C A. B. C. D. 题型2 平面向量基本定理的理解 11 解析 由题图可得,,所以 .故选C. 题型2 平面向量基本定理的理解 6.[重庆南开中学2024质量检测] 已知中，为边上一个动点，若 ， 则 的最小值为____. 16 题型2 平面向量基本定理的理解 13 解析 由题意得,,三点共线，所以，使得 ， 所以，整理得 . 又,,不共线，所以则有 . 显然,，所以 , 当且仅当，即 时等号成立. 故 的最小值为16. 题型2 平面向量基本定理的理解 14 7.设｛，是平面向量的一组基底，且，，则向量 可以表示 为另一组基底｛，｝的线性组合，即 _________. 解析 因为①， ， 显然与不共线，得，所以 ，代入②得 . 故有 . 题型2 平面向量基本定理的理解 15 特别注意对于给定的向量，（向量与 不共线）而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的， 但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为一组基底，它有无数组． 题型2 平面向量基本定理的理解 16 8. 在中，为边上的中线，，则 ( ) A A. B. C. D. 题型3 平面向量的分解 17 解析 如图，因为，所以 . 由已知可得，所以 ， 所以 .故选A. 链接教材此题改编自教材第161页例5，在解决具体问题的过程中适当选取基底，可使问题简化. 当选择了同一平面内的两个不共线向量,后，平面上任何一个向量都可用{, 唯一表示. 题型3 平面向量的分解 18 9.[辽宁葫芦岛一中2024高一期末] 在平行四边形中，是对角线上靠近点 的三等分点， 点在上.若，则 ( ) C A. B. C. D. 题型3 平面向量的分解 19 解析 由题可知 ， 因为点在 上， 所以存在实数 使得 ， 即 ． 从而有，解得 ． 所以 ．故选C． 题型3 平面向量的分解 20 10.在中，为边上任意一点，为的中点，，则 的值为( ) A A. B. C. D.1 易错点 不擅于利用方程思想分解向量 21 解析 因为为边上任意一点，所以可设.因为为 的中点，所 以,从而有 . 易错警示不能设出向量的分解式，且不能利用三点共线的性质，导致无解或错解. 易错点 不擅于利用方程思想分解向量 22 11.设向量，，，试用，表示，则 ____________. 解析 设 ，则 ，得 解得 所以 . 易错警示对于向量的分解问题，求解的一个重要方法是待定系数法，分解后利用向量相等求解参数. 易错点 不擅于利用方程思想分解向量 23 6.2 6.2.1 向量基本定理 刷提升 24 1.[山东莱州一中2024高一期末] 在三角形中，若点满足，则 ( ) C A. B. C. D. 25 解析 如图，由题意得 .故选C. 26 名师点拨此题在求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的运算律．实数与向量可以进 行数乘运算，其结果是一个向量，不是实数，但实数与向量不能进行加减运算，如， 是错误的． 27 2.如图，点为正六边形 的中心，则可作为该正六边形所在平面的一组基底 的是( ) B A.，} B.，} C.，} D.， } 28 解析 由题图可知，与，与，与均共线，故，，，，， } 均不能作为该平面的基底.与不共线，故， }可作为该平面的一组基底. 29 3.在直角梯形中，角为直角，，，若，则 ( ) B A. B. C.1 D.2 30 解析 因为， ，所以 ，可得，即，又 ，所以 .故选B. 31 4.[湖南长沙雅礼中学2024月考] 若点是所在平面上一点，且, 是直线 上一点，，则 的最小值是( ) C A.2 B.1 C. D. 32 解析 因为，所以点是 的重心， 设点D是的中点，则，连接,B,,D三点共线，如图， . 因为B, ,D三点共线， 所以 ， 从而有，当且仅当，即， 时取等号，即 的最小值是 .故选C. 33 5.（多选）如图，在中，，，与交于点 ，则下列说法正确的是 ( ) BCD A. B. C. D. 34 解析 ，故A错 误； 因为B,,三点共线，所以存在实数 使得 ， 因为A,,D三点共线，所以存在实数 使得 ，从而有 解得即，所以为 的中点， 从而有 ，故B正确； 35 ， ， 所以 ，故C正确； 取的中点，的中点，连接，如图，则,, 三点共线， 所以，故D正确.故选 . 36 6.[湖北恩施2024高二月考] 如图，在中，设,，的中点为， 的中点为 ，的中点为.若，则 的值为__. 解析 由题意可得, . 因为 ，① ，② 所以联立①②解得 . 又，可得,,所以 . 37 7.[重庆南开中学2024高一阶段测试] 在平行四边形中，, . （1）如图①，如果，分别是，的中点，试用基底{,}分别表示, . 图① 【解】因为,分别是,的中点，所以 ， . 38 （2）如图②，如果是与的交点，是的中点，试用基底{,}表示 . 图② [答案] 因为是与的交点，是的中点，所以 ，所以 . 39 8.[辽宁丹东2024高一期末] 已知向量以{,为基底的分解式为 ， 其中, . （1）求， 的值； 【解】由题得 ， 则解得 （2）若，且，求实数 的值. [答案] 由（1）得.由 ，设 ，即，则解得 . 40 $$