6.1.4 数乘向量&6.1.5 向量的线性运算-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修2同步课件 (人教B版)

数学 必修第二册 RJB 1 6.1 6.1 平面向量及其线性运算 2 6.1 6.1.4 数乘向量+6.1.5 向量的线性运算 刷基础 3 1.已知 ，则下列结论正确的是( ) C A. B. C. D. 题型1 数乘向量的定义与运算法则 4 解析 当时，不成立，A错误；是一个非负实数，而 是一个向量，所以B 错误；当或时， ，D错误.故选C. 题型1 数乘向量的定义与运算法则 5 2.（多选）已知实数，和向量， ，下列说法正确的是( ) ABD A. B. C.若，则 D.若，则 题型1 数乘向量的定义与运算法则 6 解析 选项A和B属于向量数乘运算的分配律，正确；C中，当时，，但与 不一定相等，故C不正确；由，得，又因为，所以 ，即 ,故D正确. 题型1 数乘向量的定义与运算法则 7 规律方法（1）向量的数乘运算有两个分配律， 可称为第一分配律， 可称为第二分配律，实数的乘法只有一个分配律； （2）数乘向量的运算律，类似于实数运算的结合律和分配律，等号左右两边式子的运算结果都 是向量，但运算顺序不同. 题型1 数乘向量的定义与运算法则 8 3.[广东惠州一中2024高一开学考试] 化简： __________. 解析 . 题型1 数乘向量的定义与运算法则 9 4.[山东济南2023高一期末] 若，，则实数 的值为( ) B A. B. C. D. 题型2 向量的数乘表示 10 解析 ，如图所示.结合图形可 知 .故选B. 题型2 向量的数乘表示 11 5.已知是线段外一点，，是线段的三等分点，点靠近点.如果， ， 那么 _________. 题型2 向量的数乘表示 12 解析 . 题型2 向量的数乘表示 13 6.[湖南长沙一中2024高一期末] 已知不共线的向量,，且， ， ，则一定共线的三点是( ) A A.，， B.，， C.，， D.，， 题型3 向量共线的判定 14 解析 对于A，,所以，又向量与 有公共点A,则A, B,D三点共线，A正确； 对于B，,则不存在任何，使得 ，所以A,B,C不共线,B错误； 对于C，,则不存在任何，使得 ，所以B,C,D不共线，C 错误； 对于D，,则不存在任何，使得 ，所以A,C,D不共线，D 错误.故选A. 题型3 向量共线的判定 15 7.已知点，，不在同一条直线上，点为该平面内一点，且 ，则( ) D A.点在线段上 B.点不在直线 上 C.点在线段的延长线上 D.点在线段 的反向延长线上 题型3 向量共线的判定 16 解析 由，得，即，所以与 共线，且有公共点 A，所以A，B，三点共线，且在线段 的反向延长线上.故选D. 题型3 向量共线的判定 17 8.[湖北鄂州2024期中] 如图，在四边形中，, ，设 ，，则 ( ) C A. B. C. D. 题型4 向量的线性运算 18 解析 因为, ，所以 .故选C. 题型4 向量的线性运算 19 9.（多选）[辽宁丹东2024高一期末] 在中，点在边上，，是 的中点， 则( ) BCD A. B. C. D. 题型4 向量的线性运算 20 解析 对于A，由向量减法法则可知 ，故A错误; 对于B， ,故B正确; 对于C，,而 ，所 以 ，故C正确; 对于D，,故D正确.故选 . 题型4 向量的线性运算 21 10.已知，，三点共线，且，分别用，表示 . 【解】 由题意得,两点可能在点的同侧，也可能在点 的异侧. 如图①，当,两点在点 的同侧时， ，得 . 又因为向量与 的方向相同， 所以 . 易错点 由线段比转化为向量共线问题时考虑不全面而致误 22 如图②，当,两点在点 的异侧时, ，解得 . 又因为向量与 的方向相反， 所以 . 易错点 由线段比转化为向量共线问题时考虑不全面而致误 23 易错警示本题中由于是线段长度之比，因此点，， 的相对位置不是确定的，应根据 讨论点，，的位置关系，本题的易错之处是忽略点，， 的相对位置的另一种情况 而丢解. 易错点 由线段比转化为向量共线问题时考虑不全面而致误 24 6.1 6.1.4 数乘向量+6.1.5 向量的线性运算 刷提升 25 1.已知向量与反向，且，，，则实数 的值为( ) C A. B. C. D. 26 解析 因为，所以.又与反向，所以 .故选C. 27 2.（多选）[黑龙江龙东五地市2024期中联考] 如图，四边形为梯形，其中 ， ，，分别为， 的中点，则下列结论正确的是( ) AC A. B. C. D. 28 解析 A选项： ，A正确； B选项： ，B错误； C选项： ，C正确； D选项：，D错误.故选 . 29 3.[河南焦作2024期末] 已知所在平面内一点满足，则 的面积 是 的面积的( ) A A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍 30 解析 设的中点为，因为，所以，所以 ， 所以点D是线段的五等分点且靠近点，所以,所以的面积是 的 面积的5倍.故选A. 31 4.（原创）设,,分别是的边,,上的点，且,, ，则 与 ( ) A A.平行且方向相反 B.平行且方向相同 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 32 解析 由题意得， , ,则 故选A. 33 5.[河北沧州2024高一月考] 我国东汉末年数学家赵爽在《周髀算经》中利用一 副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全 等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图” 中，若，，，则 ( ) B A. B. C. D. 34 解析 因为“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且 ，， ，所以 ， 解得，所以 故选B. 35 6.[山东潍坊2024高一月考] 已知是平面内一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点 满足，则点的轨迹一定通过 的( ) B A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 36 解析 为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为在 的平分线上 的向量 的方向. 又因为，所以的方向与 的方向相同.因为 ，所以,所以点在上移动,即点 的轨 迹一定通过 的内心. 37 二级结论 在所在平面上，若动点满足， ，则 点的运动轨迹一定通过 的内心. 38 7.[北京朝阳区2024期中] 已知平面内四个不同的点,,,满足，则 ( ) D A. B. C.2 D.3 39 解析 ,,即, ， . 40 8.[山西晋中2024高二开学模拟考] 设，是两个不共线的向量，已知 ， ，，若，，三点共线，则实数 的值为____. 41 解析 由，，三点共线，可得，又 ， ，则，所以，又， 不共线，则解得 . 42 9.[辽宁辽阳2024高一期末] 如图，在平行四边形中，，分别为， 的中点. （1）试问与 是相等向量还是相反向量？说明你的理由. 【解】由题意可得 ， 因为，分别为，的中点，所以 ， 所以与 是相等向量. 43 （2）若，试用，表示， . [答案] 由题意可得 . 因为，所以 ， 所以 . 44 $$